Практикум по решению математических задач 9 (прогр)x

Пояснительная записка
Настоящая программа курса для 9 классов предназначена для использования в школьном
компоненте базисного учебного плана общеобразовательного учреждения.
Основное содержание материала соответствует государственному стандарту основного
общего образования и примерной программе основного общего образования.
Курс рассчитан на 34 часа, один урок в неделю.
Цели курса:
• усвоение, углубление и расширение математических знаний, интеллектуальное,
творческое развитие обучающихся;
• подготовка к итоговой аттестации в новой форме;
• развитие устойчивого интереса к предмету;
• приобщение к истории математики как части общечеловеческой культуры;
• развитие информационной культуры.
Задачи курса:
• обеспечение достаточно прочной базовой математической подготовки,
необходимой для продуктивной деятельности в современном информационном
мире;
• овладение определенным уровнем математической и информационной культуры.
В рамках темы «Уравнения и системы уравнений» следует обратить внимание, во-первых,
на уравнения с двумя неизвестными, а во-вторых, на диофантовы уравнения.
Особое внимание следует уделить теме «Неравенства и системы неравенств», в частности,
таким ее вопросам, как нестрогие неравенства и график неравенства. Задачи на эти
вопросы часто предлагаются на итоговой аттестации, так что обстоятельное знакомство с
ними представляется полезным.
В тему «Функция и ее график» включены вопросы, связанные с чтением графика
функции. Выделены задачи на решение уравнений и неравенств, в которые входят
функции, задаваемые графиками.
Заслуживает внимание тема «Числа и алгебраические выражения», в которой выделены
вопросы устного счета (общие и специальные приемы). Актуальность этих вопросов в
последнее время существенно возросла в связи с введением ЕГЭ. В теме «Преобразования
алгебраических выражений» отметим задачу о нахождении зависимости одной величины
от других величин из физической формулы. В тему «Последовательности и прогрессии»
включен вопрос о полной и неполной индукции, знакомство с которым представляет
элемент математической культуры.
Учебно-тематический план
Наименование темы
1
2
3
4
5
6
1. Числа и алгебраические выражения
Натуральные числа, целые числа, обыкновенные и
десятичные дроби. Рациональные и иррациональные числа.
Множество действительных чисел. Арифметические
операции на множестве действительных чисел. Сравнение
чисел
Делимость натуральных чисел. НОД и НОК чисел
Понятие процента. Вычисление процентов
Модуль (абсолютная величина) числа
Приемы устного счета. Алгебраические выражения.
Нахождение числовых значений алгебраических выражений
Равенство алгебраических выражений. Тождество,
доказательство тождеств
Кол-во
часов
6ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31-32
33
34
2. Преобразования алгебраических выражений
Применение формул сокращенного умножения
Выполнение арифметических действий с алгебраическими
выражениями, содержащими степени
Алгебраические дроби. Выделение из алгебраической дроби
целой части
3ч
1ч
1ч
3. Уравнения и системы уравнений
Уравнения с одним неизвестным. Алгебраические уравнения
с одним неизвестным. Нахождение целых и рациональных
корней алгебраического уравнения с целыми
коэффициентами
Уравнения, содержащие модуль
Уравнения с двумя неизвестными. График уравнения с двумя
неизвестными. Линейное уравнение с двумя неизвестными и
его график. Общее уравнение прямой на плоскости
Диофантовы уравнения
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Уравнения и системы уравнений с параметром
4. Неравенства и системы неравенств
Линейные и квадратные неравенства с одним неизвестным.
Дробно-рациональные неравенства и обобщенный метод
интервалов
Использование свойств неравенств
Неравенства, содержащие модуль. Нестрогие неравенства
Неравенства с двумя неизвестными. График неравенства
(множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенству).
Метод областей
Системы линейных неравенств с двумя неизвестными
Неравенства и системы неравенств с параметром
5. Функция и ее график. Чтение графика функции
Область определения функции. Множество значений
функции. Способы задания функции. Кусочное задание
функции
Четные и нечетные, возрастающие и убывающие функции.
Точки максимума и минимума. Наибольшие и наименьшие
значения функции. Промежутки возрастания и убывания,
интервалы знакопостоянства функции
График функции. Графики линейной функции, квадратичной
функции, обратно пропорциональной зависимости
Преобразования графиков. Графики функций, содержащих
знак модуля
Графики дробно-линейной и дробно-рациональной функций
Чтение графика функции. Определение характеристик
функции по ее графику
6. Последовательности и прогрессии
Числовые последовательности. Способы задания
последовательностей
Полная и неполная индукции. Метод математической
индукции
Задачи на суммирование, на доказательство тождеств, на
делимость, на доказательство неравенств
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п-го
члена и суммы п первых членов прогрессий
Неравенство между средним арифметическим и средним
геометрическим
Итого
5ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
7ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
7ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
1ч
6ч
1ч
1ч
2ч
1ч
1ч
34 ч
Содержание курса
1. Числа и алгебраические выражения
Натуральные числа, целые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Рациональные и
иррациональные числа. Множество действительных чисел. Арифметические операции на
множестве действительных чисел. Сравнение чисел.
Делимость натуральных чисел. Признаки делимости на 3, 4, 5, 8, 9, 11. НОД и НОК чисел.
Понятие процента. Вычисление процентов. Модуль (абсолютная величина) числа.
Приемы устного счета. Общие и специальные приемы устного счета. Алгебраические
выражения. Нахождение числовых значений алгебраических выражений. Равенство
алгебраических выражений. Тождество, доказательство тождеств.
2. Преобразования алгебраических выражений
Применение формул сокращенного умножения. Выполнение арифметических действий с
алгебраическими выражениями, содержащими степени.
Алгебраические дроби. Выделение из алгебраической дроби целой части.
Нахождение из физической формулы зависимости одной величины от других величин.
3. Уравнения и системы уравнений
Уравнения с одним неизвестным. Алгебраические уравнения с одним неизвестным.
Нахождение целых и рациональных корней алгебраического уравнения с целыми
коэффициентами. Уравнения, содержащие модуль.
Уравнения с двумя неизвестными. График уравнения с двумя неизвестными. Линейное
уравнение с двумя неизвестными и его график. Общее уравнение прямой на плоскости.
Диофантовы уравнения.
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Уравнения и системы уравнений с
параметром.
4. Неравенства и системы неравенств
Линейные и квадратные неравенства с одним неизвестным. Дробно-рациональные
неравенства и обобщенный метод интервалов. Использование свойств неравенств.
Неравенства, содержащие модуль. Нестрогие неравенства. Неравенства с двумя
неизвестными. График неравенства (множество точек плоскости, удовлетворяющих
неравенству). Метод областей. Системы линейных неравенств с двумя неизвестными.
Неравенства и системы неравенств с параметром.
5. Функция и ее график. Чтение графика функции
Область определения функции. Множество значений функции. Способы задания функции.
Кусочное задание функции. Четные и нечетные, возрастающие и убывающие функции.
Точки максимума и минимума. Наибольшие и наименьшие значения функции.
Промежутки возрастания и убывания, интервалы знакопостоянства функции.
График функции. Графики линейной функции, квадратичной функции, обратно
пропорциональной зависимости. Преобразования графиков. Графики функций,
содержащих знак модуля. Графики дробно-линейной и дробно-рациональной функций.
Чтение графика функции. Определение характеристик функции по ее графику (нули
функции, наибольшие и наименьшие значения, точки экстремума, промежутки
возрастания и убывания и т.д.). Решение уравнения
и неравенств
и
для функции
, заданной ее графиком. Использование геометрической
интерпретации числовых отношений «больше» и «меньше» при решении неравенства
для функций
и
, заданных их графиками.
6. Последовательности и прогрессии
Числовые последовательности. Способы задания последовательностей.
Полная и неполная индукции. Метод математической индукции. Задачи на суммирование,
на доказательство тождеств, на делимость, на доказательство неравенств.
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы п-го члена и суммы п первых
членов прогрессий. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.
Требования к уровню подготовки учащихся
Основные требования к уровню подготовки обучающихся сформулированы в
федеральном компоненте государственного стандарта основного общего образования. В
дополнение к ним настоящая программа предполагает следующие требования:
• получить навыки обращения с числами и алгебраическими выражениями;
• правильно понимать термины «равносильные уравнения», «уравнениеследствие» и иметь представление о методах решения уравнений и неравенств;
• получить навыки чтения графика функции;
• иметь представление о способах задания последовательностей.
КРИТЕРИИ И НОРМЫ ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ ОБУЧАЮЩИХСЯ
Оценка письменных контрольных работ обучающихся по математике
Ответ оценивается отметкой «5», если:



работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка,
которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится в следующих случаях:

работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если
умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
 допущены одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках,
чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом
проверки).
Отметка «3» ставится, если:

допущено более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках,
чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по
проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:

допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает
обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Оценка устных ответов обучающихся по математике
Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и
учебником;
 изложил материал грамотным языком, точно используя математическую
терминологию и символику, в определенной логической последовательности;
 правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
 показал умение иллюстрировать теорию конкретными примерами, применять ее в
новой ситуации при выполнении практического задания;
 продемонстрировал знание теории ранее изученных сопутствующих тем,
сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;
 отвечал самостоятельно, без наводящих вопросов учителя.
Ответ оценивается отметкой «4», если удовлетворяет в основном требованиям на
оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившее математическое
содержание ответа;
 допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа,
исправленные после замечания учителя;
 допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных
вопросов или в выкладках, легко исправленные после замечания учителя.
Отметка «3» ставится в следующих случаях:

неполно раскрыто содержание материала (содержание изложено фрагментарно, не
всегда последовательно), но показано общее понимание вопроса и
продемонстрированы умения, достаточные для усвоения программного материала
(определены «Требованиями к математической подготовке обучающихся» в
настоящей программе по математике);
 имелись затруднения или допущены ошибки в определении математической
терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих
вопросов учителя;
 ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении
практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по
данной теме;
 при достаточном знании теоретического материала выявлена недостаточная
сформированность основных умений и навыков.
Отметка «2» ставится в следующих случаях:


не раскрыто основное содержание учебного материала;
обнаружено незнание учеником большей или наиболее важной части учебного
материала;
 допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической
терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не
исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.
Общая классификация ошибок
При оценке знаний, умений и навыков обучающихся следует учитывать все
ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.
Грубыми считаются ошибки:
 незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений
теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц
их измерения;
 незнание наименований единиц измерения;
 неумение выделить в ответе главное;
 неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;
 неумение делать выводы и обобщения;
 неумение читать и строить графики;
 неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;
 потеря корня или сохранение постороннего корня;
 отбрасывание без объяснений одного из них;
 равнозначные им ошибки;
 вычислительные ошибки, если они не являются опиской;
 логические ошибки.
К негрубым ошибкам следует отнести:

неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой




охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из
этих признаков второстепенными;
неточность графика;
нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план
ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов
второстепенными);
нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;
неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.
Недочетами являются:
 нерациональные приемы вычислений и преобразований;
 небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.
Оценивание математических диктантов
Математические диктант – форма контроля знаний, при которой учитель сам или с
помощью записи задает вопросы, обучающиеся записывают под номерами краткие ответы
на них. Продолжительность: 10 – 15 минут.
Виды диктантов:
 проверочные диктанты (для контроля отдельного фрагмента курса)
 обзорные диктанты (повторение, систематизация и усвоение)
 итоговые диктанты.
Шкала оценивания результатов выполнения диктанта:
Число
вопросов
5
6
7
8
9
Число
верных
ответов
3
4
5
4
5
6
4,5
6
7
5,6
7
8
Отметка
3
4
5
3
4
5
3
4
5
3
4
5
5,6 7,8
3
4
10
9
5
6,7 8,9 10
3
4
5