Интегральное исчисление функций одной переменной.

Интегральное
исчисление функций
одной переменной.
План лекции.
Первообразная
 Неопределенный интеграл
 Основные свойства неопределенного
интеграла
 Методы интегрирования

Первообразная
Дана функция f (x ) . Необходимо найти такую функцию F(x), производная
/
F
( x)  f ( x. )
которой равна f (x ) , т.е.
/
Другими словами, по производной F ( x) будем отыскивать саму функцию
F(x), т.е. будем заниматься интегрированием.
Определение 1
F / ( x)  f ( x)
x  a; b
 F (x) называется первообразной для функции f (x)
на отрезке [a;b].
Пример:
f ( x)  cos x
Найти первообразную для функции
/
Известно, что (sin x)  cos x , следовательно
F ( x)  sin x - первообразная для cosx.
Но
(sin x  1) /  cos x, (sin x  C ) /  cos x
(C-const), т.е.
первообразных cosx бесконечно много.
Можно доказать, что функции вида sin x  C
первообразные для функции f ( x )  cos x
исчерпывают все
Определение 2
F ( x)  f ( x)  F ( x)  C   f ( x)dx
т.е. если F(x) – первообразная
для f (x ) ,то семейство F(x)+C, обозначаемое символом
 f ( x)dx ,
называется неопределенным интегралом функции f (x ) (C-const).
В символе

f (x)
f ( x)dx
 f ( x)dx
- знак интеграла,
- подинтегральная функция,
- подинтегральное выражение.
Основные свойства неопределенного
интеграла

1.  f ( x)dx   f ( x)


2. d  f ( x)dx  f ( x)dx
3.  dF ( x)  F ( x)  C ,
 F ( x)dx  F ( x)  C , C  const
4.   f ( x)  f ( x) dx   f ( x)dx   f ( x)dx
5.  Cf ( x)dx  C  f ( x)dx
1
2
или
1
2
Методы интегрирования
Для интегрирования функций f (x ) , т.е. для
нахождения семейства F(x)+C существуют:
1. Таблица основных интегралов
2. Методы интегрирования
Таблица основных интегралов
1.
2.
x n1
 x dx  n  1  C, n, C  const , n  1
dx
 x  ln x  C
n
3.  sin xdx   cos x  C
ax
9. a dx 
 C , a  0, a  1, a  Const
ln a
x
10.  e x dx  e x  C
4.  cos xdx  sin x  C
1
x
 arctg  C , a  0
2
x a a
a
12.  2dx  arctgx  C
x 1
5.  dx2  tgx  C
cos x
13. 
6.
dx
 sin 2 x  ctgx  C
11.  2 dx
dx
1 xa
 ln
 C, a  0
2
2
x  a 2a x  a
dx
x
14.  2 2  arcsin  C, a  0
a
a x
7.  tgxdx   ln cos x  C
15. 
8.  ctgx  ln sin x  C
16. 
dx
 arcsin x  C
1 x
dx
2

ln
x

x
 a  C, a  0
2
x a
2
Методы интегрирования
а) «Полезное» правило.
Пусть
Тогда
 f ( x)dx  F ( x)  C , где F(x) – первообразная для

1
f (kx  b)dx  F (kx  b)  C
k
f (x )
, где k, b, C – const
Примеры
dx
1. Найти
 2x 1
dx
 ln x  C
Подберем подходящий «табличный» интеграл : 
x
1
Здесь
f ( x)  , F ( x)  ln x
x
1
 f (2 x  1) т.е. kx  b  2x 1 , где k =2.
В нашем случае
2x 1
Тогда
dx
1
1
 2 x  1  2 F (2 x  1)  2 ln 2 x  1  C
2. Найти


cos

4
x
  3 dx

 cos xdx  sin x  C , kx  b  4 x  3  k  4
тогда
1



 cos 3  4 x dx   4 sin( 3  4 x)  C
б) «Полезная» формула.
 ( x)dx
d ( ( x))
  ( x)    ( x)  ln  ( x)  C
Пример:
Найти
2x  4
 x 2  4 x  6 dx  I
( x 2  4 x  6)  2 x  4  I  ln x 2  4 x  6
Свойство инвариантности

Пусть
где
f ( x)dx  F ( x)  C
Тогда
 f (u )du  F (u )  C ,
u  u (x)
Пример:
e
x2
d ( x )   e du  e  C  e  C
2
u
u
x2
Благодарю
за
внимание