R6-1

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Семинар 6. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Теоретические вопросы для самостоятельного изучения:
1. Общее уравнение плоскости.
2. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве и на
плоскости.
3. Взаимное расположение двух плоскостей.
4. Взаимное расположение двух прямых
5. Взаимное расположение прямой и плоскости
6. Общие уравнения кривых второго порядка
7. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
Литература:
1. Бугров Е.С., Никольский СМ. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии.
Москва, Наука, 1984г.
2. Письменный Д. Т. «Конспект лекций по высшей математике. Полный курс»
Москва, Айрис пресс(Любое издание)
3. Данко П.Е. Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в
упражнениях и задачах.»
Учебное пособие для студентов вузов ч. 1. Москва, Высшая школа. (Любое
издание)
6.1.Плоскость
Введем в пространстве прямоугольную систему координат 𝑂𝑋𝑌𝑍. Положение
плоскости α будет определено, если задана точка 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ), принадлежащая
этой плоскости и вектор 𝑛̅(𝐴; 𝐵; 𝐶), перпендикулярный плоскости - нормальный
̅̅̅̅̅̅̅
вектор. Если 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) – произвольная точка плоскости, то векторы 𝑀
̅
0𝑀 и 𝑛
перпендикулярны и их скалярное произведение равно нулю:
𝐴(𝑥 − х0 ) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0 ) + 𝐶(𝑧 − 𝑧0 ) = 0
(6.1)
Или
0,
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 =
(6.2)
Где 𝐷 = −𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 – 𝐶𝑧0 .
Уравнение (6.1) задает плоскость, проходящую через заданную точку,
перпендикулярно заданному вектору. Уравнение (6.2) называется общим
уравнением плоскости.
Если точки 𝑀1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), 𝑀2 (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ), 𝑀3 (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ) не лежат на одной
прямой, то уравнение
𝑥 − х1
|𝑥2 − х1
𝑥3 − х1
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦1
𝑦3 − 𝑦1
𝑧 − 𝑧1
𝑧2 − 𝑧1 | = 0
𝑧3 − 𝑧1
(6.3)
задает плоскость, проходящую через точки 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 .
Углом φ между двумя плоскостями называется наименьший угол между
1
нормалями к этим плоскостям. Угол между двумя плоскостями
𝐴1 х + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0, и 𝐴2 х + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0 определяется из
формулы:
𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 + 𝐶1 𝐶2
cos 𝜑 =
(6.4)
√ 𝐴1 2 + 𝐵1 2 + 𝐶1 2 √ 𝐴2 2 + 𝐵2 2 + 𝐶2 2
Условие параллельности плоскостей (условие коллинеарности нормальных
векторов):
𝐴1 𝐵1 𝐶1
=
=
𝐴2 𝐵2 𝐶2
Условие перпендикулярности плоскостей (условие перпендикулярности
нормальных векторов):
𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 + 𝐶1 𝐶2 = 0
(6.5)
(6.6)
Расстояние d от точки 𝑀(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) до плоскости 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
находится по формуле
𝑑=
|𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 + 𝐷|
√ 𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶 2
(6.7)
Пример 1. Если плоскость 3(𝑥 − 2) + 𝐵(𝑦 + 𝑚) + 𝐶(𝑧 − 5) = 0 проходит через
точку (3; −1; 8) и перпендикулярна вектору (−5; −1; 8), то сумма 𝐵 + 𝐶 + 𝑚
равна:
Решение. Вектор (−5; −1; 8), будучи перпендикулярным заданной плоскости,
параллелен нормальному вектору 𝑛̅(3; 𝐵; 𝐶), и, следовательно, справедливо
соотношение
−3/5 = −𝐵/1 = 𝐶/8. Откуда следует 𝐵 = 3/5 и 𝐶 = −24/5. Подставляя в
уравнение плоскости значения В и С, а также координаты точки (3; −1; 8),
которая принадлежит плоскости, находим 𝑚:
3(𝑥 − 2) + 3/5(𝑦 + 𝑚) − 24/5(𝑧 − 5) = 0 =>
15(𝑥 − 2) + 3(𝑦 + 𝑚) − 24(𝑧 − 5) = 0=>
15(3 − 2) + 3(−1 + 𝑚) − 24(8 − 5) = 0 =>
𝑚 = 20
Тогда сумма 𝐵 + 𝐶 + 𝑚 равна 15,8.
Пример 2. Если плоскость 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 параллельна плоскости 2𝑥 +
9𝑦 − 𝑧 + 2 = 0 и проходит через точку (−1; 0; 1), то чему равна сумма B+C+D?
Решение. Так как для параллельных плоскостей нормальным вектором служит
один и тот же вектор (2; 9; −1), то можем считать, что 𝐴 = 2, 𝐵 = 9 и 𝐶 = −1.
Искомая плоскость проходит через заданную точку (−1; 0; 1), следовательно,
2
координаты
этой
точки
удовлетворяют
(−1) + 9 ∙ (0) + (−1) ∙ 1 + 𝐷 = 0.
Откуда 𝐷 = 3. Тогда
𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 9 − 1 + 3 = 11.
уравнению
плоскости: 2 ∙
Пример 3. Найдите расстояние между двумя параллельными плоскостями 5𝑥 −
3𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 и 5𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 + 9 = 0.
Решение. Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию
от некоторой точки 𝑀0 , принадлежащей одной из плоскостей, до другой
плоскости. Выберем точку 𝑀0 , принадлежащую плоскости 5𝑥 − З𝑦 + 𝑧 − 1 = 0.
Для этого зададим некоторые значения 𝑥 и у и получим соответствующее
значение 𝑧. Пусть 𝑥 = 1 и 𝑦 = 1, тогда 𝑧 = −1. Найдем расстояние точки
𝑀0 (1; 1; −1) до плоскости 5𝑥 − З𝑦 + 𝑧 + 9 = 0 по формуле (6.7):
|5 ∙ 1 − 3 ∙ 1 + (−1) + 9|
10
2√35
𝑑=
=
=
7
√ 25 + 9 + 1
√35
Пример 4. Если точки (−1; 8; 2), (3; 8; −2), (5; 6; 1) лежат в плоскости с
нормальным вектором (3; 𝐵; 𝐶), то чему равна сумма В+С?
Решение. Воспользуемся уравнением (6.3), подставляя в это уравнение
координаты заданных точек:
𝑥+1 𝑦−8 𝑧 −2
| 4
0
−4 | = 0
6
−2
−1
Вычислив определитель, получим уравнение плоскости, проходящей через три
точки. 2𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 − 42 = 0.
Так как вектор (3; 𝐵; 𝐶) является нормальным вектором плоскости, то он
должен быть коллинеарен вектору (2; 5; 2) и, следовательно, должны выполняться
равенства:
3/2 = 𝐵/5 = 𝐶/2
Откуда: 𝐵 = 7,5 и 𝐶 = 3.
Тогда 𝐵 + 𝐶 = 10,5.
6.2. Уравнение прямой в пространстве и на плоскости.
Положение прямой L в пространстве определяется заданием точки 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ),
через которую проходит прямая, и вектора 𝑎̅ ≠ 0, коллинеарного этой прямой.
Вектор 𝑎̅ называется направляющим вектором. Если 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) - произвольная
̅̅̅̅̅̅̅
точка прямой L, то из коллинеарности векторов 𝑀
̅(𝑚, 𝑛, 𝑝) следует:
0𝑀 и 𝑎
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0
=
=
(6.8)
𝑚
𝑛
𝑝
Уравнения (6.8) задают прямую в пространстве и называются
каноническими уравнениями. Если прямая проходит через две заданные точки
𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) и 𝑀1 (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ), то в качестве направляющего вектора 𝑎̅ можно взять
вектор ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑀0 𝑀1 , и тогда получим уравнения прямой в виде:
3
𝑥 − 𝑥0
𝑦 − 𝑦0
𝑧 − 𝑧0
=
=
𝑥1 − 𝑥0 𝑦1 − 𝑦0 𝑧1 − 𝑧0
Из уравнений (6.8) можно получить следующие уравнения:
𝑥 = 𝑥0 + 𝑚𝑡
{ 𝑦 = 𝑦0 + 𝑛𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑝𝑡
(6.9)
(6.10)
которые называются параметрическими уравнениями прямой (t -параметр).
Если, например, 𝑚 = 0, то прямая L - перпендикулярна к оси ОХ и канонические
уравнения примут вид
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 𝑧 − 𝑧0
=
=
,
или
0
𝑛
𝑝
𝑥 = 𝑥0
{𝑦 − 𝑦0 = 𝑧 − 𝑧0
𝑛
𝑝
Углом 𝜑 между прямыми в пространстве называется наименьший из двух смежных
углов, образованный прямыми, проведенными через произвольную точку
пространства, параллельно заданным прямым. Если ̅̅̅(𝑚
𝑎1 1 , 𝑛1 , 𝑝1 ) и ̅̅̅(𝑚
𝑎2 2 , 𝑛2 , 𝑝2 )
направляющие векторы прямых, то
cos 𝜑 =
|𝑎
̅̅̅1 ∙ ̅̅̅|
𝑎2
|𝑎
̅̅̅|
̅̅̅|
1 ∙ |𝑎
2
Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей:
𝐴 х + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷1 = 0
(6.11)
{ 1
𝐴2 х + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷2 = 0
Пусть заданы две прямые с направляющими векторами ̅̅̅(𝑚
𝑎1 1 , 𝑛1 , 𝑝1 ) и
𝑎2 2 , 𝑛2 , 𝑝2 ). Тогда условие параллельности двух прямых имеет вид:
̅̅̅(𝑚
𝑚1 𝑛1 𝑝1
=
=
(6.12)
𝑚2 𝑛2 𝑝2
а условие перпендикулярности таково:
𝑚1 𝑚2 + 𝑛1 𝑛2 + 𝑝1 𝑝2 = 0
(6.13)
Если прямая L принадлежит плоскости XOY, ее можно представить как линию
пересечения некоторой плоскости 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 и плоскости 𝑧 = 0 или:
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏
(6.14)
где 𝑘 = −𝐴/𝐵 и 𝑏 = − 𝐷/𝐵
Уравнение (6.14) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом 𝑘 =
𝑡𝑔𝜑, где 𝜑- угол наклона прямой к оси ОХ; 𝑏 - ордината точки пересечения прямой
4
с осью OY.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 𝑀1 (𝑥1 , 𝑦1 ) и 𝑀2 (𝑥2 , 𝑦2 ),
плоскости XOY имеет вид:
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
=
𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1
(6.15)
Если две прямые задаются уравнениями 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 = 0 и 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 = 0,
то условия: а) параллельности двух прямых:
𝑎1 𝑏1
=
или 𝑘1 = 𝑘2
𝑎2 𝑏2
(6.16)
б) перпендикулярности:
𝑎1 𝑎2 + 𝑏1 𝑏2 = 0 или 𝑘1 = −
1
𝑘2
(6.17)
Пример 1. Пусть 5𝑥 + 𝑏𝑦 + с = 0 - уравнение прямой, проходящей
через точку 𝐴(1; 2) перпендикулярно отрезку MN, где 𝑀(3; 6), 𝑁(−2; −1).
Найдите 𝑏 + 𝑐.
Решение. Составим уравнение прямой, содержащей отрезок MN:
𝑥+2
𝑦+1
=
=>5𝑦 − 7𝑥 − 9 = 0. Используя условие (6.17) получим: 5𝑏 − 35 = 0
5
7
=> 𝑏 = 7. Подставим в уравнение 5𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 значение 𝑏 = 7 и
координаты точки 𝐴, найдем 𝑐: 𝑐 = −19.
Тогда 𝑏 + 𝑐 = −12.
Пример 2. Точка 𝐶(𝛼 + 𝛽; 5; 3𝛽) принадлежит прямой АВ, проходящей через
точки 𝐴(3; 2; −4) и 𝐵(1; −2; 1). Найдите сумму α+β.
𝑥−1
Решение. Уравнение прямой АВ:
2
=
𝑦+2
4
=
𝑧−1
−5
Уравнению прямой удовлетворяют координаты заданной точки C;
𝛼+𝛽−1
2
7
3𝛽−1
4
−5
= =
из этих равенств получаем систему уравнений
4𝛼 + 4𝛽 = 18
, из которой найдем значение 𝛼 + 𝛽 = 9/2.
{
12𝛽 = −31
Пример
𝑦+3
2
=
3.
𝑧
−1
и
Выясните
𝑥+2
−2
=
𝑦+1
−4
взаимное
=
расположение
двух
прямых
𝑥−1
1
=
𝑧−1
2
.
Решение. Так как направляющие векторы заданных прямых 𝑎
̅̅̅(1;
2; −1) и
1
5
̅̅̅(−2;
𝑎
−4; 2) очевидно коллинеарны, то эти прямые либо параллельны, либо
2
совпадают. Последнее возможно, если точка (1; −3; 0), принадлежащая первой
прямой, принадлежит и второй. Подставляя координаты этой точки в уравнение
второй прямой, убеждаемся, что точка (1; −3; 0) не принадлежит второй прямой и
потому прямые параллельны, но не совпадают.
Пример 4. Найдите сумму координат точки пересечения прямой
𝑥−1
−3
=
𝑦−2
1
=
𝑧+5
6
с плоскостью 3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 + 16 = 0.
Решение. Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, нужно решить
систему уравнений, задающих плоскость и прямую.
Запишем уравнения заданной прямой в параметрической форме: 𝑥 = −3𝑡 +
1; 𝑦 = 𝑡 − 2; 𝑧 = 6𝑡 − 5 и подставим значения 𝑥, 𝑦, 𝑧 в уравнение плоскости:
3(−3𝑡 + 1) + 2(𝑡 − 2) + (6𝑡 − 5) + 16 = 0; => 𝑡 = 10; => 𝑥 = −29;
𝑦 = 8; 𝑧 = 55. Таким образом, точка с координатами, (−29; 8; 55) есть точка
пересечения прямой с плоскостью, а сумма ее координат равна 34.
6