Вероятностные задачи в топологии: Статистика узлов и

Графы, некоммутативность,
неевклидова геометрия и
укладка ДНК
Сергей Нечаев
LPTMS, CNRS, Université Paris-Sud, Orsay, France
Вероятностные задачи в
топологии:
Статистика узлов и зацеплений
Случайные
блуждания в
некоммутативных
пространствах и
на группах
Статистика и
компактных
кольцевых
незаузленных
макромолекул
Вероятностные задачи в
топологии:
Статистика узлов и зацеплений
Случайные
блуждания в
некоммутативных
пространствах и
на группах
Статистика и
компактных
кольцевых
незаузленных
макромолекул
Число оборотов вокруг пальмы = 0
и траектория незацеплена
Число оборотов вокруг каждой из пальм = 0
... а траектория зацеплена!!!
Контур Похгаммера
Траектория зацеплена за обе точки вместе,
но не зацеплена за каждую
"Генераторы" поворотов
+
a
+
b
a
b
Метрика в группе слов
=
a+b-a-b+b-a- = a+b-a-ab+
Удаление от корня дерева
a+
a-
b-
b- ab+
= "сложность" зацепления
Возвращение в корень
= распутывание!!!
коммутативная
группа
b
a
a
некоммутативная
("свободная") группа
a
b
b
a
Периметр ~ R
a
b
R
Периметр ~ 3
В какое пространство можно изометрически
вложить однородное дерево?
Плоскость (пространство) Лобачевского
Попытка "втиснуть" дерево в
обычное пространство
Гиперболическая геометрия в живой природе
коралл
рельеф на основе
функции Дедекинда
Случайные блуждания в
некоммутативных
пространствах и на группах
Почему важно?
Где этим занимаются?
1. Зацепления: цепь в решетке препятствий
Создание новых полимерных материалов
с уникальной эластичностью
Страсбург (Франция), Киото (Япония)
2. Косы и перемешивание
Решение задач эффективного
перемешивания
Saint Gobain (Франция), Imperial College
(Лондон)
3. Косы и игра в Тетрис
4. Нестационарный рост, электрический
пробой в диэлектриках
Тетрис
Число кластеров
c( h )
h 2 / 3
Распределение
по массам
P( m)
m 7 / 5
Электродепозиция серебра в 2D
Проблемы экстремальной статистики
Франция, Германия, Канада, США
Вероятностные задачи в
топологии:
Статистика узлов и зацеплений
Случайные
блуждания в
некоммутативных
пространствах и
на группах
Статистика и
компактных
кольцевых
незаузленных
макромолекул
Вероятностные задачи в
топологии:
Статистика узлов и зацеплений
Случайные
блуждания в
некоммутативных
пространствах и
на группах
Статистика и
компактных
кольцевых
незаузленных
макромолекул
Как плотно уложить нить в 3D так, чтобы
любой ее кусок был бы незацеплен?
Складчатая глобула
(А.Гросберг, С.Н., Е.Шахнович)
Участки проникают друг
в друга и
перепутываются
Участки остаются
неперепутанными
Именно эта укладка
ДНК реализуется в
складчатой глобуле
Статистика и компактных кольцевых
незаузленных макромолекул
Почему важно?
Где этим занимаются?
ДНК содержит ~3 миллиарда пар оснований, ее
длина ~2 м, и упакована в клеточном ядре ~20 мкм
При транскрипции фрагменту ДНК необходимо
"выпутаться" из упакованного состояния, а затем
снова "сложиться"
Как это сделать быстро и обратимо???
Crumpled (fractal) globule - порядка 10 000
ссылок в интернете
Россия, Франция, Германия, Англия, США
Модель глобулы – плотный узел, полностью
покрывающий прямоугольную решетку
Lh  Lw
bk  1
bk  1
Каково типичное топологическое состояние
"дочернего" (квази)узла при условии, что
"родительский" узел тривиален?
Lw
Lt
Lh
Типичная безусловная
сложность n случайного
узла
n
N  Lt  Lw
Типичная условная
сложность n* дочернего
(квази)узла
n*
N  Lh  Lw
Lw
Lh
Lt
Как далеко по дереву мы
ушли за половину шагов
при условии, что на
последнем шаге
вернулись в корень?
Как на обычной плоскости без кривизны!