Документ 490364

1. Кинематика
Механическое движение. Описание движения
Механическим движением называется перемещение одних тел
относительно других, происходящее во времени и в пространстве. Для
описания движения необходимо вводить систему отсчета. Под системой
отсчета понимают тело отсчета, то есть некоторое тело, относительно
которого рассматривают движение данного тела, систему координат (если
тело движется по прямой, нужна одна ось; тогда говорят, что тело
обладает одной степенью свободы; при движении по плоскости - две
координатные оси и две степени свободы; в пространстве - три
координатные оси и три степени свободы) , договор о моменте пуска
часов.
Очень часто в механике пользуются моделью материальной точки,
то есть тела, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.
Говорят, что движение относительно, так как характер движения зависит
от выбора системы отсчета (водитель неподвижен относительно своей
машины и движется относительно стоящего на шоссе милиционера).
Линия, вдоль которой тело движется в процессе своего движения,
называется траекторией. Длина траектории - путь. Это скалярная
величина, обозначаемая s . Вектор, проведенный из начала движения в

конечную точку - вектор перемещения r . При криволинейном

движении модуль r и s не совпадают. Движение называется
прямолинейным, если траектория отрезок прямой; и криволинейным,
если траектория кривая линия. Равномерным прямолинейным движением
называется движение, при котором за любые равные промежутки времени
тело проходит одинаковые пути, двигаясь вдоль прямой.
Для характеристики
пользуются величиной, которая
 движения

называется скоростью   r / t . Для неравномерного движения
пользуются понятием средней скорости. Часто вводят среднюю скорость
как скалярную величину. Это скорость такого равномерного движения.
при котором тело проходит тот же путь за то же время, что и при
неравномерном движении :  c р  s / t .
Средней векторной скоростью называют отношение перемещения
к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло


 c р  r / t .
Часто удобно пользоваться мгновенной скоростью, то есть
скоростью, которую имеет тело в данный момент времени.



r dr  /
  lim
  (r )t
t 0
t dt
Из неравномерного движения часто выделяют равнопеременное
движение. Это движение, при котором тело за любые равные промежутки
времени изменяет скорость на одну и ту же величину. Для характеристики
равнопеременного движения вводят понятие ускорения :
 

    
ac р  t 0 
t

t
 /  //
 d

a  lim

 ( )t  ( r )t
t 0
t dt
Равнопеременное движение делят на равноускоренное (проекция

вектора a на координатную ось положительна и постоянна) и

равнозамедленное (проекция вектора a на координатную ось
отрицательна и постоянна).
Для равномерного движения

 
r  t ;   const
Для равнопеременного движения

  at 2
r   0t 
2
  
;    0  at
При переходе из одной системы отсчета в другую закон сложения
скоростей выглядит следующим образом
  
   0  1 ,

 0 - скорость системы y1 x1 относительно неподвижной системы

отсчета yx ;  1 - скорость тела относительно движущейся системы

отсчета;  - скорость этого же тела относительно неподвижной системы
где
отсчета.
У1
У

0
1

Х1
Х
Среди систем отсчета существуют такие системы отсчета, которые
называют инерциальными. Это те системы отсчета, в которых
выполняются законы Ньютона. Если какая-то система отсчета
инерциальна, то все другие системы отсчета, движущиеся относительно
данной системы равномерно и прямолинейно, также инерциальны. Для
инерциальных систем отсчета существует принцип относительности
Галилея: все механические процессы протекают во всех инерциальных
системах отсчета одинаково. Описывать движение очень удобно с
помощью графиков кинематических величин. Нарисуем эти графики для
случая прямолинейного движения.

3
2
1
4
t
5
1 - равномерное ; 2 - равноускоренное без начальной скорости; 3 равноускоренное с начальной скоростью; 4 - равнозамедленное с
начальной скоростью ; 5- равнозамедленное без начальной скорости (тело
движется в обратном направлении).
Тангенс угла наклона этих графиков к оси t численно равен
ускорению тела. Площадь под графиком равна перемещению тела.

| r |
б
3
1
а
2
t
1- тело стоит ; 2 - тело движется равномерно; 3равнопеременное движение на участке; а - равноускоренное ;
на участке б - равнозамедленное
Касательная к этим графикам в каждой точке составляет с
осью времени угол, тангенс которого равен скорости тела.
a
2
1
t
3
1- тело стоит или двигается равномерно ; 2 - равноускоренное движение;
3- равнозамедленное движение
Площадь под этими графиками численно равна
изменению скорости тела.
Свободным называется падение тела, которое происходит под
действием гравитационных сил, при отсутствии сил, препятствующих
движению. Свободно падающее тело движется равноускоренно. Это
ускорение вблизи поверхности Земли равно 9,8 м/сек2 и называется
ускорением свободного падения. Пользуясь законом всемирного
тяготения, можно его выразить через размеры Земли, ее массу и
гравитационную постоянную:
m
M
mg  G
RЗ
Mm
M
;
g

G
R 32
R 32
Примеры свободного падения: тело, падающее вниз без начальной
скорости при отсутствии сопротивления воздуха; тело, брошенное
вертикально вверх или под углом к горизонту вблизи поверхности Земли;
спутник Земли.
Движение по окружности. Ускорение при движении по окружности
Одним из видов движения материальной точки является движение
ее по окружности. При таком движении скорость тела направлена по
касательной, проведенной к окружности в той точке, где находится тело
(линейная скорость). Описывать положение тела на окружности можно с
помощью радиус-вектора, проведенного из центра окружности к телу.



t
Перемещение тела описывается поворотом радиус-вектора. Отношение
угла поворота радиус-вектора к промежутку времени, в течение которого
этот поворот произошел, характеризует быстроту перемещения тела по
окружности и носит название угловой скорости () :


t
[]  рад / с
;
Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением
  r ,
где r - радиус окружности. Время, за которое тело описывает полный
оборот, называется периодом обращения Т. Величина обратная периоду частота обращения -  .
  2  
2
T
Поскольку при равномерном движении по окружности модуль
скорости не меняется, но меняется направление скорости, при таком
движении существует ускорение. Его называют центростремительным
ускорением, и направлено оно по радиусу к центру окружности
2
4 2
2
2 2
aцс    r  4  r  2 r
r
T
2. Основы динамики
В основе динамики материальной точки лежат три закона Ньютона.
I закон : Существуют такие системы отсчета, в которых тела,
если на них не действуют другие тела, или действия других тел
скомпенсированы, находятся в состоянии покоя или равномерного
прямолинейного движения.
Инерциальные системы отсчета, принцип относительности
Галилея. Все механические процессы протекают в инерциальных системах
отсчета одинаково. В теории относительности Эйнштейна этот принцип
был дополнен одним из постулатов теории : все физические процессы,
включая электромагнитные, протекают в инерциальных системах
отсчета одинаково, или иными словами, с помощью физических
экспериментов нельзя определить, покоится тело, или движется
прямолинейно и равномерно.
Свойство тела сопротивляться изменению его скорости, называется
инерцией. Физическая величина, являющаяся мерой инертности,
называется массой. Чем больше у тела масса, тем труднее изменить его
скорость. Тела взаимодействуют между собой. Физическая величина,
которая характеризует действие одного тела на другое, называется силой.
Эта величина векторная, поэтому если на тело действует несколько сил, то
результирующая находится по правилам векторного сложения.
II закон Ньютона устанавливает взаимосвязь между силой, которая
на него действует, массой тела и ускорением, которое оно приобретает.
Ускорение, которое приобретает тело под действием силы, прямо
пропорционально этой силе и обратно пропорционально массе тела

 F
a
m
Этот закон используется для введения единицы силы в системе СИ. Она
называется Ньютон. 1 Н - сила, действующая на тело массой 1 кг, под
действием которой тело приобретает ускорение 1 м/с2 . 1 Н = 1 кгм/с2.
Для того, чтобы найти направление ускорения тела, надо найти
направление результирующей силы, действующей на тело.
III закон Ньютона подчеркивает, что действие тел друг на друга
носит характер взаимодействия. Если тело А действует на тело В, то и
тело В действует на тело А.

F1

F2
A
B
Сила, с которой тело А действует на тело В, равна по модулю и
противоположна по направлению силе , с которой тело В действует на
тело А :
 
F1   F2
Или короче, сила действия равна силе противодействия. Часто
возникает вопрос: почему лошадь тянет сани, если эти тела
взаимодействуют с равными силами. Это возможно только за счет
взаимодействия с третьим телом - Землей. Сила, с которой копыта
упираются в землю, должна быть больше, чем сила трения саней о землю.
Иначе копыта будут проскальзывать, и лошадь не сдвинется с места.
Силы упругости. Закон Гука
Если тело подвергнуть деформации, то возникают силы,
препятствующие этой деформации. Такие силы называют силами
упругости. Деформации тела бывают : сжатия, растяжения, сдвига,
кручения, изгиба и др. Рассмотрим силы упругости на примере
деформации сжатия.

F
абсолютная деформация ;
l
l
l
-
F
S
-
относительная деформация ;
l
S
l-l
механическое напряжение ;
закон Гука
l 1

l
E

F
S
-

F
В пределах упругости относительная деформация тела прямо
пропорциональна механическому напряжению. Е - модуль упругости или
модуль Юнга. Он зависит от свойств материала, из которого сделано тело.
Если после снятия нагрузки тело восстанавливает свои размеры, то
деформация называется упругой. Если остается остаточная деформация, то
деформация называется пластичной. Максимальное механическое
напряжение, при котором деформация остается упругой, называется
пределом упругости. Часто закон Гука записывают в виде
F  kx
Знак “ - “ указывает, что сила и деформация напралены в разные стороны.
Трение
При движении тел друг относительно друга возникают силы,
препятствующие движению. Эти силы называются силами трения.
Различают трение покоя, трение скольжения и трение качения. Сила
трения скольжения подсчитывается по формуле F  N . N - сила реакции
опоры,  - коэффициент трения. Эта сила не зависит от площади трущихся
тел. Коэффициент трения зависит от материала, из которого сделаны тела,
и качества обработки их поверхности. Трения покоя возникает, если тела
не перемещаются друг относительно друга. Сила трения покоя может
меняться от нуля до некоторого максимального значения, а при решении
задач часто принято считать, что максимальное силы трения покоя равно
силе трения скольжения, хотя на самом деле она несколько больше, чем
сила трения скольжения. Для уменьшения трения стремятся перейти от
силы трения скольжения к трению качения, которое обычно несколько
меньше, или к жидкому трению, вводя смазку между трущимися телами.
Трение может оказаться весьма нужным, так как только за счет трения
шин ведущих колес о землю могут ускоряться автомобили; за счет трения
подошв о землю может перемещаться человек.
Гравитационное взаимодействие
Все тела взаимодействуют между собой гравитационным образом. Для
точечных тел Ньютоном был количественно установлен
закон
всемирного тяготения:
FG
M1 M 2
r
2
M1 и M2 - массы взаимодействующих тел, r - расстояние между этими
телами, G - гравитационная постоянная. Этот закон справедлив и для
неточечных сферических тел. В этом случае r - расстояние между
центрами тел. Гравитационные силы существенно сказываются для тел
огромной массы (звезды, планеты), так как гравитационная постоянная очень маленькая величина. Гравитационное притяжение к Земле создает
вблизи ее поверхности силу тяжести, то есть силу, с которой тело
притягивается к Земле. Для протяженных тел часто вводят понятие о
центре масс или центре тяжести тел. Это точка, в которой можно считать
сосредоточенной всю массу тела или системы тел. Положение центра масс
подсчитывается по формуле

  ri mi
rc 
m ,

i

rc - радиус-вектор, проведенный в центр масс от какой-нибудь точки,
где

ri - радиус-вектор, проведенный из той же точки к телу, имеющему массу
mi . Весом тела называют силу, с которой тело давит на горизонтальную
опору или растягивает вертикальный подвес. Если такой опоры или
подвеса нет, и нет сил, препятствующих движению, то тело свободно
падает и находится в состоянии невесомости. Гравитационные силы
препятствуют отрыву тел от Земли. Чтобы оторвать тело от Земли и
заставить его вращаться вокруг Земли, ему надо сообщить некоторую
скорость. Такаю минимальную скорость называют первой космической
скоростью. Ее можно подсчитать из следующих соображений: ускорение
свободного падения должно являться центростремительным ускорением
для вращения вокруг Земли
g
M
g G 2
r
;
2
M 2
G 2 
r
r
r
(r - радиус Земли )
 G

M
r
Подстановка численных данных дает для первой космической скорости
значение, равное 7,9 км/с .
Условие равновесия тел
Тело (материальная точка) находится в состоянии равновесия, если
векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Различают 3 вида
равновесия : устойчивое, неустойчивое и безразличное. Если при
выведении тела из положения равновесия возникают силы, стремящиеся
вернуть это тело обратно, это устойчивое равновесие. Если возникают
силы, стремящиеся увести тело еще дальше из положения равновесия, это
неустойчивое положение; если никаких сил не возникает - безразличное.
2
1
- устойчивое ;
2
3
1
- неустойчивое;
3
- безразличное
Когда речь идет не о материальной точке, а о теле, которое может
иметь ось вращения, то для достижения положения равновесия помимо
равенства нулю суммы сил, действующих на тело, необходимо, чтобы
алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, была
равна нулю, то есть сумма моментов сил, стремящихся повернуть тело по
часовой стрелке, была равна сумме моментов сил, стремящихся повернуть
тело против часовой стрелки.
Импульс тела. Закон сохранения импульса. Реактивное
движение
Импульсом тела называют физическую величину, равную


произведению массы тела на его скорость
p  m . Импульс векторная величина. [p]=кгм/с . Наряду с импульсом тела часто
пользуются импульсом
силы. Это произведение силы на время ее

действия : I  Ft . [ I ]= нс= кгм/с . Второй закон Ньютона можно
выразить в импульсной форме :

 F
a
m
;

m2  m1  Ft



 F

t m

;



( 2  1 )m  Ft



p2  p1  Ft
;
;
 
p  Ft
Изменение импульса тела равно импульсу действующей на это тело силы.
Для изолированной системы тел (система, тела которой взаимодействуют
только друг с другом) выполняется закон сохранения импульса : сумма
импульсов тел изолированной системы до взаимодействия равна сумме
импульсов этих же тел после взаимодействия. Покажем это на примере

системы состоящей из двух тел. По третьему закону Ньютона F1   F2 :


tF1   tF2




p1   p2
;


1/ m1  1m1  ( 2/ m2   2 m2 )




1/ m1   2/ m2  1m1   2 m2
Из закона сохранения импульса легко показать принцип
реактивного движения. Предположим, лодка стоит в пруду в стоячей воде.
Человек, находящийся на корме лодки, бросает камень. Лодка приобретает
скорость, противоположную направлению скорости камня.
0  mк к  M л
; л  
mк к
M
Из формулы видно, что чем больше масса камня и чем больше его
скорость, тем быстрее будет двигаться лодка. Этот принцип использован в
реактивном движении. В двигателе ракеты сгорает топливо, продукты
сгорания вылетают из сопла и ракета движется в противоположном
направлении. Чем быстрей вылетают продукты сгорания топлива, тем
быстрей движется ракета.
Механическая работа. Мощность. Кинетическая и
потенциальная энергии. Закон сохранения энергии в механике
Механической работой называют физическую величину, которая
равна произведению силы, действующей на тело, на перемещение тела и
на косинус угла между направлением силы и перемещения:
A  Fl  cos  Fl l
; ( Fl  F  cos ) ;
[ A]  н  м  Дж
Для того, чтобы тело совершало работу, оно должно перемещаться под
действием сил. Если тело покоится, но на него действует сила, работа
равна нулю. Если тело движется по инерции, нет сил, работа равна нулю.
Если сила и перемещение перпендикулярны, то работа равна нулю. Работа
может быть положительна (cos>0) и отрицательна (cos<0). Одну и ту же
работу тела могут совершать за разное время. Быстрота совершения
работы характеризуется мощностью.
Мощность - это работа, совершенная в единицу времени:
N
A
t
;
[N ] 
н  м Дж

 Вт
c
c
Способность тела совершать работу характеризуют величиной,
которую называют энергией. Механическую энергию делят на
кинетическую и потенциальную. Если тело может совершать работу за
счет своего движения, говорят, что оно обладает кинетической энергией.
Кинетическая энергия поступательного движения материальной точки
подсчитывается по формуле
m 2
Wk 
2
Так как скорость зависит от системы отсчета, то кинетическая энергия
тоже зависит от выбора системы отсчета, но это всегда неотрицательная
величина. Если тело может совершать работу за счет изменения своего
положения относительно других тел, или за счет изменения положения
частей тела, оно обладает потенциальной энергией. Примеры
потенциальной энергии : тело, поднятое над землей; его энергия
подсчитывается по формуле : Wп=mgh , где h - высота подъема. Энергия
сжатой пружины :
2
kx
Wп 
,
2
где k - коэффициент жесткости пружины, x - абсолютная деформация
пружины. Величину потенциальной энергии можно менять выбором
начала ее отсчета. Сумма потенциальной и кинетической энергии
составляет механическую энергию. Для изолированной системы тел в
механике справедлив закон сохранения механической энергии : если
между телами изолированной системы не действуют силы трения ( или
другие силы, приводящие к рассеянию энергии), то сумма механических
энергий тел этой системы не изменяется (закон сохранения энергии в
механике). Если же силы трения между телами изолированной системы
есть, то при взаимодействии часть механической энергии тел переходит во
внутреннюю энергию.
Давление. Закон Паскаля для жидкостей и газов
Давлением называют физическую величину, равную отношению
силы, действующей на площадку, перпендикулярную этой силе, к
площади площадки. Давление - величина скалярная p=F/S . В СИ
давление измеряется в паскалях: 1 Па = 1 Н/м2 . Для жидкостей и газов
справедлив закон Паскаля : давление распространяется по всем
направлениям без изменений. В твердых телах давление распространяется
только по направлению действия сил. Если жидкость или газ находятся в
поле силы тяжести, то каждый вышерасположенный слой давит на
нижерасположенные и по мере погружения внутрь жидкости или газа
давление растет. Для жидкостей p=gh , где  - плотность жидкости, h глубина проникновения в жидкость. Эта формула справедлива независимо
от формы сосуда, в который налили жидкость. Последнее обстоятельство
используется для установления внесистемной единицы давления миллиметра ртутного столба. Если за нормальное атмосферное давление
принимается давление столбика ртути высотой 760 мм , то это давление
легко перевести в Паскали : p=gh = 13,6 103 кг/м3 9,8 м/с2 0,76 м = 1,01
105 н/м2 =1,01 105 Па.
Сообщающиеся сосуды. Принцип действия гидравлического
пресса
Однородная жидкость в сообщающихся сосудах устанавливается на
одном уровне.
h1
h2
 gh1 =gh2  h1 =h2
1 , h1
2 , h2

F1
S1
S2
h1

F2
Если в колена сообщающихся сосудов
залить
жидкость
с
разными
плотностями, то жидкость с большей
плотностью
устанавливается
на
меньшей
высоте.
В
этом
случае
 1gh1 =2gh2
и
высоты столбов жидкости обратно
пропор-циональны плотностям :
h1 2

h2 1
Рассмотрим
устройство
гидрав-лического
пресса.
Гидравлический пресс представляет
собой сосуд, заполненный маслом или
иной жидкостью, в котором прорезаны
два отверстия, закрытые поршнями.
Поршни имеют разную площадь. Если
к одному поршню приложить силу, то
сила, приложенная ко втрому поршню,
оказывается другой.
Таким
образом,
гидрав-лический пресс служит
для преобразования величины
силы. Поскольку давление под
поршнями
должно
быть
h1
одинаковым, то
F1 F2

S1 S2

F2 
F1S2
S1
Чем больше отношение S2/S1 , тем больший выигрыш в силе можно
получить. Однако, выигрыша в работе получить не удается. Поскольку
жидкость несжимаема, то h1S1=h2S2 . Работа силы F1 :
A1= F1h1 ;
работа силы F2 :
A2  F2 h2 
F1S2 h2 F1S2 h1S1


 F1h1
S1
S1
S2
Тогда A1=A2 .
Атмосферное давление. Изменение атмосферного давления с
высотой
Планеты, обладающие большой массой, за счет
своей
гравитационной силы удерживают около себя атмосферу. К числу таких
планет относится Земля. Слои атмосферного воздуха давят друг на друга,
и поэтому с приближением к поверхности планеты давление атмосферы
возрастает. Так как газы, в отличие от жидкостей, сжимаемы, то плотность
газа по мере приближения к поверхности планеты тоже растет. Поэтому
давление меняется не по линейному закону, а гораздо быстрей. Вблизи
поверхности Земли атмосферное давление обусловлено весом всего столба
воздуха от поверхности Земли до границ атмосферы. Прибор для
измерения атмосферного давления
называется барометр. Ртутный
барометр устроен следующим образом : в чашку с ртутью опускается
вакуумированная запаянноя стеклянная трубка. Под действием
атмосферного давления ртуть поднимается по трубке до тех пор, пока
столб ртути не уравновесит атмосферное давление. Нормальное
атмосферное давление уравновешивается столбом высотой 760 мм. Если
вместо ртути использовать воду, то соответствующий столб будет
иметь высоту около 10 м . Для измерения давления атмосферы часто
пользуется барометром-анероидом. Его чувствительный элемент
представляет собой вакуумированную гофрированную металлическую
камеру, размер которой изменяется при изменении давления. Это
вызывает изменение показаний барометра.
Архимедова сила для жидкостей и газов. Условие плавания тел
На тело, погруженное в жидкость или газ со стороны этой
жидкости или газа действует направленная вверх выталкивающая сила,
которую называют силой Архимеда. Эта сила равна весу вытесненной
жидкости или газа в объеме погруженной части тела. Точкой приложения
этой силы является центр масс вытесненного объема жидкости или газа.
Происхождение выталкивающей силы связано с тем, что давление на
нижнюю часть тела, погруженного в жидкость, осуществляется столбом
жидкости большей высоты, чем на верхнюю часть тела. Поэтому если
прижать тело ко дну сосуда так, чтобы снизу жидкость не проникала, и
залить сверху жидкость, давление столба жидкости только сильнее
прижмет тело ко дну сосуда, и оно не выплывет. Тело плавает в жидкости,
если сила тяжести, действующая на тело, равна выталкивающей силе.
Плавание будет тем более устойчивым, чем ниже по отношению к точке
приложения выталкивающей силы расположен центр масс плавающего
тела.