методы анализа лис-цепей - Информационная система

МЕТОДЫ АНАЛИЗА
ЛИС-ЦЕПЕЙ
(ОБЗОР)
Презентация лекции по курсу «Общая теория связи»
© Д.т.н., проф. Васюков В.Н., vasyukov@edu.nstu.ru
Новосибирский государственный технический
университет, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Факультет Радиотехники и электроники
Кафедра теоретических основ радиотехники
Задачи, связанные с сигналами и цепями
x(t )
H( f )
x(t )
?
y (t )
?
?
H( f )
y (t )
анализ
идентификация и синтез
обратная задача
2

X(f ) 

x(t )e  j 2 ft dt
H( f )
Y( f )  H ( f )X ( f )

F
F
1

x(t )
h(t )
y (t ) 
 x( )h(t   )d

L
L

X ( p )   x(t )e  pt dt
H ( p)
1
Y ( p)  H ( p) X ( p)
0
ИХ, КЧХ, ПФ  функциональное описание
Принципиальная схема, дифференциальное уравнение  структурные
способы описания
3
Точные методы анализа ЛИС-цепей:
1. Временной метод (интеграл Дюамеля)
2. Метод, основанный на решении дифференциального
уравнения цепи
3. Операторный и спектральный методы
4. Метод комплексной огибающей (будет рассмотрен позже)
Они позволяют точно решить задачу анализа для любой
ЛИС-цепи и при любом воздействии
Приближенные методы основаны на некоторых
упрощающих допущениях
Метод мгновенной частоты (будет рассмотрен позже) и др.
Разные приближенные методы приводят к разным
результатам !
Метод, основанный на решении ДУ
Дифференциальные уравнения вообще связывают значения
некоторых физических величин со скоростями их изменения,
скоростями изменения скоростей (ускорениями) и т.д.
ЛИС-цепи с сосредоточенными параметрами описываются
наиболее простыми ДУ– обыкновенными линейными
дифференциальными уравнениями с постоянными
коэффициентами
(ЛИС-цепи с распределенными параметрами описываются
линейными дифференциальными уравнениями в частных
производных с постоянными коэффициентами)
n
an
d y(t )
dt n
x(t )
 ...  a0 y(t )  bm
 входной сигнал
(воздействие)
y (t )
m
d x(t )
dt m
 ...  b0 x(t )
 выходной сигнал
(отклик)
Линейные ДУ с постоянными коэффициентами
Если входной сигнал задан, то тем самым задана вся правая
часть уравнения
an
an
d n y(t )
dt n
d n y (t )
dt n
 ...  a0 y(t )  f (t )
неоднородное уравнение
 ...  a0 y (t )  0
соответствующее
однородное уравнение
Начальные условия  состояние цепи в начальный момент времени
an  an1
n
n 1
 ...  a1  a0  0
характеристическое уравнение
Если коэффициенты уравнения вещественны, то корни либо
вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары. При этом
некоторые корни могут совпадать (быть кратными).
Решение ЛДУ с ПК (пример см. в учебнике)
 

Если все корни
1, 2 ,..., n простые, то общее решение
однородного дифференциального уравнения описывает
собственные колебания цепи и имеет вид
y(t )  C1e1t  C2e 2t  ...  Cne nt
C1, C2 ,..., Cn определяются начальными условиями
При наличии кратного корня (кратности m) присутствуют
слагаемые вида
e k t , te k t , ....,
Для устойчивости
цепи свободные
колебания должны
затухать со временем
m1  k t
t e
все корни характеристического
уравнения должны иметь
отрицательные вещественные
части (лежать в левой половине
комплексной плоскости)
Связь спектрального метода с ДУ
Пусть на вход ЛИС-цепи воздействует
Тогда
x(t )  e jt
y(t )  H ( )e jt
k
d
d
x(t )  je jt , ... , k x(t )  ( j ) k e jt
dt
dt
k
d
d
y(t )  j H ( )e jt , ... , k y(t )  ( j ) k H ()e jt
dt
dt
an  j  H ( )e
n
jt
 ...  a0 H ( )e
jt
 bm  j  e
bm  j   bm 1  j 
m
H ( ) 
m jt
an  j   an 1  j 
n
m 1
n 1
 ...  b0e jt
 ...  b1 j  b0
 ...  a1 j  a0
Итак, КЧХ любой ЛИС-цепи имеет вид функции,
дробно-рациональной относительно j
bm  j   bm 1  j 
m
H ( ) 
an  j   an 1  j 
n
m 1
n 1

 ...  b1 j  b0
 ...  a1 j  a0
Пример
uвх (t )
i(t )
duвых (t )
i(t )  C
dt
uвых (t )
uвх (t )  RCduвых (t ) / dt  uвых (t )
 duвых (t ) / dt  uвых (t )  0
неоднородное ДУ
однородное ДУ
  RC
  1  0
характеристическое уравнение
  1/
корень характеристического уравнения
uвых (t )  Cet /
uвых (t )  Ce
t /
общее решение однородного ДУ
  (t )
Если начальное условие
частное решение неоднородного ДУ при
воздействии в виде функции Хэвисайда
uвых (0)  0
C  1
Отклик на функцию Хэвисайда (переходная характеристика ЛИС-цепи)
g (t )  1  et /
bm  j   bm 1  j 
m
H ( ) 
an  j   an 1  j 
n
m 1
n 1
 ...  b1 j  b0
 ...  a1 j  a0
H ( )  1/ 1  j RC 
Если на входе дельта-функция
(сп. плотность ≡1)
Y ( )  1/ 1  j RC 
Обратным преобразованием
Фурье получаем отклик  ИХ
1
h(t )  e t / 

Операторный метод

X ( p)   x(t )e
 pt
dt
d
p
dt
y (t ) 
0
1
2 j
c  j

Y ( p)e pt dt
c  j
Дифференциальное уравнение заменяется алгебраическим
an pnY ( p)  ...  a1 pY ( p)  a0Y ( p)  bm p m X ( p)  ...  b1 pX ( p)  b0 X ( p)
Y ( p)
K ( p) 
X ( p)
K ( p) 
операторная передаточная функция
bm p m  bm 1 p m 1  ...  b1 p  b0
an p n  an 1 p n 1  ...  a1 p  a0
Y ( p)  K ( p) X ( p)
Метод комплексной огибающей
обычно применяется для анализа частотно-избирательных
цепей при узкополосных воздействиях

x(t )  Re  (t )e
j 2 F0t

1
  (t )e j 2 F0t   * (t )e j 2 F0t 

2
Спектральная плотность
1
X ( f )    f  F0   *   f  F0 

2
( f )
Z( f )
X(f )
 F0
F0
f
ИХ частотно-избирательной цепи (полосового фильтра)

h(t )  Re  (t )e
j 2 F0t

1
  (t )e j 2 F0t   * (t )e j 2 F0t 

2
1
H ( f )    f  F0   *   f  F0 

2
( f )
H( f )
( f )
Z( f )
X(f )
 F0
F0
f
Тогда спектральная плотность сигнала на выходе фильтра
равна
Y( f )  H  f  X  f  
1
1
*

   f  F0      f  F0 
  f  F0   *   f  F0  
2

2
1
   f  F0    f  F0   *   f  F0  *   f  F0 

4
1
*
Y ( f )    f  F0      f  F0 

2
где
1
 f     f    f 
2

y(t )  Re  (t )e
Итак,
j 2 F0t

1
  (t )e j 2 F0t   * (t )e j 2 F0t  ;

2
 (t )   (t )  12  (t )
Низкочастотный эквивалент ЧИЦ имеет ИХ
1  (t )
2
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ
ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
Презентация лекции по курсу «Общая теория связи»
© Д.т.н., проф. Васюков В.Н., vasyukov@edu.nstu.ru
Новосибирский государственный технический
университет, Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
Факультет Радиотехники и электроники
Кафедра теоретических основ радиотехники
Линейные нестационарные цепи
Линейные нестационарные цепи с сосредоточенными
параметрами описываются обыкновенными линейными
дифференциальными уравнениями с переменными
коэффициентами
n
an (t )
d y(t )
dt n
 ...  a0 (t ) y(t ) 
 bm (t )
x(t )
 входной сигнал
(воздействие)
d x(t )
y (t )
Общего метода решения нет
m
dt
m
 ...  b0 (t ) x(t )
 выходной сигнал
(отклик)
Модуляция – это изменение одного или нескольких
параметров колебания, называемого несущим колебанием
(переносчиком), в соответствии с изменениями первичного
(информационного) сигнала.
18
Модуляция – это изменение одного или нескольких
параметров колебания, называемого несущим колебанием
(переносчиком), в соответствии с изменениями первичного
(информационного) сигнала.
при модуляции (а также демодуляции) происходят такие
преобразования сигнала, которые сопровождаются
появлением новых частотных составляющих,
отсутствовавших в спектре исходного сигнала
X(f )
0
Низкие частоты
F0
f
Высокие частоты
19
Изменение спектрального состава сигналов при модуляции и
демодуляции
ЛИС-цепь не может обогатить спектр колебания
новыми составляющими! (может только подавить
имеющиеся)
f
Типичный способ формирования нужного спектрального
состава:
x(t )
y (t )
ОС
обогащение спектра
ЧФ
частотная фильтрация
20
Линейные нестационарные цепи






y (t )  L x(t )  L   x( ) (t   )d    x( )L (t   )d 



 



x( )h(t , )d


y (t ) 

y (t ) 


где h(t,) - отклик цепи в момент t на входной
сигнал в виде -функции, воздействующий на
цепь в момент . Заменим переменную 
x(t   )h(t , t   )d
Пусть на входе колебание

e j 2 f (t  ) h(t , t   )d  e j 2 ft



e
j 2 ft
e  j 2 f  h(t , t   )d 

 H ( f , t )e j 2 ft
21
Линейные нестационарные цепи
Пусть на входе колебание

y (t ) 

e
j 2 ft

e j 2 f (t  ) h(t , t   )d  e j 2 ft

 H ( f , t )e

e  j 2 f  h(t , t   )d 

j 2 ft

H ( f ,t) 

h(t , t   )e j 2 f  d

y(t )  H ( f , t )e j 2 ft
Можно представить
e
j 2 f 0 t
Однако эта функция зависит не только
от частоты, но и от времени
H ( f , t )  K ( f , t )e
у(t )  K ( f0
j ( f , t )
j[2 f0t ( f0 ,t )]
, t )e
22

y (t ) 


y (t ) 
x(t   )h(t , t   )d
 
 
X ( f )e j 2 f (t  ) h(t , t   )df d 
 



подставим обратное ПФ для
входного сигнала
X(f )



h(t , t   )e j 2 f  d e j 2 ft df 




X ( f ) H ( f , t )e j 2 ft df

X ( f )H ( f ,t)
Это не спектральная плотность !!!
23
Воздействие гармонического колебания на
линейную параметрическую цепь
i(t )
u (t )
s(t )
i
s (t )  1/ R (t )
u
проводимость
(крутизна ВАХ)
Простейший случай  напряжение и крутизна
изменяются по гармоническому закону с разными
частотами
s(t )  S0  S1 cos(1t  1)
u (t )  U cos(2t  2 )
0
1
2

24
0
2
1

i (t )  US0 cos(2t  2 )  US1 cos(1t  1)cos(2t  2 ) 
US1
 US0 cos(2t  2 ) 
cos (1  2 )t  1  2  
2
US1

cos (2  1)t  2  1  US US0
US1
1
2
2
перенос спектра
0
1
2
2  1 2 2  1

25