Урок Повторение. Двугранный угол 1. Двугранный угол и его

Урок Повторение. Двугранный угол
1. Двугранный угол и его линейный угол
Рассмотрим две пересекающиеся плоскости и , которые пересекаются по прямой . Из
точки A прямой проводим в плоскости прямую , перпендикулярную . Аналогично,
проведем в плоскости прямую , перпендикулярную . Угол, образованный двумя
прямыми и (
), – линейный угол двугранного угла, образованного
полуплоскостями и (рис. 1).
Рис. 1
Определение: двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями с
общей границей.
У двугранного угла есть линейный угол. Его можно найти, выбрав любую точку на линии
пересечения и построить два перпендикуляра из этой точки, один из которых будет
лежать в первой полуплоскости, а другой – во второй полуплоскости. Угол, образованный
этими перпендикулярами к прямой пересечения, и будет линейным углом двугранного
угла.
2. Другие способы построения двугранного угла
Еще один способ построения двугранного угла:
Есть две полуплоскости и , прямая их пересечения . Можно взять точку M, не
лежащую в полуплоскостях, и опустить из нее два перпендикуляра: на полуплоскость –
и на полуплоскость –
.
и
образуют плоскость, которая рассечет прямую
в некоторой точке A. Тогда можно будет либо найти линейный угол, либо его
дополнение до
(рис. 2).
Рис. 2
Замечание: если двугранный угол равен
перпендикулярны.
, то плоскости, его образующие,
3. Признак перпендикулярности плоскостей
Признак перпендикулярности плоскостей: Если есть прямая перпендикулярна плоскости
, то любая плоскость , проходящая через прямую , перпендикулярна (рис. 3).
Рис. 3
Рассмотрим более детально первое стандартное построение:
Два перпендикуляра из одной точки образуют плоскость – плоскость линейного угла
(рис. 4).
Рис. 4
4. Свойства плоскости линейного угла
Свойства плоскости линейного угла:
Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам двугранного угла (двум
полуплоскостям и ребру).
Доказательство:
1. Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и из плоскости , значит,
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна
плоскости .
2. Прямая лежит в плоскости и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку
перпендикулярности плоскостей, плоскости и перпендикулярны.
3. Прямая лежит в плоскости и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку
перпендикулярности плоскостей, плоскости и перпендикулярны.
Задача №1:
Двугранный угол равен
на
. Точка, выбранная на одной из граней, удалена от ребра угла
см. Найдите расстояние от данной точки до второй грани (рис. 5).
Рис. 5
Решение
Расстояние от точки до плоскости – это перпендикуляр, опущенный из этой точки на
данную плоскость. Построим в плоскости линейного угла перпендикуляр MH к прямой .
Докажем, что перпендикуляр MH перпендикулярен всей плоскости : MH
перпендикулярна – по построению; MH перпендикулярна , так как ребро
перпендикулярно всей плоскости линейного угла. Так как прямые и лежат в
плоскости , пересекаются и перпендикулярны MH, то прямая MH перпендикулярна
плоскости . Значит MH – искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник
AHM (
):
см,
, нужно найти катет HM.
см
Ответ: расстояние от точки M до плоскости
равно 9 см.
Выводы:
Было рассмотрено понятие двугранного угла, его линейный угол, рассмотрены свойства
двугранного угла и плоскости линейного угла и решена задача, в которой используются
эти свойства.
Домашнее задание
Сколько основных способов построения двугранного угла вы знаете?
Всегда ли две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол?
У двугранного угла всегда есть линейный угол?
Можно ли, зная лишь значение линейного угла, быть уверенным насчет
перпендикулярности плоскостей, его образующих?
5. Если двугранный угол равен
, можно ли утверждать, что все три плоскости (две
грани двугранного угла и плоскость линейного угла) взаимно перпендикулярны?
1.
2.
3.
4.