Римановы геодезические на поверхностях вращения. Выполнил: А. П. Маштаков Исследовательский центр процессов управления ИПС РАН Переславль-Залесский 2006 Римановы геодезические 1.5 1 0.5 0 0.5 1 • Дана поверхность 1.5 2 F(x,y,z) = 0 0 • Требуется найти кривую минимальной длины на ней с заданными начальной и конечной точкой 2 1 0 Г(t), Г(t0) = q0, Г(t1) = q1 -1 -2 t1 t0 Г t ,Г t t min Геодезические на эллипсоиде вращения 2 2 x t1 0 2 y z 0 a2 q0 t1 q1 t , t 1 t min Параметризация поверхности x y z r Cos Cos r Sin Cos a r Sin r=1 x Cos Cos y Sin Cos z a Sin Задача оптимального управления v1 u1 v2 u2 Cos x a2 Ctg2 1 Sin y a2 Ctg2 1 a z Tg2 t1 t0 u12 a2 u1 t Sin u2 t u1 t Cos u2 t u1 t u2 2 t min Задача оптимального управления u1 Sin2 u2 Cos t1 t0 u1 2 u22 2 t min a2 Cos2 Существование оптимальных управлений x f x, u , t x 0 x, u A, x T t min 0 x n R , u 1 Функции f x, u , U c R , f : Rn m U x, u непрерывны по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемы по x. 2 Существуеттакая положительная константа C, что x, f x, u 3 U Rn C x замкнуто и ограничено; f x, U 2 1 . выпукло. b, Принцип максимума Понтрягина n H , x, u a fa x, u a 0 u t ,x t , 0 t u U H 0 T оптимальный процесс 0, 0 max H t H t ,x t ,u u12 u2 2 2 H 1 x t ,x t ,u t u1 Sin2 a2 Cos2 , 2 0 u2 Cos 0 Интегрирование гамильтоновой системы 2 1 1 2 Sin a2 1 2 2 a2 Cos2 2 Cos3 Cos Sin2 0 1 Sin2 a2 Cos2 2 Cos2 2 k2 Tg2 Cos2 a2 k2 Sin Параметризация геодезических 1 0 k2 Tg2 a2 Cos2 k2 x0 Arctg a2 x x1 x x x a2 x x 1 e x Геодезические на сфере k2 2 Cos2 Cos2 Sin A0 k2 1 0 k2 Cos2 k2 Cos2 0 A0 x B A Tg , sin B, B0 C0 A B0 y cos B, C0 z 0 Геодезические на эллипсоиде вращения Заключение • Рассмотрена задача нахождения геодезических на сфере и эллипсоиде вращения. • Применены методы оптимального управления для решения задачи • Получены дифференциальные уравнения геодезических на сфере и эллипсоиде вращения. Семейство геодезических на эллипсоиде параметризовано эллиптическими интегралами. • Получены рисунки геодезических в системе «Математика». Качение сферы