Document 4900948

Определение
Показательные неравенства –
это неравенства, в которых
неизвестное содержится в
показателе степени.
Примеры:
3  9;
х
2  5 2
х
х 1
 11
Виды неравенств:
Линейное нер-во
 2х+7>0
 -8х+4<0

Квадратное нерво
 Х2-4х+3>0

Простейшие показательные
неравенства – это
неравенства вида:
a a
b
a a
b
x
x
a a
x
b
a a
x
b
где a > 0, a  1, b – любое число.
При решении простейших
неравенств используют свойства
возрастания или убывания
показательной функции.
a  a 
 x  b
a 1 
x
b
 a 
 x  b
0  a 1 
a
x
b
Простейшие
показательные неравенства
1). 3  9  3 x  32  x  2
Ответ : х  2.
х
1
1
1
2).      
4
2
2
х
Ответ : х  2.
x
1
 
2
2
x2
a 1
a
a x2
x2
a x1
a x1
x1
a a
x1  x2
x1
0  a 1
x2
x2
x1
a a
x2
x1
ya
x
x1  x2
x2
Какие из перечисленных функций являются
возрастающими, а какие убывающими?
1) y  5
x
возрастающая, т.к.5  1
2) y  0,5
3) y  10
4) y  
x
x
x
убывающая, т.к.0  0,5  1
возрастающая, т.к.10  1
возрастающая, т.к.  1
Какие из функций являются
возрастающими, а какие
убывающими?
 2
5) y   
 3
x
6) y  49
2
убывающая, т.к.0   1
3
x
1
1
убывающая, т.к.49  и 0 
1
49
49
1
Решения показательных неравенств
Способ 1: Уравнивание оснований правой и левой части
3  81
x
3 3
x
4
т.к.3  1, то функция y  3 возрастающая
x
x4
x  4;
Решите неравенство:
x
1 1
   
 2  2
3
2
x
1
т.к.0   1, то функция y    убывающая
2
2
1
3
x
2
3

x   - ; 
2

Решите неравенство:
1
2  ;
2
3x
1
2 2 ;
3x
т.к. основание 2  1, то функция возрастающая
3 x  1;
1
x ;
3
 1 
x   ; 
 3 
Решение
показательных неравенств
Способ 2: Вынесение за скобки степени с
меньшим показателем
1 х
х 3
3   3  10
3
3
х 3
3
3
1 3
(1   3 )  10
3
х 3
х 3
(1  9)  10
10  10
: 10
3
3
х 3
х 3
3 > 1, то
1
3
х 3  0
х  3.
Ответ: х >3
0
Решение показательных
неравенств
Способ 3: введение новой переменной
(t  9) t 1  0
9  10  3  9
х
х
3  10  3  9  0
2х
х
3  t (t  0)
х
1 t  9
t 2  10t  9  0
D  10  4  9  100  36  64  8
2
10  8 18
t1 

9
2
2
10  8 2
t2 
 1
2
2
1  3x  9
2
3 3 ; 3 3 ;
х
2
х2
х
0
х  0.
3>1, то
Ответ: х < 2. х>0
Задание № 3
Найдите область определения
функции
3 x 1
y 5
 1.
Решение:
Составим неравенство 5
.
x
3x 1
 1  0 . Решив его, получим:
[-1/3; +∞)
3 x 1
Подробнее. 5
3 x 1
1  0  5
3 x 1
 1 5
5
0

 3x 1  0  x  -1/3
Ответ:
(1) (-∞;-1/3]; (2) [1/3; +∞); (3) [- 1/3;+∞); (4) (-∞;-1/3).
Номера правильных ответов:
3
Задание № 4
Найдите область определения
функции
1
y  
3
3 x 7
 1.
Решение:
Составим неравенство  1 
3
3x  7
1 
0.
Решив его, получим:
x  (-∞;7/3]
1
1
Подробнее.  
3
3 x 7
1
1  0   
3
 3x  7  0  x  7/3
Ответ:
3 x 7

1
1
 
3
3 x 7
0
3


(1) [7/3;∞); (2) (-∞;-7/3]; (3) (-∞;7/3]; (4) (-∞;7/3).
Номера правильных ответов:
3
Укажите множество решений неравенства
1,5
x 1
Решение.
4
 .
9
4
1,5  ,
9 2
x 1
3
2
    ,
 2 1 x  3  2
2
2
    ,
3
3
x 1
1  x  2,
x  1.
1) (-1;+∞)
2) (- ∞;-1)
3) (3;+ ∞)
4) (- ∞;3)
С 1. Решите уравнение
3  9  28  3  11 
х
х
 2  2х   2х .
2
2
2
Возможная запись решения ученика.
3  9  28  3  11 
х
х
 2  2х   2х .
2
2
2
3  32 х  28  3 х  11  2  2 х 2  2 х 2 ,

2  2 х 2  0;

3  32 х  28  3 х  9  0,

1  х 2  0;
3  32 х  28  3 х  9  0
у  3х , у  0 , тогда 3 у 2  28 у  9  0,
1
или
у

у9
3
3х  9
или
х2
или
т.к.
1 х2  0
, то
1
3
х  1
3х 
х  1
Ответ : 1
Дома:§13, №13.7 – 13.14(б)