Лекция III

Вопросы по второй лекции :
I. Модель с плоскими ED, компакт ифицированными на окружност ь.
4D скаляр – «хиггсовский бозон», присутствующий после КК-декомпозиции
в эффективном 4D действии, получается из 5D калибровочного поля как
вклад от:
A) нулевой моды A( 0) ( x)
B) высших КК-мод A( n ) ( x)
C) нулевой моды A5( 0 ) ( x)
D) высших КК-мод A5( n ) ( x)
II. Объединение юкавской и калибровочной констант эффективного 4D взаим.
(Yukawa-Gauge Unification), после КК-декомпозиции из 5D калибровочных теориий,
получается вследствие
A) единой природы 4D фермионов и 4D калибровочных полей, которые
возникают из единого многомерного объекта – 5D калибровочного поля
B) единой природы 4D хиггсовского скаляра и 4D калибровочных полей, которые
возникают из единого многомерного объекта – 5D калибровочного поля
C) подгонки параметров изначальной многомерной теории
D) подгонки параметров 4D эффективной теории
1
III. Орбифолдинг в многомерных моделях с плоскими ED позволяет :
A) решить проблему иерархий
B) решить проблему киральности фермионов
C) локализовать калибровочные поля на бране (границе)
D) локализовать высшие КК-моды фермионов на бране
2
Большие дополнительные пространственные измерения:
многомерная ТП и гравитация на масштабе ТэВ
Савина Мария
ЛФЧ, ОИЯИ
Лекция 3: гравитация в сценариях с плоскими и стянутыми ED
Краткий план:
• Плоские дополнительные измерения : симметрии, КК-декомпозиция полей
многомерной гравитации, спектр эффективной 4D теории
• Гравискаляр – модуль, и проблема его стабилизации
• Эффективная 4D модель с плоскими ED – ADD, иерархия масштабов
• Модификация гравитационного потенциала на малых расстояниях,
разрешенный размер ED
• «Стянутые» дополнительные измерения (RS) – учет натяжения браны,
иерархия
• Хиггс и иерархия в моделях со стянутыми измерениями
3
Многомерная гравитация, плоские ED
E4d  M 4  Kd
4D Минковcкий
M , N  0,...D  1
d  D4
компактное
многообразие
Факторизуемая метрика:
ds 2  GMN ( X )dX M dX N  g  ( x)dx  dx   mn ( x, y)dy mdy n
В произвольных координатах
ds 2  GMN ( X )dX M dX N
 GMN ( X ( X ' ))
 GM ' N ' ( X )dX
'
Из требования инв-ти отн. 5D
общекоординатных преобразований
GM ' N ' ( X )  GMN ( X ( X ' ))
'
X M
X
'M '
'M '
dX
dX
'M
'
X N
X
'N '
dX
'N '
'N '
X M X N
X 'M X ' N
'
'
4
5D гравитация, плоские ED
Простейший случай – 5D. Одно компактное дополнительное измерение
Ограничимся случаем малых флуктуаций метрики :
GMN ( X )   MN  hMN ( X )
Для малых координатных преобразований
X 'M  X M   M ( X )
'
hMN
( X )  hMN ( X )   M  N ( X )   N  M ( X )
Выбираем калибровку (almost axial)
КК-декомпозиция поля метрики
h 5 ( x,  )  h( 05) ( x )
( 0)
h55 ( x,  )  h55
( x)
X  ( x  , )

(n)
h ( x,  )  h ( x )   h
( x )e in  c.c.
( 0)
n 1
5
5D гравитация – одно дополнительное измерение
5D действие - только производные от полей
 G ( 5)
S5 DEinstein   d X
R [GMN ]
5D
16GN
5
( 0)
h MN
( x)
все нулевые моды – безмассовые 4D поля, без потенциалов
(в приближении малости флуктуаций)
массивные КК-поля
(n)
h MN
( x)
безмассовое калибровочное поле, защищенное остаточной
калибровочной симметрией:
( 0)
5
h ( x)
h 5 ( X )  h 5 ( X )   M  5
'
оригинальная идея
Калуцы-Клейна по
объединению гравитации
и электромагнетизма
Эффективное 4D действие
S4 D
  g

( 4)
( 0)
 d X
R [h ]  KK  mod es 
4D
16GN

4
остаточные симметрии :
4D калибровочная
4D общекоординатная
6
Результат КК-декомпозиции для 5D метрики
h
(0)
h55( 0 ) h 5
гравискаляр
(модуль)
hAB , А,В=1,…5 – многомерное поле.
После декомпозиции получаем набор
полей в эффективном 4D действии:
4D тензоры
(массивные КК-моды)
стандартный
4D гравитон
4D вектор
(калибр. бозон)
Скаляр вводится как поле без потенциала
и не зависит от доп. координат (по выбору
калибровки)
Ненулевое произвольное
ваккумное среднее
( 0)
h55

1  R
7
Radion and stabilization of a modulus
1  R
h  0
(0)
h( 05)  0
( 0)
h55

VEV в 5D:
ds 2    dx  dx  (1   )dx5 dx5    dx  dx  (1   ) R 2 d 2
Пятимерный гиперцилиндр – флуктуации радиуса ! Радион
Разные радиусы соответствуют физически неэквивалентным ситуациям.
пространство модулей теории.
Как выбрать одно значение – стабилизировать модуль?
Много разных способов – эфф. потенциал, добавка скаляров на границы и пр.
8
Состав полей в эффективной 4D теории – общий случай
Многомерная (4+d) гравитация: многомерные гравитон и поля материи
Эффективная 4D теория, после КК-декомпозиции : (  ,  0,1,2,3 , i, k  4,...d )
1. нулевая безмассовая мода гравитона (4D, спин 2)
2. высшие массивные KK моды гравитона (4D, спин 2)
(0)
h
(n )
h
(0)
3. калибровочные бозоны (4D, спин 1) – оригинальное hi
КК-объединение взаимодействий
4. KK-моды скалярных полей (нулевая мода -
радион), спин 0
hii(n )
Плюс к этим
Поля, не взаимодействующие с 4D полями:
1. (d2-d-2)/2 наборов КК-мод вещественных скалярных полей (не
взаимодействуют с материей на бране), спин 0 : hik(n )
(d  2)
2. (d-1) наборов КК-мод со спином 1 (калибровочные поля в объеме, не
взаимодействуют с материей на бране – отвязаны от 4D полей), : h(ni )
9
ADD: flat large extra dimensions
N.Arkani-Hamed, S.Dimopoulos, G.Dvali ’98
Multidimensional gravity action with multidimensional constant G(D)
1
D  D 
D
S
d
X
g
R

16G D 
1
1
G D   D 2  d 2
M
M
effective
Seff  
4D-action
GN 4  
Vd
4  4 
4
d
X
g
R

16G D 
1
M Pl2
Planck mass becomes effective derived from the “true” multidimensional mass scale:
M  Vd M
2
Pl
d 2
where
Vd   Rd
d  D4
A size of extra dimensions depends on a number of ED and a multidimensional scale
M 
R ~ M 1  Pl 
 M 
2d
~ 1032 d  1017 sm
GN 4  
1
GN  4  d 
Vd 
(for М about a few ТэВ )
The hierarchy problem solution!
10
Модификация гравитационного потенциала в ED
11
Насколько большими могут быть дополнительные измерения?
1  M Pl 
R~M 

 M 
2n
~ 1032 n 10 17 sm
12
Зависимость масштаба от геометрии полного объема
N дополнительных измерений разного радиуса (простейший случай)
y1,... y N  R1 ,...RN ,
2
{ n}
m
ni2
 2
Ri
Объем фиксирован:
Vd   Rd
M Pl2  Vd M d 2
  Ri
i
Можно подобрать такой (такие) Ri , что, допустим, для d=3,4… один из радиусов
окажется больше, чем для d=2
Возможность наблюдать отклонения в поведении гравитационного потенциала
даже для большого числа d
13
ADD: Astrophysics and Cosmology Limits
• from measurements of the gravitational potential
d = 1 excluded by solar system (verification of the Newton’s law up
to R < 0.19 mm)
d = 2 too large value of the fundamental scale MC ~ 30 TeV
• from supernova SN1987 (graviton emission speeds up
the supernova cooling)
MS > 30 TeV (d = 2) , 4 TeV (d = 3)
• from energy spectrum of the diffuse gamma-ray background
(CDG) due to GKK  γγ
MS > 110 TeV (d = 2) , 5 TeV (d = 3)
The most favourable case: n = 3, MS ~ TeV , RED ~ 10-4 mm
14
Множественное рождение легких КК-мод гравитона в ADD
2
GMN  MN 
M 1 d / 2
1 -i n m y m / R
(n)
hˆMN ( x, y )   hMN
( x)
e
Vd
n
hˆMN ( x, y )
Взаимодействие с 4D материей:
Sint   d
4 d
1  ( n )
MN
4
ˆ
ˆ
ˆ
xˆ GTMN h ( x, y )    d x
T h ( x)
M Pl
n
Любой процесс взаимодействия гравитона и 4D материи подавлен
планковским масштабом (как и для обычной 4D гравитации)
НО
Надо учесть множественность рождающихся КК-мод (очень легких):
N(E)  m
2
{ n}
ER
 ( E )  Sd 1  n
d 1
n 0
ER
 Sd 1  n
0
d
число точек с целыми значениями ni
внутри (d-1)-мерной сферы радиуса (RE)
ni2
 2 E
Ri
2 d / 2 d d
dn 
R E
(d  1)
d 1
1 M Pl2
 E  M Pl
d
N (E)    
, т к. R  d  2
2
M
M
M
M 
2
Процессы с обменами или
рождением КК-мод гравитона
наблюдаемы на эксперименте,
из-за огромной множественности
мод, участвующих в процессах !
15
Стянутые дополнительные измерения – модель RS
16
Cosmological Constant problem
Effective cosmological constant consist from two contributions:
eff  0     vac
     vac 0
  QFT
vac
QFT
0
QFT vacuum modes
usual CP introduced by
Einstein
The presence of the QFT vacuum modes causes the same problem like the hierarchy
problem and required fine-tuning for solution:

4k dk 1 2

2 12
  vac  
(k  m ) 
3
2
(2 ) 2
16
0
4
2
QFT
Λ is a characteristic scale of a given QFT, for example, it is about higgs VEV in the SM
V  V0      g (  )
2 
  vac : Vmin  V0 


4
4g
2
2, g  0
Pl
   vac
 1071
 eff exp  1047
17
Ненулевая космологическая постоянная (RS1)
5D гравитация, (5) не равна нулю:
P(G )  G
P(G 5 )  G 5
P(G55 )  G55
Пр-я четности на орбифолде для метрики
(калибровочное 4D поле уходит из спектра по четности)
5D действие в объеме
ds(21)  G ( x,   0)dx  dx
Т.к.
d  0 вдоль браны
действие на границах
(1)
g 
( x)  G ( x,   0)
( 2)
g 
( x)  G ( x,    )
T i  Const
Анзац для метрики, сохраняющий 4D Пуанкаре-инвариантность:
ds 2  e2 ( ) dx  dx  R 2 d 2
«стягивающий фактор»
нефакторизуемая
метрика
18
E.o.M.
M 53 
1
2GN5 D
фундаментальная
(многомерная)
Планковская масса
Единственный вариант согласования двух уравнений:
T (1)  T ( 2)  24M 53
Подстройка значений 4D и 5D CС !
Решение для метрики:
«AdS slice»
19
Флуктуации метрики и радион – безмассовые поля без потенциала
Эффективная 4D CC зануляется – ищем 4D Пуанкаре-инвариантное решение
Только нулевая 4D мода метрики
например, Goldberger-Wise
механизм стабилизации
Действие обладает
остаточной 4D инв-тью
отн. общекоорд. пр-й
Эффективное 4D действие
для нулевой моды
20
Настройка 5D и 4D константы:
16G
4 D eff
N
2GN5 D

1  e 2R
Хорошо определенный предел при разворачивании дополнительного
измерения :
M 42Pl
3
M 53
M
5

(1  e 2R ) R



2
2
Нулевая мода локализована в
окрестностях браны   0
(планковская брана)
Оценки в неперенормируемой теории с параметром:
3
 5 ( M 53 2 )

3
M5
M 53
35
 1 

M5
E3
 1
3
M5
 1
  M 5  M 4 Pl  1018 GeV
все параметры модели –
одного порядка !
21 ADD
в отличие от ситуации
Иерархия масштабов в модели со стянутыми ED
Введем хиггс в рассмотрение (строго на 4D):
ind
( 0)
g 
( x)  G ( x,    )  e2R g 
( x)
только нулевая мода гравитона учитывается!
планковская
брана
ТэВ-ная
брана
Переопределим поле:
ve
2R
v0
e 2R H  H
Решение проблемы иерархий
за счет стягивающего фактора !
22