Лекция 4. Вычислительная линейная алгебра.

ВВЕДЕНИЕ В ВЫЧИСЛИТЕЛЬНУЮ
МАТЕМАТИКУ
Лекция 4
29 сентября 2009
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ
АЛГЕБРА
2. Вычислительная линейная
алгебра
Метод простых итераций
○ Влияние ошибок округления на
результат численного решения
СЛАУ

Будем трактовать суммарный эффект ошибок
округления при выполнении одного
итерационного шага, как возмущение правой
части в итерационном процессе
uk  Bu k 1  F.
2. Вычислительная линейная
алгебра
Метод простых итераций
M
uk
M
 Buk 1  F  δk ,
B  q  1.
2. Вычислительная линейная
алгебра
M
uk
 uk  q
M
uk 1  u k 1
 δk
 q 2 ukM2  u k 2  q δk 1  δk 

q
k
M
u0
 u 0  (max δi )(1  q 
i
q
k 1
),
2. Вычислительная линейная
алгебра
M
u0
 u 0  0.
  max δi
i
q k u0M  u 0  (max δi )(1  q 
i
M
uk
 uk  
k
q 1
q 1


1 q
 q k 1 ),
2. Вычислительная линейная
алгебра
Метод простых итераций
Теорема. Пусть итерационный метод
uk  Bu k 1  F
сходится. Тогда предельная погрешность.
Связанная с округлением, не зависит от числа
итераций
2. Вычислительная линейная
алгебра
Метод простых итераций
AA 0
*
( Ax, x)  ( x, x)
0
2. Вычислительная линейная
алгебра

Метод простых итераций
A  Ω ΛΩ
-1
1
E  Ω EΩ
1
E  A  Ω (E  Λ)Ω
2. Вычислительная линейная
алгебра
r i  (max 1   )i r 0 .
[ l , L ]
q  max  1  l , 1  L  ,
0    2 L.
2. Вычислительная линейная
алгебра


0  arg  min max  1  l , 1  L 
 

2. Вычислительная линейная
алгебра
2. Вычислительная линейная
алгебра
Метод простых итераций с оптимальным
параметром
2
0 
lL
q0  q(0 )  1  0l
Ll

Ll
1
2
 1
l
Ll
1
1 
1    2


1
1
1 
1 
1
 1  2 1
2. Вычислительная линейная
алгебра
Число итераций
 ln  


ln 
ln 
L
1
i

1


1


1

ln

 1.



(2 l L)
2l
 ln q 
 ln(1  2l / L) 
2. Вычислительная линейная
алгебра
Метод с оптимальным набором
параметров
ui 1  ui  i 1 ( Λui  f ).
r
i 1
 (Ε  i 1Λ)r ,
i
i
r   (E   j Λ)r .
i
j1
0
2. Вычислительная линейная
алгебра
Метод с оптимальным набором
параметров
i
min max  (1   j ) .
{ j } [l , L ] j 1
2. Вычислительная линейная
алгебра
Метод с оптимальным набором
параметров
i
 (1   j  )
j1
Найти полином, наименее
уклоняющийся от 0!
Полиномы Чебышёва 1 рода
Пафнутий Львович
Чебышёв

Полиномы Чебышёва 1 рода
Определение
Tn (t )  cos (n arccos t ),
T0 (t )  1,
t  1,1
T1 (t )  t
Полиномы Чебышёва 1 рода
Рекуррентная формула
  arccos t,
Tn (t )  cos n,
cos(n  1)  cos(n  1)  2 cos  cos n,
Tn1 (t )  Tn1 (t )  2T1 (t )Tn (t ),
Tn1 (t )  2t Tn (t )  Tn1(t ).
Полиномы Чебышёва 1 рода
Рекуррентная формула
T2  2t 2 1,
T3 (t )  4t 3  3t ,
T4 (t )  8t 4  8t 2  1
Полиномы Чебышёва 1 рода
Приведенный (нормированный)
полином Чебышева
Tn (t ) 
Tn (t )
n1
2
.
Полиномы Чебышёва 1 рода
Ноли полинома Чебышёва
 2m  1 
tm  cos 
,
 n

m  1, 2,
n,
Полиномы Чебышёва 1 рода
Ноли полинома Чебышева
Полиномы Чебышёва 1 рода
Ортогональность
1
1
Tk (t )Tl (t )dt  kl
2
1 1  t

Полиномы Чебышёва 1 рода
Теорема Чебышева (без
доказательства).
 Среди всех многочленов степени , со
старшим коэффициентом an равным
единице, наименьшее уклонение от
нуля имеет нормированный полином
Чебышева первого рода

2. Вычислительная линейная
алгебра
Оптимальный набор параметров
1
(2 j  1) 
Ll Ll
j  

cos
,

2
2N 
 2
Скорость сходимости
q  1 2 1 ,
2. Вычислительная линейная
алгебра

При i = 2 перебираем корни полинома
Чебышева в их естественном порядке (в
фигурных скобках указываем номер корня)
{1, 2} или в порядке убывания номера {2, 1}.
Далее последовательность номеров корней
получаем следующим образом. Каждый
номер корня меняется на пару чисел:
первое число — номер корня, второе —
дополняет сумму в каждой паре до
значения i + 1 (2r + 1). Таким образом, при
i = 4 получаем два упорядоченных набора.
Из последовательности {1, 2} получаем
{1, 4, 2, 3}, а из {2, 1} -- {2, 3, 1, 4}.
2. Вычислительная линейная
алгебра

Действуя аналогично далее, имеем при i = 8
{1, 8, 4, 5, 2, 7, 3, 6} в первой последовательности
чебышевских параметров или {2, 7, 3, 6, 1, 8, 4, 5} во
второй последовательности. Следующий шаг дает
i = 16 {1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12, 2, 15, 7, 10, 3, 14, 6, 11} в
первой последовательности чебышевских параметров
или {2, 15, 7, 10, 3, 14, 6, 11, 1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12} во
второй. Построение таких упорядоченных наборов
легко можно продолжить. Приведенное упорядочение
является универсальным — оно обеспечивает
устойчивость любых методов, где необходим
чебышевский набор итерационных параметров.
2. Вычислительная линейная
алгебра

Вопросы?