x T

План лекции 7






лекция 7
Усреднение периодических функций
Теорема Парсеваля
Интегральное преобразование Фурье
Свойства преобразования Фурье
Связь между интегралом и рядом Фурье
Теорема отсчетов
Усреднение периодических функций
Определение. Среднее значение функции на
бесконечном временном интервале:
T0
1
x ( t )  lim
x ( t ) dt .

T0  2T0  T
0
Для периодического сигнала:
T
1
xt    xt dt
T0
лекция 7
Экспериментальное определение коэффициентов Фурье
N-й коэффициент Фурье:
  j2nt 
X n  xt  exp

 T 
h(t)
X
h(t)
yc(t)
x(t)
cos
sin
1/T0
2nt
T
X
лекция 7
2nt
T
h(t)
t
ys(t)
T0
Теорема Парсеваля

Средняя мощность периодического колебания:
x 2 t 
T
1 2
  x (t )dt
T
0
 

1T 2
1T
j
2

nt


 dt 
 x  t  dt   x t    X  n exp
T
T0
T0
n 

j 2 nt
1T



T dt    X  n X * n
 X  n   x t  e
 n 
n   T 0

лекция 7
Теорема Парсеваля
x 2 t 
2

1T 2
  x t dt   X n
T0
n 
Формулировка теоремы Парсеваля для вещественных периодических
функций:
средняя мощность сигнала равна сумме квадратов коэффициентов
Фурье (гармоник сигнала)
лекция 7
Интегральное преобразование Фурье
x(t)
-T0/2
T0/2
t
T1/2
t
x(t)
-T1/2
x(t)
t
лекция 7
Интегральное преобразование Фурье
Исходные соотношения:

 j 2 nt 





x t 
X p n exp
T
p
n 
T
1 2
  j 2 nt 


X  n 
x
t
exp
dt
 p
T


p
T T
 2
Запишем спектральные коэффициенты в виде:
T
X
лекция 7
p

f   TX
p
 n
2
  xp t  exp  j 2 ft  dt
T
2
Интегральное преобразование Фурье
Перепишем исходное разложение сигнала:

1
x t    X p  f  exp j 2 f nt
p
T
n 
f n
устремим период к бесконечности , сохраняя постоянным
T
,


в результате чего периодическая функция xp (t) преобразуется
в

непериодическую
и формально
X  f 
X  f   запишется
 x t  exp  j 2 ft  dt
p

Для разложения сигнала получим интеграл
лекция 7

xt    X  f  exp j2ft df

Теорема Фурье
Если определено преобразование Фурье непериодической
функции в виде

X  f    xt  exp  j 2 ft dt

то сама функция может быть представлена с помощью
интеграла Фурье

xt    X  f  exp j2ft df

лекция 7
Свойство свертки и преобразование Фурье
exp j2ft  - это собственная функция устойчивой ЛППсистемы
exp  j 2ft 
H(f)
H  f exp  j 2ft 
Если на входе

xt    X  f  exp j2ft df

То на выходе:

yt    X  f H f  exp j2ft df

лекция 7
Свойство свертки и преобразование Фурье
преобразование Фурье выхода связано с преобразованием Фурье
входа
следующим соотношением:
Y  f   X  f  H f 
Поскольку вход и выход можно описать соотношением

yt   xt  ht    x ht  d

то можно сформулировать свойство свертки: преобразование
Фурье свертки двух функций является произведением их
преобразований Фурье, т.е.
F[wt   vt ]  W  f V  f 
лекция 7
Свойство произведения преобразования Фурье
Обратным
к
свойству
произведения:
свертки
является
свойство
преобразование Фурье произведения двух функций является
сверткой их преобразований Фурье
F[ w t v t  ]  W f V  f 


W  f V  f    W V  f  d   W  f  V d


лекция 7
Свойства преобразования Фурье
лекция 7
Свойство
Временная область
Частотная область
Сопряженная симметрия
x(t) - вещественная
функция
(Im[x(t)]=0)
X(f)=X*(-f)
Re{X(f)}=Re{X(-f)}
Im{X(f)}= - Im{X(-f)}
Четная симметрия
x(t) - вещественная
четная функция
x(t)=x(-t)
X(f)=X(-f)
Im{X(f)}=0
Нечетная симметрия
x(t) - вещественная
нечетная функция
x(-t)= -x(t)
X(f)= -X(-f)
Re{X(f)}=0
Линейность
ax1(t)+bx2(t)
aX1(f)+bX2(f)
Изменение масштаба
x(at)
1
X ( f / a)
| a|
Свойства преобразования Фурье
Свойство
Временная
область
Частотная область
Временная задержка
x(t-t0)
exp(-j2ft0)X(f)
Умножение на
exp(j2f0t)
exp(-j2f0t)x(t)
X(f-f0)
Дифференцирование
dx(t)/dt
j2fX(f)
t
Интегрирование
 x()d

Умножение на t
Свертка
tx(t)
лекция 7
1 dX ( f)
 j2 df

W(f)V(f)
 w() v(t  )d

Произведение
X ( f)
 const
j2f
w(t)v(t)

 w()v( f  )d

Дискретизация сигналов
Последовательность единичных импульсов и ее спектр
u(t)
U(f)
1
1/T
t
-3T
-2T
-T
0
a)
лекция 7
T
2T
3T
f
-F
0
F
б)
2F
3F
Дискретизация сигналов
Преобразование Фурье последовательности единичных импульсов

U  f    u N  t  exp  j 2 ft  df 
N

  N

     t  nT   exp  j 2 ft  df 

  n   N
N 
N
 
  t  nT  exp  j 2 ft dt   exp  j 2 fnT  
n   N 
n N
sin  2 N 1 f T 

sin  fT 
лекция 7
Дискретизация сигналов
Спектр бесконечной последовательности импульсов запишется:
1 
U f  
  f  kF 
T k 
F1
T
Таким образом, спектр сигнала в виде единичных импульсов
является также импульсной последовательностью
лекция 7
Связь между рядом и интегралом Фурье
Любую периодическую функцию x(t) можно представить в
виде свертки
x(t)=xT(t)*u(t)
где
 x(t ), 0  t  T
xT (t )  
0, other t
На основании свойства преобразования Фурье запишем:
X(f)=XT(f)U(f)
1 
n
n
X ( f )   X T ( ) ( f  ).
T n  
T
T
лекция 7
Представление периодического сигнала и спектра
xT(t)
u(t)
x(t)


t
Т
0
t
-Т
0
Т
2Т
t
-Т
0
Т
t
А)
XT(f)
U(f)
X(f)

0
Б)
лекция 7
f

-2F -F 0
F 2F
f
0 F 2F
f
Связь между интегралом и рядом Фурье
Используя обратное
восстановить сигнал
x(t ) 
преобразование




 X ( f ) exp( j 2ft)df  
Фурье,
можно
n
n
1 
  X T ( ) ( f  )  exp( j 2ft )df 
T
T
 T n  

1 
n
n
1 
n
X
(
)

(
f

)
exp(
j
2

ft
)
df

X
(
) exp( j 2nt / T )


T
T

T n  
T 
T
T n  
T
Следовательно,
периодическую
функцию
можно
представить в виде дискретной суммы экспонент,
умноженных на коэффициенты, которые определяются
соотношением

XT ( f ) 
x
T

лекция 7
T
(t ) exp( j 2ft )dt   x(t ) exp( j 2ft )dt
0
Связь между интегралом и рядом Фурье
Если обозначить X(n)=XT(n/T)/T, то получим соотношение
x(t ) 

 X (n) exp( j 2nt / T )
n  
Таким образом, ряд Фурье является частным случаем
интегрального преобразования Фурье

n
X ( f )   X (n) ( f  )
T
n  
лекция 7
Спектр дискретного сигнала
Дискретные отсчеты сигнала могут быть получены в виде

x  t   x t  u nT    x nT    t  nT 
u
n 
Тогда спектр дискретного сигнала запишется

X  f   X  f U  f    X  f  kF 
u
k 
В общем случае дискретизация в одной области (например,
временной) приводит к периодическому продолжению в области
преобразования (например, частотной)
лекция 7
Спектр дискретного сигнала
a)
x(t)
0
X(f)
-Fo
t
0
f
U(f)
б)
u(t)
Fo
t
-2T
-T
0
T
2T
f
3T
-F
F=1 / T
в)
x(n)=x(t)u(nT)
-2T
лекция 7
-T
0
T
2T
Xu(f)=X(f)*U(f)
3T
F
t
г)
-F0
0
F0
F
f
a)
Восстановление сигнала после дискретизации
h(t)=sin(Ft)/t
H(f)
f
t
xnT 
-1/F
1/F
-F/2
0
F/2
Для того, чтобы восстановить исходный временной сигнал по его
отсчетам, можно пропустить дискретизированный сигнал через
идеальный фильтр нижних частот с прямоугольной частотной
характеристикой и импульсной характеристикой вида
лекция 7
Теорема отсчетов Котельникова
Теорема отсчетов: сигнал с ограниченным спектром при |f| > F0 может
быть точно восстановлен с помощью интерполяционной формулы по
бесконечному числу известных временных отсчетов, взятых
F  2 F с частотой
0

sint  nT  T 
xt    xnT 
n F  2 F0 t  nT 
T
Минимальная частота отсчетовF  2 F
при которой сигнал
0
может быть восстановлен без искажений получила название
частоты отсчетов Найквиста (или Котельникова) по имени
исследователя, благодаря усилиям которого теорема отсчетов
стала важнейшим положением теории связи и цифровой
лекция 7
обработки сигналов