у>0 на

Признаки возрастания и
убывания функций
10 класс
Учитель математики
Калита Н.А.
Домашнее задание:
Исследовать свойства функции:
у=х4-4х3
1.
2.
3.
4.
Область определения
5.
6.
7
Монотонность
?
Экстремумы
?
Область значения
?
Четность, нечетность
Нули функции
Знакопостоянство
R
Не является четной, не является нечетной
(0;0) и (0;4)
у>0 на (-∞;0)U(4;+∞)
у<0 на (0;4)
Дальше
Область определения-те значения, которые может
принимать аргумент
Область определения данной функциимножество всех действительных чисел, т.к.
задана в виде целой рациональной функции
(многочлена)
Четность , нечетность
Функция четная- если противоположным значениям
аргумента соответствуют одни и те же значения
функции.
f(-х)=f(х)
Функция нечетная- если противоположным значениям
аргумента соответствуют противоположные значения
функции.
f(-х)=-f(х)
у=х4-4х3
у(-х)=(-х)4-4(-х)3= х4+4х3 значит . . .
Нули функции
Нулями функции называют значения аргумента х при
которых значение функции у равно нулю.
у=0; х4-4х3=0;
х3(х-4)=0;
х1=0 и х2=4
(0;0) и (4;0) – точки пересечения графика с осью ох
Знакопостоянство
Интервалами знакопостоянства называют промежутки в
которых функция y принимает положительные
(отрицательные) значения.
у>0; х4-4х3>0
у<0; х4-4х3<0
х3(х-4)>0
х3(х-4)<0
+
0
-
4
+
Монотонность
• Функция y возрастает на множестве P, если для
любых x1 и x2 из множества P
(x1 > x2), выполнено неравенство
y (x2) > y (x1)
• Функция y убывает на множестве P, если для
любых x1 и x2 из множества P
(x1 > x2), выполнено неравенство
y (x2) < y (x1)
Экстремумы
Точка x0 называется точкой минимума функции y,
если для всех x из некоторой окрестности x0
выполнено неравенство
у(х)≥у(х0)
Точка x0 называется точкой максимума функции y,
если для всех x из некоторой окрестности x0
выполнено неравенство
у(х)≤у(х0)
Область значения
Те значения которые принимает
функция
1. Построить график функции y = 2sin x.
2. Заполнить таблицу:
1
  
6 3 2
х0

3
2
Угловой коэффициент
касательной в точке хо
2
Значение производной в
точке хо (по знаку)

6


2
3. Вывод:
Вид монотонности в точке
хо
Вывод:
Если функция возрастает на
промежутке и имеет на нем
производную, то производная
положительна;
Если функция убывает на
промежутке и имеет на нем
производную, то производная
отрицательна.
это важно
Монотонность функции
Пусть на промежутке (а;в) функции
возрастает, график функции
направлен вверх
Касательная к графику
функции в любой точке (а;в)
направлена вверх, значит
угловой коэффициент
касательной «+»
а
в
А угловой коэффициент
касательной к графику
функции в точке, есть
значение производной в этой
точке.
Если k>0, то и у'>0.
Т.о.
Если f‘(х)>0 в каждой точке
интервала (а;в),
то функция f(х) возрастает
на (а;в).
Аналогично
Если f‘(х)<0 в каждой точке
интервала (а;в),
то функция f(х) убывает на
(а;в).
Данные свойства называют достаточные
признаки возрастания, убывания функции.
Если функция f(х) дифференцируема на
интервале (а;в ) и f‘(х) > 0, то функция
возрастает на интервале (а;в).
Если функция f(х) дифференцируема на
интервале (а;в ) и f‘(х) < 0, то функция
убывает на интервале (а;в).
Алгоритм исследования на
монотонность:
•
•
•
•
Найдем о.о. производной функции.
Найдем производную функцию.
Найдем нули производной.
Методом интервалов определим знаки
производной на каждом промежутке.
• Используя достаточный признак
возрастания (убывания) делаем вывод.
Пример:
Исследовать функцию на монотонность : f(x) = x³ - 6x² + 9x – 1
Решение:
1. Данная функция определена на R.
Найдем производную данной функции:
f ´(x) = 3x² - 12x + 9
2.
Найдем нули производной:
f ´(x) = 0, 3x² - 12x + 9 = 0
x² - 4x + 3 = 0
x=1их=3
3. Определим знак производной на интервалах:
f ´(x) > 0, x ϵ (-∞; 1) и (3; + ∞)
f ´(x) < 0, х ϵ (1; 3)
f ´(x)
+
1
Вывод: Функция f(x) = x³ - 6x² + 9x – 1
Возрастает на (-∞; 1] и [3; + ∞)
Убывает на [1; 3]
-
3
+
х
№1 :
Определите на каких промежутках функция
у=х3-3х+2
возрастает, а на каких убывает.
Дальше
№2 :
Доказать, что функция y = cos3x - 4x убывает на
всей числовой прямой
Дальше
№3 :
Является ли данная функция возрастающей?
3х  1
у
3х  1
Дальше
№4
Дальше
№5
Дальше
№6
Функция y=f(x) определена на промежутке (-5;7).
График её производной изображён на рисунке.
Найдите промежутки возрастания и убывания
функции y=f(x).
Дальше
ИССЛЕДОВАНИЕ
МОНОТОННОСТИ ПО ГРАФИКУ
Тест состоит из 5 вопросов.
К каждому вопросу предложено 4 ответа, один
из них верный. Каждый верный ответ
приносит вам 1 балл, неверный 0 баллов.
Желаю удачи!
1. Для какой функции
f ‘(-1) >f ‘(1)?
2. На каком рисунке производная
функции положительна в каждой точке
области определения?
Баллы: 0
2. На каком рисунке производная
функции положительна в каждой точке
области определения?
Баллы: 1
3. На каком рисунке производная
равна нулю в точке х=-1?
Баллы: 0
3. На каком рисунке производная
равна нулю в точке х=-1?
Баллы: 1
3. На каком рисунке производная
равна нулю в точке х=-1?
Баллы: 2
4. На каком рисунке производная
функция отрицательна на [-1;1]?
Баллы: 0
4. На каком рисунке производная
функции отрицательна на [-1;1]?
Баллы: 1
4. На каком рисунке производная
функции отрицательна на [-1;1]?
Баллы: 2
4. На каком рисунке производная
функция отрицательна на [-1;1]?
Баллы: 3
5. Какая функция при х=0
определена, а её производная нет?
Баллы: 0
5. Какая функция при х=0
определена, а её производная нет?
Баллы: 1
5. Какая функция при х=0
определена, а её производная нет?
Баллы: 2
5. Какая функция при х=0
определена, а её производная нет?
Баллы: 3
5. Какая функция при х=0
определена, а её производная нет?
Баллы: 4
Блиц-тестирование
окончено
Используя изученные признаки определим
промежутки монотонности заданной в
домашнем задании, функции
у=х4-4х3
Решение:
1. Найдем производную данной функции:
f ´(x) = 4x3 - 12x2
Данная функция определена на R
2. Найдем нули производной
f ´(x) = 0, 4x3 - 12x2 = 0
4x²(х-3) = 0
x=0их=3
3. Определим знак производной на интервалах:
f ´(x) < 0, x ϵ (-∞; 3)
f ´(x) > 0, х ϵ (3; +∞)
-
0
-
3
+
4. Вывод: Функция возрастает на [3; +∞) и убывает на (-∞; 3] .
Домашнее задание:
• Признаки возрастания и убывания
функции
• № 260
• № 261