Опорные конспекты

(для изучения и повторения алгебры 7-9
кл.)
Алгебраические дроби
1.
Дроби:
многочлен1 a

многочлен 2 b
2.Оснновное свойство
3.Действия: 

:
a c ac
 
b b
b
a c ac
 
b d bd
a c
ad
: 
b d
bc
n
an
a
   n
b
b
a  0
a
0
b
b  0
a ak a :m
k  0; m  0


b bk b : m

a c ad  cb
 
b d
bd
Функция
 1.функция-зависимость (соответствие) X единств

.
Х-аргумент, D(f)-область определения
У- значение функции , Е(f)-область значений
2.График-множество всех точек (х;у) ,где у=f(x)
3.Способы задания
1) формула
2)график
3)таблица
4) ОПИСАНИЕ
5) СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
y y  f x 
Свойства функции
 1.D(f)
 2.Е(f)
 3.Точки пересечения с осями
 4.Промежутки знакопостояства (f(x)>0 ,f(x)<0)
 5. Промежутки возрастания (убывания)
 6.Четность (f(-x)=f(x)) или нечетность (f(-x)=-f(x))
 7.Периодичность (f(x+T)=f(x))
 8.Экстремумы (max,min)
 9.Поведение вблизи особых точек или
 10.График

Алгебраические выражения
 Числовые (арифметические)

Буквенные
значения


одно

смысл
несколько

Равенство

уравнение
(корни)

тождество
(верно всегда)

О.Д.З
Многочлены
1.Одночлен -бук. часть,умн.,степ.
стандартный вид: -7a 3bc 2
(-7 коэффициент) ,степень:3+1+2,
подобные:бук. части одинак.
2.Многочлен-сумма одночленов
3.Действия
(+) и (-)
2) (х) на одночлен
(х) на многочлен
3) (:) на одночлен
(:) на многочлен
1)
(стандарт. вид,степень)
раскрытие скобок
«фонтанчик»
«фонтан»
«по очереди)
3x 2  7 x  26) : ( x  2)
продолжение
3.Разложение на множители
а) вынесение общего множителя за скобки
б) группировка
в)применение формул сокращенного умножения
Формулы
a  b  a  b a  b 
2
a  b   a 2  2ab  b
2
2
a  b
 a  3a b  3ab  b
3
3
2
2
a  b  a  ba  ab  b 
3
3
a  b  c 
2
2
2
3
 a  b  c  2ab  2bc  2ac
2

2
2

x  1  x  1 x  x    x  x  1
n
ab 

a b

n 1
n2

2
1
2
1 1 2
 13



3
3
3
3
3
a  b   a  b  a  a b b 



Уравнение (равенство с переменной)
1.Корень -значение переменной ,при котором равенство верно
Уравнения равносильны
2.Свойства
=
=
+
=




одни и те же корни или не имеют их
+a=
xa=
= -
+a
xa
-
Линейное уравнение

ax =b
 Возможные случаи:
b
 1)a 0, x= a -единственный корень
 2) a=0; b=0 x-  число
 3)a=0; b 0, - нет корня
Степень
a
p
- степень, a-основание,p – показатель
a n  a  a   an  раз 
1)p=n
a1
2)p=1
a0  1
3)p=0
4)p=-n a n  1n a  0
a
m
5)p= n
,
m
n
a  n am
Свойства степени
 1. a p a g  a p  g
p
g
p g
 2. a : a  a
 3. a p g  a pg
 4. ab  p  a p b g
 5.
p
ap
a
   p
b
b
 Стандартный вид числа
x  a  10 n , n  Z ,1  a  10
Системы уравнений
 Система-это несколько уравнений , для которых надо найти
общее решение.
 Решение системы - это пара чисел , которая удовлетворяет
каждое решение.
 Системы равносильны , если имеют одни и те же решения
или не имеют их.
 Способы решения:
1)Графический
2) Подстановка
3) Сложение

Система линейных уравнений

a1 x  b1 y  c1

a2 x  b2 y  c2
 а) Если
a1 b1

a2 b2
,то решение одно
 б) Если
a1 b1 c1


a 2 b2 c2
,то решений бесконечно много
 В) Если
a1 b1 c1


a 2 b2 c2
,то решений нет
Неравенства
 a>b ,то a-b>0
 a<b ,то a-b<0
 a=b ,то a-b=0
 Свойства:




1.a>b , то b<a (коммутативность)
2.a>b и b>c , то a>c (транзитивность)
3.a>b и c – любое , то a+ c>b+ c
4.a>b и c>0 ,то ac> b c
c<0 , то ac< b c
5.a>b>0 , то a n  b n
1 1

6.a>b>0 , то
a b
Квадратные уравнения
 Неприведенное : ax  bx  c  0a  0
2
коэффициент , c- свободный член.
2
 Приведенное : x  px  g  0
 Неполные : ax 2  bx  0
и ax 2  c  0

Решение уравнений
 1) с=0 , то ax 2  bx  0 , xax  b  0 x1  0 и
x 
2) b=0 ,то ax  c  0
2
,a-I коэффициент , b- II
x2  
b
a
c
a
3)c  0 ,b  0 ax  bx  c  0
, D=b  4ac
2
b
D
4) если b  на 2 , то D   b   ac и
 
2
2
4
2
x
2
4
a
и x
b D
2a
Существование корней
 1.D>0 -два действительных корня
 2.D=0 –два действительных равных
 3.D<0 –нет действительных корней
Теорема Виета
x 2  px  g  0 , x1  x2   p и
Разложение трехчлена
x1 x2  g
ax 2  bx  c  ax  x1 x  x2 
Квадратные корни
 1. a  b  0 ,где b 2  a (арифметический)
 2. Существует : a ,если a  0 -да ,если a<0-нет
 3.
1)
2)
Свойства:
ab  a b
a

b
a
b
3) a 2  a
4) a 2 b  a b
5) a b  a b , 6)
2
 a
2
a
Действительные числа
Состав
N= 1,2,3,, 
Z=  ,,2,1,0,1,2,
G=Z  дробирациональные
J- иррациональные
R=G  J
Возможный вид
n
m
m
или беск.период.дес.др.
n
беск.непериод.десят.др.
всякие десят.др.
Корни натуральной степени
 1.
 2.
n
a  b  bn  a
n
a  0-арифметический
 3.Существует: n=2k для a  0, n a
 4.
 1)
 3)
 5)
,n=2k+1 для всех a,но один!
Свойства
n
ab  a b
n
n k
a 
2k
2k
a
n
nk
a
a
a

b
2) n
4)nk
6)
a
n
b
a mk  n a m
 a
n
n
n
a
Арифметическая прогрессия
 1.

a 

an1  an  d
 2. Формула n-го члена :
 3. Сумма : S  a1  an  n
a n  a1  d n  1
2a1  d n  1
или
S
n
2
n
 4. Свойства
2) d  an1  an 
1) an 
an  am
nm
an1  an1
2
(среднее арифметическое)
Геометрическая прогрессия

 bn 
 1.  
bn1  bn  g g  0иg  1
 2. Формула n-го члена :
b g  b1
Sn  n
g 1
 3. Сумма :
bn  b1  g n 1
или


b1 g n  1
Sn 
g 1
 4.Свойства :
bn1
bn
nm
g


1)
bn
bm
2) bn
 bn1  bn1
(среднее геометрическое)
Бесконечно убывающая
прогрессия

 1.

 2.
g 1
 3. Сумма :
b1
S
1 g
S  lim S n при  