Автор-создатель: Соловьева О.И., учитель математики лицея №12, г.

Причина популярности
теоремы Пифагора
триедина - это красота,
простота и
значимость!
Автор-создатель:
Соловьева О.И.,
учитель математики
лицея №12, г.
Лениногорска РТ
Бухта
знани
й
Бухта
заданий
Бухта
треугольников
Бухта
любозна
тельных
Пифагор и
его учение
Бухта
афоризмо
в
S2
b
b
a
S1
а
b
с
3
4
5
S1
S2
a
S
Проверь результат
с
с
S
а
3
b
4
с
5
S1
S2
S
9
16
25
S2
b
b
a
S = S1 + S2
S1
a
с
с
25 = 32 + 42
с2 = a2 + b2
Площадь квадрата, построенного на
гипотенузе, равна сумме площадей
квадратов, построенных на катетах
S
а
b
b
с
с
а
S = ab/2
S = 4ab/2 + c2 или
S = 2ab + c2
S = (a + b)2
(a + b)2 = 2ab + c2
а
с
с
b
c2 = a2 + b2
b
а
Доказательство теоремы Пифагора
Ресурс ЕКЦОР «Три формулировки теоремы Пифагора» (№185378).
2
c
2
a
=
2
a
=
2
c
+
-
2
b
2
b
b2 = c2 - a2
Дата и место рождения: прим. 570 до н. э.
Сидон или Самос
Дата и место смерти: прим. 490 до н. э.
Метапонт (Италия)
Школа/традиция: Пифагореизм
Период: Древнегреческая философия
Направление: Западная Философия
Основные интересы: метафизика, математика,
музыка, этика, политика
Значительные идеи: Музыка сфер, Золотое
сечение, Пифагорейский
строй, Теорема Пифагора
Оказавшие влияние: Фалес, Анаксимандр
Последователи: Филолай, Алкмеон,
Парменид, Платон, Евклид,
Эмпедокл, Гиппас, Кеплер
Пифагор родился в 580 г. до н. э. на острове
Самос. Про жизнь Пифагора известно очень
мало, с его именем связано большое число
легенд. Пифагор – один из самых известных
ученых, но и самая загадочная личность,
человек-символ, философ и пророк. В
молодости он много путешествовал, собирая
по крупицам знания древнейших народов по
математике, астрономии, технике. Вернувшись
на родину, на остров Самос, он собирает
вокруг себя юношей и ведёт с ними беседы.
Так образовался “ пифагорейский союз”.
Предание гласит, что когда Пифагор пришёл к
теореме, носящей его имя, он принёс богам
100 быков.
Ресурс ЕКЦОР: «Репродукции
старинных трактов с
доказательствами теоремы
Пифагора» (№185287).
Открытие и понимание теоремы
протекало в несколько этапов:
Алгебраическое
наблюдение
существования
Пифагоровых троек
(прямоугольных
треугольников с
целочисленными
сторонами), то есть
численная проверка того,
что квадрат длины
гипотенузы оказывается
равным сумме квадратов
длин катетов.
Более глубокое
понимание теоремы,
связанное с понятием
площади, и
основанные на этом
доказательства,
например,
доказательства путём
перестановки.
Согласно комментариям Прокла к трудам
Евклида, Пифагор (569—475 гг. до н. э.),
использовал алгебраические методы для
конструкции Пифагоровых троек.
Доказательства,
основанные на
Евклидовой геометрии, в
частности,
доказательство методом
подобия треугольников,
а также доказательство
Евклида.
Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев был
пентаграмм, называемый также пифагорейской звездой.
Эту фигуру можно получить, если продолжить стороны
правильного пятиугольника до их взаимного пересечения.
Пифагорейцы пользовались этой фигурой, вычерчивая ее
на песке, чтобы приветствовать и узнавать друг друга.
Фигура эта в самом деле
необычайно интересна: она
обладает свойствами,
выделяющими ее среди других
звезд. Сумма углов пентаграмма, как
мы увидим ниже, равняется двум
прямым углам и, следовательно,
напоминает нам треугольник, сумма
углов которого тоже равняется 180
градусам.
уровень А
уровень В
уровень С
Найди гипотенузу!
3
4
5 – не гоняйся за счастьем
6 – не бегай за счастьем
В
С
Вычислите
сторону АВ
10
8
А
Д
4 - оно присутствует
6 – оно всегда находится
В
С
Вычислите
длину ВО.
О
5
А
12
Д
6,5 – в тебе самом
13 – около тебя
В
АС = 8
АВ = ВС
ВД - высота.
Найдите сторону АВ.
3
А
Д
С
5 – либо молчи
6 – хочешь молчи
В
С
О
А
10
12
Д
СО = 10
СД = 12
Вычислите
сторону ВС.
16 – либо говори то
32 – или говори о том
В
А
О
С
АВСД - ромб
ВД = 16
АС = 12.
Вычислите
периметр ромба.
Д
20 – что интересно всем
40 – что ценнее молчания
В
18
А
Является ли
треугольник
прямоугольным?
21
30
С
Нет - числа
Да - формулы
В
А
С
К
Д
40 - управляют
30 – правят
АД = 13
КД = 12
АВ = 2.
Найдите площадь
фигуры АВСД.
4
В
С
Найдите площадь
трапеции,
если ВС = 4, АД = 8.
600
А
8
К
Д
12 - всем
12√3 - миром
Не гоняйся за счастьем, оно всегда находится в тебе
самом (вариант - А)
Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания
(вариант-В)
Числа управляют миром (вариант - С)
Научись жить просто и без роскоши.
Не пренебрегай здоровьем своего тела.
Делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не принудит
раскаиваться.
Не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих
поступков за день
Вернись назад
Получается в простейшем случае
равнобедренного треугольника. Достаточно
просто посмотреть на мозаику равнобедренных
прямоугольных треугольников. Для треугольника
АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС,
содержит 4 исходных треугольника, а квадраты,
построенные на катетах, -по два.
В этом трактате теорема Пифагора рассмотрена
для египетского треугольника с катетами 3,4 и
гипотенузой 5 единиц измерения. Квадрат на
гипотенузе содержит 25 клеток, а вписанный в
него квадрат на большом катете-16.Ясно что
оставшаяся часть содержит 9 клеток. Это и будет
квадрат на меньшем катете.
Ранее были представлены только такие доказательства, в которых квадрат,
построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты,построенные на
катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства
называются доказательствами при помощи сложения ("аддитивными
доказательствами") или, чаще, доказательствами методом разложения. До
сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных
на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако
во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов.
На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены
ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в
доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э.,
индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата
со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть
двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного
на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5.
Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата,
построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2
равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат,
построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два
различных расположения близких к тому, которое дается на
первом рисунке.
Элегантное доказательство при помощи
перестановки
Если утверждение теоремы гласит о
равенстве площади фигур, то наивно это
можно интерпретировать как факт
равносоставлености данных фигур. В
нашем случае это означает, что, правильно
разрезав квадраты, построенные на
катетах, получившимися кусочками можно
замостить квадрат, построенный на
гипотенузе. В этом состоит идея
доказательств методом перестановки.
Существует большое число таких
доказательств, соответственно числу
возможных разбиений квадратов.
Пример одного из таких доказательств
указан на чертеже справа, где квадрат,
построенный на гипотенузе,
перестановкой преобразуется в два
квадрата, построенных на катетах.
Элегантное доказательство
при помощи перестановки
Идея доказательства Евклида состоит в следующем:
половина площади квадрата, построенного на гипотенузе,
равна сумме половин площадей квадратов, построенных на
катетах, а тогда и площади большого и двух малых
квадратов равны. Рассмотрим чертеж слева. На нём мы
построили квадраты на сторонах прямоугольного
треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s
перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат
ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника
— BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади
данных прямоугольников в точности равны площадям
квадратов, построенных на соответствующих катетах.
Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK
Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник,
равна половине площади заданного прямоугольника. Следовательно, площадь
треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке),
которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK.
Докажем, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата
DECA. Докажем равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA
равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Треугольники равны
по двум сторонам и углу между ними. Именно — AB=AK,AD=AC — равенство углов CAK и
BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против
часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых
треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата — 90°).
Главные элементы доказательства —
симметрия и движение.
Рассмотрим чертёж, как видно из
симметрии легко, отрезок CI рассекает
квадрат ABHJ на две одинаковые части
(так как треуголники ABC и JHI равны по
построению). Пользуясь поворотом на
90 градусов против часовой стрелки, мы
усматриваем равенство
заштрихованных фигур CAJI и GDAB.
Теперь ясно, что площадь
заштрихованной нами фигуры равна
сумме половин площадей квадратов,
построенных на катетах, и площади
исходного треугольника. С другой
стороны, она равна половине площади
квадрата, построенного на гипотенузе,
плюс площадь исходного треугольника.
Последний шаг в доказательстве
предоставляется читателю.
Пифагорово число (пифагорова тройка) —
комбинация из трёх целых чисел ,
удовлетворяющих соотношению Пифагора:
x2 + y2 = z2
Поскольку уравнение x2 + y2 = z2 однородно,
при домножении x, y и z на одно и то же число
получится другая пифагорова тройка.
Пифагорова тройка называется примитивной,
если она не может быть получена таким
способом, то есть — взаимно простые числа.
Пифагорова тройка задаёт точку с
рациональными координатами на единичной
окружности x2 + y2 = 1.
Некоторые пифагоровы тройки
(отсортированы по возрастанию
максимального числа, выделены
примитивные):
(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17),
(12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26),
(20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35),
(12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41)…
Прямоугольные треугольники, у которых длины
сторон выражаются пифагоровыми числами,
b
называются пифагоровыми.
а
b
с
3
5
6
4 12 8
7
с
9 11 13 15 21 33
24 40 60 84 8
а
20 56
5 13 10 25 41 61 85 17 29 65
b = (a2 - 1)/2.
c = (a2 - 1)/2.
Свойства:
1. один из "катетов" должен
быть кратным трем;
2. один из "катетов" должен
быть кратным четырем;
3. одно из пифагоровых чисел
должно быть кратно пяти;
Египетский
треугольник.
5
4
3
Пифаго́ровы штаны́ (школьн.,
устар.) — шуточное название
теоремы Пифагора, возникшее в
силу того, что раньше в школьных
учебниках эта теорема доказывалась
через доказательство равенства
суммы площадей квадратов,
построенных на катетах
прямоугольного треугольника,
площади квадрата, построенного на
гипотенузе этого треугольника.
Построенные на сторонах
треугольника и расходящиеся в
разные стороны квадраты
напоминали школьникам покрой
мужских штанов, что породило
следующее стихотворение:
«Пифагоровы штаны — на все
стороны равны».
Выберите формулы, которые отражают смысл теоремы
Пифагора, где а и в – катеты, с – гипотенуза.
2
a
2
b
2
с
=
2
c
-
2
b
=
2
c+
2
a
2
c
=
2
a
2
b
2
b
-
c=a+b
=
=
2
a
2
c
+
2
b
-
2
a
Задача Древней Индии
Задача
Над озером тихим
С полфута размером
Высился лотоса цвет.
Он рос одиноко,
Парус имеет вид
четырехугольника АВСД,
углы А,В,С,Д равны 450.
Найдите площадь паруса,
если ВД = 4 м.
И ветер порывом
А
Отнес его в сторону. Нет
Более цветка над водой.
Нашел же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
"Как озера вода здесь глубока?"
В
Д
С