Задание С6

Задания типа С6
ЕГЭ 2011
Преподаватель математики
МОУ лицей г. Нижневартовска
Афонина С.А.
Задание С6
Известно, что С6 традиционно сложное
задание.
Сложность
таких
заданий
подтверждают и результаты решения задач с
целыми числами на олимпиадах разного
уровня и решаемость заданий С6 на экзамене
ЕГЭ 2010.
Задание С6
Пример 1. Найдите все пятизначные
числа вида 517 xy , каждое из которых
делится на 6 и на 9.
Решение. На 6 будут делится все те
числа, которые делятся на 3 и на 2.
Задание С6
Признак делимости на 3: "На 3 делятся те и только те
числа, сумма цифр которых делится на 3".
Признак делимости на 2: "На 2 делятся те и только те
числа, которые оканчиваются четной цифрой или
нулем, т. е. на 0, 2, 4, 6, 8".
Признак делимости на 9: "На 9 делятся те и только те
числа, сумма цифр которых делится на 9". Таким
образом, если число делится на 9, тогда оно и подавно
будет делится на 3.
Задание С6
Чтобы число делилось на 6 и на 9,
необходимо и достаточно, чтобы его сумма
цифр делилась на 9 и оно оканчивалось
четной цифрой.
Сумма цифр числа равна:
5 + 1 + 7 + x + y = x + y + 13.
Рассмотрим несколько случаев:
1) если y = 0, тогда сумма цифр равна x + 13 и
она будет делиться на 9, если x будет равен 5,
искомое число: 51750;
2) если y = 2, тогда сумма цифр равна x + 15 и
она будет делиться на 9, если x будет равен 3,
искомое число: 51732;
3) если y = 4, тогда сумма цифр равна x + 17 и
она будет делиться на 9, если x будет равен 1,
искомое число: 51714;
Рассмотрим несколько случаев:
4) если y = 6, тогда сумма цифр равна x + 19 и
она будет делиться на 9, если x будет равен 8,
искомое число: 51786;
5) если y = 8, тогда сумма цифр равна x + 21 и
она будет делиться на 9, если x будет равен 6,
искомое число: 51768.
Ответ: 51750, 51732, 51714, 51786, 51768.
Реши самостоятельно по образцу:
Пример 2. Найдите все пятизначные
числа, делящиеся на 45, запись
которых в десятичной системе имеет
вид 53 x1 y
(х и у – цифры).
Ответ: 53010, 53910, 53415.
Задание С6
Пример 3. Найдите все пары целых
чисел m и n, удовлетворяющие
одновременно двум неравенствам:
m  n  16m  22n  171 ,

2
2
30m  n  252  14n  m .
2
2
Задание С6
Решение. Выделив полные квадраты в
неравенствах системы, получим:
( m 2  16т  64)  ( n 2  22п  121)  14 ,
 2

2
( т  30m  225)  ( n  14n  49)  22 ;

( m  8) 2  ( n  11) 2  14 ,

2
2
(
т

15
)

(
n

7
)
 22 .

Задание С6
Отсюда
( m  8) 2  14 ,

2
( т  15)  22 .
С учетом целочисленности т из
последней системы следует:
| m  8 |  3 ,

| т  15 |  4 ;

5  m  11 ,

11  т  19 ;
Ответ: m = 11, n = - 9.

m  11
Задание С6
Пример 4. Решите в натуральных числах
уравнение 3х + 4у = 5Z.
Решение. Правая часть уравнения при делении
на 3 должна давать тот же остаток, что и левая,
т. е. 1. Поэтому z — четное число. Аналогично
левая часть уравнения делится на 4 с остатком
1, поэтому число x тоже четное. Итак, 4y = 5z –
3x = 52z0 – 32x0, т. е. 22y = (5z0 – 3x0)(5z0 + 3x0).
Задание С6
Поэтому 5z0 - 3x0 = 2k и 5z0 + 3x0 = 2l, где k и l —
целые неотрицательные числа и k + l = 2y. Таким
образом,
5z0 = (2k + 2l) и 3x0 = (2l - 2k) = 2l - 1 - 2k - 1.
Значит, число 2l - 1 - 2k - 1 нечетно, поэтому k = 1.
Значит, 2k = 2 и 3x0 = 2l - 1 – 1. Следовательно,
число l – 1 четно, l – 1 = 2s (иначе левая часть не
делится на 3). Тогда 3x0 = (2s – 1)(2s + 1) —
произведение двух множителей, отличающихся
на 2 и являющихся степенями тройки.
Задание С6
Ясно, что эти множители — 1 и 3. Тогда s = 1,
l = 2s + 1 = 3. Теперь нетрудно видеть, что x =
y = z = 2.
Комментарий.
Нетрудно
доказать
по
индукции, что остаток от деления на 3 числа
5z равен 1 если z четно, и 2, если z нечетно.
Задание С6
На самом деле остатки от деления числа an на
b (при фиксированных a и b) образуют
периодическую последовательность.
Заметим также, что если b — простое число,
то период этой последовательности является
делителем числа p – 1.
Ответ: x = y = z = 2.
Литература, полезные сайты
• http://www.problems.ru/
• Ященко И.В. и др. Подготовка к ЕГЭ по
математике в 2011 году.