Задача 8.2.5_1 - Чувашский государственный университет

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова»
“ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ С ОСНОВАМИ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ И
ПОЛЗУЧЕСТИ”
Методические указания для самостоятельной работы студентов
Чебоксары 2013
УДК 624.131.54
Составители: Л.А. Максимова
Теория упругости с основами теории пластичности и ползучести: Метод. указания к
курсовому проекту/ Сост. д.т.н., профессор Л.А. Максимова. Чуваш. ун-т. Чебоксары, 2013. с.
Составлены в соответствии с программой курса «Теория упругости с основами теории
пластичности и ползучести» по специальности «Строительство уникальных зданий и сооружений»
специализация «Строительство подземных сооружений».
Методические рекомендации знакомят с основными уравнениями плоской задачи теории
упругости. Предназначены для студентов специалистов строительного факультета в качестве
пособия при выполнении расчетно-графической работы по теме «Теория упругости с основами
теории пластичности и ползучести».
Отв. редактор профессор Петров М.В.
Утверждено Учебно-методическим советом университета в рамках реализации проекта
Министерства образования и науки Российской Федерации «Кадры для регионов».
Расчетно-графическая работа состоит из четырех задач, включающих: исследование
плоского напряженно-деформированного состояния в точке тела для элементов конструкций типа
тонкой пластины, оболочки, балки-стенки и др.; пространственного напряженного состояния в
точке тела сооружений типа массива, грунтового основания и т.д.; решение плоской задачи теории
упругости в декартовых и полярных координатах; решение задачи поперечного изгиба
прямоугольных и круглых пластин; расчет осесимметричных оболочек вращения по
безмоментной теории. В решение задачи 1 включены так же расчеты с использованием теории
малых упругопластических деформаций. Каждая задача включает 30 вариантов.
ЗАДАЧА 1. ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В
ТОЧКЕ ТЕЛА
Условие. В некоторой частице тела (элемента конструкции типа плиты, оболочки, балкистенки и др.) задано напряженное состояние в виде тензора напряжений
  x  xy 0 


T    yx  y 0  .
 0 0  
z

(1.1)
Значения напряжений даны в табл. 1.1 в соответствии с номером варианта, который задается
по списку студенческой группы, составленному преподавателем. Значения напряжений заданы
формулами:
 x  1010  N  МПа,  xy   yx  1021  N  МПа,
 y  10N  15 МПа,  yz   zy  1016  N  МПа,
 z  10 N  20  МПа ,  zx   xz  10 N  14  МПа ,
где N – номер варианта.
В задаче 1 напряжения
 yz   zy ,  xz   zx
принимаются равными нулю.
Требуется:
1. Графически изобразить напряжения на гранях малого элемента тела с учетом их
фактических направлений.
2. Определить главные напряжения и направления, пользуясь формулами:
1, 2 
x   y
2

 x   y 2  42xy ,
1
2
tg 2 
2 xy
x   y
3   z ,
.
(1.2)
(1.3)
При необходимости перенумеровать главные напряжения в порядке убывания по алгебраической
величине:
1  2  3 .
(1.4)
3. Проверить величины главных напряжений, как напряжений в системе осей
повернутых на угол α, по формулам:
x   x cos2    y sin 2    xy sin 2,
y   x sin 2    y cos2    xy sin 2,
(1.5)
x , y ,
xy  
 x   y sin 2  
2
xy
cos 2.
Изобразить графически главные площадки и главные нормальные напряжения.
Определить напряжения в системе осей, повернутых на угол
(1.5) вместо

угол
  45 , подставив в формулы
  45 .
Таблица 1.1
Величины напряжений к задачам 1 и 2
№
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Напряжения, МПа
x
y
z
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
-110
-120
-130
-140
-150
-160
-170
-180
-190
-200
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
-190
-180
-170
-160
-150
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
 xy
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
 yz
 zx
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
-110
-120
-130
-140
-130
-120
-110
-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
Убедиться в том, что инварианты тензора напряжений сохраняются:
I1   x   y   z  x  y  z  1  2  3 ,
I 2  2xy  2yz  2zx   x  y   y  z   z  x 
 (xy )2  (yz )2  (zx )2  'x'y  'y 'z  'z 'x 
 12  23  31,
(1.6)
x
I 3   yx
 zx
 xy
y
 zy
 xz x
 yz  yx
 z zx
xy
y
zy
xz
yz  123.
z
Третий инвариант вычисляется по обычным правилам раскрытия определителя третьего порядка.
4. Графически изобразить тензор напряжений в виде эллипсоида Ламе. Построить круги
напряжений Мора, указать max  1, min  3 . Вычислить главные касательные
напряжения
12 
1  2
  3
  3
, 23  2
, max  13  1
.
2
2
2
(1.7)
Указать эти величины на кругах Мора и обосновать их инвариантность.
5. Определить среднее нормальное напряжение
6.
0 

1
x   y  z
3

(1.8)
и разложить тензор напряжений на шаровой тензор и тензор-девиатор
 0

T   0
0

0
0
0
0   Sx
 
0    S yx
0   S zx
S xy
Sy
S zy
S xz 

S yz  ,
S z 
(1.9)
где компоненты тензора-девиатора напряжений вычисляются по формулам
S x   x   0 , S y   y  0 , S z   z   0 ,
S xy  S yx   xy , S yz  S zy   yz , S zx  S xz   zx .
7. Вычислить на октаэдрических площадках нормальное напряжение
8.
окт  0 ,
(1.10)
где
0
– среднее напряжение, вычисляемое по формуле (1.8), касательное
окт 
1
3
1  2 2  2  3 2  3  1 2 ,
(1.11)
а также интенсивность напряжений
i 
3
1
окт 
2
2
1  2 2  2  3 2  3  1 2 .
(1.12)
Сравнить  max и окт .
9. Пользуясь данными табл. 1.2 вычислить и занести в таблицу для каждой точки диаграммы
i ~ i пластический модуль E p , пластический коэффициент Пуассона  p (принимая условие
упругого изменения объема), пластический модуль сдвига
Ep 
G p , используя формулы
Ep
Ep
i
,  p  0,5  0,5    , G p 
,
i
E
2 1 p


(1.13)
где i - интенсивность деформаций.
Диаграмма растяжения тонкостенной трубки из стали 45
E  2,0 10 МПа ,   0,3
5
Таблица 1.2
i   x
Номер точки
(МПа)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
165
224
279,5
320
344
352
364
386
403
435
447
453
464
478
491
496
506
517
526
535
543,5
550,5
559
566,5
573,5
i 103 
E p  10 5
  x 103
(МПа)
0,824
1,12
1,42
1,73
2,06
2,66
3,26
4,16
5,35
6,56
7,76
8,96
10,2
12,0
13,2
13,8
15,1
16,2
17,4
18,6
19,7
20,9
22,0
23,8
24,6
2,00
2,00
1,97
1,85
1,67
1,32
1,12
0,928
0,753
0,663
0,576
0,506
0,455
0,398
0,372
0,359
0,335
0,319
0,302
0,288
0,276
0,263
0,254
0,238
0,233
p
G p 105
(МПа)
0,300
0,300
0,303
0,315
0,333
0,368
0,388
0,407
0,425
0,434
0,442
0,449
0,455
0,460
0,463
0,464
0,466
0,468
0,470
0,471
0,472
0,474
0,475
0,476
0,477
0,770
0,769
0,755
0,703
0,626
0,484
0,402
0,330
0,264
0,231
0,200
0,174
0,156
0,136
0,127
0,123
0,114
0,109
0,103
0,098
0,094
0,089
0,086
0,081
0,079
i   x ,  i   x .
i ~ i , E p ~ i ,  p ~ i , G p ~ i .
Обосновать, почему при растяжении тонкостенной трубки
10. Начертить в масштабе графики зависимостей
Определить по графикам предел пропорциональности материала и установить, в каком состоянии
(упругом, упругопластическом) находится материал, используя условия пластичности Сен-Венана
и Мизеса.
11. Определить деформации пользуясь обобщенным законом Гука для упругого материала
1
1   x  30  ,  xy   yx  1  xy  1    xy ,
E
2
E
1    ,
1
1
 y  1    y  30 ,  yz   zy   yz 
yz
E
2
E
1    .
1
1
 z  1    z  30 ,  zx   xz   zx 
zx
E
2
E
x 

или

(1.14)

1
 x  0   0 ,  xy   yx  1  xy  xy ,
2G
2
2G
 yz
1
1
,
y 
 y  0  0 ,  yz   zy   yz 
2G
2
2G
1
 z  0   0 ,  zx   xz  1  zx   zx .
z 
2G
2
2G

E
,
0  0 , K 
3K
31  2 
x 

где

(1.15)
либо соотношениями теории малых упругопластических деформаций (ТМУПД) за пределом
упругости
x 

1
 x  0   0 ,  xy   yx  1  xy  xy ,
2
2G p
2G p
y 
z 
 yz
1
1
 y  0  0 ,  yz   zy   yz 
2
2G p
2G p


,
(1.16)
1
 z  0   0 ,  zx   xz  1  zx   zx .
2G p
2
2G p
где
0 
Ep
Ep
0
E
, K

 const , G p 
.
3K
31  2  3 1  2 p
2 1 p




12. Определить главные деформации по формулам
1, 2 
x   y
2

1
2
 x   y 2  42xy ;
3   z .
(1.17)
При необходимости перенумеровать главные деформации в порядке убывания по
алгебраической величине:
1   2  3.
(1.18)
Проверить величины главных деформаций по формулам для упругого материала
k 
1
1   k  30   1 k  0   0 ,
E
2G
либо упругопластического материала
k 



1
1
k  0   0 ,
1   p k  3 p0 
Ep
2G p
(k
 1, 2, 3 ),
(k
 1, 2, 3 ).
(1.19)
(1.20)
13. Вычислить октаэдрический сдвиг
 окт 
2
3
1  2 2  2  3 2  3  1 2 .
и сравнить его со значением, полученным по формулам
 окт 
окт
,
G
 окт 
окт
.
Gp
(1.22)
для упругого или упругопластического материала соответственно.
Вычислить главные сдвиги. Сравнить величины  max и  окт .
12  1   2 ,  23   2  3 ,  max  13  1  3.
(1.21)
(1.23)
ЗАДАЧА 2. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА
Условие. В некоторой частице тела (массива, сооружения, грунтового основания, в зоне
контактных местных напряжений и т.д.) определены компоненты напряженного состояния,
характеризуемые тензором напряжений
 x

T    yx

 zx
 xy
y
 zy
 xz 

 yz  .
 z 
(2.1)
Значения напряжений даны в таблице 1.1 в соответствии с номером варианта.
Требуется:
1. Графически изобразить компоненты тензора на гранях малого элемента тела с учетом их
фактических направлений.
2. Определить среднее напряжение по формуле (1.8) и разложить тензор напряжений на
шаровой тензор и девиатор напряжений по (1.9).
3. Определить октаэдрическое касательное напряжение
окт 
1
3
 x   y 2   y   z 2   z   x 2  6 2xy  2yz  2zx  ,
модуль тензора-девиатора напряжений

(2.1)

2
2
2
  2 J 2  S x2  S y2  S z2  2 S xy
 S yz
 S zx
 3окт 
1

3
 x   y    y   z    z   x 
2
2
2
6

2xy
 2yz
 2zx
,
(2.2)
интенсивность напряжений
i  3 J 3 
1

2
3

2
 x   y    y   z    z   x 
2
2
2
6

2xy
 2yz
 2zx
4. Найти главные значения тензора-девиатора напряжений и главные напряжения
2
 cos ,
3
2
2 

S 2   2  0 
 cos    ,
3
3 

S1  1  0 
S3  3  0 
(2.4)
2
2 

 cos    .
3
3 

Угол φ определяется из формулы
cos3 
где
3 6 D
3
,
(2.5)
.
(2.3)
Sx
D  S yx
S zx
S xy
Sy
S zy
S xz
2
2
2
S yz  S x S y S z  2 S xy S yz S zx  S x S yz
 S y S xz
 S z S xy
Sz
(2.6)
- определитель матрицы тензора-девиатора напряжений.
5. Пользуясь экспериментальными данными табл. 1.2 установить, в каком состоянии
(упругом, упругопластическом) находится частица тела согласно условиям пластичности СенВенана и Мизеса.
ЗАДАЧА 3. РЕШЕНИЕ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ОБРАТНЫМ
МЕТОДОМ
Условие. На гранях балки-стенки (рис. 3.1) длиной l  2h , высотой h и единичной
толщины действуют внешние силы, равномерно распределенные по ее толщине. Объемными
силами пренебрегаем. Функция напряжений задана в таблице 3.1 в соответствии с номером
варианта.
y
h
x
l=2h
Рис. 3.1
Таблица 3.1
Исходные данные к задаче 3
№ вар.
 ( x, y)
№ вар.
 ( x, y)
1
xy 3  5hxy 2  2hx 3
16
6 yx 3  3hx 2 y  hy 3
2
2 xy 3  4hx 2 y  3hx 3
17
5 yx 3  2hxy 2  2hy 3
3
 3xy 3  3hxy 2  4hx 3
18
4 yx 3  hx 2 y  3hy 3
4
4 xy 3  2hx 2 y  5hx 3
19
 3 yx 3  2hxy 2  4hy 3
5
 5 xy 3  hxy 2  6hx 3
20
2 yx 3  3hx 2 y  5hy 3
6
3hx ( x 2  y 2 )  hx 2 y  5h 2 xy
21
xy 3  3hx 3  4hy 3  h 2 xy
7
2hx ( x 2  y 2 )  6hx 2 y  h 2 xy
22
 2 xy 3  4hx 3  hy 3  5h 2 xy
8
hx ( x 2  y 2 )  3hx 2 y  4h 2 xy
23
xy 3  6hx 3  2hy 3  2h 2 xy
9
 hx ( x 2  y 2 )  2hx 2 y  3h 2 xy
24
3xy 3  2hx 3  hy 3  4h 2 xy
10
2hx ( x 2  y 2 )  4hx 2 y  2h 2 xy
25
2 xy 3  hx 3  5hy 3  4h 2 xy
11
2hy ( x 2  y 2 )  hxy 2  2h 2 xy
26
2hx 3  3hx 2 y  5hxy 2  h 2 xy
12
3hy ( x 2  y 2 )  4hxy 2  h 2 xy
27
hx 3  3hx 2 y  2hxy 2  4h 2 xy
13
 hy ( x 2  y 2 )  3hxy 2  4h 2 xy
29
hx 3  4hx 2 y  2hxy 2  3h 2 xy
14
hy ( x 2  y 2 )  5hxy 2  6h 2 xy
29
3hx 3  hx 2 y  4hxy 2  2h 2 xy
15
hy ( x 2  y 2 )  2hxy 2  3h 2 xy
30
2hx 3  2hx 2 y  3hxy 2  5h 2 xy
Требуется:
1. Проверить, является ли заданная функция напряжений решением плоской задачи теории
упругости.
2. Найти выражения для напряжений.
3. Определить, какой внешней нагрузке на гранях балки-стенки соответствует заданная
функция напряжений. Нагрузки на гранях балки-стенки показать в виде эпюр.
4. Провести проверку равновесия балки-стенки.
ЗАДАЧА 4. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Условие. Упругое тело заданной формы находится в условиях плоской задачи. Схема задачи
и нагрузка даны на рис. 4.1 в соответствии с номером варианта.
Требуется:
5. Проверить, является ли заданная функция напряжений решением плоской задачи теории
упругости.
6. Найти выражения для напряжений.
7. Составить граничные условия и найти постоянные, входящие в выражения для
напряжений.
8. Проверить,
удовлетворяют
ли
окончательные
выражения для напряжений
дифференциальным уравнением равновесия.
9. Построить эпюры напряжений в характерных сечениях.
Для упругого полубесконечного массива, находящегося в условиях плоской задачи (плоская
деформация) под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. 4.2) функция напряжений
задана в виде
  Ax 2  Bxy  Cy 2  D( x 2  y 2 )arctg
1. Вычисляются производные от функции напряжений:
y
.
x




y
1  y x2 
 2 Ax  By  D 2 x  arctg  ( x 2  y 2 ) 

2 
x
x


1

y
x


y


 2 Ax  By  D 2 x  arctg  y ,
x






 2
y
1  y x2 
y
xy 

2
A

D
2
arctg

2
x

2
A

2
D
arctg

,



2
2
2
x
x
x 2
x

y


1 y x 





y
1  1 x  
 Bx  2Cy  D 2 y  arctg  ( x 2  y 2 ) 

2
y
x


1

y
x


y


 Bx  2Cy  D 2 y  arctg  x ,
x




 2
y
11 x  
y
xy 

2
C

D
2
arctg

2
y

2
C

2
D
arctg

.



2
2
2
2
x
x
y
x y 
1   y x 


1
6
 = (A/6)x3 + (B/2)x2y + (C/2)xy2 + (D/6)y3  = Ax2 + Bxy + Cy2 + D(x2 + y2)arctg(y/x)
y
q

x

q = x
x
y
2
7
 = (A/6)x3 + (B/2)x2y + (C/2)xy2 + (D/6)y3  = Ax2 + Bxy + Cy2 + D(x2 + y2)arctg(y/x)
y
q
q = x
 

x

x
y
3
8
 = (A/6)x3 + (B/2)x2y + (C/2)xy2 + (D/6)y3  = Ax2 + Bxy + Cy2 + D(x2 + y2)arctg(y/x)
y
y
 
x


q
x
4
9
 = (A/6)x3 + (B/2)x2y + (C/2)xy2 + (D/6)y3  = Ax2 +Bxy + Cy2 + D(x2 + y2)arctg(y/x)
x
y


q

y
x
5
10
3
2
2
3
 = (A/6)x + (B/2)x y + (C/2)xy + (D/6)y  =Ax2 +Bxy +Cy2 + D(x2 + y2)arctg(y/x)
y
 

x

q

y
x
Рис. 4.1. Схемы к задаче 4
11  = A1r2 + B1lnr +
+ (A2r2 + C2/r2 + D2)cos2
 = Ar2 + B lnr
16
y
y
b
q
a
q
a
x
x
q
a
q
b
12  = (A2r2 + C2/r2 + D2)cos2
y
17
 = Ar2 + B lnr + Cr2lnr
q
q
x
m
q
a
x
b
a
y
q
13  = A1r2 + B1lnr +
+ (A2r2 + C2/r2 + D2)cos2
y
18
30
 = r (A sin + B cos)

q
P
y
q/2
a
q/2
x
q
x
 = Ar2 + B lnr
14
19
 = A sin2 + B
y
q
q
a

q
x
15
x
q
 = Ar2 + B lnr
20
m

y
 = A sin2 + B
y
m
q
y
b

a

x
x
Рис. 4.1. Схемы к задаче 4 (продолжение)
21
 = A sin2 + B cos2 + C
26
m
x
22
 = r (A sin + B cos)
P
y

 = r (A sin + B cos)
y
27
x
 = r (A sin + B cos)
P
x

P

y
y
x
 = r (A sin + B cos)
23
 = r (A sin + B cos)

y
28
P
P
y


x
 = Ar sin
24
x
 = r (A sin + B cos)
P 
29
P
y
y
 
 
25  = Ar cos
x
3018
x
 = (Ar + B/r + Crlnr)sin
3
x
P
P

x
b

a
y
y
Рис. 4.1. Схемы к задаче 4 (окончание)
q
y

x
Рис. 4.2.
Бигармоническое уравнение записывается в развернутом виде с учетом полученных
выражений для вторых производных:
2  2
2   2
2 
 2







y

    2  2  2  2    2  2  2 A  2C  4 Darctg ,
x
y  x
y   x
y 
 x
4



y
1  y x2
y
 4 D 2
,
 2 A  2C  4 Darctg   4 D
2
x 
x
x  y2
1   y x

y 
y  2x
  4D
  4D
,
2
2
2

x 
x y 
( x  y 2 )2
 
y
1  (1 x)
x

4
D
,
 2 A  2C  4 Darctg   4 D
y 
x
x2  y 2
1   y x 2
 
x 
x 2y
 4D
  4 D
.
2
2
2

y 
x y 
( x  y 2 )2
Подстановка полученных соотношений в бигармоническое уравнение обращает его в
тождество
 4  4 D
y  2x
x  2y

4
D
 0.
( x 2  y 2 )2
( x 2  y 2 )2
Следовательно, заданная функция напряжений является решением плоской задачи.
2. Записываются выражения для напряжений. С учетом отсутствия объемных сил

 2
y
xy 
 x  2  2C  2 D arctg  2
,
x x  y2 
y


 2
y
xy 
 y  2  2 A  2 D arctg  2
,
2
x
x
x

y


 2
   
 
y


 xy  
       2 Ax  By  D 2 x  arctg  y   
xy
y  x 
y 
x





 2x2

1  (1 x)



,
  B  D 2 x

1


B

D

1

2
2
2




x y

 1   y x


окончательно
 xy   B  D
x2  y 2
x2  y 2
.
3. Из граничных условий определяются постоянные A, B, C, D.
x  0.
а) Горизонтальная грань. Геометрическое уравнение грани
направляющие косинусы
проекции нагрузки на
условия
l  cosˆ , x   cos180   1,

m  cosˆ , y   cos90  0,
координатные оси q x  q, q y  0 (рис
Для этой грани
4.3). Статические граничные
q x   xl   xy m,
q y   yxl   y m
после подстановки формул для напряжений с учетом уравнения грани
принимают вид:


q   2C  2 D   (1)  0,
2

0  ( B  D)  (1).
(arctg    2)
(1)
(2)
б) Наклонная грань. Геометрическое уравнение грани
Направляющие косинусы
нагрузки
y   x  tg,
arctg
y
 .
x
l  cosˆ , x   cos90      sin ,

m  cosˆ , y   cos180      cos,
qx  q y  0. Аналогично горизонтальной грани записываются два уравнения:
2 




tg

1

tg

 2C  2 D   
( sin )    B  D
 ( cos)  0,

2
2 



1

tg

1

tg






(3)
2 




1

tg

 2 A  2 D    tg     ( cos)  0.
 B  D

(

sin

)



1  tg 2 
1  tg 2  



(4)
Совместное решение четырех уравнений дает выражения для постоянных
q
1
BD 
,
2    2  1 tg
q

A  D, C    D .
2
2
Выражения для напряжений после подстановки постоянных принимают окончательный вид:
  1 tg  arctg ( y x)  xy ( x 2  y 2 )
 x  q 
,
   2  1 tg
  arctg ( y x)  xy ( x 2  y 2 )
x2 ( x2  y2 )
 y  q 
,  xy  q 
.
   2  1 tg
   2  1 tg
4. Для проверки полученные выражения
дифференциальные уравнения равновесия
 x  xy

   0,
x
y
 yx
x
для

 y
y
напряжений
подставляются
   0.
В рассматриваемом примере проекции объемных сил на координатные оси
производные
    0,
  y x2
 x
q
y  ( x 2  y 2 )  xy  2 x 

 

2
2 2

 1  1   y x 2
x
(
x

y
)

 
2 tg

  y( x 2  y 2 )  y( x2  y 2 )  2 x 2 y 
q
q
2x2 y

 

,
2
2 2
2
2 2

 1 

1
(
x

y
)
(
x

y
)
  
 
2 tg
2 tg
 xy
y

в
q
 x2  2 y
 2
,
 1 ( x  y 2 )2
 
2 tg
 yx
 xy
q
2x  ( x2  y2 )  x2  2x
q
2 xy 2





,
2
2 2
 1
 1 ( x 2  y 2 )2
x
x
(
x

y
)
 
 
2 tg
2 tg
 1x
q
x  ( x 2  y 2 )  xy  2 y 




2
2 2

 1  1   y x 2
y
(
x

y
)

 
2 tg
 y

 x( x 2  y 2 )  x( x 2  y 2 )  xy  2 y 
 2 xy 2 
q
q



 

2
2 2

 ( x 2  y 2 ) 2 .
 1 

1
(
x

y
)



 
 
2 tg
2 tg
Подстановка производных показывает, что дифференциальные уравнения равновесия
удовлетворяются тождественно.
5. Характерным сечением в данной задаче является горизонтальное сечение x  h (рис. 4.3).
После подстановки этого значения в формулы для напряжений получаются соотношения для
построения эпюр:


  1 / tg  arctg ( y / h)  ( y / h) / 1  ( y / h) 2
 x  q
,
   / 2  1 / tg


  arctg ( y / h)  ( y / h) / 1  ( y / h) 2
 y  q 
,
   / 2  1 / tg
1
1
 xy  q 

.
   / 2  1 / tg 1  ( y / h) 2
При этом из схемы задачи следует, что  tg  y / h   .
Для построения эпюр напряжений необходимо задаваться числовыми значениями величины
k  y / h. На рис. 4.3 показаны эпюры напряжений, построенные при   45   / 4 по точкам
При этом в формулы угол  нужно подставлять в радианах. Для более
точного выявления очертания эпюр необходимо брать точки чаще.
k  y / h  1; 0; 1; 2.
При
k  y / h  1 ,
k  y/h  0,
k  y / h  1,
k  y/h  2,
 x  0.149 q ,  y  0.149 q ,  xy  0.149 q ;
 x  0.532 q ,  y  0.234 q ,  xy  0.298q ;
 x  0.915 q ,  y  0.319 q ,  xy  0.149 q ;
 x  0.981q ,  y  0.445q ,  xy  0.060 q .
q

y
h
 =45
h
h
h
x
0.981q
0.915q
0.532q
0.149q
x
0.234q
0.149q
0.319q
0.445q
y
0.298q
0.149q
0.149q
0.060q
Рис. 4.3. Плоская задача теории упругости
Выполним проверку статических граничных условий на грани
 xy
y   x tg .
Для этого
рассмотрим дифференциально малый элемент тела, находящийся на поверхности в сечении
(рис. 4.4).
qx=0 À
qy=0

q
y
45
B
Ñ 
q
xy
xh
FAB  F ,
FAC  FBC  F cos 45 
F
.
2

q
x
Рис. 4.4
Проекции сил, действующих на гранях материальной точки, на координатные оси
x  0,  y  0,
следовательно материальная точка находится в равновесии и эпюры напряжений построены верно.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
Зубчанинов В.Г. Основы теории упругости и пластичности. М: Высшая школа, 1990. - 360 с.
Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М: Высшая школа, 1982. - 264 с.
Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Издательство Наука, 1975. - 576 с.