Лекция 8. Анализ деформированного состояния. Физические уравнения упругости Тензору напряжений соответствует тензор деформаций, который образован тремя линейными и шестью угловыми деформации. Тензор деформации также приводится к диагональному виду x 1 yx 2 1 xy 2 1 xz 2 y 1 yz 2 1 zx 2 1 0 0 1 zy 0 2 0 2 0 0 3 z Здесь 1 , 2 и 3 - главные деформации. Они направлены по трем главным осям, сдвиги между которыми равны нулю. Дифференциальные зависимости между компонентами перемещений и компонентами относительных деформаций U x ; x V U xy x y ; V y ; y W V yz y z ; W z ; z U W zx z x . Закон Гука для трехосного НС Напряженное состояние задано главными напряжениями. Применим принцип независимости действия сил . 1 2 3 1 E 1 E 1 E 2 E 2 E 2 E 3 E 3 E 3 E Закон Гука для трехосного НС (продолжение) E 1 1 2 3 1 1 2 2 3 1 E 1 3 3 1 2 E Обобщенный закон Гука 1 x x y z E xy ; ; 1 y y z x E 1 z z x y E ; xy xz yz ; G xz G yz G . ; Относительное изменение объема V1 V V V V x y z 1 2 1 2 1 2 3 V x y z E E Удельная потенциальная энергия при одноосном растяжении L L EF EF L2 PL A PL d L Ld L L 2 2 0 0 L x2 E x2 A PL 1 P L 1 a x x LF 2 LF 2 F L 2 2E 2 Удельная потенциальная энергия при чистом сдвиге Axy a xy xy dFds xy ds 2dFdy 2 dy xy xy 2 xy dFds 2 2 xy 2G 2 G xy 2 Удельная потенциальная энергия при трехосном напряженном состоянии Каждая составляющая тензора напряжений производит работу только на своем перемещении (деформации). Поэтому, в общем случае 1 a xyz x x y y z z xy xy xz xz yz yz 2 Если все напряжения - главные, то удельная потенциальная энергия равна 1 2 a123 1 22 32 2 1 2 1 3 2 3 . 2E Удельная потенциальная энергия изменения объема и удельная потенциальная энергия изменения формы a a0 aф 1 1 p ; 2 2 p ; 3 3 p Удельная потенциальная энергия изменения объема Чтобы изменение объема в дополнительном НС 1 2 V 1 2 3 0 E необходимо, чтобы 1 2 3 0 1 2 3 1 2 3 1 p 1 2 3 ср 3 3 p 1 p p p p 1 2 E E 3 31 2 p 2 a0 p 2 2 E Удельная потенциальная энергия изменения формы 1 2 2 1 2 3 a0 6E aф a a0 1 2 2 2 a 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 2E 1 1 2 2 1 3 2 2 3 2 aф 6E Связь между константами упругости E, G и μ axy xy2 2G 1 3 2 1 a13 12 32 2 1 3 1 1 2E E E G axy a13 21