Основы теориии вероятностей_ИСН_СР

Методические рекомендации
по дисциплине Б2.В.3 Основы теории вероятностей
по направлению
040400 «Социальная работа»
1. Программа учебной дисциплины
Случайные события. Понятие стохастического опыта и случайного события.
Классификация событий. Полная группа событий. Изображение событий. Операции над
событиями. Классическое определение вероятности случайного события. Свойства
вероятности. Применение комбинаторики при вычислении вероятностей. Относительная
частота случайного события и ее свойства. Статистическая вероятность. Геометрические
вероятности.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий, ее следствия. Независимые
события. Теорема умножения вероятностей независимых событий, ее следствия. Зависимые
события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Теорема сложения вероятностей совместных событий и ее следствия.
Формула полной вероятности. Вероятности гипотез. Формулы Байеса.
Повторные независимые испытания. Схема Бернулли и формула Бернулли. Формула
Пуассона. Простейший поток событий. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых
испытаниях.
Случайные величины. Понятие случайной величины. Виды случайных величин.
Дискретные случайные величины (ДСВ). Закон распределения ДСВ. Биноминальное и
пуассоновское распределения вероятностей ДСВ. Операции над ДСВ. Числовые
характеристики случайных величин. Математическое ожидание ДСВ, его вероятностный
смысл и его свойства. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение ДСВ и их свойства.
Связь числовых характеристик среднего арифметического взаимно-независимых и
одинаково распределенных ДСВ с числовыми характеристиками каждой из них. Моменты
случайных величин.
Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины и ее
свойства. Непрерывные случайные величины (НСВ).
Дифференциальная функция распределения вероятностей НСВ, ее вероятностный
смысл и свойства. Числовые характеристики НСВ.
Равномерное распределение вероятностей НСВ. Показательное распределение вероятностей
НСВ. Функция надежности. Показательный закон надежности. Нормированное и нормальное
распределения вероятностей НСВ. Вероятность попадания нормальной НСВ в заданный
интервал. Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины.
Правило трех сигм. Ассиметрия и эксцесс.
Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенства Маркова и Чебышева.
Теорема Чебышева и ее значение для практики. Теорема Бернулли. Центральная предельная
теорема Ляпунова.
Аксиоматическое построение теории вероятностей. Понятие аксиоматизации
теории. Пространство элементарных событий. Понятие события, требования к событиям,
классификация событий. Аксиомы А. Н. Колмогорова, задающие понятие вероятности
события. Вероятностные модели. Вероятностная модель стохастического опыта с конечным
числом исходов. Классическая вероятностная модель. Случайные величины.
Двумерные случайные величины. Понятие n-мерной случайной величины.
Геометрическое истолкование двумерной и трехмерной случайной величины. Закон
распределения вероятностей двумерной ДСВ. Интегральная функция распределения
двумерной случайной величины и ее свойства. Дифференциальная функция двумерной НСВ,
ее вероятностный смысл и ее свойства.
2. Автор программы: Побойкин В.Я.
3. Рецензенты: к.ф-м.н., доцент Мартынов О.М., к.ф-м.н., доцент Беляев В.Я.
4. Цели освоения дисциплины
Ознакомление студентов с основами математического аппарата теории вероятностей и
математической статистики, необходимого для решения теоретических и практических
задач; развития логического мышления студентов; повышение общего уровня
математической культуры студентов
5. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
В результате изучения курса студенты должны иметь представление о математике как особом
способе познания мира, общности ее понятий и представлений.
6. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
Выпускник должен обладать следующими компетенциями:
- умеет использовать в своей деятельности нормативные правовые документы (ОК-5);
- использовать в профессиональной деятельности основные законы естественнонаучных дисциплин, в том числе медицины, применять методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины,
доказательства теорем;
2) Уметь:
- решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал;
- используя определения, проводить исследования, связанные с основными понятиями;
- подходить к решению профессиональных задач, строить математические модели
задач, приводить их к нужному виду;
3) Владеть
- современными знаниями о математике;
- методами выбора и реализации наиболее рациональных методов решения
поставленной задачи.
7. Объем дисциплины и виды учебной работы (для всех направлений подготовки, на
которых обеспечивается данная дисциплина).
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц
(из расчета 1 ЗЕТ= 36 часов);
ПР/
СМ
ЛБ
Вид итогового контроля
(форма отчетности)
ЛК
Часы на СРС
(для дисц. с экзаменом
включая часы на
экзамен)
Часов в интеракт. форме
(из ауд.)
Всего аудит.
Трудоемкость в
часах/ЗЕТ
Семестр
Виды учебной работы в часах
Курс
№
п/п
Шифр и наименование
направления с указанием
профиля (названием
магистерской программы),
формы обучения
252 часа.
1
040400 «Социальная
работа»
2
1
2
252/7
40
42
10
8
16
16
24
26
–
–
143
Экзамен
8. Содержание дисциплины
Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение
времени:
учебного
Количество часов
№
п/п
1
2
3
4
5
Наименование
раздела, темы
Случайные события и вероятности.
Случайные величины. Распределение вероятностей.
Законы больших чисел и предельные теоремы.
Аксиоматическое построение теории вероятностей.
Двумерные случайные величины.
Всего:
Всего
ауд.ч./в
интеракт.ф.
22/6
28/6
12/2
10/2
10/2
82/18
ЛК
ПР/
СМ
ЛБ
Часов на
СРС
8
12
4
4
4
32
14
16
8
6
6
50
–
–
–
–
–
–
28
32
28
28
27
143
9. Содержание разделов дисциплины (указать краткое содержание раздела (темы) с
обязательным указанием номера раздела (темы).
1. Случайные события. Понятие стохастического опыта и случайного события.
Классификация событий. Полная группа событий. Изображение событий. Операции над
событиями. Классическое определение вероятности случайного события. Свойства
вероятности. Применение комбинаторики при вычислении вероятностей. Относительная
частота случайного события и ее свойства. Статистическая вероятность. Геометрические
вероятности. Теорема сложения вероятностей несовместных событий, ее следствия.
Независимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий, ее
следствия. Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
зависимых событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий и ее следствия.
Формула полной вероятности. Вероятности гипотез. Формулы Байеса. Повторные
независимые испытания. Схема Бернулли и формула Бернулли. Формула Пуассона.
Простейший поток событий. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Вероятность
отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Понятие цепи Маркова.
2. Случайные величины. Понятие случайной величины. Виды случайных величин.
Дискретные случайные величины (ДСВ). Закон распределения ДСВ. Биноминальное и
пуассоновское распределения вероятностей ДСВ. Операции над ДСВ. Числовые
характеристики случайных величин. Математическое ожидание ДСВ, его вероятностный
смысл и его свойства. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение ДСВ и их свойства.
Связь числовых характеристик среднего арифметического взаимно-независимых и
одинаково распределенных ДСВ с числовыми характеристиками каждой из них. Моменты
случайных величин. Интегральная функция распределения вероятностей случайной
величины и ее свойства. Непрерывные случайные величины (НСВ). Дифференциальная
функция распределения вероятностей НСВ, ее вероятностный смысл и свойства. Числовые
характеристики НСВ. Равномерное распределение вероятностей НСВ. Показательное
распределение вероятностей НСВ. Функция надежности. Показательный закон надежности.
Нормированное и нормальное распределения вероятностей НСВ. Вероятность попадания
нормальной НСВ в заданный интервал. Вычисление вероятности заданного отклонения
нормальной случайной величины. Правило трех сигм. Ассиметрия и эксцесс.
3. Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенства Маркова и Чебышева.
Теорема Чебышева и ее значение для практики. Теорема Бернулли. Центральная предельная
теорема Ляпунова.
4. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Понятие аксиоматизации теории.
Пространство элементарных событий. Понятие события, требования к событиям,
классификация событий. Аксиомы А. Н. Колмогорова, задающие понятие вероятности
события. Вероятностные модели. Вероятностная модель стохастического опыта с конечным
числом исходов. Классическая вероятностная модель. Случайные величины.
5. Двумерные случайные величины. Понятие n-мерной случайной величины.
Геометрическое истолкование двумерной и трехмерной случайной величины. Закон
распределения вероятностей двумерной ДСВ. Интегральная функция распределения
двумерной случайной величины и ее свойства. Дифференциальная функция двумерной НСВ,
ее вероятностный смысл и ее свойства.
10. Темы для самостоятельного изучения
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
Наименование раздела
дисциплины
Случайные события и
вероятности.
Случайные величины.
Распределение вероятностей.
Законы больших чисел и
предельные теоремы.
Аксиоматическое построение
теории вероятностей.
Двумерные случайные
величины.
Форма самостоятельной
работы
- контрольные работы
- тестирование
Кол-во
часов
28
32
Форма контроля
выполнения
самостоятельной работы
- выполнение тестов
- проверка контрольных
работ
-коллоквиумы
28
28
27
11. Образовательные технологии
(указываются образовательные технологии, используемые при реализации различных видов
учебной работы.
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки бакалавра
040400 «Социальная работа» реализация компетентностного подхода должна
предусматривать широкое использование в учебном процессе активных и интерактивных
форм проведения в сочетании с внеаудиторной работой с целью формирования и развития
профессиональных навыков обучающихся. В рамках учебных курсов должны быть
предусмотрены встречи с представителями российских и зарубежных компаний,
государственных и общественных организаций, мастер-классы экспертов и специалистов.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, определяется главной
целью (миссией) программы, особенностью контингента обучающихся и содержанием
конкретных дисциплин, и в целом в учебном процессе они должны составлять не менее 25%
аудиторных занятий (определяется требованиями ФГОС с учетом специфики ООП). Занятия
лекционного типа для соответствующих групп студентов не могут составлять более 30%
аудиторных занятий (определяется соответствующим ФГОС)).
Интерактивные формы занятий:
№
Формы
раздела
(темы)
1.
2.
3.
4.
5.
Дискуссия, «мозговой штурм» (атака).
Дискуссия, «мозговой штурм» (атака).
Дискуссия, «мозговой штурм» (атака).
Дискуссия, «мозговой штурм» (атака).
Дискуссия, «мозговой штурм» (атака).
Нумерация разделов указывается в соответствии с пунктом 9.
Для УМК (модуля), состоящего из нескольких дисциплин указывается номер дисциплины, а
затем номер темы. Например, №1/3 – Дисциплина №1, тема №3.
Примеры интерактивных форм: дискуссия, ролевая игра, деловая игра, компьютерная
симуляция, кейс-метод (решение ситуационных задач), тренинг, «мозговой штурм» (атака), работа в
группах, интервью, просмотр и обсуждение видеофильмов и видеосюжетов и т.п.
12. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
Тема: Понятие случайного события; классификация и алгебра событий. Различные
определения вероятности случайного события. Вычисление вероятностей.
План – указан в названии темы.
Вопросы для коллективного обсуждения – указаны в теме + основные понятия и
формулы комбинаторики.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№ 3, 5, 6, 10, 13, 18,
20, 25, 27, 28, 29, 42, 44, 45; Литература: [1], [2], [3], [4],[6],[8].
Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей, их следствия.
План: 1) Теорема сложения вероятностей несовместных событий и ее следствия.
2) Теорема умножения вероятностей независимых событий и ее следствия.
3) Зависимые события, условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей зависимых событий, следствия.
4) Теорема сложения вероятностей совместных событий и ее следствия.
Вопросы: Все определения, формулы по плану.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№ 47, 54, 58, 59, 62,
63, 65, 70, 82, 87; Литература: [1] - [8].
Тема: Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
План и вопросы для коллективного обсуждения: Формулировка и обсуждение
формул полной вероятности и Байеса.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№ 90, 92, 94, 95, 99,
101, 107, 108, 109 + задача из лекций; Литература: [1] - [8].
Тема: Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли и Пуассона. Локальная и
интегральная теоремы Лапласа.
План и вопросы для коллективного обсуждения – указаны в названии темы.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№ 110, 111, 117,
126, 130, 134, 144, 148, 159, 180, 186; Литература: [1] - [4], [8], [7].
Тема: Случайные величины их виды. Закон распределения д.с.в. Биномиальное и
Пуассоновское распределения д.с.в. Числовые характеристики д.с.в.
План и вопросы для коллективного обсуждения – указаны в названии темы.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№ 169, 171, 173,
175, 182, 183, 193, 194, 207, 211а), 214, 216, 219; Литература: [1] - [8].
Тема: Интегральная и дифференциальная функции распределения с.в. и их свойства
Числовые характеристики.
План и вопросы для коллективного обсуждения – указаны в названии темы.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№ 254, 255, 257,
259, 261, 266, 270, 274, 281, 293; Литература: [1] - [8].
Тема: Основные (типы) законы распределения н.с.в..
План и вопросы для обсуждения: Равномерное распределение, показательное
распределение, нормальное распределение и их свойства, их числовые
характеристики.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№ 309, 311, 312,
317, 320, 329, 330, 333, 335, 370; Литература: [1] - [8].
Тема: Контрольная работа по материалу гл.1 и гл.2.
План и вопросы: Индивидуальная защита ИДЗ-1, ИДЗ-2, ИДЗ-3.
Литература: [4].
Тема: предельные теоремы вероятностей.
План и вопросы для обсуждения: Неравенства Маркова и Чебышева. Теорема
Чебышева. Теоремы Бернулли и Пуассона.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№ 239, 240, 242,
244, 246, 249, 251; Литература: [1], [2].
Тема: двумерные случайные величины.
План и вопросы для обсуждения: Понятие n-мерной случайной величины.
Геометрическое истолкование двумерной и трехмерной случайной величины.
Закон распределения двумерной д.с.в. Интегральная функция и ее свойства.
Дифференциальная функция двумерной случайной величины, ее вероятностный
смысл и свойства.
Задание для самостоятельной работы студента: Задачник [2], №№ 409, 411, 413,
414, 415, 420, 424; Литература: [1], [2].
13. Учебно-методическое обеспечение и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учеб. для студ. высш. учеб.
заведений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003.
2. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей
математике. 1 курс. – М.: Айрис-пресс, 2003.
3. Шипачев В. С. Высшая математика: Учеб. для вузов / Шипачев В.С. – 6 изд., стер. –
М.: Высшая школа, 2003.
Дополнительная литература
[1]. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие
для студентов ВУЗов. - М. ВШ, 2000. - 479с.
[2]. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: Учебное пособие для студентов ВУЗов. - М. ВШ, 2000. 400с.
[3]. Солодовников А. С. Теория вероятностей: для студентов педагогических институтов
по математическим специальностям. – М.: Просвещение, 1983. – 207с.
[4]. Зотиков С. В., Зотикова Н. Н. Задачник-практикум по теории вероятностей: Учебнометодическое пособие для студентов ФМФ МГПУ. – Мурманск, МГПУ. – 2003. –45с.
[5]. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. – М.: ”Агар”, 1996, - 256с.
[6]. Андрухаев Х. М. Сборник задач по теории вероятностей: Учебное пособие для
студентов педагогических институтов по математическим специальностям. – М.:
Просвещение, 1985. – 160с.
[7].
Зотиков С.В. Программа учебной дисциплины «Теория вероятностей и
математическая статистика».- Авторская программа.- Базис: Сборник научно –
методических работ и нормативных документов кафедры математического анализа и
методики преподавания математики МГПУ.- Мурманск: МГПУ, 2005, том 1, с. 6 – 10.
[8]. Виленкин Н. Я., Потапов В. Г. Задачник-практикум по теории вероятностей с
элементами комбинаторики и математической статистики: Учебное пособие для
студентов-заочников
физико-математического
факультета
педагогических
институтов. – М.: Просвещение, 1979. – 111с.
[9] Пытьев Ю.П., Шишкарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики
для физиков: Учебное пособие. - М.: МГУ, 1983. - 256с.
[10] Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах, т. II. - М..: “Высшая школа”, 2000. - 415с.
[11] Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория вероятностей и
математическая статистика в задачах. - М.: “Агар”, 2003. - 328с.
Электронные образовательные ресурсы (ЭОР)
1. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library.htm — Электронная библиотека сайта EqWorld.
Программное обеспечение
программы Mathcad, Microsoft Word, Microsoft Excel.
14. Материально-техническое обеспечение дисциплины
 перечень используемых технических средств
ПК (Pentium500 и выше и средой WIN98 и выше) с мультимедийным проектором.
 перечень используемых пособий.
Зотиков С. В., Зотикова Н. Н. Задачник-практикум по теории вероятностей: Учебнометодическое пособие для студентов ФМФ МГПУ. – Мурманск, МГПУ. – 2003. –45с.
 перечень видео- и аудиоматериалов
Слайд фильмы на ПК с мультимедийным проектором.
 программное обеспечение.
Компьютерные программы Mathcad, Microsoft Word, Microsoft Excel.
15. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной
работы студентов для оценки сформированности компетенций по дисциплине,
заявленных в п. 6:
Примерные зачетные тестовые задания.
Задание 1.
Найдите количество перестановок из букв указанных слов при заданных условиях.
Вариант 0. а) «ребус», в котором буква «р» на первом месте, а буква «с» в конце слова; b)
«светофор».
Вариант 1. а) «арбуз», в котором буква «а» на первом месте; b) «молоко».
Вариант 2. а) «радость», в котором буква «а» на втором месте;
b) «долото».
Вариант 3. а) «акция», в котором буква «а» на первом месте, а буква «я» в конце слова; b)
«телефон».
Вариант 4. а) «метро», в котором буква «т» на третьем месте;b) «потолок».
Вариант 5. а) «лужа», в котором буква «а» в конце слова; b) «теремок».
Вариант 6. а) «ручка», в котором буква «р» на первом месте, а буква «а» в конце слова; b)
«прогноз».
Вариант 7. а) «стул», в котором буква «т» на втором месте; b) «окно».
Вариант 8. а) «пена», в котором буква «а» в конце слова; b) «карандаш».
Вариант 9. а) «диск», в котором буква «д» на первом месте, а буква «к» в конце слова; b)
«элемент».
Вариант 10. а) «икосаэдр», в котором буква «к» на втором месте, а буква «р» в конце слова;
b) «додекаэдр».
Задание 2.
Вариант 0. Сколькими способами можно выбрать: а) из 15 студентов группы: старосту,
профорга и физорга; b) из 10 преподавателей кафедры 4 в состав совета факультета?
Вариант 1. Сколькими способами можно выбрать: а) из 12 преподавателей кафедры 3 в
состав совета факультета; b) из 12 студентов группы: старосту, заместителя старосты,
профорга и физорга?
Вариант 2. Сколькими способами можно выбрать: а) из 20 студентов группы: старосту и
заместителя старосты; b) из 8 преподавателей кафедры 3 в состав совета факультета?
Вариант 3. Сколькими способами можно выбрать: а) из 11 преподавателей кафедры 4 в
состав совета факультета; b) из 14 студентов группы: старосту, профорга, культорга и
физорга?
Вариант 4. Сколькими способами можно выбрать: а) из 17 студентов группы: старосту,
профорга, трудорга и физорга; b) из 8 преподавателей кафедры 5 в состав совета факультета?
Вариант 5. Сколькими способами можно выбрать: а) из 12 преподавателей кафедры 4 в
состав совета факультета; b) из 13 студентов группы: старосту, профорга и физорга?
Вариант 6. Сколькими способами можно выбрать: а) из 14 студентов группы: старосту и
физорга; b) из 14 преподавателей кафедры 3 в состав совета факультета?
Вариант 7. Сколькими способами можно выбрать: а) из 7 преподавателей кафедры 3 в
состав совета факультета; b) из 16 студентов группы: старосту, заместителя старосты,
профорга, культорга и физорга?
Вариант 8. Сколькими способами можно выбрать: а) из 20 студентов группы: старосту,
заместителя старосты и физорга; b) из 8 преподавателей кафедры 4 в состав совета
факультета?
Вариант 9. Сколькими способами можно выбрать: а) из 12 преподавателей кафедры 3 в
состав совета факультета; b) из 20 студентов группы: старосту, заместителя старосты,
профорга и физорга?
Вариант 10. Сколькими способами можно выбрать: а) из 15 студентов группы: старосту,
заместителя старосты, профорга, культорга, трудорга и физорга; b) из 9 преподавателей
кафедры 3 в состав совета факультета?
Задание 3.
Вариант 0. Игральный кубик бросают два раза. Найти вероятность того, что
грани два раза выпадет:
а) нечетное число очков, меньшее 4;
b) четное число очков, не большее 1.
Вариант 1. Игральный кубик бросают три раза. Найти вероятность того, что
грани три раза выпадет:
а) четное число очков, не меньшее 6;
b) число очков, меньшее 1.
Вариант 2. Игральный кубик бросают два раза. Найти вероятность того, что
грани два раза выпадет:
а) нечетное число очков, большее 2;
b) четное число очков, не меньшее 2.
Вариант 3. Игральный кубик бросают три раза. Найти вероятность того, что
грани три раза выпадет:
а) число очков кратное трем;
b) нечетное число очков, большее 5.
на верхней
на верхней
на верхней
на верхней
Вариант 4. Игральный кубик бросают два раза. Найти вероятность того,
грани два раза выпадет:
а) нечетное число очков, не большее 4;
b) четное число очков, большее 6.
Вариант 5. Игральный кубик бросают три раза. Найти вероятность того,
грани три раза выпадет:
а) четное число очков, не меньшее 4;
b) число очков кратное трем, меньшее 3.
Вариант 6. Игральный кубик бросают два раза. Найти вероятность того,
грани два раза выпадет:
а) нечетное число очков, большее 2;
b) четное число очков, не большее 1.
Вариант 7. Игральный кубик бросают три раза. Найти вероятность того,
грани три раза выпадет:
а) четное число очков, меньшее 3;
b) нечетное число очков, меньшее 1.
Вариант 8. Игральный кубик бросают два раза. Найти вероятность того,
грани два раза выпадет:
а) число очков кратное трем, не меньшее 4;
b) четное число очков, не меньшее 1.
Вариант 9. Игральный кубик бросают три раза. Найти вероятность того,
грани три раза выпадет:
а) четное число очков, не меньшее 2;
b) число очков кранное четырем.
Вариант 10. Игральный кубик бросают два раза. Найти вероятность того,
грани два раза выпадет:
а) число очков не большее 6;
b) четное число очков, не большее 3.
что на верхней
что на верхней
что на верхней
что на верхней
что на верхней
что на верхней
что на верхней
Задание 4.
Вариант 0. Стрелок выполняет три выстрела по мишени, вероятность попадания в мишень, в
каждом из которых, равна p  0.6 .
Найти вероятность того, что:
a) Мишень будет поражена 1 раз.
b) Число попаданий в мишень будет не менее 2.
Вариант 1. В ходе проверки качества зерна, приготовленного для посева, установлено, что
всхожи 80% зерен. Определить вероятность того, что среди 2 произвольно взятых:
a) Оба зерна прорастут.
b) Прорастет только 1 из 2 зерен.
Вариант 2. Стрелок выполняет три выстрела по мишени, вероятность попадания в мишень, в
каждом из которых, равна p  0.7 .
Найти вероятность того, что:
a) Мишень будет поражена 2 раза.
b) Число попаданий в мишень будет не более 1.
Вариант 3. В ходе проверки качества зерна, приготовленного для посева, установлено, что
всхожи 70% зерен. Определить вероятность того, что среди 2 произвольно взятых:
a) Оба зерна не прорастут.
b) Прорастет только 1 из 2 зерен.
Вариант 4. Стрелок выполняет три выстрела по мишени, вероятность попадания в мишень, в
каждом из которых, равна p  0.5 .
Найти вероятность того, что:
a) Все 3 выстрела будут точными.
b) Число попаданий в мишень будет не менее 2.
Вариант 5. В ходе проверки качества зерна, приготовленного для посева, установлено, что
всхожи 75% зерен. Определить вероятность того, что среди 2 произвольно взятых:
a) Оба зерна прорастут.
b) Прорастет только 1 из 2 зерен.
Вариант 6. Стрелок выполняет три выстрела по мишени, вероятность попадания в мишень, в
каждом из которых, равна p  0.75 .
Найти вероятность того, что:
a) Все 3 выстрела окажутся неудачными.
b) Число попаданий в мишень будет не более 2.
Вариант 7. В ходе проверки качества зерна, приготовленного для посева, установлено, что
всхожи 85% зерен. Определить вероятность того, что среди 2 произвольно взятых:
a) Оба зерна не прорастут.
b) Прорастет только 1 из 2 зерен.
Вариант 8. Стрелок выполняет три выстрела по мишени, вероятность попадания в мишень, в
каждом из которых, равна p  0.65 .
Найти вероятность того, что:
a) Мишень будет поражена 2 раза.
b) Число попаданий в мишень будет не менее 1.
Вариант 9. В ходе проверки качества зерна, приготовленного для посева, установлено, что
всхожи 90% зерен. Определить вероятность того, что среди 2 произвольно взятых:
a) Оба зерна прорастут.
b) Прорастет только 1 из 2 зерен.
Вариант 10. Стрелок выполняет три выстрела по мишени, вероятность попадания в мишень,
в каждом из которых, равна p  0.85 .
Найти вероятность того, что:
a) Мишень будет поражена 1 раз.
b) Число попаданий в мишень будет не менее 3.
Задание 5.
Вариант 0. Для посева берут семена из 3 пакетов, вероятность прорастания для каждого вида
соответственно 0.5; 0.8; 0.6. Составить закон распределения случайной величины X – числа
проросших семян.
Вариант 1. Три стрелка стреляют по мишени (по 1 разу), вероятности попадания в мишень
каждым соответственно равны 0.4; 0.7; 0.5. Составить закон распределения случайной
величины X – числа попаданий в мишень.
Вариант 2. Для посева берут семена из 3 пакетов, вероятность прорастания для каждого вида
соответственно 0.5; 0.4; 0.8. Составить закон распределения случайной величины X – числа
проросших семян.
Вариант 3. Три стрелка стреляют по мишени (по 1 разу), вероятности попадания в мишень
каждым соответственно равны 0.6; 0.7; 0.8. Составить закон распределения случайной
величины X – числа попаданий в мишень.
Вариант 4. Для посева берут семена из 3 пакетов, вероятность прорастания для каждого вида
соответственно 0.6; 0.5; 0.4. Составить закон распределения случайной величины X – числа
проросших семян.
Вариант 5. Три стрелка стреляют по мишени (по 1 разу), вероятности попадания в мишень
каждым соответственно равны 0.7; 0.8; 0.9. Составить закон распределения случайной
величины X – числа попаданий в мишень.
Вариант 6. Для посева берут семена из 3 пакетов, вероятность прорастания для каждого вида
соответственно 0.7; 0.5; 0.6. Составить закон распределения случайной величины X – числа
проросших семян.
Вариант 7. Три стрелка стреляют по мишени (по 1 разу), вероятности попадания в мишень
каждым соответственно равны 0.6; 0.9; 0.8. Составить закон распределения случайной
величины X – числа попаданий в мишень.
Вариант 8. Для посева берут семена из 3 пакетов, вероятность прорастания для каждого вида
соответственно 0.4; 0.7; 0.8. Составить закон распределения случайной величины X – числа
проросших семян.
Вариант 9. Три стрелка стреляют по мишени (по 1 разу), вероятности попадания в мишень
каждым соответственно равны 0.8; 0.5; 0.9. Составить закон распределения случайной
величины X – числа попаданий в мишень.
Вариант 10. Для посева берут семена из 3 пакетов, вероятность прорастания для каждого
вида соответственно 0.7; 0.3; 0.5. Составить закон распределения случайной величины X –
числа проросших семян.
Задание 6.
Вариант 0. В первом ящике 6 красных и 14 синих шаров, во втором – 3 красных и 7 синих.
Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он красный будет равна?
Вариант 1. В первом ящике 8 зеленых, 7 синих и 5 белых шаров, во втором – 7 зеленых, 11
синих и 2 белых. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он
будет зеленый равна?
Вариант 2. В первом ящике 3 зеленых и 7 синих шаров, во втором – 6 зеленых и 14 синих.
Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он синий будет равна?
Вариант 3. В первом ящике 3 белых, 5 желтых и 2 красных шара, во втором – 7 белых, 10
желтых и 3 красных. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он
будет желтый равна?
Вариант 4. В первом ящике 4 красных и 6 синих шаров, во втором – 15 красных и 5 синих.
Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он красный будет равна?
Вариант 5. В первом ящике 4 зеленых, 13 синих и 3 белых шара, во втором – 12 зеленых, 4
синих и 4 белых. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он
будет зеленый равна?
Вариант 6. В первом ящике 9 зеленых и 11 синих шаров, во втором – 7 зеленых и 3 синих.
Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он синий будет равна?
Вариант 7. В первом ящике 9 белых, 8 желтых и 3 красных шара, во втором – 2 белых, 3
желтых и 5 красных. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он
будет желтый равна?
Вариант 8. В первом ящике 4 красных и 16 синих шаров, во втором – 6 красных и 4 синих.
Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он красный будет равна?
Вариант 9. В первом ящике 11 зеленых, 3 синих и 6 белых шаров, во втором – 2 зеленых, 1
синий и 7 белых. Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он
будет зеленый равна?
Вариант 10. В первом ящике 7 зеленых и 3 синих шара, во втором – 2 зеленых и 18 синих.
Из произвольного ящика достают один шар. Вероятность того, что он синий будет равна?
Задание 7.
Дан закон распределения дискретной случайной величины X.
Найти p, математическое ожидание M (X ) , дисперсию D( X ) , среднее
квадратическое отклонение  ( X ) .
Вариант 0.
X
1
2
3
4
pi
0.2
P
0.15
0.35
Вариант 1.
X
pi
2
0.4
3
0.1
4
P
6
0.25
Вариант 2.
X
pi
-2
0.2
-1
0.25
0
0.1
1
p
X
pi
-1
0.3
0
P
1
0.15
2
0.25
X
pi
1
0.2
3
0.25
5
P
7
0.3
X
pi
-3
p
-1
0.2
1
0.45
3
0.2
X
pi
-2
0.25
0
0.35
2
0.1
4
p
X
pi
-3
0.15
-2
p
2
0.3
3
0.2
X
pi
1
0.5
2
0.1
5
P
6
0.25
X
pi
-2
p
1
0.25
2
0.2
3
0.45
X
pi
-4
0.15
-1
0.35
2
0.25
4
p
Вариант 3.
Вариант 4.
Вариант 5.
Вариант 6.
Вариант 7.
Вариант 8.
Вариант 9.
Вариант 10.
 Примерный перечень вопросов к экзамену.
Случайные события.
1. Понятие стохастического опыта и случайного события. Классификация событий.
Полная группа событий. Изображение событий. Операции над событиями.
2. Классическое определение вероятности случайного события. Свойства вероятности.
3. Применение комбинаторики при вычислении вероятностей.
4. Относительная частота случайного события и ее свойства. Статистическая
вероятность. Геометрические вероятности.
5. Теорема сложения вероятностей несовместных событий, ее следствия. Независимые
события. Теорема умножения вероятностей независимых событий, ее следствия.
Зависимые события.
6. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей зависимых событий.
Теорема сложения вероятностей совместных событий и ее следствия. Формула
полной вероятности. Вероятности гипотез. Формулы Байеса.
7. Повторные независимые испытания. Схема Бернулли и формула Бернулли. Формула
Пуассона.
8. Простейший поток событий. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
9. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в
независимых испытаниях.
10. Понятие цепи Маркова.
Случайные величины.
11. Понятие случайной величины. Виды случайных величин. Дискретные случайные
величины (ДСВ). Закон распределения ДСВ.
12. Биноминальное и пуассоновское распределения вероятностей ДСВ.
13. Операции над ДСВ. Числовые характеристики случайных величин. Математическое
ожидание ДСВ, его вероятностный смысл и его свойства.
14. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение ДСВ и их свойства. Связь числовых
характеристик среднего арифметического взаимно-независимых и одинаково
распределенных ДСВ с числовыми характеристиками каждой из них.
15. Моменты случайных величин. Интегральная функция распределения вероятностей
случайной величины и ее свойства.
16. Непрерывные случайные величины (НСВ). Дифференциальная функция
распределения вероятностей НСВ, ее вероятностный смысл и свойства. Числовые
характеристики НСВ.
17. Равномерное распределение вероятностей НСВ. Показательное распределение
вероятностей НСВ. Функция надежности.
18. Показательный закон надежности. Нормированное и нормальное распределения
вероятностей НСВ. Вероятность попадания нормальной НСВ в заданный интервал.
Вычисление вероятности заданного отклонения нормальной случайной величины.
Правило трех сигм.
19. Ассиметрия и эксцесс.
Закон больших чисел и предельные теоремы.
20. Неравенства Маркова и Чебышева.
21. Теорема Чебышева и ее значение для практики.
22. Теорема Бернулли.
23. Центральная предельная теорема Ляпунова.
Аксиоматическое построение теории вероятностей.
24. Понятие аксиоматизации теории. Пространство элементарных событий.
25. Понятие события, требования к событиям, классификация событий.
26. Аксиомы А. Н. Колмогорова, задающие понятие вероятности события.
27. Вероятностные модели. Вероятностная модель стохастического опыта с конечным
числом исходов.
28. Классическая вероятностная модель. Случайные величины.
Двумерные случайные величины.
29. Понятие n-мерной случайной величины.
30. Геометрическое истолкование двумерной и трехмерной случайной величины. Закон
распределения вероятностей двумерной ДСВ.
31. Интегральная функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства.
32. Дифференциальная функция двумерной НСВ, ее вероятностный смысл и ее свойства.
16. Методические указания по изучению дисциплины (или её разделов) и контрольные
задания для студентов заочной формы обучения (если необходимо указать)
17. Содержательный компонент теоретического материала
Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий.
Относитель-ная частота и вероятность случайного события. Полная группа событий.
Классичес-кое определение вероятности. Основные свойства вероятности. Основные
формулы комбинаторики.
В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат
каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно
исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, например, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или
цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к половине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из данного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания приближается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей
массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.
Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное
событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на
три вида:
а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;
б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;
в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.
Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа
очков, не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а случайным – выпадение 3
очков.
Алгебра событий.
Определение 1.1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что
произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно,
называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.
Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание
первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при
двух выстрелах.
Пример 2. Если при броске игральной кости событием Аi назвать выпадение i очков, то
выпадение нечетного числа очков является суммой событий А1+А2+А3.
Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что
множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных
событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество
исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов,
благоприятных событиям А или В (рис. 1).
А
В
Рис.1.
А+В
Определение 1.2. Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том,
что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий
называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.
Пример 3. В примере 1 ( два выстрела по мишени) событием АВ будет попадание обоих
стрелков.
Пример 4. Если событие А состоит в том, что из колоды карт извлечена карта пиковой масти,
а событие В – в том, что из колоды вынута дама, то событием АВ будет извлечение из
колоды дамы пик.
Геометрической иллюстрацией множества исходов опыта, благоприятных появлению
произведения событий А и В, является пересечение областей, соответствующих исходам,
благоприятным А и В.
А
В
АВ
Рис.2.
Определение 1.3. Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А
произошло, а В – нет.
Пример 5. Вернемся к примеру 1, где А\ В – попадание первого стрелка при промахе
второго.
Пример 6. В примере 4 А\В – извлечение из колоды любой карты пиковой масти, кроме
дамы. Наоборот, В \А – извлечение дамы любой масти, кроме пик.
А
В
А-В
Рис.3.
Введем еще несколько категорий событий.
Определение 1.4. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в
результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти
одновременно) события называются несовместными.
Примеры: совместными событиями являются попадания двух стрелков в примере 1 и
появление карты пиковой масти и дамы в примере 4; несовместными – события А1 – А6 в
примере 2.
Замечание 1. Если изобразить графически области исходов опыта, благоприятных
несовместным событиям, то они не будут иметь общих точек.
Замечание 2. Из определения несовместных событий следует, что их произведение является
невозможным событием.
Определение 1.5. Говорят, что события А1, А2,…,Ап образуют полную группу, если в
результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.
Замечание. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовмест-ны,
то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называют
элементарными событиями.
Пример. В примере 2 события А1 – А6 (выпадение одного, двух,…, шести очков при одном
броске игральной кости) образуют полную группу несовместных событий.
Определение 1.6. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что
одно из них является более возможным, чем другое.
Примеры: выпадение любого числа очков при броске игральной кости, появление любой
карты при случайном извлечении из колоды, выпадение герба или цифры при броске монеты
и т.п.
Классическое определение вероятности.
При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать
возможность их появления в результате опыта. Например, при последовательном извлечении
из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты разных мастей, чем
появление пяти карт одной масти; при десяти бросках монеты более возможно чередование
гербов и цифр, нежели выпадение подряд десяти гербов, и т.д. Поэтому с каждым таким
событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем
более возможно событие. Это число называется вероятностью события и является вторым
основным понятием теории вероятностей.
Отметим, что само понятие вероятности, как и понятие случайного события, является
аксиоматическим и поэтому не поддается строгому определению. То, что в дальнейшем
будет называться различными определениями вероятности, представляет собой способы
вычисления этой величины.
Определение 1.7. Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта,
а) попарно несовместны;
б) равновозможны;
в) образуют полную группу,
то говорят, что имеет место схема случаев.
Можно считать, что случаи представляют собой все множество исходов опыта. Пусть их
число равно п ( число возможных исходов), а при т из них происходит некоторое событие А
(число благоприятных исходов).
Определение 1.8. Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта,
благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:
т
р(А) 
(1.1)
п
- классическое определение вероятности.
Свойства вероятности.
Из определения 1.8 вытекают следующие свойства вероятности:
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все
исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно,
Р(А) = 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благоприятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное
между нулем и единицей.
Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при
всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.
Пример. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу вынут шар. Найти
вероятность того, что он белый.
Решение. Будем считать элементарными событиями, или исходами опыта, извлечение из
урны каждого из имеющихся в ней шаров. Очевидно, что эти события удовлетворяют всем
условиям, позволяющим считать их схемой случаев. Следовательно, число возможных
исходов равно 10, а число исходов, благоприятных событию А (появлению белого шара) – 6
(таково количество белых шаров в урне). Значит,
т6
р
(А
)  
0
,6
.
п 10
Относительная частота. Статистическое определение вероятности.
Классическое определение вероятности применимо только для очень узкого класса задач, где
все возможные исходы опыта можно свести к схеме случаев. В большинстве реальных задач
эта схема неприменима. В таких ситуациях требуется определять вероятность собы-тия
иным образом. Для этого введем вначале понятие относительной частоты W(A) события A
как отношения числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству
проведенных испытаний:
M
W(A)  ,
(1.2)
N
где N – общее число опытов, М – число появлений события А.
Большое количество экспериментов показало, что если опыты проводятся в одинаковых
условиях, то для большого количества испытаний относительная частота изменяется мало,
колеблясь около некоторого постоянного числа. Это число можно считать вероятностью
рассматриваемого события.
Определение 1.9. Статистической вероятностью события считают его относительную
частоту или число, близкое к ней.
Замечание 1. Из формулы (1.2) следует, что свойства вероятности, доказанные для ее
классического определения, справедливы и для статистического определения вероят-ности.
Замечание 2. Для существования статистической вероятности события А требуется:
1) возможность производить неограниченное число испытаний;
2) устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно
большого числа опытов.
Замечание 3. Недостатком статистического определения является неоднозначность
статистической вероятности.
Пример. Если в задаче задается вероятность попадания в мишень для данного стрелка
(скажем, р = 0,7), то эта величина получена в результате изучения статистики большого
количества серий выстрелов, в которых этот стрелок попадал в мишень около семидесяти раз
из каждой сотни выстрелов.
Основные формулы комбинаторики.
При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы
комбинаторики – науки, изучающей комбинации, которые можно составить по
определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим
основные такие комбинации.
Определение 1.10. Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов
данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех
возможных перестановок
Рп = п!
(1.3)
Пример. Сколько различных списков (отличающихся порядком фамилий) можно составить
из 7 различных фамилий?
Решение. Р7 = 7! = 2·3·4·5·6·7 = 5040.
Определение 1.11. Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п
различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число
всех возможных размещений
т
А

п
(
п

1
)(
п

2
)...(
п

т

1
).
(1.4)
п
Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета (первое, второе, третье
места), если в соревнованиях принимают участие 10 человек?
3

10
9
8

720
.
Решение. А
10
Определение 1.12. Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества,
содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом
элементов). Число сочетаний
п
!
т
С
.
(1.5)
п 
т
!(пт
)!
Пример. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал
выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов?
Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов,
следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:
! 8
9

10
3 10
С
 

120
.
10
3
!

7
! 6
Геометрические
вероятности.
Теорема
сложения
вероятностей.
Противоположные
события.
Условные
вероятности.
Теорема
умножения
вероятностей. Независимые события. Вероятность появления хотя бы одного
события.
Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно
неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В таких случаях можно
воспользоваться понятием геометрической вероятности.
Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на
отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом
вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой
части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошен-ная
точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:
l
p ,
(2.1)
L
где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L.
Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и
вероятности того, что она попадет на часть этой области s:
s
p ,
(2.1`)
S
где s – площадь части области, а S – площадь всей области.
В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле
V, попадет в его часть v, задается формулой:
v
p ,
(2.1``)
V
где v – объем части тела, а V – объем всего тела.
Пример 1. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в
правильный шестиугольник, вписанный в него.
Решение. Пусть радиус круга равен R , тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При
33 2
2
этом площадь круга S  R , а площадь шестиугольника s
R .Следовательно,
2
3
23
2
R
R
S

s

3
3
2 
p
 

0
,
174
.
2
S
2
R
Пример 2. На отрезок АВ случайным образом брошены три точки: С, D и М. Найти
вероятность того, что из отрезков АС, АD и АМ можно построить треугольник.
Решение. Обозначим длины отрезков АС, АD и АМ через x, y и z и рассмотрим в качестве
возможных исходов множество точек трехмерного пространства с координатами (х, у, z).
Если принять длину отрезка равной 1, то эти множество возможных исходов представляет
собой куб с ребром, равным 1. Тогда множество благоприятных исходов состоит из точек,
для координат которых выполнены неравенства треугольника: x + y > z, x + z > y,
y+
z > x. Это часть куба, отрезанная от него плоскостями x + y = z, x + z = y, y + z = x


х


Рис.1.
(одна из них, плоскость x + y = z, проведена на рис.1). Каждая такая плоскость отделяет от
1 1
1
куба пирамиду, объем которой равен  1 . Следовательно, объем оставшейся части
3 2
6
1 1
v 1
1
v13  . Тогда p  :1
.
6 2
V 2
2
Теорема сложения вероятностей.
Теорема 2.1 (теорема сложения). Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна
Р (А + В ) = р (А) + р (В) – р (АВ).
(2.2)
Доказательство.
Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта,
тА – число исходов, благоприятных событию А, тВ – число исходов, благопри-ятных
событию В, а тАВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть
исходов, благоприятных произведению АВ). Тогда число исходов, при которых имеет место
событие А + В, равно тА + тВ – тАВ (так как в сумме (тА + тВ) тАВ учтено дважды: как
исходы, благоприятные А, и исходы, благоприятные В). Следовательно, вероятность суммы
можно определить по формуле (1.1):
т

т

т
т
т
т
А
В
АВ
А
В
АВ
р
(
А

В
)





р
(
А
)

р
(
В
)

р
(
АВ
),
п п
п
п
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Теорему 2.1 можно распространить на случай суммы любого числа событий.
Например, для суммы трех событий А, В и С
Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) – р(АВ) – р(АС) – р(ВС) + р(АВС)
(2.3)
и т.д.
Следствие 2. Если события А и В несовместны, то тАВ = 0, и, следовательно, вероятность
суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:
Р(А + В) = р(А) + р(В).
(2.4)
Определение 2.1. Противоположными событиями называют два несовместных события,
сумма которых равна достоверному событию. Если одно из них назвать А, то второе
принято обозначать через А .
Замечание. Таким образом, А заключается в том, что событие А не произошло.
Теорема 2.2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
р(А) + р( А ) = 1.
(2.5)
Доказательство.
Так как А и А - противоположные события, то одно из них обязательно произойдет в
результате опыта, то есть событие А + А является достоверным. Следовательно,
Р( А + А ) = 1. Но, так как А и А несовместны, из (2.4) следует, что Р(А + А ) = р(А) + р( А ).
Значит, р(А) + р( А ) = 1, что и требовалось доказать.
Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность
события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (2.5).
Пример. Из урны, содержащей 2 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлека-ются
5 шаров. Найти вероятность того, что вынуты шары разных цветов.
Решение. Событие А , противоположное заданному, заключается в том, что из урны вынуто
5 шаров одного цвета, а так как белых шаров в ней всего два, то этот цвет может быть только
черным. Множество возможных исходов опыта найдем по формуле (1.5):
8
! 6

7

8
5
п

С

56
,
8 
5
!

3
! 6
а множество исходов, благоприятных событию А - это число возможных наборов по 5
шаров только из шести черных:
тА С65 6.
6 3
3 25
(А
)  , а р
(А
)
1
  .
Тогда р
5628
2828
Теорема умножения вероятностей.
Определение 2.2. Назовем условной вероятностью р(В/А) события В вероятность события
В при условии, что событие А произошло.
Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда
осуществление события А изменяет вероятность события В.
Примеры:
1) пусть событие А – извлечение из колоды в 32 карты туза, а событие В – то, что и
вторая вынутая из колоды карта окажется тузом. Тогда, если после первого раза карта
была возвращена в колоду, то вероятность вынуть вторично туз не меняется:
41
р
(
В
)

р
(
А
)
 
0
,
125
.Если же первая карта в колоду не возвращается, то
32
8
осуществление события А приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, из
3
(
В
/А
) 
0
,097
.
которых только 3 туза. Поэтому р
31
2) если событие А – попадание в самолет противника при первом выстреле из орудия, а
В – при втором, то первое попадание уменьшает маневренность самолета, поэтому
р(В/А) увеличится по сравнению с р(А).
Теорема 2.3 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что
первое событие произошло:
р (АВ) = р (А) · р (В/А).
(2.6)
Доказательство.
Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множеством
возможных исходов нужно считать тА (так как А произошло), а множеством благоприятных
исходов – те, при которых произошли и А, и В ( тАВ ). Следовательно,
т
т
п
АВ
АВ
р
(
В
/
А
)


 
р
(
АВ
)
:
р
(
А
),
откуда следует утверждение теоремы.
т
т
А п
А
Пример. Для поражения цели необходимо попасть в нее дважды. Вероятность первого
попадания равна 0,2, затем она не меняется при промахах, но после первого попадания
увеличивается вдвое. Найти вероятность того, что цель будет поражена первыми двумя
выстрелами.
Решение. Пусть событие А – попадание при первом выстреле, а событие В – попадание при
втором. Тогда р (А) = 0,2, р (В/А) = 0,4, р (АВ) = 0,2·0,4 = 0,08.
Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с
событием АВ, то получим, что р (ВА) = р (В) · р (А/В). Следовательно,
р (А) · р (В/А) = р (В) · р (А/В).
(2.7)
Определение 2.3. Событие В называется независимым от события А, если появление
события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В).
Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Действительно, из (2.7)
следует при этом, что р (А) · р (В) = р (В) · р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит, свойство
независимости событий взаимно.
Теорема умножения для независимых событий имеет вид:
р (АВ) = р (А) · р (В) ,
(2.8)
то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.
При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.
Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при
одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятности следующих событий:
А – хотя бы одно попадание при двух выстрелах;
В – ровно одно попадание при двух выстрелах;
С – два попадания;
D – ни одного попадания.
Решение. Пусть событие Н1 – попадание первого стрелка, Н2 – попадание второго. Тогда
Н

Н
Н
,D

H
H
.События Н1 и Н2 совместны и
2
1Н
2, С
1
2
1
2
А = Н1 + Н2, В =Н1 Н
независимы, поэтому теорема сложения применяется в общем виде, а теорема умножения – в
виде (2.8). Следовательно, р(С) = 0,6·0,7 = 0,42,
р(А) = 0,6 + 0,7 – 0,42 = 0,88,
р(B) = 0,6·0,3 + 0,7·0,4 = 0,46 (так как события Н 1  Н 2 и Н 1  Н 2 несовместны),
р(D) = 0,4·0,3 = 0,12. Заметим, что события А и D являются противоположными, поэтому
р(А) = 1 – р(D).
Вероятность появления хотя бы одного события.
Теорема 2.4. Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий
А1, А2,…, Ап равна
р (А) = 1 – q1q2…qn ,
(2.9)
где qi – вероятность события Аi , противоположного событию Аi .
Доказательство.
Если событие А заключается в появлении хотя бы одного события из А1, А2,…, Ап, то
события А и А1 А2...Ап противоположны, поэтому по теореме 2.2 сумма их вероятностей
Ап,
равна 1. Кроме того, поскольку А1, А2,…, Ап независимы, то независимы и А1, А2,...,
(
А
)
р
(
А
)...
р
(
А
)

q
q
...
q
следовательно, р( А1 А2...Ап ) = р
. Отсюда следует справедливость
1
2
п
1
2
n
формулы (2.9).
Пример. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,9
выпал хотя бы один герб?
Решение. Вероятность выпадения герба при одном броске равна вероятности
противоположного события (выпадения цифры) и равна 0,5. Тогда вероятность выпадения
хотя бы одного герба при п выстрелах равна 1- (0,5)п . Тогда из решения неравенства 1- (0,5)п
> 0,9
следует, что п > log210 ≥ 4.
Формула полной вероятности и формулы Байеса. Схема и формула Бернулли.
Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Определение 3.1. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий
Н1, Н2,…, Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н1, Н2,…,
Нп называются гипотезами.
Теорема 3.1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп,
равна:
n
р
(
А
)

p
(
H
p
(
A
/H

i)
i),
i

1
(3.1)
где p(Hi) – вероятность i- й гипотезы, а p(A/Hi) – вероятность события А при условии
реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.
Доказательство.
Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН1, АН2,…, АНп. Тогда
из теорем сложения и умножения следует, что
n
р
(
А
)

р
(
АН

АН

...

АН
)

р
(
АН
)

р
(
АН
)

...

р
(
АН
)

p
(
H
)
p
(
A
/
H
),

1
2
п
1
2
п
i
i
i

1
что и требовалось доказать.
Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черных шара,
во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбранной урны
наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.
Решение. Будем считать гипотезами Н1, Н2 и Н3 выбор урны с соответствующим номером.
1
(
Н
)

р
(
Н
)

р
(
Н
)

.
Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то р
1
2
3
3
3
Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы: р(А/Н
1) ,
7
2
1
3
1
2
1 5
р
(
А
/
Н
)

,р
(
А
/
Н
)

0
.Тогда р
(
А
)




0


0
,
238
.
2
3
7
3
7
3
7
3 21
Формулы Байеса (теорема гипотез).
Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может
изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в
предыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной не
могла быть третья, в которой нет белых шаров, то есть р (Н3/А) = 0. Для переоценки
вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формулы Байеса:
p
(
H
)
p
(
A
/
H
i)
р
(
Н
A
)
 i
.
, i=1,2,... ,n.
(3.2)
i/
p
(
A
)
(
A
)
p
(
H
A
)

p
(
H
)
p
(
A
/
H
),
Действительно, из (2.7) получим, что p
откуда следует
i/
i
i
справедливость формул (3.2).
Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и
0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.
Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н1 – первый
попал, а второй промахнулся, Н2 – первый промахнулся, а второй попал, Н3 – оба попали, Н4
– оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н1) = 0,6·0,3 = 0,18, р(Н2) = 0,4·0,7 = 0,28, р(Н3)
= 0,6·0,7 = 0,42, р(Н4) = 0,4·0,3 = 0,12. Тогда р(А/Н1) = р(А/Н2) = 1,
р(А/Н3) =
р(А/Н4) = 0. Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46.
Применяя формулу Байеса, получим:
0
,
18

19
р
(
Н
/
А
)
 
0
,
391
.
1
0
,
46
23
Схема повторения испытаний. Формула Бернулли.
Рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и той
же вероятностью р, причем результат каждого испытания не зависит от результатов
остальных. Подобная постановка задачи называется схемой повторения испытаний.
Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в
какой последовательности). Интересующее нас событие представляет собой сумму равновероятных несовместных событий, заключающихся в том, что А произошло в некоторых к
испытаниях и не произошло в остальных п – к испытаниях. Число таких событий равно
к
числу сочетаний из п по к, то есть С п , а вероятность каждого из них: pkqn-k, где q = 1 – p –
вероятность того, что в данном опыте А не произошло. Применяя теорему сложения для
несовместных событий, получим формулу Бернулли:
k
k
n

k
p
(
k
)
C
(3.3)
n
npq .
Пример. Для получения приза нужно собрать 5 изделий с особым знаком на этикетке. Найти
вероятность того, что придется купить 10 изделий, если этикетки с этим знаком имеют 5%
изделий.
Решение. Из постановки задачи следует, что последнее купленное изделие имеет особый
знак. Следовательно, из предыдущих девяти эти знаки имели 4 изделия. Найдем вероят-ность
4
4
5
(
4
)

C

(
0
,
05
)

(
0
,
95
)

0
,
0006092
.
этого по формуле Бернулли: p
Тогда
9
9
р = 0,0006092·0,05 = 0,0000304.
Приближение Пуассона для схемы Бернулли.
Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний.
Можно получить более удобную для расчетов приближенную формулу, если при большом
числе испытаний вероятность появления А в одном опыте мала, а произведение пр = λ
сохраняет постоянное значение для разных серий опытов ( то есть среднее число появле-ний
события А в разных сериях испытаний остается неизменным). Применим формулу Бернулли:







n

k
n
(
n

1
)(
n

2
)...(
n

k

1
)
n
(
n

1
)...(
n

k

1
)




k n

k
p
(
k
)

p
(
1

p
)

1

.




n
k
!
k
!
n
n



Найдем предел полученного выражения при n   :
n

k
n
k
k
k
k


1
2
k

1














p
(
k
)

lim
1

1

1

...
1

1


lim
1

1



e

1
.












n


n


n


k
!
n
n
n
n
k
!
n
n
k
!














Таким образом, формула Пуассона
ke
pn(k)
(3.4)
k!
позволяет найти вероятность к появлений события А для массовых (п велико) и редких (р
мало) событий.
k

Случайные величины и их виды. Закон распределения и функция распределения
дискретной случайной величины. Биномиальное распределение и распределение
Пуассона. Операции над д.с.в. Числовые характеристики д.с.в. и их свойства.
Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется и более удобное
понятие случайной величины.
Определение 4.1. Случайной величиной называется величина, принимающая в результате
опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.
Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х, Y,Z,…),
а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (xi, yi,…).
Примеры: число очков, выпавших при броске игральной кости; число появлений герба при
10 бросках монеты; число выстрелов до первого попадания в цель; расстояние от центра
мишени до пробоины при попадании.
Можно заметить, что множество возможных значений для перечисленных случайных
величин имеет разный вид: для первых двух величин оно конечно ( соответственно 6 и 11
значений), для третьей величины множество значений бесконечно и представляет собой
множество натуральных чисел, а для четвертой – все точки отрезка, длина которого равна
радиусу мишени. Таким образом, для первых трех величин множество значений из
отдельных (дискретных), изолированных друг от друга значений, а для четвертой оно
представляет собой непрерывную область. По этому показателю случайные величины
подразделяются на две группы: дискретные и непрерывные.
Определение 4.2. Случайная величина называется дискретной, если она принимает
отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.
Определение 4.3. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее
возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный
промежуток.
Дискретные случайные величины.
Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения и
вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется
законом распределения случайной величины. Он может иметь вид таблицы, формулы или
графика.
Таблица, в которой перечислены возможные значения дискретной случайной величины и
соответствующие им вероятности, называется рядом распределения:
xi
pi
x1
p1
x2
p2
…
…
xn
pn
…
…
Заметим, что событие, заключающееся в том, что случайная величина примет одно из своих
n()
возможных значений, является достоверным, поэтому
p 1.
i1
i
Пример. . Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания
при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределения случайной
величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.
Решение. Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Их вероятности найдены
в примере, рассмотренном в лекции 3. Следовательно, ряд распределения имеет вид:
хi 0
1
2
pi 0,12 0,46 0,42
Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде
многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости с координатами
(xi, pi).
x1
x2 x3
x4
x5
Функция распределения.
Определение 4.4. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется
вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х:
F (x) = p (X < x).
(4.1)
Свойства функции распределения.
1) 0 ≤ F(x) ≤ 1.
Действительно,
так как функция распределения представляет собой вероятность, она может
принимать только те значения, которые принимает вероятность.
2) Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x2) ≥ F(x1) при х2
> x1. Это следует из того, что F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥ F(x1).
lim
F
(
x
)

0
, lim
F
(
x
)

1
.В частности, если все возможные значения Х лежат на
3) x


x


интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a –
событие невозможное, а X < b – достоверное.
4) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна
разности значений функции распределения на концах интервала:
p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).
Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения (см.
свойство 2).
Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой
сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.
Пример. Найдем F(x) для предыдущего примера:

0
, x
0

0
,12
, 0x
1

F
(x
)

0
,12

0
,46

0
,58
,1
x
2


,58

0
,42

1
, x
2
 0
Соответственно график функции распределения имеет ступенчатый вид:
Биномиальное распределение.
Вернемся к схеме независимых испытаний и найдем закон распределения случайной
величины Х – числа появлений события А в серии из п испытаний. Возможные значения А: 0,
1, …, п. Соответствующие им вероятности можно вычислить по формуле Бернулли:
k k n
k
p
(
Х

k
)
C
q
(4.2)
np
( p – вероятность появления А в каждом испытании).
Такой закон распределения называют биномиальным, поскольку правую часть равенства
(4.2) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
nn
nn

1
n

1
k
k
n

k
0
n
(
p

q
)

C
p

C
p
q

...

C
p
q

...

C
q
.
n
n
n
n
Пример. Составим ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5
выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.
р(Х=0) = 1·(0,2)5 = 0,00032; р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)4 = 0,0064; р(Х=2) = 10·(0,8)2·(0,2)3 = 0,0512;
р(Х=3) = 10·(0,8)3·(0,2)2 = 0,2048; р(Х=4) = 5·(0,8)4·0,2 = 0,4096; р(Х=5) = 1·(0,8)5 = 0,32768.
Таким образом, ряд распределения имеет вид:
х 0
1
2
3
4
5
р 0.00032 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.32728
Распределение Пуассона.
Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую только целые
неотрицательные значения (0, 1, 2,…, т,…), последовательность которых не ограничена.
Такая случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если
вероятность того, что она примет значение т, выражается формулой:
т
а

а
р
(Х

т
) е
,
(4.3)
т
!
где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.
Покажем, что сумма всех вероятностей равна 1:
т



а а 
аа
р
(
Х

т
)

е

е

е

1


т
!
т

0
т

0
(использовано разложение в ряд Тейлора функции ех).
Рассмотрим типичную задачу, приводящую к распределению Пуассона. Пусть на оси
абсцисс случайным образом распределяются точки, причем их распределение удовлет-воряет
следующим условиям:
1) вероятность попадания некоторого количества точек на отрезок длины l зависит
только от длины отрезка и не зависит от его расположения на оси ( то есть точки
распределены с одинаковой средней плотностью);
2) точки распределяются независимо друг от друга ( вероятность попадания какого-либо
числа точек на данный отрезок не зависит от количества точек, попавший на любой
другой отрезок);
3) практическая невозможность совпадения двух или более точек.
Тогда случайная величина Х – число точек, попадающих на отрезок длины l – распре-делена
по закону Пуассона, где а – среднее число точек, приходящееся на отрезок длины l.
Замечание. В лекции 3 говорилось о том, что формула Пуассона выражает биномиальное
распределение при большом числе опытов и малой вероятности события. Поэтому закон
Пуассона часто называют законом редких явлений.
Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной
величины, их взаимосвязь и свойства. Равномерное и показательное распределение
вероятностей. Функция надёжности. Показательный закон надёжности.
Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывной случайной
величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видов задания
закона распределения. Но для непрерывной случайной величины вероятность каждого
отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функции распределения: р(Х = а)
= F(a) – F(a) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеет смысл говорить только о
вероятности ее попадания в некоторый интервал.
Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величины является
так называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифферен-циальная
функция).
Определение 5.1. Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывной
случайной величины, определяется по формуле:
f (x) = F′(x),
(5.1)
то есть является производной функции распределения.
Свойства плотности распределения.
1) f(x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.
x
(x)f(t)dt
2) F
, что следует из определения плотности распределения.


3) Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) определяется формулой
b
р
(
а

X

b
)
)
dx
.
f(x
Действительно,
a
b
a
b
р
(
а

X

b
)

F
(
b
)

F
(
a
)

f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx

f
(
x
)
dx
.







a

4)
 f (x)dx1(условие нормировки). Его справедливость следует из того, что


F(x)1.

F
(
),а lim
f(x)dx
x



f(x)0, так как F(x)
const
5) xlim
при x  .


Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой при x  
(последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможных значений
которых является все множество действительных чисел). Площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком этой функции, равна единице.
Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточе-ны
на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала [a, b]
f(x) ≡ 0.
Пример 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулой
C
f
(
x
)
 2,

x


.
1

x
Найти: а) значение константы С; б) вид функции распределения; в) p(-1 < x < 1).
Решение. а) значение константы С найдем из свойства 4:




С
1
 
dx

Сarctgx

C

C

1
,откуда C  .


2

22
1

х







 



x
x
1
1 1
1
1 1


(
x
)

dt

arctg
t 
arctgx


arctgx

.


б) F
2

2
2
1

t











1
1
11 1
1
 
(

1

x

1
)

dx

arctgx



0
,
5
.


в) p
2

4
4
1

x



1

1
Пример 2. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид:
 0, x2
x2

F(x)
, 2x4
2

, x4.
 1
Найти плотность распределения.
Решение.



 0
,x

2
0
,x

2


x

2




f(
x
)

x

4

0
,
5
,2

x

4

,2


 2

0

4
.
 ,x

,x

4
 1

Равномерный закон распределения.
Часто на практике мы имеем дело со случайными величинами, распределенными
определенным типовым образом, то есть такими, закон распределения которых имеет
некоторую стандартную форму. В прошлой лекции были рассмотрены примеры таких
законов распределения для дискретных случайных величин (биномиальный и Пуассона). Для
непрерывных случайных величин тоже существуют часто встречающиеся виды закона
распределения, и в качестве первого из них рассмотрим равномерный закон.
Определение 5.2. Закон распределения непрерывной случайной величины называется
равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения
случайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f(x) = const
при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.
Найдем значение, которое принимает f(x) при x[a, b]. Из условия нормировки следует, что
b
b
1
f
(
x
)
dx

cdx

c
(
b

a
)

1
,откуда f(x)c
.


ba
a
a
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал

1


dx

.
[

,
](
a




b
)равна при этом 
b

a
b

a

Вид функции распределения для нормального закона:
 0
, xa
xa

F(x)
, axb
b

a


, xb
.
 1
Пример. Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти вероятность
того, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более 2 минут.
Решение. Время ожидания является случайной величиной, равномерно распределенной в
1
2
(
x
)

,p
(
0

x

2
)


0
,
4
.
интервале [0, 5]. Тогда f
5
5
Показательное распределение.
Определение 5.3. Показательным (экспоненциальным) называют распределение
вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью
0
,x

0
f(
x
)
(5.2.)


x

e ,x

0
.

В отличие от нормального распределения, показательный закон определяется только одним
параметром λ. В этом его преимущество, так как обычно параметры распределения заранее
не известны и их приходится оценивать приближенно. Понятно, что оценить один параметр
проще, чем несколько.
Найдем функцию распределения показательного закона:



t


x
F
(
x
)

f
(
t
)
dt

0

dt

e
dt

1

e
.
Следовательно,



x


0
x


0
0
,x

0
F
(
x
)
(5.3.)
 

x
1

e ,x

0
.

Теперь можно найти вероятность попадания показательно распределенной случайной
величины в интервал (а, b):


a


b
p
(
a

x

b
)
e

e
.
(5.4.)
-х
Значения функции е можно найти из таблиц.
Функция надежности.
Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t0 = 0 и
должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную
величину – время безотказной работы элемента, тогда функция
F(t) = p(T < t)
определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за
это же время равна
R(t) = p(T > t) = 1 – F(t).
(5.5.)
Эта функция называется функцией надежности.
Показательный закон надежности.
Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то
есть
F(t) = 1 – e-λt .
Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:
R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e-λt) = e-λt .
Определение 5.4. Показательным законом надежности называют функцию надежности,
определяемую равенством
R(t) = e-λt ,
(5.6.)
где λ – интенсивность отказов.
Пример. Пусть время безотказной работы элемента распределено по показательному закону
с плотностью распределения f(t) = 0,1 e-0,1t при t ≥ 0. Найти вероятность того, что элемент
проработает безотказно в течение 10 часов.
Решение. Так как λ = 0,1, R(10) = e-0,1·10 = e-1 = 0,368.
Нормальный закон распределения вероятностей. Нормальная кривая. Функция
Лапласа. Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормальной
случайной величины. Правило трех сигм. Закон больших чисел.
Неравенство
Чебышёва. Теоремы Чебышёва и Бернулли.
Определение 6.1. Непрерывная случайная величина называется распределенной по
нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:
f(
x
)
1
2
(x

a
)
 2
2

e
2

.
(6.1)
Замечание. Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами: а и
σ.
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой
Гаусса). Выясним, какой вид имеет эта кривая, для чего исследуем функцию (6.1).
1) Область определения этой функции: (-∞, +∞).
2) f(x) > 0 при любом х (следовательно, весь график расположен выше оси Ох).
f(x)0, то есть ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика при x  .
3) |lim
x|

2
(
x

a
)
x

a2
2

4) f
при х = а; f (x)  0 при x > a, f (x)  0 при x < a.
(
x
)


e 
0
3
2


1 

Следовательно, 
a,
 - точка максимума.
  2 
5) F(x – a) = f(a – x), то есть график симметричен относительно прямой х = а.
2
(
x

a
)
2
(

1
x

a
)
2
2





(
x
)


e
1


0при
6) f
2

3
2



1 

,
являются точками перегиба.
a
2
e


Примерный вид кривой Гаусса изображен на рис.1.


x  a  ,
то
есть
точки
х
Рис.1.
Найдем вид функции распределения для нормального закона:
2
t

a
)
x(
x
1 
2
2

F
(
x
)

f
(
t
)
dt

e
dt
.
(6.2)


2




Перед нами так называемый «неберущийся» интеграл, который невозможно выразить через
элементарные функции. Поэтому для вычисления значений F(x) приходится пользоваться
таблицами. Они составлены для случая, когда а = 0, а σ = 1.
Определение 6.2. Нормальное распределение с параметрами а = 0, σ = 1 называется
нормированным, а его функция распределения

1
х
t2

2
е dt
(6.3)

2


- функцией Лапласа.
Замечание. Функцию распределения для произвольных параметров можно выразить через
Ф
(х
)
функцию Лапласа, если сделать замену: t 
x a
x

a

t2

1
, тогда F
.
(х
)
е2dt


2

Найдем вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на
заданный интервал:

a

a




p
(

x

)

F
(
)

F
(
)




.


(6.4)


Пример. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а = 3, σ = 2.
Найти вероятность того, что она примет значение из интервала (4, 8).
Решение.



8

3
4

3




p
(
4

x

8
)

F
(
8
)

F
(
4
)




.


(
2
,
5
)


(
0
,
5
)

0
,
993

0
,
69

0
,
30
.




2
2




Правило «трех сигм».
Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет
значение из интервала (а - 3σ, а + 3σ):




p
(
а

3

x

а

3
)


3



3

0
,
9986

0
,
0014

0
.
9973
.
Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины окажется вне этого
интервала, равна 0,0027, то есть составляет 0,27% и может считаться пренебрежимо малой.
Таким образом, на практике можно считать, что все возможные значения нормально
распределенной случайной величины лежат в интервале (а - 3σ,
а + 3σ). Полученный
результат позволяет сформулировать правило «трех сигм»: если случайная величина
распределена нормально, то модуль ее отклонения от х = а не превосходит 3σ.
Изучение статистических закономерностей позволило установить, что при некоторых
условиях суммарное поведение большого количества случайных величин почти утрачи-вает
случайный характер и становится закономерным (иначе говоря, случайные отклоне-ния от
некоторого среднего поведения взаимно погашаются). В частности, если влияние на сумму
отдельных слагаемых является равномерно малым, закон распределения суммы
приближается к нормальному. Математическая формулировка этого утверждения дается в
группе теорем, называемой законом больших чисел.

Неравенство Чебышева.
Неравенство Чебышева, используемое для доказательства дальнейших теорем, справед-ливо
как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Докажем его для
дискретных случайных величин.
Теорема 6.1. (неравенство Чебышева). p( | X – M(X)| < ε ) ≥ D(X) / ε².
Доказательство. Пусть Х задается рядом распределения
Х
х1
х2
…
р
р1
р2
…
(6.5.)
хп
рп
Так как события |X – M(X)| < ε и |X – M(X)| ≥ ε противоположны, то р ( |X – M(X)| < ε ) + + р
( |X – M(X)| ≥ ε ) = 1, следовательно, р ( |X – M(X)| < ε ) = 1 - р ( |X – M(X)| ≥ ε ). Найдем р ( |X –
M(X)| ≥ ε ).
D(X) = (x1 – M(X))²p1 + (x2 – M(X))²p2 + … + (xn – M(X))²pn . Исключим из этой суммы те
слагаемые, для которых |X – M(X)| < ε. При этом сумма может только уменьшиться, так как
все входящие в нее слагаемые неотрицательны. Для определенности будем считать, что
отброшены первые k слагаемых. Тогда
D(X) ≥ (xk+1 – M(X))²pk+1 + (xk+2 – M(X))²pk+2 + … + (xn – M(X))²pn ≥ ε² (pk+1 + pk+2 + … + pn).
Отметим, что pk+1 + pk+2 + … + pn есть вероятность того, что |X – M(X)| ≥ ε, так как это сумма
вероятностей всех возможных значений Х, для которых это неравенство справедливо.
Следовательно, D(X) ≥ ε² р(|X – M(X)| ≥ ε), или р (|X – M(X)| ≥ ε) ≤ D(X) / ε². Тогда вероятность
противоположного события p( | X – M(X)| < ε ) ≥ D(X) / ε², что и требо-валось доказать.
Теоремы Чебышева и Бернулли.
Теорема 6.2 (теорема Чебышева). Если Х1, Х2,…, Хп – попарно независимые случайные
величины, дисперсии которых равномерно ограничены ( D(Xi) ≤ C), то для сколь угодно
малого числа ε вероятность неравенства
Х

Х

...

Х
М
(
Х
)

М
(
Х
)

...

М
(
Х
)
1
2
п
1
2
п


п
п
будет сколь угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико.
Замечание. Иначе говоря, при выполнении этих условий


Х

Х

...

Х
М
(
Х
)

М
(
Х
)

...

М
(
Х
)
1
2
п
1
2
п
lim
p
(


)

1
.
n


п
п
X

X
...

X
n
1 2
Доказательство. Рассмотрим новую случайную величину X
и найдем ее
n
математическое ожидание. Используя свойства математического ожидания, получим, что
Х

Х

...

Х
М
(
Х
)

М
(
Х
)

...

М
(
Х
)


1
2
п
1
2
п
М



. Применим к Х неравенство
п
 п 
Чебышева:
X

X

...

X


1
2
n
D


Х

Х

...

Х
М
(
Х
)

М
(
Х
)

...

М
(
Х
)
n
Так как

1
2
п
1
2
п
p
(


)

1
 2
.
п
п
рассматриваемые случайные величины независимы, то, учитывая условие теоремы, имеем:
X

X

...

X
D
(
X
)

D
(
X
)

...

D
(
X
)
Cn
C


1
2
n
1
2
n
D



.


2
2 Используя этот результат,
n
n
n
 n
представим предыдущее неравенство в виде:
Х

Х

...

Х
М
(
Х
)

М
(
Х
)

...

М
(
Х
)
С
1
2
п
1
2
п
p
(


)

1

.
Перейдем к пределу при
2
п
п
п





Х

Х

...

Х
М
(
Х
)

М
(
Х
)

...

М
(
Х
)
1
2
п
1
2
п
п   : lim
p
(


)

1
.
Поскольку
n


п
п
вероятность не может быть больше 1, можно утверждать, что
Х

Х

...

Х
М
(
Х
)

М
(
Х
)

...

М
(
Х
)
1
2
п
1
2
п
lim
p
(


)

1
.
Теорема доказана.
n


п
п
Следствие.
Если Х1, Х2, …, Хп – попарно независимые случайные величины с равномерно ограниченными дисперсиями, имеющие одинаковое математическое ожидание, равное а, то для
Х

Х

...

Х
1
2
п

а

будет
любого сколь угодно малого ε > 0 вероятность неравенства
п
как угодно близка к 1, если число случайных величин достаточно велико. Иначе говоря,
Х

Х

...

Х
п
lim
p
(1 2

а

)

1
.
n


п
Вывод: среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин прини-мает
значения, близкие к сумме их математических ожиданий, то есть утрачивает характер
случайной величины. Например, если проводится серия измерений какой-либо физической
величины, причем: а) результат каждого измерения не зависит от результатов остальных, то
есть все результаты представляют собой попарно независимые случайные величины; б)
измерения производятся без систематических ошибок (их математические ожидания равны
между собой и равны истинному значению а измеряемой величины); в) обеспечена
определенная точность измерений, следовательно, дисперсии рассматривае-мых случайных
величин равномерно ограничены; то при достаточно большом числе измерений их среднее
арифметическое окажется сколь угодно близким к истинному значению измеряемой
величины.
Теорема Бернулли.

Теорема 6.3 (теорема Бернулли). Если в каждом из п независимых опытов вероятность р
появления события А постоянна, то при достаточно большом числе испытаний вероят-ность
того, что модуль отклонения относительной частоты появлений А в п опытах от р будет
сколь угодно малым, как угодно близка к 1:
m

lim
p


p



1
.
(6.6.)


n

 n


Доказательство. Введем случайные величины Х1, Х2, …, Хп, где Xi – число появлений А в i-м
опыте. При этом Xi могут принимать только два значения: 1(с вероятностью р) и 0 (с
вероятностью q = 1 – p). Кроме того, рассматриваемые случайные величины попарно
независимы и их дисперсии равномерно ограничены (так как D(Xi) = pq, p + q = 1, откуда pq
≤ ¼ ). Следовательно, к ним можно применить теорему Чебышева при Mi = p:
Х

Х

...

Х
п
lim
p
(1 2

р

)

1
.
n


п
Х

Х
...

Х
1
2
п т
 , так как Xi принимает значение, равное 1, при появлении А в
Но
п
п
данном опыте, и значение, равное 0, если А не произошло. Таким образом,
m
lim
p
 
p



1
,

n

n


что и требовалось доказать.
m
 p. Речь идет лишь о вероятно-сти
Замечание. Из теоремы Бернулли не следует, что lim
n n
того, что разность относительной частоты и вероятности по модулю может стать сколь
угодно малой. Разница заключается в следующем: при обычной сходимости,
рассматриваемой в математическом анализе, для всех п, начиная с некоторого значения,
т
р  выполняется всегда; в нашем случае могут найтись такие значения
неравенство
п
п, при которых это неравенство неверно. Этот вид сходимости называют сходимостью по
вероятности.

Системы случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной
двумерной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения
двумерной случайной величины, их свойства. Вероятность попадания случайной точки
в произвольную область. Отыскание плотностей вероятности составляющих
двумерной случайной величины
Наряду с одномерными случайными величинами, возможные значения которых определяются одним числом, теория вероятностей рассматривает и многомерные случайные величины.
Каждое возможное значение такой величины представляет собой упорядоченный набор
нескольких чисел. Геометрической иллюстрацией этого понятия служат точки п-мерного
пространства, каждая координата которых является случайной величиной (дискретной или
непрерывной), или п-мерные векторы. Поэтому многомерные случайные величины называют
еще случайными векторами.
Двумерные случайные величины.
1. Дискретные двумерные случайные величины.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y) имеет вид таблицы
с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и
вероятности p(xi, yj), с которыми величина принимает значение (xi, yj):
Y
Х
x1
x2
…
xi
…
xn
y1
…
yj
…
ym
p(x1, y1)
…
p(x1, yj)
…
p(x1, ym)
p(x2, y1)
…
p(x2, yj)
…
p(x2, ym)
…
…
…
…
…
p(xi, y1)
…
p(xi, yj)
…
p(xi, ym)
…
…
…
…
…
p(xn, y1)
…
p(xn, yj)
…
p(xn, ym)
При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.
Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения ее составляющих. Действительно, событие Х = х1 представляется собой сумму
несовместных событий (X = x1, Y = y1), (X = x1, Y = y2),…, (X = x1, Y = ym), поэтому
р(Х = х1) = p(x1, y1) + p(x1, y2) +…+ p(x1, ym) (в правой части находится сумма вероятностей,
стоящих в столбце, соответствующем Х = х1). Так же можно найти вероятности остальных
возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно
сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = yj.
Пример 1. Дан закон распределения двумерной случайной величины:
Y
X
-2
3
6
-0,8
0,1
0,3
0,1
-0,5
0,15
0,25
0,1
Найти законы распределения составляющих.
Решение. Складывая стоящие в таблице вероятности «по столбцам», получим ряд распределения для Х:
Х
-2
3
6
р
0,25
0,55
0,2
Складывая те же вероятности «по строкам», найдем ряд распределения для Y:
Y
-0,8
-0,5
p
0,5
0,5
2. Непрерывные двумерные случайные величины.
Определение 7.1. Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X, Y)
называется вероятность того, что X < x, a Y < y:
F( х, у ) = p ( X < x, Y < y ).
y
Рис.1.
(7.1)
Это означает, что точка (X, Y) попадет в область, заштрихованную на рис. 1, если вершина
прямого угла располагается в точке (х, у).
Замечание. Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так и
для дискретной двумерной случайной величины.
Свойства функции распределения.
0 ≤ F(x, y) ≤ 1 (так как F(x, y) является вероятностью).
1) F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу:
F(x2, y) ≥ F(x1, y), если x2 > x1;
F(x, y2) ≥ F(x, y1), если y2 > y1.
Доказательство. F(x2, y) = p(X < x2, Y < y) = p(X < x1, Y < y) + p(x1 ≤ X < x2, Y < y) ≥
≥ p(X < x1, Y < y) = F(x1, y). Аналогично доказывается и второе утверждение.
2) Имеют место предельные соотношения:
а) F(-∞, y) = 0;
b) F(x, - ∞) = 0;
c) F(- ∞, -∞) = 0;
d) F( ∞, ∞) = 1.
Доказательство. События а), b) и с) невозможны ( так как невозможно событие Х<- ∞ или Y
<- ∞), а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенных равенств.
При у = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией
распределения составляющей Х:
F(x, ∞) = F1(x).
При х = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становится функцией
распределения составляющей Y :
F( ∞, y) = F2(y).
Доказательство. Так как событие Y < ∞ достоверно, то F(x, ∞) = р(Х < x) = F1(x). Аналогично
доказывается второе утверждение.
Определение 7.2. Плотностью совместного распределения вероятностей (двумер-ной
плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называ-ется
смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения:
2

F
(x
,y
)
f(x
,y
)
.

x

y
(7.2)
Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения
вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Δх и Δу к площади
х
0
,
у
0
.
этого прямоугольника при 
Свойства двумерной плотности вероятности.
1) f(x, y) ≥ 0 (см. предыдущее замечание: вероятность попадания точки в прямоуголь-ник
неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно,
предел их отношения неотрицателен).
yx
(
x
,y
)

,y
)
dxdy
2) F
(cледует из определения двумерной плотности вероятноf(x



сти).


3)

1(поскольку это вероятность того, что точка попадет на плос-кость
f(x,y)dxdy




Оху, то есть достоверного события).
Вероятность попадания случайной точки в произвольную область.
Пусть в плоскости Оху задана произвольная область D. Найдем вероятность того, что точка,
координаты которой представляют собой систему двух случайных величин (двумерную
случайную величину) с плотностью распределения f(x, y), попадет в область D. Разобьем эту
область прямыми, параллельными осям координат, на прямоугольники со сторонами Δх и
x
y, где ( i , i ) Δу. Вероятность попадания в каждый такой прямоугольник равна f(i,i)
координаты точки, принадлежащей прямоугольнику. Тогда вероятность попадания точки в
n
область D есть предел интегральной суммы

i 1
f(i,i)
x
y, то есть
p
((
X
,
Y
)

D
)

f
(
x
,
y
)
dxdy
.

(7.3)
D
Отыскание плотностей вероятности составляющих
двумерной случайной величины.
Выше было сказано, как найти функцию распределения каждой составляющей, зная
двумерную функцию распределения. Тогда по определению плотности распределения
x





d
f
(
x
,
y
)




dF
(
x
)
dF
(
x
,

)






1
f
(
x
)




f
(
x
,
y
)
dy
.
1

dxdx dx

(7.4)

Аналогично находится
f2(y
)f(x
,y
)
dx
.


18. Словарь терминов (глоссарий)
В данном разделе термины учебной дисциплины (модуля) должны быть
сгруппированы по алфавиту и темам учебного курса.
Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в
результате опыта.
Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в
результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в
результате опыта.
Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов
опыта.
Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые
взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий,
также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить
о том, происходит или не происходит это событие.
Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством
элементарных событий.
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них
появится в результате опыта с большей возможностью.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает
появление других.
Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления
этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа
благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных
исходов опыта, образующих полную группу событий.
P(A) 
m
n
Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате
опыта этого исхода влечет за собой появление события А.
Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате
которых произошло событие А к общему числу опытов.
Статистической вероятностью события А наз. относительную частоту этого события .
Геометрические вероятности - вероятности попадания точки в какой – либо отрезок или
часть плоскости (пространства).
Так если на отрезке длиной L выделен отрезок длины l, то вероятность попадания наугад
взятой точки в отрезок l равна отношению l/L.
События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой
осуществление события В и наоборот.
Суммой событий Аk называется событие A, которое означает появление хотя бы одного
из событий Аk.
Произведением событий Ak
называется событие А, которое заключается в
осуществлении всех событий Ak.
Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит
событие А, но не происходит событие В.
Противоположным к событию А называется событие А ,означающее,что событие А не
происходит.
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит
от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В,
если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло
1
событие В или нет.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А,
называется условной вероятностью события В.
Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может
произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из
испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются
независимыми относительно события А.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может
принимать то или иное значение, причем заранее не известно какое именно.
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате
опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие
счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).
Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может
принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Соотношение между возможными значениями случайной величины и их
вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или
графически.
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется
рядом распределения.
Графическое представление этой таблицы называется многоугольником
распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет
собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна
единице.
Числовыми характеристиками случайной величины называются величины , которые
определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной
величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма
произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.
n
m

M
(
X
)

x
p

x
p

...

x
p

x
p

x
1
1
2
2
n
n
i
i
i

1
Математическое ожидание существует, если ряд, стоящий в правой части равенства,
сходится абсолютно. Математическое ожидание приближенно равно среднему
арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Дисперсией
(рассеиванием)
дискретной
случайной
величины
называется
математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического
2
X

D
(
X
)
M

M
(
X
)
ожидания.
Средним квадратическим отклонением
случайной величины Х называется

(X) D
(X)
квадратный корень из дисперсии
Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того,
что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.
F
(x
)P
(Xx
)
Функцию распределения также называют интегральной функцией.
Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных
величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм
закона распределения.
Для дискретной случайной величины функция распределения имеет вид:
F
(x
)
P
(X

x

i)
x
x
i
Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется
на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х.
Функция распределения дискретной случайной величины Х разрывна и возрастает
скачками при переходе через каждое значение хi.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х
называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).
f(x)F(x).
Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для
описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.
После введения функций распределения и плотности распределения можно дать
следующее определение непрерывной случайной величины.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения
F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за
исключением, может быть, конечного числа точек.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения
которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл
b
M
(X
)xf
(x
)dx
a
Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой
оси, то математическое ожидание находится по формуле:

M
(X
)xf
(x
)dx


При этом предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание
квадрата ее отклонения.

2
D
(
X
)

[
x

M
(
X
)]
f
(
x
)
dx



По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического
вычисления дисперсии используется формула:

2
2
D
(
X
)

x
f
(
x
)
dx

[
M
(
X
)]



Средним
дисперсии.
квадратическим
отклонением
называется
квадратный
корень
из

(X) D
(X)
Модой М0 дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное
значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной
величины, при которой плотность распределения имеет максимум.
f(M
.
0)max
Медианой MD случайной величины Х называется такое ее значение, относительно
которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины
P
(
X

M
)

P
(
X

M
)
D
D
Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой
распределения делится пополам.
Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется
[Xk].
математическое ожидание величины Хk. : k M
Для дискретной случайной
n
xik pi .
величины: k 
i1

xkf(x
)dx
Для непрерывной случайной величины: 
.
k 


Центральным моментом порядка k
k
математическое ожидание величины (Xmx ) .:
случайной величины Х
k

M
[(
X

m
k
x)]
называется
n
(
x
m
)kp
Для дискретной случайной величины: 

k
i
x
i.
i
1

k
m
)
f(
x
)
dx
Для непрерывной случайной величины: 
.
k
x
(x


Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому

ax  33
отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.
x
Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения
4
используется величина, называемая эксцессом. Cx  4 3
x
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [a,
b], если на этом отрезке плотность распределения случайной величины постоянна, а вне него
0
, xa


C
, axb
равна нулю : f(x)

0
, xb

Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей
непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью
0
, при
x

0

f(
x
)



x

e, при
x

0

где  - положительное число.
Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность
безотказной работы устройства в течение времени t.
Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе
распределения равна:


t
R
(
t)
1

F
(
t)
e
.
Данное соотношение называют показательным законом надежности.
Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной
1
2
(x

m
)
x
 2
2

x
x
)
e
;
величины, которое описывается плотностью вероятности f(


x 2
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или
кривой Гаусса.
x
2 t2

(
x
)

Функция
e dt называется функцией Лапласа или интегралом
0
вероятностей.
Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в
специальных таблицах.
Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x.
Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа
x
2
1
x

 1
t
/
2

(
x
)



e
dt
;


соотношением:

2

2
 2
0
При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный
случай, известный как правило трех сигм.
P
(
X

m

3

)

2

(
3
)

2

0
,
49865

0
,
9973
,
т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического
ожидание на величину, большую , чем утроенное среднее квадратическое отклонение
практически равна нулю.
Законом распределения системы случайных величин называется соотношение,
устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин
и вероятностями появления системы в этих областях.
Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция
двух аргументов F(x, y), равная вероятности совместного выполнения двух неравенств X<x,
F
(
x
,y
)

P
(
X

x
,
Y

y
)
Y<y.:
Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной случайной
величины (X, Y) называется вторая смешанная частная производная от функции
2

F
(x
,y
)
f
(
x
,
y
)

распределения :

x

y
Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора,
систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для
выявления существующих закономерностей
Генеральная
совокупность
–
совокупность
всех
подлежащих
изучению
объектов относительно некоторого признака (с.в.) Х.
Выборочная совокупность ( выборка ) – ограниченная совокупность объектов.
отобранных случайным образом из генеральной совокупности.
Выборка наз. репрезентативной, если она достаточно хорошо представляет изучаемый
признак Х объектов генеральной совокупности.
Объём генеральной или выборочной совокупности – число объектов (наблюдений) в
соответствующей совокупности.
Варианты x1, x2,...,xn – значения изучаемого признака (с.в.) Х.
Ранжирование статистических данных – операция расположения вариант по
неубыванию.
Вариационный ряд - последовательность вариант, записанных в неубывающем
порядке.
Частота варианты xi - число ni , показывающее, сколько раз встречается эта варианта
в ряде наблюдений.
Относительная частота варианты wi - отношение частоты варианты к объёму
выборки.
Статистическим распределением выборки
называется
перечень вариант и
соответствующих им частот или относительных частот.
Эмпирической ( выборочной ) функцией распределения называется функция ,
определяемая соотношением
Fn* ( x)  W(X<x).
Полигон частот - ломаная с вершинами в точках ( хi , ni ).
Полигон относительных частот - ломаная с вершинами в точках ( xi . wi ).
Гистограмма частот (относительных частот) - ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h , а высоты
равны плотностям частот
ni
( плотностям относительных частот
h
wi
).
h
Выборочная

средняя
xв
- среднее арифметическое всех вариант выборки.
Выборочная
дисперсия
Dв
среднее арифметическое квадратов отклонений всех
вариант от выборочной средней.
Выборочное среднее квадратическое отклонение (с.к.о.)  в есть квадратный корень
из выборочной дисперсии.
Исправленная выборочная дисперсия. S 2 определяется соотношением
n
Dв
S2 
n 1
Исправленное выборочное с.к.о. S
есть квадратный корень из исправленной
выборочной дисперсии.
Размах вариации R - разность между наибольшей и наименьшей вариантами
Мода M 0 вариационного ряда - варианта, имеющая наибольшую частоту.
Медиана me - варианта, стоящая в середине вариационного ряда.
Статистикой называют всякую функцию результатов наблюдений, т.е. любую функцию
*
Xn)
выборки   ( X1,X2,...,

Статистической оценкой
неизвестного параметра
теоретического
*
*
распределения изучаемого признака Х называется статистика  , которая в определённом
смысле близка к истинному значению  .
Точечная статистическая оценка (т.с.о.) есть стат. оценка  * , определяемая одним
числом.
*
Т.с.о.  * называется несмещённой т.с.о. параметра  , если M() .
В противном случае, т.с.о.  * называется смещённой т.с.о. параметра  .
Т.с.о.  * параметра  называется состоятельной, если она сходится по вероятности
к оцениваемому параметру.
Т.с.о.  * параметра  называется эффективной, если её дисперсия минимальна.
Оценка неизвестного параметра  называется интервальной, если она
Определяется двумя числами - концами интервала, в котором находится  .
*
*
Интервал ( 1 ,  2 ), покрывающий с заданной вероятностью  истинное
значение параметра  , называется доверительным интервалом, а вероятность 
надёжностью оценки или доверительной вероятностью.
Случайные величины X и Y называются независимыми, если изменение любой из них
не влечёт изменение распределения другой.
Если изменение хотя бы одной из случайных величин X или Y влечёт изменение
распределения другой, то зависимость между Х и Y называется
статистической.
Статистическая зависимость, при которой изменение одной с.в. влечёт
изменение среднего значения другой с.в. наз. корреляционной.
Условным средним y x наз. среднее арифметическое значений с.в. Y, соответствующих
значению с.в. Х: Х=х
Корреляционной зависимостью с. в. Y от с. в. Х наз. функциональную
y x = f(x).
зависимость условной средней y x от х:
Соотношение y x = f(x) наз. уравнением регрессии с.в. Y на с.в. X.
Функцию f(x) наз. функцией регрессии с.в. Y на с.в. X.
График Функции f(x) наз. линией регрессии с.в. Y на с.в. X.
Аналогично определяются уравнение регрессии с.в. X на с.в. Y,
функция g(y) регрессии с.в.. X на с.в. Y, линия регрессии с.в. X на с.в. Y.
Если обе функции регрессии f(x) и g(y) - линейны, то корреляцию наз.
линейной; в противном случае – нелинейной корреляцией.
Уравнения линий регрессии, найденные по результатам выборки, наз.
выборочными уравнениями регрессии.
Статистической гипотезой (или просто гипотезой) называется всякое предположение
о виде распределения изучаемого признака или о неизвестных параметрах известного
распределения изучаемого признака.
Выдвинутую гипотезу H 0 называют нулевой или основной
H 1 , которая
Конкурирующей или альтернативной называют гипотезу
противоречит основной гипотезе.
Гипотезу, содержащую только одно предположение, называют простой,
в противном случае - сложной.
При стат. проверке стат.
гипотезы могут быть допущены ошибки двух родов:
Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается нулевая гипотеза, когда она на самом
деле верна. Ошибка второго рода состоит в том, что отвергается альтернативная гипотеза,
когда она на самом деле верна.
Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости и обозначается
через  .
Специально подобранная случайная величина K , которая служит для проверки
нулевой гипотезы,
наз. статистическим критерием или просто критерием.
K набл - это значение стат.
Наблюдаемое значение статистического критерия
критерия, вычисленное по произведённой выборке.
Критическая область - это множество возможных значений стат. критерия, при
которых нулевая гипотеза отвергается.
Область принятия гипотезы – это множество возможных значений стат. критерия , при
которых нулевая гипотеза принимается.
k кр , или квантили - это точки, которые разграничивают
Критические точки
критическую область и область принятия гипотезы.
Правосторонняя критическая область определяется неравенством K> k кр1 >0 .
Левосторонняя критическая область определяется неравенством K< k кр 2 <0 .
Двусторонняя критическая область определяется совокупностью указанных выше
неравенств.
Критерием согласия наз. стат. критерий проверки гипотезы о предполагаемом
законе распределения изучаемого признака генеральной совокупности.
19. Балльно-рейтинговая система, используемая преподавателем для оценивания знаний
студентов по дисциплине.
Должна быть представлена в виде технологической карты (является приложением к
УМК).
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
040400 «Социальная работа»
(код, направление, профиль)
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА
Шифр дисциплины по РУП: Б2.В.3
Дисциплина: Основы теории вероятностей
Курс 2; семестр 1
Кафедра Математики и математических методов в экономике
Ф.И.О. преподавателя, звание, должность:
Общ. трудоемкость: 252/7; Количество семестров: 2; Интерактивн.формы: 18/10
ЛК: 32/16 ; ПР: 48/24; ЛБ – . Форма отчетности: нет
№
п/п
Содержание задания
Количество
мероприятий
Максимальное
количество
баллов
Срок
предоставления
Основной блок
1.
2.
3.
4.
5.
Посещение занятий
Домашняя
контрольная
работа
по
теме
«Определения
вероятности» + защита
Домашняя
контрольная
работа по теме «Теоремы
сложения и умножения
вероятностей» + защита
Домашняя
контрольная
работа по теме «Повторные
независимые испытания» +
защита
Домашняя
контрольная
работа
по
теме
«Дискретные
случайные
величины» + защита
20
1
20
20
по расписанию
Октябрь
1
20
Ноябрь
1
20
Ноябрь
1
20
Декабрь
Итого:
100
Дополнительный блок
Внеучебная деятельность
1.
2
Решение дополнительных примеров по теме
«Следствия теорем сложения и умножения»
Решение дополнительных примеров по теме
«Геометрическое и гипергеометрическое
распределения»
Итого:
10
10
20
по согласованию с
преподавателем
ОСНОВНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА
040400 «Социальная работа»
(код, направление, профиль)
ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА
Шифр дисциплины по РУП: Б2.В.3
Дисциплина: Основы теории вероятностей
Курс 2; семестр 2
Кафедра Математики и математических методов в экономике
Общ. трудоемкость: 252/7; Количество семестров: 2; Интерактивн.формы: 18/8
ЛК: 32/16 ; ПР: 48/26; ЛБ – . Форма отчетности: экзамен
№
п/п
Содержание задания
Количество
мероприятий
Максимальное
количество
баллов
Срок
предоставления
Основной блок
1.
2.
3.
4.
Посещение занятий
Домашняя
контрольная
работа
по
теме
«Непрерывные случайные
величины» + защита
Домашняя
контрольная
работа по теме «Закон
больших
чисел
и
предельные теоремы» +
защита
Домашняя
контрольная
работа
по
теме
«Двумерные
случайные
величины» + защита
Экзамен
20
1
10
15
по расписанию
Март
1
15
Апрель
1
20
Май
Итого:
60
1
40
Итого:
40
Дополнительный блок
по расписанию
Внеучебная деятельность
1.
2
Решение дополнительных примеров по теме
«Цепи Маркова»
Решение дополнительных примеров по теме
«Аксиоматическое построение теории
вероятностей»
Итого:
10
10
по согласованию с
преподавателем
20
20. Изменения в рабочей программе, которые произошли после ее утверждения:
Характер
изменений в
программе
Номер и дата
протокола заседания
кафедры, на котором
было принято данное
решение
Подпись заведующего
кафедрой,
утверждающего
внесенное изменение
Подпись декана факультета
(проректора по учебной
работе), утверждающего
данное изменение
21. Учебные занятия по дисциплине ведут:
Ф.И.О., ученое звание и степень
преподавателя
Дарбинян А. З.
Учебный год
2013/2014
Факультет
ИСН
Специальность
040400 «Социальная работа»