Преобразование графиков функций

Некоторые преобразования
графиков функций
y=f(x)
y=f(x)+a
y=f(x+a)
y=mf(x)
y=f(kx)
Макаров А.
10 класс
МОБУ «СОШ №4»
ЦЕЛЬ ПРОЕКТА
Изучить различные
преобразования графиков
функций. Наглядно изобразить
некоторые преобразования,
используя анимации, гиперссылки
в MS Power Point.
Оглавление
Виды преобразования функций
(теория)
Функции и их преобразования
(примеры)
Проверь себя
Функции
y=sinx
y=cosx
y=1/x
y=x2
y=√x
Линейные преобразования гафиков
функций
y
С помощью параллельного
переноса вдоль оси OX или
оси OY по заданному
графику функции y=f(x)
можно построить графики
функций y=f(x+a) (рис.1) и
y=f(x)+a (рис.2)
y=f(x+a)
а>0 а<0
x
0
рис.1
y=f(x)+a
y
а>0
а<0
0
а<0
рис.2
x
y
С помощью растяжения или
сжатия по оси OX или по
оси OY по заданному
графику функции y=f(x)
можно построить графики
функций y=f(kx) (рис.3) или
y=mf(x) (рис.4)
y=f(kx)
k>1
k<1
x
0
рис.3
y
y=mf(x)
m>1
m<1
x
0
рис.4
График функции y=-f(x),
может быть получен из
графика функции y=f(x)
отражением относительно
оси OX (рис.6), а график
функции y=f(- x) – из
графика функции y=f(x)
отражением относительно
оси OY (рис.7)
y
y=f(x)
x
0
y=-f(x)
рис.6
y
y=f(x)
y=f(- x)
x
0
рис.7
y  sin x
Y
1
-π
1) О.О.Ф. xєR
2) О.З.Ф. yє[-1;1]
3) Нули функции x=πk, kєZ
4) Знакопостоянство:
y›0, если xє(0+2πn;π+2πn), nєZ
y‹0, если xє(π+2πn;2π+2πn), nєZ
π
0
5) Монотоность:
-1
y , если xє[-π/2+2πn;π/2+2πn], nєZ
y , если xє[π/2+2πn;π+2πn], nєZ
6) Функция периодическая: Т=2πn
7) Функция нечетная: sin(-x)=-sinx
X
y  sin x  1
Y
1
-π
π
0
-1
Число 1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OY
т.к. 1>0, то график
поднимается вверх на одну
единицу от 0
X
y  sin x  1
Число -1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OY
Y
т.к. -1<0, то график
опускается вниз на одну
единицу от 0
1
-π
π
0
-1
X
1
y  sin x
2
Y
1
-π
π
1/2
0
-1/2
-1
С помощью сжатия по оси ОУ из графика функции y=sinх
можно построить график функции y=1/2sinx
X
y  2 sin x
С помощью растяжения по оси ОУ из графика функции y=sinх
можно построить график функции y=2sinx
y  sin( x / 2)
Y
1
-π
-2π
π
0
-1
С помощью растяжения по оси ОX по графику функции y=sinх
можно построить график функции y=sin2x
2π
X
y  sin 2 x
Y
1
-π/2
-π
π/2
π
0
-1
С помощью сжатия по оси ОХ по графику функции y=sinх
можно построить график функции y=sin1/2x
X


y  sin  х  
2

Y
1
-π
π
0
-1
Число –π/2 – отвечает за
перемещение вдоль оси OX
т.к. –π/2 <0, то график
перемещается вправо от 0
X


y  sin  x  
2

Y
1
-π
π
0
-1
Число π/2 – отвечает за
перемещение вдоль оси OX
т.к. π/2 >0, то график
перемещается влево от 0
содержание
y  cos x
5) Монотоность:
1) О.О.Ф. xєR
2) О.З.Ф. yє[-1;1]
y , если xє[π+2πn;2π+2πn], nєZ
y , если xє[0+2πn;π+2πn], nєZ
Y
3) Нули функции x=π/2+πn, nєZ
4) Знакопостоянство:
y›0, если xє(-π/2+2πn;π/2+2πn), nєZ
6) Функция периодическая: q=2π
7) Функция четная: cos(-x)=cosx
1
π/2
y‹0, если xє(π/2+2πn;3π/2+2πn), nєZ
-3π/2
-π/2
0
-1
3π/2
X
y  cos x  1
Y
1
π/2
-3π/2
-π/2
0
-1
Число 1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OY
т.к. 1>0, то график
поднимается вверх на одну
единицу от 0
3π/2
X
y  cos x  1
Y
1
π/2
-3π/2
-π/2
0
-1
Число -1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OY
т.к. -1<0, то график
перемещается вниз на одну
единицу от 0
3π/2
X
1
y  cos x
2
Y
1
1/2
-3π/2
-π/2
π/2
0
-1/2
-1
С помощью сжатия по оси ОУ по графику функции y=cosх
можно построить график функции y=1/2cosx
3π/2
X
y  2 cos x
Y
2
1
π/2
-3π/2
-π/2
0
-1
-2
С помощью сжатия по оси ОУ по графику функции y=cosх
можно построить график функции y=2cosx
3π/2
X


y  cos x  
2

Y
1
π/2
-3π/2
-π/2
0
-1
Число –π/2 отвечает за
перемещение вдоль оси OX
т.к. –π/2 <0, то график
перемещается вправо от 0
3π/2
X


y  cos x  
2

Y
1
π/2
-3π/2
-π/2
0
-1
Число π/2 – отвечает за
перемещение вдоль оси OX
т.к. π/2 >0, то график
перемещается влево от 0
3π/2
X
1
y  cos x
2
Y
1
π/2
-π
-3π/2
-π/2
0
π
3π/2
-1
С помощью растяжения по оси ОX по графику функции y=cosх
можно построить график функции y=cos (1/2x)
X
y  cos 2 x
Y
1
π/2
-π
-3π/2
-π/2
0
π
3π/2
X
-1
С помощью сжатия по оси ОX по графику функции y=cosх
можно построить график функции y=cos(2x)
содержание
1
y
x
График функции – гипербола
1) О.О.Ф x≠0
Y
2) О.З.Ф. y≠0
3) Нули функции: нет
4) Знакопостоянство:
y›0, если xє(0;+∞)
y‹0, если xє(-∞;0)
-1
1
5) Монотонность:
0
y , если x≠0
-1
6) Начало отсчета – центр
симметрии
1
X
1
y
x  1
Y’
Число 1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OX
Y
т.к. 1>0, то график
перемещается влево на одну
единицу от 0
-1
1
0
-1
1
X’
X
Число -1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OX
Y
Y’
1
y
x  1
т.к. -1<0, то график
перемещается вправо на одну
единицу от 0
-1
1
0
-1
1
X
X’
1
y  1
x
Y
-1
1
X’
0
-1
Число 1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OY
т.к. 1>0, то график
перемещается вверх на одну
единицу от 0
1
X
1
y  1
x
Число -1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OY
Y
т.к. -1>0, то график
перемещается вниз на одну
единицу от 0
Y’
-1
1
0
-1
1
X
X’
содержание
yx
1) О.О.Ф. xєR
2) О.З.Ф. yє[0;+∞]
Y
3) Нули функции: x=0
4) Монотонность функции:
Y , если xє[0;+∞)
Y , если xє(-∞;0]
5) Ось симметрии – ось
ординат
1
1
X
2
y  x 1
2
Y
1
0 1
-1
Число -1 – отвечает за
перемещение параболы вдоль
оси OY
т.к. -1<0, то график
опускается вниз на одну
единицу от 0
X
y  x 1
2
Число 1 – отвечает за
перемещение параболы вдоль
оси OY
Y
т.к. 1>0, то график
поднимается вверх на одну
единицу от 0
1
0
1
X
y  x  1
2
Y
1
-1
Число 1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OX
т.к. 1>0, то график
перемещается влево на одну
единицу от 0
0
X
y   x  1
2
Y
1
0
Число -1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OX
т.к. -1<0, то график
перемещается вправо на одну
единицу от 0
1
X
y  ax
2
Y
1
0
Коэффициент a – отвечает за
сужение параболы вдоль оси
ординат
т.к. |a|<1, то ветви
расположены дальше от OY, в
данном случае 0<a<1
1
X
y  ax
2
Y
1
0
1
X
Коэффициент a – отвечает за
сужение параболы вдоль оси
ординат
т.к. |a|>1, то ветви
расположены ближе к OY
функции
y x
Y
1) О.О.Ф. xє[0;+∞)
2) О.З.Ф. yє[0;+∞)
3) Нули функции: x=0
4) Знакопостоянство:
y>0, если xє(0;+∞)
5) Монотонность: y , если xє[0;+∞)
2
1
0
1
4
X
y x
Y
1) О.О.Ф. xє(-∞;0)
2) О.З.Ф. yє[0;+∞)
3) Нули функции: x=0
4) Знакопостоянство:
y>0, если xє(-∞;0)
5) Монотонность: y , если xє(-∞;0]
2
1
-1 0
1
4
X
y x
Y
1) О.О.Ф. xє[0;+∞)
2) О.З.Ф. yє(-∞;0]
3) Нули функции: x=0
4) Знакопостоянство:
y<0, если xє(0;+∞)
5) Монотонность: y , если xє[0;+∞)
2
1
0
1
4
X
y x
Y
1) О.О.Ф. xє(-∞;0]
2
2) О.З.Ф. yє(-∞;0]
3) Нули функции: x=0
4) Знакопостоянство:
y<0, если xє(-∞;0)
5) Монотонность: y , если xє(-∞;0]
1
-1
0
1
4
X
y  x 1
Y
Число 1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OY
т.к. 1>0, то график
поднимается вверх на одну
единицу от 0
2
1
0
1
4
X
y  x 1
Y
Число -1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OY
т.к. -1<0, то график
опускается вниз на одну
единицу от 0
2
1
0
-1
1
4
X
y  x 1
Y
2
1
-1 0
Коэффициент 1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OX
т.к. 1>0, то график
перемещается влево на одну
единицу от 0
1
4
X
y  x 1
Y
2
1
Коэффициент -1 – отвечает за
перемещение вдоль оси OX
0
-1
1
X
4
т.к. -1<0, то график
перемещается вправо на одну
единицу от 0
содержание
Проверь себя
С помощью какого вида преобразования из графика
функции y=sinx можно построить график функции y=4sinx
а) параллельный перенос вдоль оси ОУ
б) сжатие вдоль оси ОХ
в) растяжение вдоль оси ОУ
Пользуясь каким преобразованием из y=x2 можно построить график
функции y=(х+6)2
а) параллельный перенос вдоль оси ОХ
б) параллельный перенос вдоль оси ОУ
в) растяжение вдоль оси ОХ
С помощью какого вида преобразования из графика
функции y=1/х можно построить график функции y=1/(x+2)
а) параллельный перенос вдоль оси ОX
б) сжатие вдоль оси ОХ
в) растяжение вдоль оси ОУ
Пользуясь каким преобразованием из y=x2 можно построить график
функции y=х2+3
а) параллельный перенос вдоль оси ОХ
б) параллельный перенос вдоль оси ОУ
в) растяжение вдоль оси ОХ