y= sin (–x)

Построение и преобразование
графика функции y=sin x
1
Единичная тригонометрическая окружность
y
3
4
2
3

2
900
1200
600
1350

3
450
5
6 1500

4
300

1800
O

6
00 0
3600 2
0
3300 11
7  210
6
6
0
0
315
5 225
7
4
2400
3000
4
4
5
2700
3
3
3
2
2
х
Радианная мера угла
Рассмотрим окружность радиуса R.
Построим MOP: МР = R
Величина МОР равна 1 радиан
М
МР5717’ =1рад
R
1 радиан
О
R
МОР5717’= 1рад
Р
=1803,14 рад
360  180 
1рад 

2

2

1 

360  180 
3
Радианная мера угла
Окружность, радиус которой равен 1, называется единичной
…
Длина окружности выражается формулой C=2R, где R – радиус окружности.
  3,14159...
y

М


3
2
А
О

4
В
С
Длину единичной окружности удобно
измерять в радианах.

6
Если R=1, то С=2 рад
Р
1
N
2
х

2
3
2
4
К
Длина дуги половины
окружности равна  рад.
рад – четверть длины окружности
3
рад – три четверти длины окружности
2
Точки М,Р,К,N – назовем узловыми.
Отметим точки А,В,С.
! Наименование радиан обычно опускают.
Радианная мера угла
Итак, величину угла поворота точки, а также величину дуги
единичной окружности, можно задавать:
 в градусной мере
II четверть
90
 в радианной мере
II четверть
I четверть
60
45

2
I четверть

3 
4
30
О
180
00

3600
III четверть
5
270
Градусная мера
00
Радианная мера
0
300

6
450

4
600

3
900

2
0
2
3
2
III четверть
IV четверть
6
О
IV четверть
1800
2700
3600

3
2
2
y=sin x
Построение графика
Установим соответствие между множеством действительных чисел на
числовой прямой и точками единичной окружности.
3,14

2

«Размотаем» окружность как нить на
координатный луч с началом в точке 0

3

4 
6

2
0
2

3
2
2
  
6 4 3
3
2
6
Такое «разматывание» можно продолжать бесконечно.
х
Построение графика
По определению
sin  
y
R
sin   y
Для единичной окружности
Отметим в плоскости точки с координатами (x; sin x).
y
3
5 4
6

2
2
3

3

4
6

20 
7
6 5
4
7
11
7 6
4
3
3
2
5
3
4

0
  
6 4 3

2
2 3 5
3 4 6
7 5 4 3 5 7 11
6 4 3 2 3 4 6 2
x
Построение графика
Соединив полученные точки, получим график функции y=sin x на
промежутке [0; 2].
y
1

0
  
6 4 3
-1
8
 2 3 5
2 3 4 6
7 5 4 3 5 7 11
6 4 3 2 3 4 6
2
x
Построение графика
Учитывая периодичность функции синус, построим ее график
на всей области определения
9
Синусоида
Синусоида - волнообразная плоская кривая.
10
Колебания маятника
N
mg
11
Применение гармонических колебаний
• акустика
• оптика
• статистика
• медицина (ультразвуковое исследование,
компьютерная томография)
• фонетика
• компьютерная графика
• кристаллография.
• электронная техника
• теория музыки
12
Преобразование графиков
y = f (x)
Функция
Преобразование
1
y= f (x) + m Параллельный перенос вдоль оси OY на m единиц
2
y= f (x – n)
Параллельный перенос вдоль оси OX на n единиц
3
y=А f (x)
Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в А
раз
4
y= f (k x)
Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз
5
y= – f (x)
Симметричное отражение относительно оси OX
13 6
y= f (– x)
Симметричное отражение относительно оси OY
Параллельный перенос вдоль оси OY
на m единиц
y=f(x)+4
y=f(x)
y=f(x)-3
14
Параллельный перенос вдоль оси OX
на n единиц
y=f(x+3)
y=f(x)
15
y=f(x-2)
Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX
в А раз
y=2 f(x)
y=¼ f(x)
y=f(x)
16
Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY
в k раз
y= f(3x)
y=f(x)
y=f(x/2)
17
Симметричное отражение относительно оси OX
y=– f(x)
y=f(x)
18
Симметричное отражение относительно оси OY
y=f(–x)
19
y=f(x)
Построим график функции y= 3 sin(2x+/3)–2
Этапы построения:
1. y= sin x – синусоида
2. y= sin 2x – сжатие в 2 раза вдоль оси Ох
3. y= sin(2x+/3) – перенос на /3 единиц влево
4. y= 3 sin(2x+/3) – растяжение в 3 раза вдоль оси Oy
5. y= 3 sin(2x+/3)–2 – перенос на 2 единицы вниз
20
Построение графика y=3sin(2x+/3)–2
1. y= sin x
21
Построение графика y=3sin(2x+/3)–2
2. y= sin 2x
22
Построение графика y=3sin(2x+/3)–2
3. y= sin (2x+/3)
23
Построение графика y=3sin(2x+/3)–2
4. y= 3 sin (2x+/3)
24
Построение графика y=3sin(2x+/3)–2
5. y= 3 sin (2x+/3) – 2
25
Преобразование графиков
y = Asin(kx–n)+m
Функция
Преобразование
1
y=sin(kx)
Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз
2
y=sin(x–m) Параллельный перенос вдоль оси OX на m единиц
3
y=А sin x
Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в А
раз
4
y=sin x+n
Параллельный перенос вдоль оси OY на n единиц
5
y= – sin x
Симметричное отражение относительно оси OX
y= sin (–x)
Симметричное отражение относительно оси OY
26 6
Программа построения
графиков AdvancedGraffer
27
Некоторые свойства функции y=sinx
1. Функция y=sin x существует при всех действительных
значениях x, причем, график ее является сплошной
линией (без разрывов), т.е. функция непрерывна.
2. Функция y=sin x нечетная, ее график симметричен
относительно начала координат
3. Наибольшие и наименьшие значения.
Все возможные значения функции sinx ограничены

x

 n
неравенством -1sinx1, причем sin x=1, если
2
3
 n
sin x= – 1 , если x 
2
4. Нули функции (точки пересечения графика функции с
осью абсцисс): sinx=0, если x=n. (nZ)
28