лекция 11(Комбинаторика 2)

Комбинаторика
1
Сочетания
• Определение 1
• k-сочетанием множества А называется неупорядоченный набор
попарно различных элементов множества А длины k. Другими
словами k-сочетание – это k-элементное подмножество
множества А
A  a; b; c . 2- сочетания: {a; b};{a; c};{b; c}
• Пример:
• Число k- сочетаний n-элементного множества обозначается C nk
и вычисляется по формуле
C nk 
n!
k!(n  k )!
2
Свойства сочетаний
1) С nk  C nn  k
Доказательство:
Сnk 
Сnn k 
n!
k!(n  k )!
n!
n!

(n  k )!(n  (n  k ))! (n  k )! k!
 Cnk  Cnn  k
2) C nk11  C nk 1  C nk
Доказательство:
Сnk11 
(n  1)!
(n  1)!

(k  1)!(n  1  (k  1))! (k  1)!(n  k )!
Сnk 1  Cnk 
n!
n!
n!(n  k )  n!(k  1)
n!(n  1)
(n  1)!




(k  1)!(n  k  1)! k!(n  k )!
(k  1)!(n  k )!
(k  1)!(n  k )! (k  1)!(n  k )!
3
Свойства сочетаний
n
(а  b)   C nk a n  k b k
n
3) Бином Ньютона:
k 0
Доказать самостоятельно (5 баллов)
Следствия из бинома Ньютона:
n
Равенство
C
k 0
k
n
 2n
n
Равенство
 (1)
k 0
k
получается из бинома Ньютона при a  b  1
C nk  0 получается из бинома Ньютона при a  1, b  1
4
Треугольник Паскаля
С 00
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1
3
6
С 20
1
4

С30
1
С40
С10
С 21
С11
С 31
С41
С 22
С 32
С42
С 33
С43
С44

5
Сочетание с повторениями
• Определение 5
•
k-сочетанием с повторениями n элементного множества,
называется неупорядоченный набор элементов данного
множества длины k.
• Пример: А= a; b; c
2 сочетания с повторениями: a; b; b; c; a; c; a; a; b; b; c; c
Число k-сочетание с повторениями n – элементного множества
обозначается:
C nk
6
Сочетания с повторениями
Теорема
Число k-сочетание с повторениями n – элементного множества вычисляется
по формуле:
C nk  C nk k 1
Доказательство:
Лемма. Число наборов из m нулей и n единиц равно
Cnn m
Закодируем k - сочетания с повторениями наборами из 0 и 1, отделяя нулями
группы элементов одного типа. Количество 1 равно k, а количество нулей
(n-1). Число таких кодов равно
Ckk n 1
7
Сводная таблица
Упорядоченный
С повторениями
Ànk  n k
P n (n1 , n2 ,..., nk ) 
Без повторений
Неупорядоченный
Ank 
(n1  n2  ...  nk )!
n1!n2 !...  nk !
n!
n  k !
C nk  C nk k 1
n!
C 
k!(n  k )!
k
n
Ann  Pn  n!
8
Задачи
• 1) В почтовом отделении продают 10 сортов открыток. Сколькими
способами можно купить в нем 8 различных открыток? Сколькими
способами можно купить 8 открыток?
С108 
С10  C108 81 
8
10!
10! 10  9


 45
8!(10  8)! 8!2!
2
17!
17! 10 1112 13 14 15 16 17


 10 1113 17  24310
8!(17  8)! 8!9!
1 2  3  4  5  6  7  8
• 2) Сколькими способами можно раздать 5 одинаковых апельсинов,
3 банана, 7 яблок между 4 людьми?
С 4  С 4  С 4  С85  С63  С107 
5
3
7
8! 6! 10! 6  7  8 4  5  6 8  9 10





 56  20 120  134400
5!3! 3!3! 7!3!
6
6
6
9
Задачи
• 3) Сколькими способами можно закодировать дверь?
1
10
C10
 C102  C103  C104  C105  C106  C107  C108  C109  C10
 210  1  1023
• 4) Сколько существует трехзначных чисел?
A10  A10  103 102  900
3
2
• 5) Абонент забыл последние 3 цифры телефонного номера.
Помня, что эти цифры различны, он набирает номер наугад.
Сколько номеров ему нужно перебрать, если он невезучий
человек?
A103 
10!
 8  9 10  720
10  3!
10