Задача коммивояжера

Задача коммивояжера
Задача: для заданного нагруженного неориентированного графа найти гамильтонов
цикл минимальной стоимости. Гамильтонов цикл – это цикл, содержащий все
вершины графа по одному разу.
Интерпретация: для заданного множества городов и дорог между ними найти
маршрут, позволяющий выйти из заданного города, обойти все города по одному
разу и вернуться обратно, пройдя минимально возможное расстояние.
3
1
2
3
4
3
a
d
2
3
e
4
b
5
5
6
S = 26
24
f
g
c
h
S  14.7
Часто задача решается в условиях, когда выполнено неравенство треугольника:
для любых u, v и w: s(u, w)  s(u, v) + s(v, w), где s – нагрузочная функция.
Алгоритмы решения задачи коммивояжера
1. Возможен простой, но очень неэффективный переборный алгоритм: найти все
гамильтоновы циклы, выбрав из них наименьший по стоимости.
2. Возможен «жадный» алгоритм, дающий результат не более, чем в 2 раза
худший оптимального.
3. Возможен алгоритм построения пути по минимальному скелету, который также
дает время работы не более, чем в 2 раза худшее оптимального.
4. Популярным способом решения задачи является «оптимизированный» перебор
или «метод ветвей и границ», при котором пытаются отсечь заведомо
неэффективные пути. Этот метод дает хорошие результаты на практике, однако,
в вырожденных случаях (например, полный граф, все ребра которого имеют
единичную нагрузку) сводится к полному перебору.
a
d
e
b
f
c
h
10.58
15.86
6.58
9.4
11.4
13.4
S=4
g
Жадный алгоритм на каждом шаге пытается
добавить в имеющийся цикл одну вершину,
ближайшую к циклу. Этот алгоритм хорошо
работает в случае полного графа.
Мы не получили оптимального маршрута.
Оптимальный маршрут имеет сумму S = 14.7.
Время работы алгоритма пропорционально
n2log n
Алгоритм «минимального скелета» для задачи коммивояжера
a
Сначала построим минимальный скелет,
начав с произвольной вершины.
d
e
b
f
c
h
g
Теперь построим обход получившегося
дерева (который НЕ есть гамильтонов цикл).
Далее будем спрямлять этот путь, убирая
вершины, встречающиеся на этом пути дважды.
Получили путь длиной S = 18.6, что тоже хуже, чем оптимальный путь с длиной
S = 14.7
Заметим, что спрямление пути – это, фактически, обход дерева в глубину, поэтому
его можно получить быстрее, чем мы это делали.
Время работы алгоритма определяется временем построения минимального
скелета. Для случая полного графа (как в нашем случае) – это O(n2), что лучше,
чем для жадного алгоритма увеличения цикла. Результат, однако, получился хуже.
Легко видеть, что двойное прохождение минимального скелета не хуже, чем вдвое
хуже оптимального гамильтонова пути, а если неравенство треугольника
выполнено, то спрямления всегда не ухудшают длину пути.