Электрический потенциал точечных зарядов

Теорема Гаусса (закон Гаусса) — один из
основных законов электродинамики, входит в
систему уравнений Максвелла.
Выражает связь (а именно равенство с
точностью до постоянного коэффициента)
между потоком напряжённости электрического
поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в
объёме, ограниченном этой поверхностью.
Применяется отдельно для вычисления
электростатических полей.
1
Закон Гаусса
Суммарный электрический поток через
произвольную замкнутую поверхность
  qвнутри
 E   E  dA 
0
qin – суммарный заряд внутри поверхности,

E
– напряженность электрического поля
в произвольной точке на поверхности.

E учитывает вклады зарядов как внутри, так и вне поверхности.
2
Фoрмальное доказательство закона Гаусса
Тoчечный заряд внутри замкнутой поверхности произвольной формы
 
A cos 
 E  E  A  E cos  A  ke q
r2
 E  ke q 
Телесный угол  
dA cos 
q

k
q
d


4

k
q

e 
e
r2
0

Acos
r2
3
Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Применение закона Гаусса – альтернативная процедура расчета электрических полей.
Закон Гаусса - фундаментальная электростатическая сила,
действующая между точечными зарядами,
обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Закон Гаусса удобен для расчета электрических полей
высокосимметричных распределений зарядов.
4
Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Электрическое поле изолированного точечного заряда
Сферическая симметрия пространства вокруг точечного заряда –
сферическая поверхность Гаусса.
Поверхность
Гаусса
E 
 E  dA 

EdA 
q
0
 EdA  E  dA  E 4r   
2

E
q
4 0 r 2
 ke
q
0
q
r2
Полученный результат эквивалентен результату,
полученному с помощью закона Кулона.
5
Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
r
Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с
однородной объемной плотностью заряда  и несет
суммарный положительный заряд Q
r > a:
Сферическая симметрия – сферическая поверхность
Гаусса радиуса r вне шара и концентрическая с ним.
Gaussian
Поверхность
Гаусса
sphere
E  ke
Q
r2
Однородно заряженная сфера - электрическое поле вне сферы
эквивалентно полю, создаваемому точечным зарядом,
расположенным в центре сферы.
6
Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Поверхность
Гаусса
Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с
однородной объемной плотностью заряда  и несет
суммарный положительный заряд Q
r < a:
Сферическая симметрия – сферическая поверхность
Гаусса радиуса r внутри шара и концентрическая с ним.


В любой точке поверхности Гаусса E  Ai и E = const.
 EdA  E  dA  E 4r  
2
4

qвнутри
3
  r
E

40 r 2
40 r 2
3 0
  r 3 
qвнутри
0
qвнутри
4
  Q / a 3
3
4 3

 V    r 
3

E
Qr
4 0 a
3
 ke
Q
a
3
r
7
Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с однородной объемной
плотностью заряда  и несет суммарный положительный заряд Q
r>a
Q
 Q
E  lim  ke 2   ke 2
ra
a
 r 
r<a
 Q 
Q
Q
E  limke 3 r  ke 3 a  ke 2
r  a 
a 
a
a

8
Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем
(радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя)
Вне слоя
Поверхность
Гаусса
r>a
E  ke
Q
r2
Напряженность электрического
поля вне слоя аналогична той, что
создается точечным зарядом Q,
расположенным в центре шара,
которому принадлежит слой.
9
Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем
(радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя)
Внутри слоя
Поверхность
Гаусса
r<a
E0
10
Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем
(радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя)
Евнутри = 0
Защита электронных
устройств
от воздействия внешних
электрических полей
11
Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Цилиндрическая симметрия в распределении заряда
Электрическое поле, создаваемое положительно заряженным линейным проводником
бесконечной длины с постоянной плотностью  заряда на единицу длины.
Цилиндрическая симметрия пространства вокруг
линейного заряда – цилиндрическая поверхность Гаусса.
Поверхность
Гаусса
В любой точке поверхности Гаусса


E  dA и E = const.
Вид сверху
12
Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Цилиндрическая симметрия в распределении заряда
Электрическое поле, создаваемое положительно заряженным линейным проводником
бесконечной длины с постоянной плотностью  заряда на единицу длины.
Суммарный заряд внутри поверхности Гаусса равен  l.
Поверхность
Гаусса
 
qвнутри l
 E   E  dA  E  dA  EA 

0
A  2rl

E 2rl 


E
 2ke
20 r
r

0
l
0
1
E 
r
13
Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Плоскосимметричное распределение заряда
Электрическое поле, создаваемое положительно заряженной плоскостью с
однородной поверхностной плотностью заряда 
Плоская симметрия пространства вокруг линейного заряда –
поверхность Гаусса - маленький цилиндр.
В любой точке поверхности Гаусса


E  dA и E = const.
Боковая поверхность цилиндра не пересекается
силовыми линиями электрического поля.
Общий заряд внутри поверхности Гаусса равен qвнутри =  A.
Поверхность
Гаусса
Общий поток
 E  2 EA 

E
2 0
qвнутри
0

A
.
0
E - const
14
Электрический потенциал
15
Разность потенциалов и электрический потенциал
 
 
Работа электрического поля F  ds  q0 E  ds

d s - бесконечно малый вектор перемещения, касательный к направлению последнего.
Потенциальная энергия системы “заряд-поле” изменяется на величину
 
dU  q0 E  ds
AB
U  U B  U A
B
U  q0

 
E  ds
A
Величина этого линейного интеграла не зависит от траектории перемещения
заряда из точки A в точку B, поскольку электрическая сила консервативна.
16
Разность потенциалов и электрический потенциал
Электрический потенциал V = U/q0 в любой точке электрического поля
не зависит от величины q0.
Изменение потенциальной энергии системы U  U B  U A
Разность потенциалов V  VB  V A
B
 
U
V 
  E  ds
q0

A
Работа, выполненная внешней силой без
W  U
изменения кинетической энергии пробного заряда,
W  qV
Единица измерения электрического потенциала в СИ: [В] = 1 В  1 Дж/Кл
1 эВ = 1.60 × 10-19 Кл  В = 1.60 × 10-19 Дж
17
Разность потенциалов в однородном электрическом поле

s d
E  const

s  силовые линии
B
B
 

VB  VA  V    E  d s    E cos 0 ds    Eds   Ed

B
A

A
V  0
A
VB  V A
Силовые линии электрического поля
всегда направлены в направлении
уменьшения электрического потенциала.
18
Разность потенциалов в однородном электрическом поле
q0  const
AB
U  q0 V  q0 Ed
Если q0  0, то U  0.
Система “положительный заряд – электрическое поле”:
потенциальная энергия убывает, а заряженная частица
приобретает кинетическую энергию, если заряд
движется в направлении поля.
Ситуация аналогична той, в которой работа
выполняется гравитационным
полем над падающим объектом.
Система “отрицательный заряд - электрическое поле”:
потенциальная энергия увеличивается, если заряд движется в направлении поля.
19
Разность потенциалов в однородном электрическом поле
Более общий случай:

s  силовые линии
B
 
B 
 
V   E  d s  E d s  E  s


A
A
 
U  q0 V  q0 E  s
 
V  0, если E  s
VB  VA  VC  VA
VB  VC
Эквипотенциальная поверхность - произвольная поверхность,
состоящая из непрерывного распределения точек с одним и тем же
электрическим потенциалом.
20
Электрический потенциал точечных зарядов
VB  ?
 
VB  VA    E  d s
B

A
 

q  
q 
E  d s  ke 2 r̂  d s
E  ke 2 r̂
r
r
dscos  dr
rˆ  ds  dscos
rB

ke q
VB  V A   k e q 2 
r
r
r

A
dr
 q 
E  ds  ke 2 dr
 r 

rB
rA

1 1
VB  V A  k e q   
 rB rA 
независимо от траектории движения
между точками A и B
21
Электрический потенциал точечных зарядов
 
VB  VA    E  d s
B
не зависит от траектории движения между точками A и B
A
 
 E  ds не зависит от траектории движения между точками A и B
B
A
B

 
q0 E  d s
Работа, совершенная электрической
силой, не зависит от пути между A и B
A
Электрическая сила
консервативна
Электрическое поле
неподвижного точечного
заряда консервативно
22
1 1
VB  V A  k e q   
 rB rA 
Если V  0 в rA  
V  ke
q
r
Electric potential
(V)
потенциал(V)
Электрический
Электрический потенциал точечных зарядов
A single
positive charge заряд
Изолированный
положительный
23
q
r
Электрический потенциал точечных зарядов
V  ke

i
qi
ri
(V)(V)
Electric potential
потенциал
Электрический
V  ke
A dipole
Диполь
24
Потенциальная энергия точечных зарядов
Потенциальная энергия
взаимодействия двух точечных зарядов
P
U  ke
q1q2
r12
Последняя равна работе q1V2, которую необходимо
выполнить внешней силе, чтобы переместить заряд
q1 из бесконечности в точку P без ускорения.
V2 – электрический потенциал в точке P,
созданный зарядом q2.
Если q1 и q2 одного знака, то U > 0,
т.е. внешняя сила должна выполнить положительную
работу над системой, чтобы сблизить два заряда.
Если q1 and q2 противоположного знака, то U < 0,
т.е., внешняя сила должна выполнить отрицательную
работу над системой, чтобы предотвратить сближение
двух зарядов.
25
Потенциальная энергия точечных зарядов
Потенциальная энергия трех точечных зарядов
 q1q2 q1q3 q2 q3 

U  k e 


r13
r23 
 r12
U  W12  W13  W23
26
Электрическое поле и электрический потенциал
Разность потенциалов
B
 
U
V 
  E  ds
q0

A
 
dV  E  d s

E  Ex
 
E  ds  E x dx
Ex  
dV   E x dx
dV
dx
Электрическое поле - мера скорости изменения
электрического потенциала в пространстве.
 
dV  0 вдоль эквипотенциальной поверхности, поэтому dV  E  ds  0 , и


E  ds
27
Эквипотенциальные поверхности и
силовые линии электрического поля
Эквипотенциальные поверхности всегда должны быть
перпендикулярны силовым линиям электрического
поля и пересекать их.
Бесконечная заряженная плоскость
28
Эквипотенциальные поверхности и
силовые линии электрического поля
 
E  ds  Er dr
Er  
dV
dr
dV   Er dr
V  ke q/r
V  f r 
Точечный заряд
Потенциальное поле точечного заряда сферически симметрично.
29
Эквипотенциальные поверхности и
силовые линии электрического поля
Электрический диполь
30
Эквипотенциальные поверхности и
силовые линии электрического поля
Общий случай
Ex  
V
x
Ey  
V
y
Ez  
V
z


      
E  V   i  j  k V
y
z 
 x
31
Электрический потенциал диполя
qi
q  2ke qa
 q
V  ke   ke 

 2
2
ri
 xa xa x a
Точка P:
Точка ( x >> a ):
V
2ke qa
x2
Ex  
dV 4ke qa

dx
x3
Точка (P между зарядами):
q
q  2ke qa
 q
V  ke  i  ke 

 2
2
ri
ax ax a x
dV
d  a 2  x 2 
Ex  

dx
dx  a 2  x 2 2 
Точка (P расположена слева от отрицательного заряда):
qi
2ke qa
q 
 q
V  ke   ke 

 2
ri
x  a2
 xa xa
32
Расчет электрического потенциала
I.
Принцип суперпозиции:
Электрический потенциал системы точечных зарядов равен
алгебраической (скалярной) сумме потенциалов точечных зарядов.
Электрический потенциал, создаваемый в произвольной точке P
непрерывным распределением зарядов, равен интегралу потенциалов
точечных зарядов, соответствующих этому распределению.
II. Расчет линейного интеграла от
 
dV  E  d s
для заданного распределения зарядов.
V обычно предполагается равным 0 в точке, расположенной
бесконечно далеко от зарядов.
33
Электрический потенциал
непрерывного распределения зарядов
dq
dV  ke
r

V  ke

dq
r

34
Электрический потенциал
Электрический потенциал описывает электростатические явления
в более упрощенной форме, чем это можно сделать используя
понятия об электростатическом поле и электрических силах.
35
Контрольный вопрос
В какой точке напряженность электрического поля максимальна?
Как она направлена?
36