Пример решения контрольной задачи на принцип возможных

Пример решения контрольной задачи на принцип возможных скоростей
C
На систему 2х стержней действует сила, момент и
распределенная нагрузка.
F
q
𝛼
1. Для каждой внешней реакции преобразуйте
внешние связи, напишите уравнения возможных
M
мощностей их реакций и соотношения скоростей.
D
2. Вопрос: как нужно направить прямой
B
стержень, чтобы задача стала статически
неопределимой, а связи недостаточными?
A
А.Костарев
1. Решение
C
F
ND
𝛼
YA
XA
M
Q
A
A
Связи достаточны, т.е. обеспечивают покой
системы двух тел при любой плоской нагрузке. К
такой системе принцип применить
непосредственно нельзя.
Чтобы найти внешние реакции XA, YA, ND,
mD будем для каждой реакции преобразовывать
B
связи так, чтобы система могла перемещаться
вдоль искомой реакции связи, образовав механизм с одной степенью свободы,.
mD D
Реакция XA
C
F
ND
𝛼
A
YA
M
Q VBCD
XA A
VA
ω
mD D
B
Шарнир А заменяем катком вдоль оси х.
Получаем механизм с одной степенью свободы.
Искомую реакцию XA считаем неизвестной
активной силой, уравновешивающей остальные
силы.
Изучать движение механизма начинаем с изогнутого
стержня BCD, совершающего более простое
поступательное движение. Даем стержню BCD
возможную скорость VBCD вдоль CD, изображая ее
в общей точке В.
При этом точка А стержня АВ приобретет
скорость VA вдоль реакции XA. Стержень АВ
совершает плоское движение, вращаясь в данный
P
момент вокруг мгновенного центра скоростей
(МЦС) Р с возможной угловой скоростью ω. Р находится на пересечении
перпендикуляров к возможным скоростям точек А и В.
Поскольку механизм находится в покое, то выполняется принцип возможных скоростей.
Приравниваем нулю возможную мощность всех активных сил. Мощность сил,
приложенных к стержню АВ в плоском движении, вычисляем как произведение момента
силы на угловую скорость стержня ω
𝑋𝐴 𝐴𝑃𝜔 − 𝑄
Кинематическая связь:
𝐴𝐵
𝜔 − 𝐹𝑉𝐵𝐶𝐷 𝑆𝑖𝑛 ∝= 0
3
𝐴𝐵
,
𝐶𝑜𝑠 ∝
оставляет в уравнении одну неизвестную XA.
𝑉𝐵𝐶𝐷 = 𝜔ВР,
𝐵𝑃 =
1
𝐴𝑃 = 𝐴𝐵𝑡𝑔 ∝ , 𝑄 = 𝑞𝐴𝐵
2
Реакция YA
Шарнир А заменяем катком вдоль оси у.
C
F
ND
𝛼
YA
Q
XA
𝛼
ω
A
M
mD D
A
B
P
Даем шарниру А возможную скорость
VA вдоль оси у. Скорость шарнира В может
быть направлена только вдоль СD, поэтому
МЦС стержня АВ находится в точке В. Это
значит, что стержень ВСD неподвижен, а
стержень АВ вращается вокруг В с возможной
угловой скоростью 𝜔.
VA
Приравниваем нулю возможную
мощность всех сил, приложенных к стержню АВ, вычисленную как произведение
момента силы относительно В на угловую скорость стержня ω.
−𝑌𝐴 𝐴𝐵𝜔 + 𝑄
Это уравнение определяет реакцию 𝑌𝐴 .
2𝐴𝐵
𝜔=0
3
А.Костарев
Реакция mD
Скользящую заделку D ставим на
шарнир, давая возможность поворота вокруг
ND
D.
𝛼
A
Стержень АВ совершает вращение
YA
вокруг А. Даем ему возможную угловую
M mD
Q
D
скорость 𝜔. Общая точка B приобретает
XA
A
ω
BCD
возможную скорость VB.
B
P
Скорость точки D направлена вдоль
ωAB
CD, поэтому стержень в плоском движении
VB
совершает вращение вокруг МЦС Р с
возможной угловой скоростью 𝜔𝐵𝐶𝐷 . Ее направление определено скоростью VB.
Приравниваем нулю возможную мощность всех сил. Мощность сил вычисляем как
произведение момента относительно их центров скоростей А и Р соответственно на
угловые скорости стержней.
𝐴𝐵
𝑄
𝜔 + (𝑚𝐷 − 𝐹𝐶𝐵 − 𝑀)𝜔𝐵𝐶𝐷 = 0
3 𝐴𝐵
C
F
Связь скоростей 𝜔𝐴𝐵 и 𝜔𝐵𝐶𝐷 находим через выражение скорости 𝑉𝐵 общей точки В:
𝑉𝐵 = 𝐴𝐵𝜔𝐴𝐵 = 𝐵𝑃𝜔𝐵𝐶𝐷 ,
𝐵𝑃 = 𝐶𝐷𝑆𝑖𝑛 ∝ −(𝐵𝐶 − 𝐶𝐷𝐶𝑜𝑠 ∝)𝐶𝑡𝑔 ∝ ,
Подстановка связи скоростей в уравнение мощностей позволяет найти момент реакции mD
Реакция ND
Скользящую заделку D заменяем двойной скользящей заделкой, которая позволяет
стержню BCD двигаться произвольно, но
C
F
только поступательно. Направление
ND
поступательного движения задает общий
𝛼
mD A
шарнир В.
YA
M
Q
Даем стержню АВ возможную угловую
D
XA
A
скорость 𝜔 вокруг шарнира А. Возможные
B
VВ
скорости всех точек стержня BCD одинаковы
ω
и равны VВ.
VВ
Приравниваем нулю возможную мощность
всех активных сил. Мощность сил, приложенных к стержню АВ в его вращении вокруг А
вычисляем как произведение момента на угловую скорость стержня ω. Искомая реакция
ND создает мощность на скорости VВ
−𝑁𝐷 𝑉𝐵 𝑆𝑖𝑛 ∝ +𝑄
Кинематическая связь:
𝐴𝐵
𝜔=0
3
𝑉𝐵 = 𝐴𝐵𝜔
Подстановка связи скоростей в уравнение мощностей позволяет найти реакцию 𝑁𝐷
А.Костарев
2. Ответ на вопрос
Перпендикулярно CD.
Здесь следует исходить из факта, что при правильном числе неизвестных, как
только связи становятся избыточными в одном направлении, они становятся
недостаточными в другом направлении.
Если стержень АВ перпендикулярен CD, то появляется свобода перемещения
стержня BCD вдоль CD. Одновременно связи будут избыточными по направлению АВ.