(a+b) 2

Тема: «Формулы
сокращенного умножения»
Скажи мне – и я забуду, покажи мне – и я запомню,
дай мне действовать самому – и я научусь.
Китайская мудрость





В современном обществе существует потребность в активных, деятельных людях, которые могли бы
быстро приспосабливаться к меняющимся трудовым условиям, всесторонне развитых, способных к
самообразованию, самовоспитанию, саморазвитию.
Это требует от учителя активного применения различных педагогических технологий, которые
развивают мотивацию школьников к учебно-познавательной деятельности, повышают их
интеллектуальный уровень, раскрывают творческие способности.
Использование компьютерной технологии и информационно-коммуникационных технологий на
уроках математики позволило интенсифицировать учебный процесс, повысить интерес учащихся к
изучению предмета При использовании технологии проектного обучения на уроке математики
учащиеся приобрели опыт участия в исследовательской деятельности: самостоятельно добывали
информацию, учились пользоваться приобретенными знаниями для решения познавательных задач,
развивали свои коммуникативные способности, работая в различных группах и сотрудничая с учителем.
Компьютер с его широкими мультимедийными и графическими возможностями вовлечен в процесс
обучения. Поэтому урок представляется в виде презентаций, демонстрируемых с помощью проектора
на интерактивную доску.
Информационные и коммуникационные технологии открывают учащимся путь к нетрадиционным
источникам информации, стимулируют самостоятельную работу, дают совершенно новые
возможности творчества и самореализации. Смена различных видов деятельности школьников,
применение ИКТ при организации учебного процесса должна способствовать приобретению и
усвоению новых знаний, превращая урок в увлекательный и творческий процесс.
Тема урока: «Формулы сокращенного
умножения»

Цели урока.
Образовательные.
Повторить умножение многочлена на одночлен и умножение многочлена на многочлен.
Систематизировать и обобщить знания по теме « Формулы сокращённого умножения»
продолжить формирование познавательной активности и закрепить программный материал.
Развивающие.
Формировать интерес к математике.
Развивать логическое мышление
Развивать творческую активность учащихся, умение делать обобщения на основе данных
Развивать познавательную деятельность учащихся, которая, в свою очередь, способствует развитию
разносторонней личности.
Воспитательные
Воспитывать у учащихся стремление к самосовершенствованию.
Развивать коммуникативные качества.
Воспитывать чувство ответственности , культуру общения

Отчетные материалы

Презентация (слайды).
Тематические сообщения.
.















Тип урока: обобщающий



Оборудование:
Учебник
Компьютер, проектор, интерактивная доска.
«Учиться можно
только
весело…
Чтобы переваривать
знания, надо поглощать
их с аппетитом»
А. Франс
Содержание:
1. Квадрат суммы и квадрат разности
2. Разность квадратов
3. Разность кубов и сумма кубов
Повторение:
1. Умножение одночлена на многочлен
Как умножить одночлен на многочлен?
Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить его на
каждый одночлен многочлена и полученные произведения сложить.
a ( b + c) = ab + ac
a ( b + c + d) = ab + ac + ad
Примеры
1) x(y + 2) = xy + 2x
2) 2x( 4x2 + 2xy – y2) = 8x3 + 4x2y – 2xy2
2. Умножение многочлена на многочлен
Как умножить одночлен на многочлен?
(a + n) ( b + c) =
ab + ac +
nb + nc
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно
умножить каждый одночлен одного многочлена на каждый
одночлен другого многочлена и полученные произведения
сложить.
Пример:
( x– z)( y + 2) =
x y
+ 2 x - z y - 2 z
ВЫПОЛНИТЕ УМНОЖЕНИЕ
(8а – 3)(3а + 5 )=
24а²+31а-15
(5х + 2у)(2у – 5х)= 4у²-25х²
(2в – 1)(3 – в)= -b²+7b-3
(в – 2)(в2 +2в – 1)= b³-4b²-b+2
(а + 3)(а 2 - 5)= a³+3a²-5a-15
РЕШИТЕ УРАВНЕНИЕ
(х – 3)(2х + 7) – (2х – 3)(х + 4) = 15
ПРОВЕРЬ СВОЙ РЕЗУЛЬТАТ
Ответ: х = -4
Немного теории
При умножении многочлена на многочлен
каждый член одного многочлена
умножают на каждый член другого .
Однако в некоторых случаях умножение
многочленов можно выполнить короче,
воспользовавшись формулами
сокращенного умножения.
Возведем в квадрат сумму (а + в)2
(а + в) = (а + в)(а + в) = ……………
Формула квадрата суммы
ЗАПОМНИМ
Квадрат суммы двух выражений равен
квадрату первого выражения плюс
удвоенное произведение первого на второго
и плюс квадрат второго выражения
Формула квадрата разности
ЗАПОМНИМ
Квадрат разности двух выражений равен
квадрату первого выражения минус
удвоенное произведение первого на
второе и плюс квадрат второго
выражения
ЗАПОМНИ СЛЕДУЮЩИЕ
ТОЖДЕСТВА
(а – в
2
)
(-а–в
= (в – а
2
) =
2
)
(а+в
2
)
РЕШИ САМ
(8х + 3)2 =
(10х – 7у)2 =
УСТНО
( х +у )2 =
( р – с )2 =
( в + 3 )2 =
( 10 – с )2 =
( у – 4а )2 =
Историческая справка
Некоторые правила сокращенного
умножения были известны еще около
4 тыс. лет назад. Их знали вавилоняне
и другие народы древности.
Знаменитый ученый Евклид свел
воедино все открытия греческих
математиков в 13 книгах под общим
названием «Начала». В течение двух
тысячелетий это научное сочинение
было энциклопедией и учебником по
математике. Евклид дал полный свод
математических знаний своих
предшественников, системно изложив
все достижения греческой
математики, что дало возможность
дальнейшему развитию данной науки.
У древних греков величины обозначались не числами
или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «а2»,
а «квадрат на отрезке а», не «ав», а «прямоугольник,
содержащийся между отрезками а и в». Например,
тождество ( а + в )2=а2 + 2ав + в2 во второй книге
«Начал» Евклида формулировалось так: « Если прямая
линия ( имеется в виду отрезок) как- либо рассечена, то
квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках
вместе с дважды взятым прямоугольником,
заключенным между отрезками». Доказательство
опиралось на геометрические соображения.
Геометрический смысл формулы
2
2
(a+b)2=
a
2ab
+
+b
b
ab
b2
a
2
a
ab
a
b
Вот что писал Евклид в своей
замечательной книге «Начало»:
«Если отрезок как-либо разбит
на два отрезка, то площадь
квадрата, построенного на всем
отрезке, равна сумме площадей
квадратов, построенных на
каждом из двух отрезков, и
удвоенной площади
прямоугольника, сторонами
которого служат эти два
отрезка»
Чему равен квадрат суммы и квадрат разности
двух выражений?
 Преобразуйте выражение
(3а – 2в )2 =---------------(3х3 – 5 )2 = ----------------(2а + 3в )2 = --------------- Разложите на множители
Х2 – 6х + 9 =---------------4х2 + 4х + 1 = ------------4а2 + 12ав + 9в2 = --------
Треугольник Паскаля
Коэффициенты многочлена (a+b)n
(a+b)0= 1
1
(a+b)1= a+b
1
2
2
(a+b)2= a +2ab+b
1
(a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=
1
(a+b)5=
(a+b)6=
1
1
1
4
3
1
6
10
15
1
2
3
5
6
1
4
10
20
15
1
5
1
6
1
Блез Паскаль
Щедро одаренный от природы
французский философ, писатель,
физик, математик Блез Паскаль
(1623-1662), современник Декарта и
Ферма, изобрел первую счетную
машину и сделал многое в области
математики, которая называется
комбинаторикой.
Разность квадратов
Повторение:
Возведите в квадрат:
2
9a
(3a) ²=
(0,2m) ²= 0,04m2
((1/3)x) ²= (1/9)x2
((3/8)y³) ²= (9/64)y6
(0,03y²) ²= 0,0009y4
Представьте в виде квадрата
одночлена:
2=
9b
2
(3b)
2)2
(6m
=
0,09x10 = (0,3x5)2
0,81m2n2 = (0,9mn)2
6
(16/25)x4y = ((4/5)x2y3)2
36m4
7) a2-9b2
8) (m-n)2
9) (4a+3b)2
10)100x2-64y2
11)(0,2x-0,4y)2
12)9a+3x2
выражения
6) (3a+2b)2
Остальные
5) 25a2+36b2
Квадрат
4) m2-n2
квадратов
Сумма квадратов
3) 9x2-16
Разность
2) 3m-2n
суммы
1) a+b
Квадрат разности
Заполните таблицу, поместив номера
соответственных выражений.
суммы
10)
6)
8)
3)
9)
11)
4)
2)
13)
7)
12)
5)
1)
выражения
Остальные
квадратов
Сумма квадратов
Разность
Квадрат разности
Квадрат
Проверь себя
Задание:
•Сформулируйте формулу
квадрата суммы.
Раскройте скобки в выражении
первого столбца
6)
(3a+2b) 2 = 9a2+12ab+4b2
9)
(4a+3b) 2
=
2
2
16a +24ab+9b
Задание:
•Сформулируйте формулу
квадрата разности.
Раскройте скобки в выражении
второго столбца
8) (m-n)2= m2-2mn+n²
11) (-0,2x+0,4y)2= 0,04x2-0,16xy+0,16y2
13)
4-(3/10)x2y3+(9/16)y6
2
3
2
(1/25)x
((1/5)x -(3/4)y ) =
Задание: Выполните умножение двучленов
(a-b)(a+b) = a² - b²
(6x-2y)(6x+2y) = 36x² – 4y²
Прочитайте формулу (a-b)(a+b)=a2-b2
Произведение разности двух выражений
и их суммы равно разности квадратов
этих выражений.
Проверьте справедливость этой
формулы при а=5; b=4;
а= -2; b=3.
Сделайте вывод.
Задание: Преобразуйте
формуле (a+b)(a-b)=a2-b2
выражения
2 – 22 = 21
5
(5+2)(5-2) =
(x-y)(x+y) = x2 -y2
((2/3)-a)((2/3)+a) = 4/9 - a2
(5x2-3y3)(5x2+3y3) = 25x4-9y6
по
Любую формулу в математике можно
читать как слева направо, так и справа
налево.
a2-b2=(a+b)(a-b)
Разность квадратов двух выражений (чисел) равна
произведению суммы этих выражений (чисел) на их
разность.
(a-b)(a+b)=a2-b2
Запомни: (▲—)(▲+)=▲2—2
a2-b2=(a-b)(a+b)
▲2—2=(▲—)(▲+)
1. Выполните умножение:
а) (12-t)(12+t)=
б) (8а-1)(8а+1)=
144 - t²
64a² - 1
в) (8m-9n)(8m+9n)=
64m² – 81n²
64d² –
г)
(8d+6c2)(8d-6c2)=
д)
(10m8+8n8)(10m8-8n8)=
4
36c
100m16 – 64n16
2. Используя формулу (a+b)(a-b)=a2-b2 вычислите:
а) 99∙101 =(100+1)(100-1)=10000-1=9999
б) 18∙22 =(20+2)(20-2)=400-4=396
в) 1,21∙1,19 =(1,2+0,01)(1,2-0,01)=1,44-0,0001=1,4399
3. Представьте в виде произведения:
а) с4-25 =(с²-5)(с²+5)
b) 0,16х6-9х8 = (0,4х3 +3х4)(0,4х3 -3х4)
Формулы сокращенного умножения
1.
2.
3.
4.
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
a2 - b2 =(a-b)(a+b)
Формула разности и суммы кубов
Устная работа:
1. Представьте выражение в виде куба
1 3
1 6
6
одночлена: 27; 8; в ; 125; 1; а ; n ; 64х3;
8
27
х12 ; -8.
2. Разложите на множители:
z2 – 49 = (z-7)(z+7)
144n2 – 9 = (12n-3)(12n+3)
a2b
–
a2
2
a
(b-1)
=
3. Представьте в виде многочлена:
а) (2а -1)2 = a2 - 4a + 1
б) (7р +3)2 = 49p2 + 42p +9
и сравните полученные результаты
соответственно с:
а) 4а2 – 2а +1; б) 49р2 + 21р + 9
4а2 – 2а +1, 49р2 + 21р + 9 в
выражениях вместо удвоенного
произведения стоит просто их
произведение.
Именно поэтому выражение
4а2 – 2а +1 называют неполным
квадратом разности,
а выражение 49р2 + 21р + 9 называют неполным квадратом
суммы.
Задание: Выполните умножение
(x+y)(x2-xy+y2) = x3+y3
Если эту формулу записать справа налево, то,
получим
x3+y3 = (x+y)(x2-xy+y2)
т.е. сумма кубов двух выражений равна
произведению суммы этих выражений и
неполного квадрата их разности.
Задание: Выполните умножение
(x-y)(x2 + xy+y2) = x3-y3
Если эту формулу записать справа налево, то,
получим
x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2)
т.е. разность кубов двух выражений равна
произведению разности этих выражений и
неполного квадрата их суммы.
Формула суммы кубов
x3+y3
=
2
2
(x+y)(x -xy+y )
Сумма кубов двух выражений равна
произведению суммы этих выражений и
неполного квадрата их разности.
Формула разности кубов
3
3
x -y
=
2
2
(x-y)(x +xy+y )
Разность кубов двух выражений равна
произведению разности этих выражений и
неполного квадрата их суммы.
Вычислите:
а) 5,52 - 2,52;
б) 5,272 – 4,272;
в) (у - 22)(у2 +4у +16) при у = 4;
г) (у +3)(у2 – 3у + 9) – у3 при у = 7,2;
д) (1 – 2а)(1 + 2а +
4а2)
1
– 1 при а 
8
Используя формулы разности и суммы
кубов, докажите, что:
а) выражение 7383 + 423 делится на 78;
б) выражение 1123 – 323 делится на 80.
Запомни
формулы сокращенного умножения
(a-b)2=a2-2ab+b2
2. (a+b)2=a2+2ab+b2
3. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
4. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
5. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
6. a2 - b2 =(a-b)(a+b)
7. a3 - b3 =(a-b)(a2 +ab+b2)
8. a3 +b3 =(a+b)(a2–ab+b2)
1.
«Математика не
управляет миром,
но показывает, как
мир управляется»
ГЁТЕ
РЕСУРСЫ


А.Г. Мордкович. Алгебра 7. для
общеобразовательных учреждений. М.:
Мнемозина, 2001.
Программа, рекомендованная Департаментом
образовательных программ и стандартов
общего образования Министерства
образования РФ.