1_14

1.14. Конечные кластеры и
трансляционная инвариантность
Периодические граничные условия.
Решетка Бравэ. Задача Шредингера.
Оператор трансляций.
Спектральный анализ
Периодические граничные условия
 В большинстве случаев рассматриваемые конечные системы, кластеры,
выбираются с периодическими граничными условиями для того, чтобы все
узлы системы были эквивалентными
 Для конкретных случаев может быть выбрана и другая, необязательно
периодическая, геометрия кластера (периодическая геометрия кластера
называется
также
геометрией
тора).
Используют
также
антипериодические граничные условия, свободные, или нулевые,
граничные условия и другие варианты геометрии кластеров

2

Решетка Бравэ
 Понизить размерность фоковского базиса системы можно, если учесть
симметрию кластера
 Вектор трансляции на пространственной периодической структуре:
 Периодическая структура с определенным на ней вектором трансляции
называется решеткой Бравэ
 Векторы трансляции полностью определяют пространственную решетку
Бравэ
 Оператор трансляции:
 Свойство оператора трансляции:
3
Задача Шредингера
 Задача Шредингера на периодической решетке:
 Оператор трансляции коммутирует с гамильтонианом:
 Существует общая система собственных функций для гамильтониана и
оператора трансляций:
 В общем случае для каждого базисного вектора решетки:
 Для вектора трансляции имеем:
 Вектор k определен с точностью до вектора g:
 Множество таких векторов можно представить в виде разложения
4
Задача Шредингера
 Векторы b называются базисными векторами обратной решетки и
обычно выбираются в виде:
 Для простой кубической решетки:
 Базисные вектора обратной решетки ортогональны базисным векторам
прямой решетки:
 Оператор трансляций может быть записан в виде:
 Оператор трансляции унитарен:
5
Задача Шредингера
 Собственную
волновую
функцию
гамильтониана
в
условиях
периодического потенциала можно представить как произведение
экспоненциального множителя на периодическую функцию (теорема
Блоха):
 Граничные условия Борна – Кармана:
 Разрешенные значения блоховского волнового вектора k действительны:
 Для простой кубической решетки:
 Решение задачи Шредингера, которое удовлетворяет трансляционной
инвариантности, следует искать в виде блоховской волновой функции, при
этом вектор k является одним из разрешенных векторов обратной
решетки
6
Пример. Одномерная цепочка
 Одномерная цепочка из четырех узлов с тремя частицами, описываемая
моделью Бозе – Хаббарда. Узельный базис состоит из 20 функций:
 Сортировка базисных функций на классы; в каждом классе узельные
функции порождаются производящей функцией:
 Имеем пять классов по четыре функции:
7
Базис оператора трансляций
 Собственные функции оператора трансляций могут быть записаны в виде
комбинаций периодической функции и экспоненциального множителя:
 Коэффициенты определяются из условия ортонормированности:
 Новый базис представляет собой блочную структуру, пронумерованную по
разрешенным векторам обратной решетки (или секторам импульса).
Гамильтонова матрица в новом базисе будет блочно-диагональной:
8
Базис оператора трансляций
 Матричные элементы внутри блока, отвечающего сектору m:
 С учетом трансляционной симметрии гамильтониана и узельных функций:
 Матричные элементы от диагональной части гамильтониана:
 Все матричные элементы недиагональной части гамильтониана внутри
блока в общем случае являются ненулевыми, в том числе и элементы на
главной диагонали:
9
Спектральный анализ
 Разбиение гамильтоновой матрицы по трансляциям позволяет получить
дополнительную информацию о системе – численный спектральный
анализ
 Модель Бозе – Хаббарда для системы из 4
узлов и 3 частиц:
 Сортировка собственных состояний по
секторам импульса позволяет проанализировать
спектр одночастичных и многочастичных
возбуждений
 1 – суперпозиция однофононных состояний с
импульсом ±k0; 2 – суперпозиция двухфононных
состояний {k0, k0} и {–k0, –k0} ; 3 – двухфононное
состояние {k0, –k0}; 4 – суперпозиция
10сверхтоковых состояний