б) Каким должно быть отношение веса этих - Мой Jimdo-сайт
advertisement
Влияние эффекта изменения масштаба на х а р а к т е р и с т и к и ф и з и ч е с к и х и биологических объектов Клюшников Георгий, 11 А класс, МОУ СОШ № 21 Руководитель: Стрельцова О. И. Оленегорск 2008 Цели работы рассмотреть влияние эффекта изменения масштаба на различные характеристики физических и биологических объектов, используя комбинации степенных законов; доказать, что у живых организмов пропорции не всегда одинаковы; форма фигуры или тела зависит от истинных размеров, и изменяются с их р а з м е р а м и . Задачи исследования исследовать применение соотношений первой, второй и третьей степени при использовании понятия «масштаб»; исследовать роль изменения масштаба в научной практике. Гипотеза невозможно существование жителей королевства Лилипутии и страны великанов, похожих на нас, так как изменение масштаба влияет на различные характеристики физических и биологических объектов и приводит к ограничению размеров этих объектов, то есть очень малые или очень большие копии людей не могут быть похожи на н а с . Введение В физических исследованиях часто бывает полезным выяснить, как меняется состояние системы, когда ее размеры увеличиваются или уменьшаются. Изучение систем в необычных масштабах часто позволяет открывать неожиданные физические закономерности. Правильный выбор масштаба является важной частью многих физических исследований. Этим объясняется большой интерес к масштабным соображениям и значение масштаба в биологии и физике. При увеличении или уменьшении линейных размеров сооружения или организма физические характеристики изменяются в зависимости от размер ов, но по различным степенны м законам . Изменивш иеся соотношения между этими характеристиками оказывают влияние на поведение организма или сооружения, которые в значительной степени определяется соотношением многих физических характеристик, таких, как вес, прочность, потребление энергии, потери тепла. Влияние масштаба сказывается на предельных (максимальных и минимальных) размерах организма или сооружения. Прочность каната Если один человек не в состоянии разорвать канат, то два человека не смогут разорвать два таких же каната. В толстом канате с такой же площадью поперечного сечения, как и у двух тонких канатов, будет вдвое больше волокон, чем в одном тонком. Значит, для проволоки или каната сопротивление разрыву пропорционально площади поперечного сечения, или квадрату диаметра: F = σ ∙ S = σ ∙ π D ² / 4 . Опыт и теория согласуются с таким выводом: п р о ч н о с т ь = k ( т о л щ и н а ) ² Тело человека или животного тоже поддерживается колонками или подпорками, образующими скелет и удерживаемыми различными растяжками и тросами, т. е. мышцами и сухожилиями. Вес тела пропорционален количеству имеющихся в нем мяса и костей, то есть, п ро п о рц и о н а л е н о б ъ е м у : Р = m ∙ g = ρ V ∙ g. Объем одного цилиндра в 8 раз больше объема другого подобного цилиндра. V = Sh. Чему равна длина окружности основания большого цилиндра, если С2=0,5 м? Цилиндры 1 и 2 (цилиндр 1 больше цилиндра 2) подобны h1 = α h2 и r1 = α r2 , По условию V1 = 8V2, то α³ = 8 и α = 2 . С1=2 ∙ С2=0,5 ∙ 2=1,0 м. Предположим, что r1 = b∙r2 ; h1 = h2 Тогда S1 = b2∙S2 , V1 = S1∙h1 = b2 S2∙h2 = b2∙V2. Так как по условию V1 = 8V2 , то b2 = 8, b = 2√2 ≈ 2,83 С1 = 0,5 ∙ 2,83 = 1,41 м. Толщина стенок полого металлического шара равна 2 см. Если увеличить диаметр шара и соответственно толщину стенок таким образом, чтобы общий объем был в 3 раза больше первоначального, то какова будет толщина стенок нового шара? Нам дано, что внешний диаметр, толщина и все другие линейные размеры шара увеличиваются в одно и то же число раз. Пусть это число будет равно а. Тогда новый диаметр d1, будет в а раз больше, чем прежний d. Новый объем V1 выразится через первоначальный объем V следующим образом: Так как нам дано, что V1 = 3V, то а = 3^1/3 = 1,44. Новая толщина стенок будет в 1,44 больше, чем первоначальная толщина, то есть L1 = 1,44 ∙ 2 см = 2,88 см. Кости ног одного животного в два раза прочнее, чем кости ног другого животного принадлежащего к тому же семейству и имеющего ту же форму. а) Каким должно быть отношение роста одного из них к росту другого? б) Каким должно быть отношение веса этих животных? 1. Предположим, что в «подобных фигурах» все линейные размеры различаются в одно и то же число раз. Так как два животных будут точно гео м е тр и ч еск и п од о бн ы , то д ля мен ьш его животного отношение прочности к весу будет и м е т ь б о л ь ш е е з н а ч е н и е . а) Так как прочность костей животных отличается в 2 раза, то во столько же раз будет отличаться и площадь их поперечного сечения. Тогда все линейные размеры будут отличаться в =1,41 раза. Таким образом, рост одного животного будет о тли ч а ть ся о т рос та д р у г о го в 1 , 41 р аз а . б ) В ес жи во тны х о тли ч ается в 2 , 83 р аз а . Кости ног одного животного в два раза прочнее, чем кости ног другого животного принадлежащего к тому же семейству и имеющего ту же форму. а) Каким должно быть отношение роста одного из них к росту другого? б) Каким должно быть отношение веса этих животных? 2. Если же выражение «подобный» понимать, как это чаще всего бывает, как «очень похожий», то более логичным будет с л е д у ю щ и й о т в е т . По условию мы знаем, что прочности костей животных различаются в 2 раза, предположим, что во столько же раз будет различаться их вес (или объемы). В этом случае животные не будут геометрически подобны, но будут иметь одно и то же отношение их прочности к весу. а) Если объемы различаются в 2 раза, то рост (и все линейные размеры, исключая только те, которые определяют площадь поперечного сечения костей, так как они различаются в раз ) одного из них отличается от роста другого в 1,26 раза. б) Вес одного животного отличается от веса другого в 2 раза. К о л ибр и д олж н а п ит а т ьс я о ч е н ь ч а с т о, и е е п и ща д о лж н а б ы т ь высококалорийной. Что можно сказать о размере этой птички, исходя из м а с ш т а б н ы х с о о б р а ж е н и й ? Количество пищи, необходимой для восполнения энергии, расходуемой при движении, пропорционально весу животного, а количество пищи, необходимое для поддержания теплового режима, пропорционально площади поверхности тела ж и в о т н о г о . Если нам известно, что животное поглощает много пищи по сравнению со своим весом, то мы можем заключить, что отношение п ло щ а д и по в е р х но с т и те ла к объему животного есть большая величина, т. е. само животное им е е т о че нь м а лые р а з меры . Действительно, колибри представл я е т с о б о й о ч е нь м а ле нь к у ю п т и ч к у . По данным зоологических садов слон обладает массой около 4 т и потребляет в 340 раз больше пищи, чем морская свинка, масса которой составляет 0,7 кг. Оба принадлежат к теплокровным, питаются растительной пищей и имеют похожую форму. Найдём отношение площадей поверхности их тел (оно приблизительно равно отношению теплоотдачи этих животных) и сравним получающуюся величину с отношением количеств потребляемой пищи. Определим отношение роста одного из них к росту другого и о т н о ш е н и е в е с а э т и х ж и в о т н ы х . Плотность тела слона и плотность тела морской свинки примерно одна и та же. Вес единицы объема тела слона и тела морской спинки одинаков, то есть кубический сантиметр тела слона весит столько же, сколько кубический сантиметр тела морской свинки. В силу этого их объемы относится так же, как их вес: 4∙1000 кг : О,7 кг ≈ 5700. Отношение их линейных размеров будет равно Отношение площадей поверхности их тел равно 18² ≈ 330. Это согласуется с приведенным отношением количеств поглощаемой пищи: 340:1. Железный шар подвешен на проволоке диаметром 0,1 см, едва выдерживающей вес этого шара. Каков должен быть диаметр проволоки, которая бы выдерживала вес железного шара: а) в пять раз большего объема; б) в пять раз большего диаметра? а) Если объем увеличивается в пять раз, то и вес шара также увеличится в пять раз: Р = m ∙ g = ρV ∙ g. Прочность проволоки пропорциональна ее площади поперечного сечения, т. е. квадрату ее диаметра: прочность = k (толщина)². Диаметр проволоки должен увеличиться в √5 = 2,24 раза и быть равным 0,224 см. б) Если диаметр шара увеличится в 5 раз, то его вес увеличится в 5³=125 раз. Диаметр проволоки должен увеличиться в √5³= 11,2 раза и станет равным 1,12 см. Резервуар для воды имеет прямоугольную форму и укреплен над поверхностью Земли на четырех столбах высотой 5 м и диаметром 20 см. Если изготовить резервуар в 10 раз длиннее, шире и выше, то каков должен быть диаметр столбов? Во сколько раз больше воды поместится в таком резервуаре? Если линейные размеры резервуара увеличиваются в 10 раз, то его вес увеличится в 1 0 0 0 р а з . Площадь поперечного сечения столбов должна при этом увеличиться в 1000 раз. Их диаметр должен увеличиться в √1000 = 31,6 раза и б у д е т р а в е н 6 3 0 с м . Резервуар сможет теперь вместить в 1000 раз б о л ь ш е в о д ы . Высота столбов не имеет значения. Их прочность зависит только от площади п о п е р е ч н о г о с е ч е н и я . Можно прийти в ужас, если представить себе живое существо, похожее на паука, но столь больших размеров, что оно могло бы пожирать людей. Возможно л и т а к о е с у щ е с т в о ? Обычно пауки длиной 2 см, а человек ростом 180 см. Чтобы съесть человека, это существо должно увеличиться в размерах в отношении 100 : 1. Это приведет к увеличению объема паука и его веса в 100³ = 1000000 раз. Площадь поперечного сечения и прочность скелета возрастет при этом в 100² =10000 раз. Скелет окажется способным нести только 1/100 часть веса. Для паука диаметр его ног равен 0,5 мм и толщина «стенок» (хитин) 0,0 5 мм. Площадь поперечного сечения ног паука в данном случае будет равна S = π∙d∙T = π∙0,5∙0,05= 0,025∙π мм². Если наш паук увеличится в 100 раз, его объем и вес увеличатся в 100³ = 1000000 раз. Если отношение прочности к весу увеличившегося паука оставить таким же, как у «нормального» паука, то площадь поперечного сечения его ног должна быть равна 1000000 ∙ 0,025 мм² = 25000 мм²=250 см². Если выдерживать масштабные соотношения, то диаметр ноги будет равен только 100 ∙ 0,5 мм = 50 мм. Поэтому, если нога для обеспечения максимума прочности будет даже твердой без мускулов и других тканей, то и в этом случае ее площадь поперечного сечения будет равна S = πг²= π (25 мм)² ≈ 2000 мм²=20 см². Этот результат далеко не обеспечивает необходимой прочности для увеличившегося паука. Получается, что паук, увеличившийся в своих размерах в 100 раз, будет скорее походить на слоненка, чем на паука. Соотношения первой, второй и третьей степени при использовании понятия «масштаб» Ребро куба L, м Площадь поверхности S = 6∙L2, м2 Объём куба V = L3 , м3 1 6 1 2 24 8 3 54 27 4 96 64 5 150 125 6 216 216 10 600 1000 50 15000 125000 При увеличении ребра куба его объем растет быстрее, чем его поверхность, а поверхность растет быстрее, чем линейные размеры. Сравним Гулливера с бробдингнегским великаном, который больше его в 12 раз. Так как у обоих строение тела совершенно одинаково, то каждый из линейных размеров великана должен быть в 12 раз больше соответствующего размера Гулливера. Значит, тела великана и Гулливера в точности подобны в поперечном сечении и по форме. Так как прочность подпорок и растяжек пропорциональна площади их поперечного сечения, то есть квадрату их линейных размеров, то кости великана должны быть в 12² = 144 раза прочнее костей Гулливера. Вес пропорционален объему, следовательно, великан будет в 12³ =1728 раз тяжелее Гулливера. Поэтому у великана отношение прочности к объему окажется в 12 раз меньше, чем у Гулливера, то есть чем у обычных людей. У такого великана вес собственного тела вызывает ощущение, какое испытали бы мы, если бы нам пришлось нести у себя на спине одиннадцать ч е л о в е к . Чтобы убедиться в том, что ни лилипуты, ни бробдингнеги, не могут существовать на самом деле, посмотрим, как сказывается различие в масштабах. Для этого сравним близких по строению животных, обладающих совершенно разными размерами. На рисунке изображены берцовые кости двух близко родственных животных из семейства оленей: тоненькой газели и бизона. Меньшее животное не будет простой уменьшенной копией большого, так как кость большего животного геометрически не подобна кости меньшего. Она значительно толще, чем полагалось бы по ее длине. а) Берцовые кости газели и бизона. Эти животные относятся к одному отряду, но газель значительно меньше. б) Берцовая кость газели, увеличенная до размеров берцовой кости бизона. Таким образом, нарушается масштаб изменений. При его сохранении строго подобная кость оказалась бы слишком слабой. Перейдем к вопросам, возникающим при уменьшенном масштабе. Выйдя из бассейна, человек унесет на себе приблизительно один стакан воды, что будет соответствовать увеличению нагрузки на тело не более чем на 1% от его веса. Вес лилипута, рост которого составляет 1/12 нашего роста и который в точности подобен нам, составит только (1/12)³ нашего веса. Но поверхность его равна (1/12)² нашей поверхности и потому количество воды, уносимое им, будет составлять (1/12)² часть воды, у н о с и м о й н а м и . Следовательно, для него отношение «количество воды/первоначальный вес» будет в 12 раз больше, чем для нас. Лилипут унесет на себе количество воды, составляющее около 12% от его веса, что соответствует весу тяжелой зимней одежды и пальто. Когда он выйдет из бассейна, ему будет совсем не до шуток! Если смочить муху, она станет вдвое тяжелее и будет, как бы з а т о ч е н а в к а п л е в о д ы . Размеры существ влияют на условия их жизни. Наш организм теряет тепло главным образом через кожу и частично при выдыхании теплого воздуха. Поэтому минимальное количество пищи должно быть пропорциональным поверхности. Если обычный человек, вроде Гулливера, в течение одного - двух дней может довольствоваться бараньей ножкой и буханкой хлеба, то лилипуту с такой же температурой тела потребуется пища в объеме, составляющем только (1/12)² долю от рациона обычного человека. Но в мире лилипутов объем бараньей ножки окажется в (1/12)³ раз меньше, чем в нашем мире. Поэтому ему нужно будет съесть дюжину ножек и дюжину буханок хлеба, чтобы почувствовать себя сытым. Лилипуты всегда должны были бы испытывать чувство голода и жажды, быть беспокойными, подвижными и грациозными. Все эти качества мы можем найти у мелких млекопитающих, например у мышей. Этот вывод объясняет, почему в природе не существует теплокровных животных, меньших, чем мыши. Рыбы, лягушки и насекомые могут быть значительно меньше, так как температура их тела не выше, чем температура окружающей среды. В соответствии с законами изменения масштаба площади и объема мелкие теплокровные животные поглощают относительно большое количество пищи. Совсем маленькие животные не могли бы даже запасти и переварить такое огромное количество пищи. Поэтому сельское хозяйство лилипутов не могло бы прокормить королевство, о п и с а н н о е Г у л л и в е р о м . Ни бробдигнеги, ни лилипуты не могут быть масштабными моделями нашего мира. В ы в о д ы Организмы, размеры которых пропорциональны между собой, но различны по величине, обладают различными физическими свойствами: а) Животные - разных размеров (разный масштаб) должны обладать непропорциональным сложением, чтобы сохранить необходимое соотношение между прочностью отдельных частей и х т е л а и в е с о м ; б) Биологические и физические особенности при изменении масштаба будут изменяться. Изменившиеся соотношения между этими характеристиками оказывают влияние на поведение о р г а н и з м а и л и с о о р у ж е н и я . в) Сооружения не могут беспредельно увеличиваться в своих размерах. Потому, что когда масштаб какой-нибудь системы возрастает, то нагрузка превышает прочность этой системы г) Правильный выбор масштаба является важной частью многих физических исследований. Этим объясняется большой интерес к масштабным соображениям и значение масштаба в биологии и физике; в физических исследованиях часто бывает полезным выяснить, как меняется состояние системы, когда ее размеры увеличиваются или уменьшаются. Изучение систем в необычных масштабах часто позволяет открывать неожиданные физические закономерности ; д) При увеличении или уменьшении линейных размеров сооружения или организма физические характеристики изменяются в зависимости от размеров, но по различным степенным законам, которые в значительной степени определяется соотношением многих физических характеристик, таких, как вес, прочность, потребление энергии, потери тепла. Влияние масштаба сказывается на предельных (максимальных и минимальных) размерах с о о р у ж е н и я и л и о р г а н и з м а . Какое значение имеют эти выводы для физики? 1. 2. 3. Броуновское движение. Сравним поведение большого тела, подвешенного в большом сосуде, и маленького лёгкого тела, подвешенного в маленьком сосуде. Воздух внутри сосуда находится при одинаковых температуре и давлении. Поведение тел различное. Большое тело стоит неподвижно, маленькое же совершает беспорядочные колебания. Причина различия состоит в том, что масса молекул газа и их средняя скорость не изменяются соответственно размерам тел и сосудов. Дифракция световых волн. Изображение, получаемое при прохождении света через узкую щель, не является геометрическим воспроизведением изображения, получаемого от широкой щели. Причина состоит в том, что длина световой волны не изменяется в с о о т в е т с т в и и с ш и р и н о й щ е л и . Дифракция волн. Пучок электронов проходит сквозь решетку проволочного экрана прямолинейно. Если пучок электронов проходит через тонкую кристаллическую пластинку, то он испытывает дифракцию. В этом случае изменяется расстояние между узлами кристаллической решетки, но отсутствует и з м е н е н и е и м п у л ь с а э л е к т р о н о в . Законы, основанные на правильно поставленном эксперименте, проведенном в одном масштабе, становятся несостоятельными в у с л о в и я х д р у г о г о м а с ш т а б а . Заключение Масштабные соображения имеют важное значение в современной технике. Если мы увеличим масштаб системы, то может оказаться, что нагрузка превысит прочность конструкции. Это относится к любой физической системе, а не только к животным. Эти факторы определяют значение постоянного множителя k в уравнении: прочность = k (толщина)², но сам закон остается справедливым. Когда мы переходим от привычных нам размеров к очень малым, гравитационные эффекты теряют свое значение, а поверхностные эффекты приобретают важное значение. Возникает необходимость применить уже какие-то другие приемы описания, основанные на новых идеях и представлениях. Наилучшим методом анализа поведения системы является изучение того, как меняется её состояние при изменении её размеров, п р и и з м е н е н и и с к о р о с т и д в и ж е н и я . Изучение различных систем в весьма необычных масштабах позволяет физикам установить совершенно новые и неожиданные физические зависимости. При изменении масштаба какие-то свойства физического мира могут быть выдвинуты на первый план, а какие-то другие, наоборот, затушеваны. Этот путь позволяет открыть или понять многие явления, не столь очевидные в мире обычных масштабов. Поэтому физики ставят опыты в очень большом или очень малом масштабе, ускоряют или замедляют процесс, применяют жар или холод, придумывают другие необычные условия опыта. В жизни очень трудно избавиться от собственного масштаба. Человек может строить дороги, дома и мосты. Самые большие сооружения, которые может создать человек — это большие здания и большие корабли. Это предел увеличения масштаба в технике. В то же время в природе отсутствуют живые существа, которые б ы л и б ы в т ы с я ч у р а з б о л ь ш е , ч е м л ю д и . Размеры, с которыми имеет дело наша техника, ограничены. Если мы конструируем какой-то новый большой объект на основе такого же, но малого объекта, мы должны иметь в виду возможность проявления каких-то новых эффектов, незаметных в малом масштабе, но приобретающих решающее значение при п е р е х о д е к б о л ь ш и м м а с ш т а б а м . Мы не можем механически увеличивать или уменьшать масштаб, исходя только из геометрических соображений. Но если при изменении масштаба принимать во внимание физические соображения, то иногда заранее можно предвидеть возможные изменения. Например, мы с успехом можем пользоваться изменением масштаба при проектировании самолетов, но в то же время мы не можем создать реактивный самолет размером с пчелу, который был бы способен летать. Спасибо за внимание
