УКД 517 - Тюменский государственный университет

Следующая статья
72
Симметрия спектра оператора
потенциала двойного слоя
печатная Труды средневолжского математического общества 1999. Т2.
№1, с. 57-65.
9 стр.
Без соавторов
УДК 517.53
Симметрия спектра оператора потенциала двойного слоя.
В. Н. Кутрунов
Применением техники кватернионных функций доказывается
симметрия спектра оператора потенциала двойного слоя в плоском случае.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
1.
Кватернионами
называются
числа
вида
a 0  ai ei  a 0  a , где a 0 , a i -действительные числа (i = 1, 2, 3), ei -
мнимые единицы, a -мнимый кватернион, [1].
Действия над кватернионами определяются через действия над
мнимыми единицами. Если мнимые единицы интерпретировать как орты декартова базиса, то операция умножения может быть выражена через
скалярные
ei jk ek  ei e j
(i  j )
и
векторные
произведения
ei2  ei ei  ei  ei  1 ,
, eijk - символ Леви-Чивита. Таблица умножения поз-
воляет интерпретировать произведение произвольных кватернионов
z1  a0  a , z2  b0  b через операции скалярного и векторного умножений
z1 z2  a 0b0  a 0b  b0 a  a  b  a  b. Произведение кватернионов не коммута-
тивно, верен сочетательный закон.
Пусть z( x1 , x 2 , x 3 ) -произвольная кватернионная функция и
  ei 
 xi
-кватернионный оператор Гамильтона.
2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функцию z назовем кватернионной аналитической (К-аналитической) функцией, если она удовлетворяет соотношению z  0 .
В плоском случае будет рассматриваться функция двух переменных z( x1 , x2 )  z0 ( x1 , x2 )  ei zi ( x1 , x2 ) , но с тремя мнимыми единицами.
Пусть l -замкнутая кусочно-гладкая кривая на плоскости S, S  внутренняя область, ограниченная кривой l, S  внешняя область,  касательный, а n -нормальный векторы к кривой l , k -вектор, перпендикулярный плоскости S , k  n   .
Векторы  , n, k могут быть разложены по базису e1 , e2 , e3 , где орты e1 , e2 лежат в плоскости S , e3 k . Разложения можно интерпретировать, как мнимые кватернионные функции с мнимыми единицами
e1 , e2 , e3 и сформулировать ряд теорем.
ТЕОРЕМА 1. Пусть z , q -произвольные, дифференцируемые в S 
кватернионные функции двух переменных x1 , x 2 и n -мнимый кватернион, тогда имеет место равенство :
(1)
z n q d l   z  q d S  
l
S
q  z dS
S
(черта означает операцию сопряжения (перед мнимыми единицами кватерниона знак меняется на противоположный)). Теорема доказывается
применением формулы Стокса, связывающей поверхностные и криволинейные интегралы.
Обозначим h   x ln r , где r  x  y , x, y  S .
3
ТЕОРЕМА 2. Пусть q x
 x  S   -произвольный кватернион, непре-
рывный вплоть до границы и имеющий ограниченные в S  производные.
Тогда
(2)
h n
l
x
q x d lx   h  x q  x  dS x
S


0 , y  S



 2 q  y , y  S
Теорема доказывается подстановкой в равенство (1) кватерниона
z  h . Если точка y  S  , то необходимо вырезать из области S  круг ра-
диуса  с центром в этой точке, записать равенство (1) и устремить  к
нулю. Следует учесть, что  x h  0 , всюду, за исключением точки x  y .
ТЕОРЕМА 3. Пусть q  x  -произвольный кватернион, непрерывный
вплоть до границы и имеющий ограниченные в S  производные. Пусть
lim q  x   0 при x   . Тогда справедливо равенство, отличающееся
от (2) сменой знаков перед первым интегралом и в обозначениях областей S  и S  .
ТЕОРЕМА 4. (Аналог интеграла Гаусса в поле кватернионов.) Для кусочно-гладкой кривой l имеет место равенство
 0 , y S 

J  y    h n x dl x     , y  l
l


  2 , y  S
где  -угол, образованный касательными к кривой в точке y  l .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Аналогом потенциала двойного слоя ( или аналогом интеграла типа Коши) называется интеграл
4
Q  y    h nx q  x  d l x
l
,
y S
Здесь q  x  -произвольный кватернион. Для y  l интеграл Q  y
сингулярен. Введем оператор A
Aq   1 Q  y ,
(3)
y l
ТЕОРЕМА 5. (Аналог интегральной формулы Коши.) Пусть q  x  - Каналитическая функция в области S  , тогда имеет место ее представление через граничное значение
0, y  S 


Q  y     q  y , y  l


 2 q y , y  S

Доказывается при помощи теорем 2,4.
Из теорем 2, 5 следует похожий результат для функций Каналитических в области S  .
Отсюда для граничных значений таких функций, заданных в области S  или S  , получится соответственно
Aq   1 q,
(4)
Aq   1  2    q
Для ляпуновской кривой    , и последние равенства объединяются в одно:
5
Aq  q
(5)
ТЕОРЕМА 6. Функция Q  y является К-аналитической как в области S  , так и в области S  .
Для доказательства необходимо применить оператор  y к функции Q  y , занести его под знак интеграла, учесть, что  y h   x h и
 x h  0 , если x  y .
ТЕОРЕМА 7. Пусть на кусочно-гладкой кривой l задан кватернион
q  x  который можно продлить в области S  или S  с сохранением
условия Гельдера :
q  x '   q  x ''   c x '  x ''
c0 , 0 1 ,

x ' , x ''  S   S 
тогда для граничных значений функции Q  y имеем
(6)
Q   ( 2   ) q   A q, Q    q   A q
Q  -предельные граничные значения из областей S  соответственно.
Приведенные теоремы по записи напоминают ряд известных теорем из теории аналитических функций, теории потенциала. Отличие в
том, что в этих теоремах фигурируют кватернионные функции и кватернионные произведения.
ТЕОРЕМА 8. Пусть q( x) -произвольный кватернион на l , удовлетворяющий условиям теоремы 7. Тогда
(7)
A2 q   2 2    2  q   1  2  2  A q
6
Для ляпуновской кривой получим
A2 q  q
(8)
Доказательство тождества (7) получается из первого или второго
равенства (4), если вместо q подставить соответственно Q  или Q  из
(6). Подстановка возможна, так как Q  -предельные значения Каналитической функции Q .
ТЕОРЕМА 9. Справедливо равенство A  A1 .
Доказательство следует из (8) и верно для ляпуновских кривых l .
Если обозначить Aq  p , то из (8) получается пара преобразований
Aq  p ,
(9)
Ap  q
Пусть p0 , p ' , q 0 , q ' - действительные и мнимые части кватернионов
p , q . Пользуясь векторно-скалярной интерпретацией умножения
кватернионов можно отделить мнимую и действительную части и перейти к векторной форме записи соотношений (9). Опуская штрихи
введем операторы:
Bq 0   1  q 0 h  n x dl x
,
Cq 0   1  q 0 h  n x dl x
l
(10)

l
Fq   1  q  h  n dl x
l
Тогда равенства (9) примут вид
(11)

Dq   1  q h  n x  h  n x   q dl x
 Bq0  Fq  p0 , Cq0  Dq  p
l
7
(12)
 Bp0  Fp  q0 , Cp0  Dp  q
Оператор B известен как потенциал двойного слоя.
В равенствах (11) и (12) скаляр q 0 и вектор q произвольны (теорема 8). Исключим из соотношений (11) и (12) величины p0 , p и в полученных равенствах приравняем нулю последовательно q0 , q . Результат
формулируется в виде теоремы.
ТЕОРЕМА 10. Для операторов B, C, D, F справедливы тождества
B 2 q0  FCq0  q0 ,
 BFq  FDq  0
(13)
 CBq0  DCq0  0,
 CFq  D 2 q  q
Перечисленные теоремы 1-10 , взяты из работы [2] и нужны для
понимания дальнейшего.
Исследуем спектр оператора D .
ТЕОРЕМА 11. За исключением   1 , собственные числа оператора D тождественно совпадают с собственными числами оператора
потенциала двойного слоя B , включая кратность, а собственные векторы перпендикулярны плоскости S .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Dq   q , где  -собственное число, а q собственный вектор оператора D .Обозначим Fq   . В соответствии с
(10) функция  скалярная. Из второй группы тождеств (13) следует, что
B   и C  ( 
2
 1) q . То есть число  оказалось собственным и
для оператора B , а собственные функции q , взаимно пересчитываются с помощью операторов B , C . Кроме того, так как q  C / (
2
 1) , то
из вида (10) оператора С следует qS . Аналогично доказывается утверждение, следующее из предположения B    . Взаимно-однозначное
8
соответствие между собственными функциями означает и совпадение
кратности собственных чисел операторов B и D.
ТЕОРЕМА 12. Числа   1 являются собственными числами оператора D бесконечной кратности.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть W  x1 , x2  произвольная гармоническая
функция в области S  или S  ,тогда мнимый кватернион q  W очевидно является К-аналитической функцией. Для этого мнимого кватерниона выполняется равенство (5). Векторная форма этого равенства получается из (11), где надо положить q 0  p0  0 и q  p , т. е. Dq  q,
Fq  0 .
Следовательно,   1 собственное число. Из-за произвольности функции W его кратность бесконечна.
СЛЕДСТВИЕ 1. Собственные числа оператора D действительны,
  1 , числа   1 имеют бесконечную, а
  1 конечную кратности.
Единственной точкой сгущения спектра может быть точка   0 .
Действительно, случай   1 утверждается в теореме (12), а случай
  1 следует из его справедливости для оператора потенциала двой-
ного слоя B , [3].
СЛЕДСТВИЕ 2. Спектры операторов B и D симметричны относительно нуля.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение следует из теоремы (11). Действительно, пусть Dq   q .Тогда из теоремы следует, что B   , причем
  Fq и q
k . Положим q  q0 k , где q 0 -скалярная функция. Подста-
   
новка D k q0  k q0


и вид (10) оператора D приводят к равенству
D k q 0   kBq 0 . Следовательно  kBq 0  
 kq0  или
Bq 0    q 0 . Поэтому
9
спектру оператора потенциала двойного слоя В (плоский случай) принадлежит и число  . Исключение составляют числа   1 .
Собственные функции оператора В, соответствующие собственным числам  ,  связаны соотношением   k  Cq0 , что следует из вида
операторов F, C и равенства   Fq  F  k q 0  .
Свойство симметрии спектра оператора потенциала двойного слоя
в плоском случае оказалось довольно неожиданным. Это свойство имеет
не только теоретический, но и практический интерес. Для решения операторных уравнений существует класс итерационных методов чебышевского типа, использующих границы спектра операторов [4-6]. В случае
симметричного спектра необходимо знать только одну границу.
Отметим еще эффективность применения тождеств (13) в данном
исследовании. Они могут быть полезными в других случаях и одно такое применение известно. В работе [2] тождества (13) использованы для
явного построения регуляризаторов сингулярных интегральных уравнений, содержащих сингулярный оператор D. (Приведен пример явной регуляризации интегральных уравнений плоских и пространственных задач теории упругости).
ЛИТЕРАТУРА
1. Кантор И.Л., Солодовников А.С. Гиперкомплексные числа. М: Наука,
1973. 144 с.
2. Кутрунов В. Н. Кватернионный метод регуляризации интегральных
уравнений теории упругости // ПММ, 1992. Т. 56. Вып. 5. с. 864-868.
3. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. СБМ. М.: Наука, 1968.
448 с.
10
4. Лебедев В.И. Чебышевские итерационные методы. - в кн.: Пашков-
ский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983. 384 с.
5. Кутрунов В.Н. Полином наилучшего равномерного приближения в
итерационном методе решения линейных алгебраических уравнений
//Сибирский математический журн., 1992. Т. 33. № 1. с. 21-29.
6. Хейгман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы анализа. М.:
Мир, 1986. 446 с.
11
Кутрунов Владимир Николаевич,
Тюменский государственный университет
625003 Тюмень ул. Семакова 10. Математический факультет
Т. (8-3452) 46-14-84.
Домашний адрес
625000 Тюмень ул. Тульская 12, корпус 2, квартира 5
Т. 32-10-52
Следующая статья