Идентификация двухмассовой модели

Идентификация
двухмассовой модели
Модель двухмассовой системы
 b
 J
 1
A   cy

 0

a  750

1
J1
0
1
J2

0 

c y 

0 

a
J 
 1
B0
0
 
 
C  1 0 0
Нм
, b  2,9 104 Нмс - Коэффициенты механической
В
J 1  6600 êãì 2 - Момент инерции первой массы
cy  8,62 108 Нм
характеристики двигателя
- Коэффициент упругости
Момент инерции второй массы
матрицы модели состояния в числовом формате
J 2  197300 кгм 2 -
A=
1.0e+008 *
-0.0000 -0.0000 0
8.6300 0
-8.6300
0
0.0000 0
B=
0.1142
0
0
C=
1
0
0
характеристический полином матрицы А в числовом формате
d=poly(A)
d(1) =1, d(2)=4.3939, d(3)=1.3513e+005,
d(4)=1.9219e+004
Полученные коэффициенты указывают на то, что имеется два комплексно
сопряжённых собственных числа с большим коэффициентом мнимой части
Собственные числа матрицы А в числовом формате
s=eig(A)
s=
1.0e+002 *
-0.0213 + 3.6760i
-0.0213 - 3.6760i
-0.0014
Время переходного процесса определяется собственным числом s3= -0.0014
tï
3
s3
Колебательная составляющая затухает очень быстро, по переходной
характеристике можем оценить s3
Построение переходной характеристики по скорости первой массы
Переходная характеристика по углу первой массы
Step Response
0.03
0.025
Amplitude
0.02
0.015
0.01
1
s3
0.005
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Time (sec)
В примере al=1/(abs(s(3))),
al =
7.0310
Это очень хорошо согласуется с графиком, одно собственное число
достаточно просто находится по переходной характеристике.
Построение начального участка переходной характеристики
10
x 10
-4
Step Response
8
Amplitude
6
4
2
0
-2
-4
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
Time (sec)
Как известно,   2 f 
2
, здесь Tk  период колебаний
Tk
По графику, построенному в Matlab, составляем таблицу
tmax c
Amax
Amin
t min c
Tk c
2A
0,0039
0,000311
-0,000236
0,0126
0,000537
0,0212
0,000347
-0,000167
0,0301
0,0173
0,000514
0,0383
0,000409
-0,000080
0,0473
0,0171
0,000489
0,0558
0,000465
-0,000024
0,0641
0,0175
0,000489
0,0722
0,000514
0,000060
0,0812
0,0164
0,000454
0,0899
0,00576
0,000124
0,0983
0,0177
0,000452
0,107
0,000616
0,000200
0,116
0,0171
0,000416
0,124
0,000685
0,000268
0,132
0,0170
0,000417
0,141
0,000725
0,000337
0,15
0,0170
0,000338
0,158
0,000789
0,000414
0,166
0,0170
0,000375
0,176
0,000840
0,000469
0,184
0,0180
0,000371
0,192
0,000897
0,0160
По таблице находим период колебаний как среднее значение
разностей времён соседних максимумов
Tk=(173+171+175+164+177+171+170+170+170+180+160)/11Tk = 171*10^-4
  2 f 
2
Tk
om=2*pi/.0171, om = 367.4377
В действительности
Совпадение по частоте колебаний отличное.
  367,6
Отношение амплитуд затухающих колебаний равно
A1 e t1
  t2  e (t1 t2 )
A2 e
Из таблицы на предыдущем слайде при t1  0,0039c двойная амплитуда
равна 2 A  0,000537, а при t2  0,176c имеем 2 A  0,000371
Отсюда находим
al=log(537/371)/(.0039-.184),
al = -2.0533
В действительности
  2,13
Найдём характеристический полином матрицы состояния в символьном виде
syms b J1 J2 cu
A1=[-b/J1 -1/J1 0;cu 0 -cu;0 1/J2 0]
d=collect(poly(A1))
d = x^3 + (b/J1)*x^2 + (cu/J1 + cu/J2)*x + (b*cu)/(J1*J2)
Определив экспериментально собственные числа
можем составить систему уравнений
s1 , s2 , s3 матрицы А,
b
   s1  s2  s3
 J1
 1 1
cu (  )  s1s2  s1s3  s2 s3
 J1 J 2
 bcu   s s s
1 2 3
 J1 J 2
Передаточная функция объекта в цифровом формате
W=tf(S)
Transfer function:
0.1142 s^2 + 499.7
Передаточная функция объекта в аналитическом виде
----------------------------------------------------------
1
a( J 2 s 2  cu )


s^3 + 4.394 s^2 +W1.351e005
u J1 Js2 s+3 1.922e004
 J 2bs 2  ( J1  J 2 )cu s  cu b
Преобразуем эту передаточную функцию
a 2 acu
s 

J1
J1 J 2
W 1
u s 3  b s 2  ( J1  J 2 )cu s  cu b
J1
J1 J 2
J1 J 2
В знаменателе получим характеристический полином, в точности
совпадающий с полиномом на слайде 8.
Логарифмические частотные характеристики
-20
дБ/дек
+20
дБ/дек
-20
дБ/дек
На основании логарифмической АЧХ заключаем, что передаточная функция
объекта состоит из пропорционального звена, апериодического звена,
дифференцирующего звена второго порядка и колебательного звена.
1
k ( 2 s 2  1)
k ( 2 s 2  1)
W


u (T22 s 2  2 T2 s  1)(T1s  1) T1T22 s 3  (T22  2 T2T1 ) s 2  (2 T2  T1 ) s  1
Из графика находим, что
1
1
20lg k  31,7дБ T1 
с 
с
0,142
66,1
k=10^(-31.7/20), k =
1
1
T2 
с A( )  31,7дБ
368
T2
0.0260
a J2 2
( s  1)
b cu

W 1
J1 J 2 3 J 2 2 J 1  J 2
u
s  s 
s 1
cu b
cu
b
Получаем систему уравнений,5 уравнений с 5 неизвестными,
но 2-ое и 4-ое уравнения тождественны

a
k


b

 2 J2
  c
u

 2 J1 J 2
T1T2 
cu b

 2
J
T2  2 T2T1  2
cu


J  J2
 2 T2  T1  1
b

Обработка экспериментальных данных
Переходные процессы по данным от 8.11.11
150
100
50
0
-50
-100
-150
0
5
10
15
20
25
Один полупериод переходного процесса по данным от 8.11.11
120
100
80
60
40
20
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Этот процесс похож на процесс слайда 4 за исключением колебаний (см.
комментарий на сл 17). Гипотеза 2-х массовой модели может обсуждаться.
Начальный участок переходного процесса по данным от 8.11.11
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Имеет место высокочастотная быстро затухающая составляющая
переходного процесса, как и для двухмассовой модели).
Переходные процессы по данным №3 от 10.11.11
Reaction on short meandr
60
100*Input (gamma)
Speed, grad/s
40
20
0
-20
-40
-60
0
20
40
60
80
100
120
Один полупериод переходного процесса по данным №3 от 10.11.11
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
Особенность переходной характеристики – не затухающий процесс. Это,
скорее всего, пульсации момента двигателя.
Никифоров В.О., Дроздов В.Н. Адаптивное управление механотронным
поворотным столом. Ч.1.Анализ свойств объекта. Ч.2.Синтез и
экспериментальное исследование системы управления. «Механотроника,
автоматика и управление», 2002, №4, №5.
Начальный участок переходного процесса по данным №3 от 10.11.11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.02
Не отличается от слайда 15
0.04
0.06
0.08
0.1
Переходные процессы по углу по данным №3 от 10.11.11
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
20
40
60
80
100
По существу интеграл от меандра c небольшой постоянной
составляющей. Не видно шумов из-за операции интегрирования.
Логарифмические характеристики FreqDomain от 10.11.11
50
40
30
20
10
0
-1
10
10
0
10
1
10
2
50
0
-50
-100
-150
-200
-1
10
Сравнение со сл.10.
10
0
10
1
10
2
Экспериментальные логарифмические характеристики по шуму от 10.11.11
TF estimate via MATLAB, znakopost
50
40
30
Magnitude (dB)
20
10
0
-10
-20
-30
1

-40
-50
1
T1
10
0
1
10
Frequency (Hz)
1
T2
1
T3
10
2
Аппроксимация характеристики для гипотезы двухмассовой модели. Необходимо
учитывать коэффициент внутреннего демпфирования, а также постоянные
времени преобразователя и обмотки двигателя.
Передаточная функция на основе аппроксимации с предыдущего слайда
1
k ( 2 s 2  2 s  1)
W ( s) 

u (T1s  1)(T22 s 2  2 T2 s  1)(T3s  1)2
Уравнение состояния с учётом потерь на внутреннее трение будет
d 1
b
1
1
a
  1  M 12  M CT  u,
dt
J1
J1
J1
J1
dM 12
 cu (1  2 ),
dt
d 2
c
1
1
  T (1  2 )  M 12  M v
dt
J2
J2
J2
Соответствующая этому уравнению передаточная функция будет
a J 2 2 cT
( s  s  1)
1
b cu
cu
W1 ( s ) 

J 1 J 2 3 cT J 1  bJ 2 2 cu ( J 1  J 2 )  bcT
u
s 
s 
s 1
bcu
bcu
bcu
Получаем систему уравнений для вычисления параметров модели состояния
a

k


b

 2  J 2

cu

2  cT

cu

T1T22  J 1 J 2

cu b

T 2  2 T T  cT J 1  bJ 2
2 1
 2
bcu

2 T  T  cu ( J 1  J 2 )  bcT
2
1

b
Для замыкания по углу поворота второй массы потребуется передаточная
функция
a cT
( s  1)

b cu
W2 ( s )  2 
J 1 J 2 3 cT J 1  bJ 2 2 cu ( J 1  J 2 )  bcT
u
s 
s 
s 1
bcu
bcu
bcu
Параметры k , ,  , T1, T2 , T3 ,  передаточной функции лучше определять не по
графику слайда 21, а «заказать» в разделе идентификация модель 5-го
порядка, как это делала Аглая Геннадьевна.
Пожелания для проведения экспериментов.
1.Получить модель 5-го порядка для данных слайда 21.
2.Получить характеристики АЧХ и ФЧХ по той же методике, что и для
слайда 21, только в качестве выходной величины брать показания
датчика угла 1-ой массы.
3.Получить модель 6-го порядка для данных п.2.
Рассмотрим ещё одну модификацию 2-х массовой модели, в корой явно
выражены углы поворота обеих масс.
au  b1  J 1
d1
 1 ,
dt
d 1
 cu (1   2 )  M ST ,
dt
cu (1   2 )  J 2
d 2
 2
dt
d 2
 cT (2  1 )  M v ,
dt
d 1
b
c
a
1
  1  u (1   2 )  u  M ST ,
dt
J1
J1
J1
J1
d1
 1 ,
dt
d 2
c
c
1
  T (2  1 )  u (1   2 )  M v ,
dt
J2
J2
J2
d 2
 2
dt
Для этой модели имеем
a J 2 2 cT
( s  s  1)
1
b cu
cu
W1 ( s ) 

J 1 J 2 3 cT J 1  bJ 2 2 cu ( J 1  J 2 )  bcT
u
s 
s 
s 1
bcu
bcu
bcu
То же самое, что и на слайде 22.
Экспериментальные логарифмические характеристики по шуму от 10.11.11.
Можно осуществлять и такую аппроксимацию, но это не целесообразно.
TF estimate via MATLAB, znakopost
50
40
+60 dB/dec
30
0 dB/dec
20
-20 dB/dec
-60 dB/dec
Magnitude (dB)
10
0
-10
-40 dB/dec
-20
-30
-40
-50
0
10
1
10
Frequency (Hz)
2
10