МАТЕРИАЛЫ

МАТЕРИАЛЫ
для подготовки к вступительным испытаниям в магистратуру по
направлению «Электроэнергетика и электротехника»
2015 год
2. Линейные электрические цепи с синусоидальными токами и напряжениями
Синусоидальные токи, напряжения, ЭДС. При описании процессов в линейных
электрических цепях все токи, напряжения и ЭДС которых изменяются по
синусоидальному закону, т.е. имеют вид i(t )  I m sin(t  i ) , u (t )  U m sin(t  u ) ,
e(t )  Em sin(t  e ) используются следующие понятия:




величины i  i (t ) , u  u (t ) , e  e(t ) называются мгновенными токами, напряжениями и
ЭДС;
значения I m , U m , Em - амплитуды (максимальное значение) величин i(t), u(t) и e(t);
аргументы синусоидальных функций (t   i ) , (t   u ) , (t   e ) - фазы
синусоидального тока, напряжения и ЭДС;
начальные значения аргументов (начальные фазы)  i ,  u ,  e тока, напряжения и
ЭДС.
Величину   2 f , представляющую собой скорость изменения фаз, называют
угловой частотой, а f - частотой тока, напряжения, ЭДС. За период T 
1
колебаний
f
этих величин их фазы увеличиваются на 2 , т.е. T  2 . При стандартной частоте
f  50 Гц период T  0, 02 c , угловая частота   2 f  100  314 рад/с . Наряду с
амплитудами I m , U m , Em тока, напряжения, ЭДС часто используют среднеквадратичные
значения последних:
Im
U
E
, напряжения U  m , ЭДС E  m .
2
2
2
Если две синусоидальные величины одной и той же частоты отличаются начальными
фазами, то говорят, что они сдвинуты по фазе. При этом под сдвигом фаз понимают
разность начальных фаз. Так, под сдвигом фаз напряжения u (t )  U m sin(t  u ) и тока
i(t )  I m sin(t  i ) понимается угол    u  i . Этот угол определяет связь колебаний
напряжения и тока, т.е. взаимное расположение их временных графиков (табл. 2.1).

действующее значение тока I 
Таблица 2.1.
Сдвиг фаз
 0


2
Связь колебаний напряжения и тока
Напряжение и ток совпадают по фазе
Напряжение и ток находятся в квадратуре
 0
Напряжение опережает ток по фазе
 0
Напряжение отстает от тока по фазе
Комплексные ток, напряжение, ЭДС. Синусоидальные ток, напряжение, ЭДС можно
представить в виде
i  I m sin(t  i )  I m  I m e j i e jt  , u  U m sin(t  u )  I m U m e j u e jt  ,
e  Em sin(t  e )  I m  Em e j e e jt  ,
где Im  - величина мнимой части комплекса
 .
Комплексные числа Im  I m e j i ,
U m  U m e j u , Em  Em e j e называют комплексными амплитудами соответственно тока,
I
U
E
напряжения и ЭДС, а комплексные числа I  m , U  m , E  m - комплексными
2
2
2
действующими значениями тока, напряжения и ЭДС. Поскольку все токи, напряжения,
ЭДС имеют одинаковую частоту  , то введенные комплексы I m , U m , Em ( I , U , E )
однозначно описывают переменные i , u , e цепи.
Комплексный (символический) метод расчета цепей синусоидального тока.
Введение вместо синусоидальных функций времени i  i (t ) , u  u (t ) , e  e(t ) комплексов
I m , U m , Em или I , U , E позволяет алгебраизировать компонентные уравнения
элементов цепи и схемные изображения последних представить в символическом виде
(табл. 2.2)
аблица 2.2
Элемент
резистивный
Временная область
изображение
уравнение
u  Ri
емкостной
t
1
u   i (t )dt  uC (0)
C0
индуктивный
uL
источник
ЭДС
di
dt
ue
Комплексная область
изображение
уравнение
U  R I
U   jX C  I ,
XC 
1
C
U  jX L  I ,
X L  L
U E
источник
тока
I J
iJ
Заметим, что компонентные уравнения как резистивного, так и емкостного и
индуктивного элементов в комплексной области описываются алгебраическим
уравнением
U ZI ,
(2.1)
где Z  R для резистивного элемента, Z   jX C - для емкостного элемента, Z  jX L - для
1
индуктивного элемента. Модули комплексных сопротивлений X C 
называют
C
емкостным, а X L   L - индуктивным сопротивлением, они определяют соотношение
модулей комплексов (векторов) напряжения и тока соответственно на емкостном и
индуктивном элементах. Уравнение (2.1) представляет собой запись закона Ома в
комплексной форме для резистивного, емкостного и индуктивного элементов. Пользуясь
табл. 2.3 составляют комплексную схему замещения цепи и математическое описание
всех ее элементов в комплексной области. Используя уравнения Кирхгофа в комплексной
форме
I
j
j
0
и
U
j
 0 можно получить полное математическое описание цепи в
j
комплексной форме. Цепь в этой области описывается чисто алгебраическими
уравнениями. Решив эти уравнения, т.е. определив комплексы всех токов и напряжений
цепи, от последних переходят к мгновенным значениям (соответствующим
синусоидальным функциям токов и напряжений).
Комплексные сопротивления и проводимости. Пассивный двухполюсник с
комплексным напряжением U
и I
можно охарактеризовать комплексным
сопротивлением Z и проводимостью Y
Z
U
I
, Y  Z 1 
I
.
U
При этом действительную и мнимую части Z
(2.2)
называют активным R  Re  Z  и
реактивным X  Jm  Z  сопротивлением двухполюсника, модуль Z  Z - его полным
сопротивлением. Таким образом,
Z
U
U
 Ze j  R  jX , Z  , Z 2  R2  X 2 , R  Z cos  , X  Z sin  .
I
I
Комплексную проводимость представляют в виде:
Y
I
 Ye  j  G  jB , Y 2  G 2  B 2 , G  Y cos  , B  Y sin  ,
U
I
, Y , G и B - соответственно полная, активная и реактивная проводимости
U
двухполюсника.
где Y 
Мощность в цепи синусоидального тока. Для двухполюсника с напряжением
u(t )  U m sin(t  u ) и током i(t )  I m sin(t  i ) ,    u  i мгновенной мощностью
называется произведение мгновенных значений напряжения и тока p  p (t )  u (t )  i (t ) , а
U
полной мощностью – произведение действующего напряжения и тока S  U  I , U  m ,
2
I
I  m . Активной мощностью двухполюсника называют среднее значение мгновенной
2
мощности за период:
P
1
T
T
 p(t )dt  UI cos  .
(2.3)
0
Реактивной мощностью называют величину Q  UIsin . Единицей мгновенной и
активной мощности является ватт [1 Вт], единицу полной мощности обозначают 1ВА, а
реактивной 1 Вар. При расчете цепей в комплексной области используют также понятие



комплексной мощности S  U  I , где I - сопряженный комплекс тока ( I  Ie  j i ). Таким
образом, S  Se j  P  jQ , S 2  P 2  Q 2 . Сумма комплексных мощностей всех элементов
цепи равна нулю  S j  0 (баланс мощности).
j
Показания приборов. В задачах данной главы не оговорен тип прибора, под
показанием амперметра и вольтметра (рис. 2.1) понимается действующее значение I и U
j
- модули действующих комплексов тока I  Ie
и напряжения U  Ue u . Под
показанием ваттметра (рис. 2.1) – произведение P  UI cos  при указанном положении
«звездочек» на приборе. «Звездочки» («точки») определяют положительные направления
токов и напряжений (от «звездочки» через прибор), изменение их положения меняет угол
сдвига между напряжением и током    u  i . Так на рис. 2.1 для положения
j i
«звездочки» в скобках P  UI cos( u    i ) .
Рис. 2.1
Векторная диаграмма. Представление синусоидальных токов, напряжений и ЭДС
комплексными числами позволяет изображать их на комплексной плоскости в виде
векторов, отображая действия, производимые над этими числами в процессе расчета
цепей, в виде построений соответствующих векторных диаграмм. Так для
последовательного участка цепи с током I процесс нахождения напряжения
U  U R U L U C , где U R  R  I , U L  jX L  I , UC   jX C  I можно изобразить в виде
построения векторной диаграммы (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Здесь
U  ( R  jX L  jX C )  I  [ R  j ( X L  X C )]  I , Z  R  j ( X L  X C )  R  jX ,
U  U R  jU x (рассматриваем случай, когда X  X L  X C  0 ). Комплекс U R называют
также активной составляющей напряжения и обозначают U a , а U X - реактивной
составляющей напряжения и обозначают U p (см. ниже).
Треугольники сопротивлений, проводимостей, мощностей, напряжений и токов.
Полные сопротивления, проводимости, мощности двухполюсника и их составляющие
удовлетворяют соотношениям: Z 2  R2  X 2 , Y 2  G 2  B 2 , S 2  P 2  Q 2 и поэтому могут
быть представлены в виде треугольников (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Комплексные напряжение и ток двухполюсника можно представить в виде двух
ортогональных составляющих U  U a  jU p и I  Ia  jI p . При этом фаза U a совпадает с
фазой I , а фаза U p отличается от фазы I на 
U , а фаза

2
. Аналогично фаза Ia совпадает с фазой

I p отличается от последней на  . Так как U 2  U a2  U p2 , I 2  I a2  I p2 , то
2
действующие напряжение и токи и их активные и реактивные составляющие также можно
изобразить в виде треугольников (рис. 2.4):
Рис. 2.4
Резонанс. В случае, когда ток и напряжение некоторого RLC - двухполюсника
совпадают по фазе, т.е. двухполюсник обладает чисто активным сопротивлением Z  R и
его реактивная мощность равна нулю ( S  P ), то говорят, что имеет место резонанс.
Резонанса можно достигнуть изменяя параметры цепи R , L и C или частоту 
приложенного внешнего напряжения (тока). Ток в последовательном RLC контуре будет
наблюдаться при частоте
1
,
LC
0 
(2.4)
называемой резонансной частотой. Добротность контура характеризует резонансные
свойства контура и определяется по формуле
Q
0 L
R

1

0CR
LC
.
R
(2.5)
Зависимость тока этого контура от частоты  приложенного внешнего напряжения при
неизменности его действующего значения U  const имеет вид:
I ( ) 
I0
  
1  Q2   0 
 0  
2
.
(2.6)
U
- значение тока при резонансе, т.е.
R
когда   0 . Полоса пропускания контура (1  2 ) определяется из соотношения
Зависимость (2.6) называют резонансной кривой, I 0 
 2 1  1
    , где 1 и  2 - частоты, при котором действующее значение тока в
 0 0  Q
U
меньше резонансного I 0  .
R
2 раз
Расчет цепей с взаимными индуктивностями. При наличии в цепях индуктивносвязанных элементов, т.е. взаимной индукции M, необходимо учитывать напряжение
взаимоиндукции u M . В комплексных схемах замещения удобно учитывать это
напряжение как источник напряжения, управляемый током (ИНУТ). Так при
согласованных направлениях токов ветвей (1-1) и (2-2) от «звездочки» в ветвь (рис. 2.4)
схема цепи в комплексной области имеет вид (рис. 2.4):
Рис. 2.4
При несогласованных направлениях токов - вид (рис. 2.5):
Рис. 2.5
При этом напряжение ветвей (1-1) и (2-2) описывается уравнениями (рис. 2.4):
U1  jX L1 I1  jX M I2 ,
(2.7)
U 2  jX L 2 I2  jX M I1
или уравнениями (рис. 2.5):
U1  jX L1 I1  jX M I2 ,
(2.8)
U 2  jX L 2 I2  jX M I1
где X L1   L1 , X L 2   L2 , X M   M сопротивление взаимной индукции.
индуктивные
сопротивления
катушек
и
4. Трехфазные цепи
4.1. Трехфазная цепь
Трехфазная цепь представляет собой совокупность трехфазных источников,
трехфазной нагрузки и трехпроводной (или четырехпроводной) системы проводов,
связывающих источники и нагрузку.
Слово «фаза» в этих цепях нужно понимать как двухпроводную электрическую
цепь. Каждая фаза имеет буквенное обозначение. В России фазы обозначаются
заглавными буквами А, В, С.
4.2. Трехфазные источники и способы их соединений.
В качестве трехфазных источников чаще других применяются синхронные
генераторы. На статоре синхронного генератора помещены 3 обмотки, которые сдвинуты
в пространстве относительно друг друга на 120о, в которых индуцируются ЭДС,
изменяющиеся по синусоидальному закону:
eA  Em sin t ,
eB  Em sin(t 
2
),
3
eC  Em sin(t 
2
).
3
(4.1)
Фазные ЭДС на комплексной плоскости могут быть представлены векторными
диаграммами на рис. 4.1б и 4.2б в зависимости от способа соединения обмоток
генератора. Обмотки включаются в звезду (рис. 4.1) или в треугольник (рис.4.2). Концы
обмоток обычно маркируют буквами: А – начало, х – конец обмотки фазы А.
Соответственно для фазы В: (В – y), для фазы С – (С – z).
Рис. 4.1
Рис. 4.2
Аналогично соединяются и маркируются вторичные обмотки трансформаторов,
включенные в трехфазную цепь. В этом случае обмотки трансформатора ведут себя как
обмотки источника.
Для получения соединения звездой у источников соединяют вместе концы обмоток
х – y – z (рис. 4.1), для получения соединения обмоток источников треугольником концы
обмотки одной фазы соединяют с началом другой и так до полного замыкания (рис. 4.2),
например, Ах → Вy → Сz → А.
4.3. Симметричные режимы трехфазных цепей и методики их расчетов
4.3.1. Четырехпроводная система (с нейтралью). Для симметричного режима
сопротивления приемников в фазах равны, т.е. ZA = ZB = ZC = Z, сопротивления проводов
Zл одинаковы (рис.4.3а), линейные напряжения UAB = UBC = UCA = Uл = 3 Uф, т.е. в
больше фазного.
Рис. 4.3а
3
Рис. 4.3б
К нагрузке в фазах приложено фазное напряжение, соответственно UAN к фазе А,
UВN к фазе В, UСN к фазе С. Тогда:
1) Для расчета токов применяют закон Ома:
IA 
U AN
,
Zл Z
IB 
U BN
,
Zл Z
IC 
U CN
,
Zл Z
(4.2)
где UAN = Uф, UВN = Uф   120 , UСN = Uф 120 .
2) Ток в нейтрали IN =IA + IB + IC = 0. На рисунке 4.3б представлена векторная
диаграмма для случая, когда Z имеет активно-индуктивный характер (φ>0).
4.3.2. Трехпроводная система, нагрузка соединена звездой. При симметричном
источнике не имеет значения способ соединения обмоток источника. Для удобства
расчета токов в нагрузке, соединенной звездой, удобно представить соединения обмоток
источника также звездой.
Рис. 4.4
В силу симметрии (ZA = ZB = ZC = Z) потенциалы точек N и N′ равны, т.е. φN = φN ′, что
позволяет соединить виртуально эти точки (см. пунктир). В результате расчетная схема
совпадает с предыдущей (рис. 4.3а), в которой токи находятся по закону Ома:
IA 
EA
,
Zл Z
IB 
EB
,
Zл Z
IC 
EC
.
Zл Z
Между собой комплексные токи образуют симметричную звезду:
IB = IА ∙ 1   120 IС = IА ∙ 1 120 .
4.3.3. Трехпроводная система, нагрузка соединена треугольником (рис. 4.5а)
Рис. 4.5а
Рис. 4.5б
Симметричная нагрузка в схеме рис. 4.5а имеет место при Zab = Zbc= Zca= Z .
Фазные напряжения равны:
UA 
U AB
1  30 ;
3
U B  U A 1  120 ;
U C  U A 1120 .
(4.3)
Если пренебречь сопротивлением линии, тогда:
1) Фазные токи определяются из закона Ома:
I ab 
U AB
;
Z
I bc 
U BC
;
Z
I ca 
U CA
.
Z
(4.4)
Все токи равны по величине, но сдвинуты относительно друг друга на 120о.
I bc  I ab 1  120 ;
I ca  I ab 1120 .
2) Линейные токи рассчитываются по первому закону Кирхгофа.
I A  I ab  I ca ;
I B  I bc  I ab ;
I C  I ca  I bc .
На рис. 4.5б представлена векторная диаграмма. Комплексное значение тока IA
находится из выражения I A  I ab  I ca  I ab  I ab 1120  3 I ab 1  30 . При
симметричной нагрузке, соединенной треугольником, линейные токи больше фазных в
3 раз и сдвинуты по фазе от фазных токов на угол –30о. Если Zл ≠0, то проще всего
преобразовать треугольник в звезду и для эквивалентной звезды найти токи
IA 
UA
Z
Zл
3
;
IB 
UB
Z
Zл
3
;
IC 
UC
Z
Zл
3
.
(4.5)
4.4. Несимметричный режим трехфазных цепей и методики их расчетов
4.4.1. Четырехпроводная система. Расчет режима для несимметричной нагрузки
(ZА ≠ ZВ ≠ ZС) целесообразно осуществлять в следующем порядке:
1) Находят напряжение смещения нейтрали UN′N. Это напряжение между звездой
источников (аналогично схеме рис. 4.4) и точкой n
U Y U BY B U CY C
(4.6)
U N N  A A
,
Y A Y B YC Y N
где
YA 
1
;
Zл ZA
YB 
1
;
Zл  ZB
YC 
1
;
Z л  ZC
YN 
1
.
ZN
Рис. 4.6
2) Линейные токи и ток в нейтральном проводе определяются из выражений:
IA 
U A  U N N
;
Zл ZA
IB 
U B  U N N
;
Zл ZB
IC 
U C  U N N
;
Z л  ZC
IN 
U N N
.
ZN
(4.7)
Если ZN → 0, то смещение нейтрали отсутствует и UN′N = 0. В этом случае токи
находятся из выражений:
IA 
UA
;
Zл ZA
IB 
UB
;
Zл ZB
IC 
UC
;
Z л  ZC
I N  I A  I B  I C.
(4.8)
4.4.2. Трехпроводная система (нагрузка соединена звездой). Схема имеет вид,
представленный на рис. 4.4, но ZА ≠ ZВ ≠ ZС. Порядок расчета похож на расчет
несимметричной четырехпроводной системы, но в формулах YN = 0. Смещение нейтрали
в этом случае имеет вид:
U N N 
U AY A  U B Y B  U C Y C
.
Y A Y B YC
(4.9)
Токи в фазах определяются по тем же формулам. Сумма линейных токов равна
нулю IА + IВ + IС = 0.
4.4.3. Трехпроводная система (нагрузка соединена треугольником). Электрическая
схема такая же, как на рис. 4.5а, но Zab ≠ Zbc ≠ Zca . При Zл = 0 токи определяются по
формулам:
I ab 
U AB
;
Z ab
I bc 
U BC
;
Z bc
I ca 
Соотношение между линейными и фазными токами не равно
U CA
.
Z ca
(4.10)
3 , т.е. I л  3I ф .
Если Zл ≠ 0, то после преобразования треугольника нагрузки в звезду получается
несимметричная звезда. Порядок расчета этой эквивалентной звезды такой же, как и
несимметричной звезды в пункте 2.
4.5. Измерение мощностей в трехфазных цепях
4.5.1. Четырехпроводная система
Рис. 4.7
В четырехпроводной системе (рис. 4.7) для измерения активной мощности
включают ваттметры в каждую фазу. Активная мощность системы равна сумме
показаний всех ваттметров P = PW1 + PW2 + PW3 для симметричной нагрузки активную
мощность можно измерять одним ваттметром, включенным в любую фазу. Мощность
системы будет равна P = 3PW.
4.5.2. Трехпроводная система.
В трехпроводной трехфазной цепи для измерения активной мощности применяют схему
двух ваттметров (рис.4.8).
Рис. 4.8
Активная мощность, потребляемая нагрузкой, равна алгебраической сумме
показаний ваттметров P = PW1 + PW2 . Схема применима для симметричного и
несимметричного режимов.
При симметричном режиме реактивную мощность можно измерить по схеме рис.
4.8. В этом случае реактивная мощность равна разности показаний ваттметров
Q = 3 ( PW1 –PW2). Можно использовать схему с одним ваттметром (рис. 4.9)
Рис. 4.9
Реактивная мощность определяется из выражения Q =
3 PW.
6. Переходные процессы в линейных цепях с сосредоточенными параметрами
6.1
Переходной процесс, коммутация, начальные условия. Переходной процесс –
процесс в электрической цепи, возникающий при переходе от одного установившегося
режима к другому. Причиной процесса обычно является коммутация – одномоментное
изменение параметров или топологической структуры цепи. На электрической схеме
процесс коммутации отображается замыканием (рис. 6.1,а) или размыканием (рис. 6.2,а)
ключа.
а)
а)
б)
б)
в)
в)
Рис. 6.1
Рис.6.2
В задачах расчета переходных процессов полагается, что коммутация происходит
в момент времени t = 0. Если же она реально происходит в момент t = t0 ≠ 0, то вводят
фиктивное время t′ = t – t0 с тем, чтобы коммутация происходила в момент t′ = 0.
Поскольку токи и напряжения элементов цепи в момент коммутации могут изменяться
скачкообразно, то условно сам момент коммутации t = 0 разбивается на два момента:
момент t = 0– непосредственно предшествующий замыканию (рис. 6.1,б) или размыканию
(рис. 6.2,б) ключа и момент t = 0+ непосредственно следующий за замыканием (рис. 6.1,в)
или размыканием (рис. 6.2,в) ключа. Значения токов и напряжений элементов цепи в
момент t = 0+ называют начальными условиями переходного процесса, которые
подразделяют на независимые начальные условия (токи индуктивных элементов и
напряжения емкостных элементов) и зависимые начальные условия (токи резистивных,
емкостных элементов, источников ЭДС и напряжения резистивных, индуктивных
элементов и источников тока).
6.2
Законы коммутации, определение начальных условий. Согласно
законам
коммутации в момент коммутации значения напряжений емкостных элементов и токов
индуктивных элементов не меняются. Т.о. для независимых начальных условий имеем
uC(0+) = uC(0–) и iL(0+) = iL(0–).
Исключение составляют случаи, когда в результате коммутации образуются новые
- особые контуры, состоящие только из емкостных элементов или новые - особые разрезы,
состоящие только из индуктивных элементов. В момент коммутации для каждого узла k
схемы, состоящей только из элементов особых контуров, остается неизменным
суммарный заряд  Q kj (0 )   Q kj (0 ) , а для каждого контура k схемы, состоящей только
j
из элементов особых разрезов – суммарное потокосцепление

j
k
j
(0 )   kj (0 ) .
j
Такие коммутации часто называют «некорректными».
Для определения зависимых начальных условий целесообразно составить и
рассчитать чисто резистивную эквивалентную схему цепи для момента t = 0+ , в которой
по теореме компенсации все емкостные элементы с напряжениями uj(0+) заменены
источниками ЭДС Еj = uj(0+), а все индуктивные элементы с токами ij(0+) – источниками
тока Jj = ij(0+).
6.3
Классический метод расчета переходных процессов и методика его применения.
Согласно классическому методу искомая переменная, например, ток i = i(t) в некоторой
ветви представляется в виде суммы i = iуст + iпрех, установившейся iуст и преходящей iпрех
составляющих, которые затем находятся по отдельности. Рекомендуется следующая
методика расчета переходных процессов в электрических цепях классическим методом:
1. Рассчитывается предшествующий режим (до коммутации), т.е. значения
напряжений емкостных элементов и токов индуктивных элементов для момента t = 0– :
uj(0-) и ij(0-).
2. По законам коммутации находятся независимые начальные условия –
напряжения емкостных элементов uj(0+) и токи индуктивных элементов ij(0+).
3. Рассчитывается установившийся режим в цепи после коммутации, в результате
находится установившаяся составляющая искомого тока iуст(t).
4. Составляется характеристическое уравнение цепи
Рn(p) = anpn + an–1 pn–1+ …+ a1 p+ a0 = 0
и находятся его корни (собственные частоты цепи) pj, j = 1,2,…,n.
5. В зависимости от вида корней характеристического уравнения определяется вид
аналитического представления преходящей составляющей искомого тока iпрех (t) и, затем
по независимым начальным условиям находятся постоянные интегрирования.
Вид
преходящей составляющей тока зависит
характеристического уравнения. Если все корни различны, то
iпрех  A1e
p1t
 A2 e
pt
 ...  An e
pn t
от
кратности
корней
.
При этом если в числе корней есть пары комплексно-сопряженных корней,
pt
p t
например р1,2 = α ± jω, то соответствующую им часть суммы A1e 1  A2e  удобно
представить в виде e t ( A1e  jt  A2e  jt )  Be t sin(t   ) .
Если же все корни одинаковы р1 = р2 = …= рn = р, то
pt
iпрех  Ae
 A2te pt  ...  Ant n1e pt  ( A1  A2t  ...  Ant n1 )e pt .
1
Для определения постоянных интегрирования значение преходящей составляющей
d n 1iпрех
/ t  0
тока iпрех (0+) = i (0+) – iуст(0+) и n-1 – ее производной в момент t = 0+, т.е.
dt n 1
выражают через независимые начальные условия.
6.4
Операторный метод расчета переходных процессов и методика его применения.
Согласно операторному методу вместо описания процессов интегродифференциальными
уравнениями во временной области используется их описание более простыми
алгебраическими уравнениями в операторной области (области изображений Лапласа).
Решение таких уравнений позволяет найти операторные изображения искомых
переходных токов и напряжений (оригиналов). Переход от изображений к оригиналам
завершает решение задачи расчета переходных процессов. Рекомендуется следующая
методика решения данной задачи операторным методом:
1. Рассчитывается режим в цепи предшествующий коммутации, в результате
находятся значения напряжений емкостных элементов и токов индуктивных элементов
для момента t = 0–.
2. По известной топологии цепи, ее параметрам, найденным значениям токов iL(0–)
и напряжений uC(0+), c помощью соответствующих схем замещений элементов цепи во
временной и операторной областях (табл. 6.1) составляется операторная схема замещения
цепи. При этом операторные изображения Е(р) и J(р) функций e(t) J(t) источников
находятся по таблице соответствия временных и операторных функций, представленной в
Приложении.
3. По операторной схеме с использованием известных методов расчета цепей
находятся операторные токи и напряжения искомых переменных. Заметим, что эти
операторные функции можно найти и без составления операторной схемы замещения, по
составленным для их оригиналов интегродифференциальным уравнениям во временной
области путем отображения последних в операторную область.
4. По найденным изображениям находятся оригиналы – переходные токи и
напряжения во временной области.
Таблица 6.1
Временная область
Операторная область
Для перехода от изображения искомой функции F(p) к ее оригиналу f(t) можно
использовать следующие три способа:
1. Непосредственное нахождение f(t) по таблице соответствия оригиналов и
изображений, представленной в Приложении.
2. Представление рациональной дроби изображения
F ( p) 
F1 ( p) am p m  am1 p m1  ...  a1 p  a0

.
F2 ( p)
bn p n  bn 1 p n1  ...  b1 p  b0
(6.1)
в случае n > m и различия всех корней pj, j = 1,2,…n полинома F2(p) в виде
An
A1
A2
Aj – так называемые неопределенные
F ( p) 

 ... 
, где
p  p1 p  p2
p  pn
коэффициенты. При этом искомая функция оригинал будет иметь вид
p t
pt
p t
f (t )  A1e 1  A2e 2  ...  Ane n .
3. Использование теоремы разложения, согласно которой в случае различия всех
корней pj полинома F2(p) оригинал изображения F(p) (6.1) имеет вид:
n F (p )
p t
dF ( p )
f (t )   1 j e j ,
F2( p )  2
.
(6.2)
dp
j 1 F2( p j )
Если при этом один из корней F2(p), для определенности первый, равен нулю, т.е.
F1 (0) n 1 F1 ( p j ) p j t
f (t ) 

e .
р1 = 0,
т.е. F2(p) = рF3(p),
то
F3 (0) j 1 p j  F3( p j )
(6.3)
Если F2(p) имеет n/2 пар комплексно-сопряженных корней (здесь n - четное
n/2
 F (p ) p t
f (t )   2 Re  1 j e j .
число),
то
j 1
 F2( p j )

(6.4)
При наличии нулевого корня, т.е. F2(p) = рF3(p),
 F (p )
p t
F (0) n / 2
f (t )  1
  2 Re  1 j e j  .
F3 (0) j 1
 p j  F2( p j )

(6.5)