Иррациональные числа

Иррациональные числа
Оказывается, что для нужд самой математики как, впрочем, и для практики, уже
введённых рациональных чисел не хватает. Исторически числа, отличные по своей
природе от рациональных, впервые появились уже при желании вычислить диагональ
квадрата по его стороне.
Покажем, что длина такой диагонали не может быть выражена рациональным числом.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Пусть длина его диагонали равна d. Тогда, по
теореме Пифагора, имеем:
то есть
рациональное число. Тогда существуют такие числа
Предположим, что d –
что
и дробь
несократима. Получаем:
Из этого равенства следует, что, так как
правая его часть делится на 2, то и его левая часть делится на 2. Значит и число m делится
на 2. Другими словами существует такое целое число
что m = 2k. Но тогда
Однако из последнего равенства аналогично следует, что
число n делится на 2. Последнее обстоятельство приводит к противоречию, так как числа
m и n не могут быть одновременно чётными (по предположению, дробь несократима).
Значит, не существует такого рационального числа, которое бы выражало длину
диагонали квадрата.
Числа, которые не являются рациональными, то есть не являются ни целыми, ни
представимыми в виде дроби вида
иррациональными.
, где m – целое число, а n – натуральное, называются
Из нашего примера следует, что такие числа существуют: длина диагонали квадрата со
стороной 1 является именно таким числом. Аналогично можно доказать, что не
существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10, то есть числа
являются иррациональными. Теперь вспомним, что любое рациональное число
может быть представлено в виде периодической десятичной дроби и наоборот, любая
десятичная периодическая дробь может быть представлена в виде рационального числа.
Любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной непериодической
дроби, и любая непериодическая дробь является иррациональным числом.
Множества рациональных и иррациональных чисел вместе составляют множество
действительных чисел.
Каждому действительному числу отвечает точка на координатной прямой, и наоборот,
каждая точка на координатной прямой соответствует действительному числу.
Действительно, для любой точки координатной прямой достаточно найти расстояние до
неё от начала координат, а потом поставить перед этим числом знак плюс (+), если точка
располагается правее начала координат, и знак минус (–) – если левее.
Изученные множества чисел обозначаются следующим образом:


– множество натуральных чисел;
– множество неотрицательных целых чисел (расширенный ряд натуральных
чисел);

– множество целых чисел;

– множество рациональных чисел;

– множество иррациональных чисел;

– множество действительных чисел.
Множество целых чисел
содержится во множестве рациональных чисел
свою очередь, является частью всего множества действительных чисел
можно записать кратко в виде
которое, в
Эти отношения
,
Совершенно аналогично десятичным дробям вводятся правила действия над
действительными числами.
Сложение. Сумма двух действительных чисел одного знака есть число того же знака.
Модуль такой суммы равен сумме модулей слагаемых.
Пример 1
Вычислить (+2) + (+3).
Сумма двух действительных чисел разных знаков имеет тот же знак, что и большее по
модулю слагаемое. Модуль суммы равен разности модулей большего и меньшего
слагаемых.
Пример 2
Вычислить (+2) + (–3).
Вычитание. Чтобы вычесть из одного действительного числа другое действительное
число, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.
Пример 3
Вычислить (+2) – (–3).
Умножение и деление. Произведение (частное) двух действительных чисел одного знака
есть число положительное. Произведение (частное) двух действительных чисел разных
знаков есть число отрицательное. Модуль произведения (частного) двух действительных
чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел.
Пример 4
Вычислить (+2) ∙ (–3).
Арифметические операции над действительными числами обладают следующими
свойствами (основные законы алгебры).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
a + b = b + a (переместительный закон сложения).
(a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон сложения).
a + 0 = a (свойство нуля).
a + (–a) = 0 (свойство противоположного числа).
ab = ba (переместительный закон умножения).
ab(c) = a(bc) (сочетательный закон).
a(b + c) = ab + ac (распределительный закон умножения относительно сложения).
a · 1 = a (основное свойство единицы).
(существование обратного числа).
9.
Сравнение действительных чисел производится совершенно аналогично сравнению
рациональных чисел. А именно, говорят, что действительное число a больше другого
действительного числа b, и обозначают этот факт так: a > b, если разность (a – b) –
положительное действительное число. Говорят, что действительное число a меньше
другого действительного числа b, и обозначают этот факт так: a < b, если разность (a – b) –
отрицательное действительное число. На действительные числа совершенно аналогично
переносятся понятия отношений ≤ и ≥. При этом числовые неравенства обладают
следующими свойствами:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Если a > b, то b < a.
Если a > b и b > c, то a > c (свойство транзитивности).
Если a > b, то a + c > b + c.
Если a > b и c > 0, то ac > bc.
Если a > b и c < 0, то ac < bc.
Если a > b и c > d, то a + c > b + d.
Если a, b, c, d > 0, причём a > b и c > d, то ac > bd.
Если a > b и c < d, то a – c > b – d.
9. Если
10. Если
то
то для любого натурального числа n справедливо неравенство
Модулем действительного числа a по определению называется само это число, если
Если же a < 0, то модулем такого числа называют число –a.