Поведение

Реклама
Современные проблемы информатики
Лекция 2
Алгебра поведений
Что такое поведение?
(инвариант бисимуляционной эквивалентности)
В теории автоматов:
Автомат есть транзиционная система, размеченная парами вход/выход
Поведение есть автоматное отображение
Или
Автомат есть настроенная транзиционная система, размеченная
входными символами
Поведение есть язык
1.Domain theory approach (S.Abramsky 1991)
2.ACP with recursion (J.A.Bergstra and J.W.Klop, 1984)
3.Coalgebraic approach (P.Aczel, 1988, later B.Jecobs and J.Rutten)
4.Continuous algebras (A.Letichevsky,D.Gilbert,1997)
2
Алгебра поведений
• Два сорта: <U, A>
– U – поведения
– A – действия
• Сигнатура:
Дополнительные структуры:
Действия: комбинация действий  ,
невозможное и нейтральное действия
Атрибуты: функции на поведениях
– префиксинг a.u
– недетерминированный выбор u + v
– константы D, 0, ^
– отношение аппроксимации
• Аксиомы:
– аci для недетерминированного выбора
– 0 есть нейтральный элемент недетерминированного выбора
–
есть отношение частичного порядка с наименьшим элементом ^
– Обе операции монотонны и непрерывны (сохраняют наименьшие
верхние грани)
3
Монотонность
^ u
u vuwvw
u  v  a.u  a.v
4
Непрерывность
Направленное множество
(d , d   D) (d  D)( d   d  d   d )
Наименьшая верхняя грань
 D,  d
d D
Непрерывность
a. D 
u  D 
 a.d
d D
 (u  d )
d D
5
Монотонность следует из непрерывности
x  y  x  y  y  f ( x  y )  f ( x)  f ( y )  f ( y )  f ( x)  f ( y )
6
Поведение есть элемент
алгебры поведений
a
b
a.(a+b+^)+b.a.(a+a.0)
^
a
D
b
a. D = a
a
D
a
a
D
7
Как построить алгебру всех поведений
произвольных систем над множеством
действий А?

fin
F fin ( A)  F ( A)  F ( A)
Алгебра конечных поведений
Алгебра поведений конечной высоты
Алгебра бесконечных поведений
8
Алгебра конечных поведений
Ffin(A)
Порождается терминальными константами 0, D, ^
Состоит из выражений в сигнатуре +, (().())
Отношение аппроксимации:
u  v   ( x1 ,..., xn )(v1 ,..., vn )(u   (^,..., ^)  v   (v1 ,..., vn ))
a.(b.D  b.(D  ^))  a.(b.D  b.(D  c.D))
^
^
^
v1 v2 vn
9
Каноническая форма
u  ( ai .ui )   u
iI
I – конечное множество индексов,  u  0, D, ^, D ^
u сходится, если
 u  0, D и расходится в противном случае
Если все ai. ui различны и ui представлены в такой же
форме, то представление u единственно с точностью до
коммутативности недетерминированного выбора.
Индукция по высоте терма h(u)
h( )  0, h(a.u )  h(u )  1, h(u  v)  max( h(u ), h(v))
10
Критерий аппроксимации
uv
1.  u   v
2. u  a.u  u  v  a.v  v, u  v
3. v  a.v  v, u   u  a.u  u, u  v
Индукция по высоте u
11
Ffin(A) есть инициальная алгебра
поведений
uvuu v
u поведений
a.u1  u1  vF
fin
a.(A,X)
v1  v1 
Свободные алгебры
u  a.u 2  u 2  ...
Антисимметричность
(индукция)
.............................
u  a.u m  um  v  a.vm  vm 
.............................
u  a.u k  u k  a.vk  vk
u  a.u m  um  v  a.vm  vm 
um  ...  u k  vk  um 
um  vk , um  vk  u  v
12
Алгебра поведений конечной высоты


fin
F ( A)   F ( n )
n 0
F ( 0 )  {0, D, ^, D  ^}
F ( n 1)  { ai .u i  u  | u i , u   F ( n ) }
iI
I произвольное множество (может быть пустое)
 a .u   b .v
iI
i
i
jJ
j
j
 {ai .ui | i  I }  {b j .v j | j  J }
Критерий аппроксимации – определение. Операции:
( ai .u i  u )  ( b j .v j  v ) 
iI
jJ
c
kI  J
k
.wk  (u   v )
13
Полная алгебра поведений F(A)
Элементы: классы эквивалентности направленных
множеств поведений конечной высоты
U  V  (u  U )(v  V )(u  v)
U V U V U
U  V  {u  v | u  U , v  V }
a.U  {a.u | u  U }
От классов к представителям.
Предел направленного множества направленных множеств = их объединение.
Бесконечные суммы:
u
iI
i
 { vi | vi  ui }
iI
14
Каноническая форма в алгебре F(A)
u  ( ai .ui )   u
iI
M u (a)  {( x, y) | a.x  y  u}
u
 a.v  
w ( u  a .v  w )
u
S u (a)  {x | y( x, y)  M u (a)}  {x | y(a.x  y  u))}
I  {( a, v) | v  S u (a)}
a ( a , v )  a, u ( a , v )  v
Такое представление единственно, если все ai .ui различны
15
Теорема о неподвижной точке

Добавление переменных: F fin
( A, X )
xi  Fi ( X ), i  I ,

fin
Fi ( X )  F ( A, X )

xi   x ,
(n)
i
n 0
xi( 0 ) ^,
x
( n 1)
i
 ( Fi ( X )) n ,
 n 1  {xi : x
(n)
i
| i  I}
16
Следующая лекция
Поведение транзиционных систем
Транзиционная система => поведение => транзиционная система
17
Скачать