1.13. Примеры расчета разности потенциалов по напряженности электрического поля

1.13. Примеры расчета разности потенциалов
по напряженности электрического поля
Используя
формулу
(1.10.1),
связывающую
напряженность электрического поля с потенциалом,
найдем разность потенциалов между точками поля,
созданного протяженными электрическими зарядами.
1) Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости


E
2 0

Ex  
x

d   Ex dx  
dx
2 0
+
+
+
+
+
.
x1


 2  1   d  
dx 
( x1  x2 )

2 0 x
2 0
1
2
x2
1
.
x2
x
2) Поле двух бесконечных параллельных разноименно
заряженных плоскостей
Между плоскостями поле однородное,


напряженность равна



E
0
Поэтому разность
потенциалов в точках, находящихся
между плоскостями

 2  1  ( x1  x2 )
0
В частности, для точек, лежащих
на плоскостях

  1   2 
0
d
+
+
+
+
+



x2
-
.
.
x1
В точках, расположенных слева и справа от двух
плоскостей, электрическое поле равно нулю.
d
3) Поле равномерно заряженной сферической
поверхности
Заряд сферы равен Q, радиус сферы - R .
Вне сферы r > R напряженность поля такая же, как и у
точечного заряда, поэтому одинаковы и их потенциалы.
Для точечного заряда потенциал дается формулой (1.9.4)
Q
 (r) = k
r
; rR
Она же справедлива и для сферы. Отсюда разность
потенциалов в двух точках вне сферы (r1 > R, r2 > R) равна
1 1
 2 -  1 = kQ(  )
r2 r1
Внутри сферы r < R
нулю
напряженность поля равна
E = 0, поэтому из

E 0
r
следует   const
постоянный.
, то есть потенциал внутри сферы
Его значение находится из
условия непрерывности
потенциала
Q
 (R) = k  const
R
r)
kQ/R
kQ/r
0
R
r
4) Поле равномерно заряженного шара
Заряд шара равен Q, радиус шара равен R.
Вне шара поле такое же, как у точечного заряда и
заряженной сферы, поэтому разность потенциалов в
точках, находящихся вне шара равна
1 1
 2 -  1 = kQ(  )
r2 r1
Внутри шара
r<R
напряженность поля равна
Qr
E (r )  k 3
R
Напряженность электрического поля зависит только
от расстояния от центра шара и связана с потенциалом
формулой

E
r
 d   Edr
Отсюда находим разность потенциалов между двумя
точками 1 и 2, расположенными внутри шара на
расстояниях (r1 < R, r2 < R) от его центра
2
r2
1
2
2
2  1   d    E (r )dr  kQ 3 (r2  r1 )
2R
1
r1
5) Поле равномерно заряженного бесконечного
цилиндра
Пусть радиус цилиндра равен R, линейная плотность
заряда равна λ .
Напряженность поля вне цилиндра (r > R) равна
 1
1
E
 2k 
2 0 r
r
Поэтому разность потенциалов между двумя точками,
расположенными вне цилиндра (r1 > R, r2 > R, r2 > r1),
равна
r2
r2
1
r2
2  1   E (r )dr  2k   dr  2k ln( )
r
r1
r1
r1