Вопросы по теории вероятностей для 3 курса института инноватики СПбГТУ

Вопросы по теории вероятностей
для 3 курса
института инноватики СПбГТУ
Составлены 21.01.16 ст. пр. Сушковым В.И.
1. Число перестановок. Число размещений. Число размещений с повторениями.
2. Число сочетаний. Бином Ньютона и его обобщение на случай нескольких слагаемых. Число
подмножеств множества, состоящего из n элементов (2 способа).
3. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Венна для свойств. Отношение
включения.
4. Алгебра высказываний. Связь операций над множествами с операциями над высказываниями,
описывающими эти множества.
5. Алгебра Буля. Свойства Булевых операций. ДНФ, КНФ, совершенная ДНФ и совершенная
КНФ. Операция импликации (логическое следование), разность, симметрическая разность,
"исключающее или". Другие базисы функций и их алгебраические свойства.
6. Индикаторная функция множества, ее график. Индикаторная функция для объединения,
пересечения, дополнения и т.п.
7. Аналогии между действиями в алгебре множеств, алгебре Буля и алгебре высказываний.
8. События, как подмножества пространства Ω (элементарных событий). Пример: задача о
встрече. Совместность и несовместность событий.
9. Вероятность, как мера на алгебре событий. Невозможность и невероятность событий.
Вероятность суммы двух событий. Примеры.
10. (На повыш. оценку) Формула вероятности суммы многих событий (с док-вом).
11. Условная вероятность. Независимость событий. Независимость попарная и в совокупности.
12. Обобщение формулы условной вероятности на большое число событий.
13. Формула полной вероятности. Ее матричная запись.
14. Задача о населении страны. Однородная цепь Маркова. Утверждение Колмогорова о величине
собственных чисел стохастической матрицы (без док-ва). Предельные вероятности состояний.
Все возможные варианты при 2 порядке матрицы.
15. (На повыш. оценку) Задача о разорении игрока.
16. (На повыш. оценку) Задача о выборе жениха.
17. Схема Бернулли повторения опытов.
18. Повторение опытов до первого успеха.
19. Формулы Байеса пересчета вероятностей гипотез.
20. Случайная величина как функция на Ω. Распределение дискретной случайной величины.
Функция распределения дискретной случайной величины (одномерной и двумерной).
Примеры.
21. Общие свойства функции распределения.
22. Независимость двух дискретных случайных величин. Построение распределения случайной
величины, являющейся функцией от дискретной случайной величины с известным
распределением.
23. Непрерывные и абсолютно непрерывные случайные величины. Плотность. Функция
распределения.
24. Независимость двух непрерывных случайных величин в терминах функций распределения и
плотностей.
25. Монотонная функция от случайной величины, ее функция распределения и плотность.
26. Плотность распределения суммы двух случайных величин, для которых известна плотность их
совместного распределения.
27. Функция распределения суммы независимых дискретной и непрерывной случайных величин.
28. (На повыш. оценку) Ступенька Хевисайда. Дельта-функция Дирака. Использование их в
формулах функций распределения и плотности распределения дискретных случайных
величин.
29. Вывод формулы плотности распределения χ22.
30. Вывод формулы плотности распределения χ32.
31. Вывод формулы плотности распределения χn2 (без вывода нормировочного коэффициента).
32. Математическое ожидание случайной величины и случайного вектора и его свойства.
33. Дисперсия одномерной случайной величины и ее свойства.
34. Корреляционная матрица многомерной случайной величины. Дисперсия линейной
комбинации случайных величин.
35. Механический аналог для математического ожидания (одномерный и многомерный варианты).
36. Механический аналог для дисперсии и для корреляционной матрицы.
37. Интеграл Пуассона. Одномерное нормальное (Гауссово) распределение. Математическое
ожидание и дисперсия. Использование функции Лапласа для вычисления вероятности
попадания нормальной случайной величины в отрезок.
38. Многомерное нормальное (Гауссово) распределение. Плотность. Поверхности равного
значения плотности. Нормировочный множитель. Тела, вероятность попадания в которые
можно вычислить без компьютера.
39. (На повыш. оценку). Корреляционая матрица обратна матрице коэффициентов квадратичной
формы в нормальном распределении (доказательство).
40. Производящая функция дискретной случайной величины. Свойства.
41. Следствия свойств производящей функции: распределение суммы двух независимых,
одинаково биномиально распределенных случайных величин, распределение суммы двух
Пуассоновских случайных величин.
42. Следствия свойств производящей функции: закон больших чисел Бернулли, предельная
теорема Пуассона для биномиального распределения.
43. Случайная величина Y, являющаяся функцией Y=Y(X) дискретной случайной величины X, ее
распределение, математическое ожидание и дисперсия.
44. Случайная величина Y, являющаяся функцией Y=Y(X) абсолютно непрерывной случайной
величины X, ее плотность, математическое ожидание, дисперсия.
45. Характеристическая функция непрерывной случайной величины и ее свойства.
46. Центральная предельная теорема.
47. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
48. Распределение "генеральной совокупности". Выборка. Выборочное среднее. Выборочная
дисперсия.
49. (Точечная) оценка параметра случайной величины и ее свойства.
50. Интервальная оценка параметра случайной величины. Доверительный интервал.
51. Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности. Критерий χn2 проверки
гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности.