Моделирование формирования изображений предметов

Глава 2. Дифракционная теория
формирования изображения
Изображение можно представить в виде
суперпозиции импульсных реакций
на воздействие независимыми точечными
источниками, распределёнными по всей
плоскости предметов.
Эдвард О’Нейл
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
2.6. Алгоритм моделирования
распространения поля через
оптическую систему
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Входные данные для
моделирования
комплексная амплитуда поля на предмете

U  x , y

зрачковая функция, описывающая влияние
оптической системы на проходящее поле

f x ,  y

Алгоритм моделирования
распространения поля от предмета до
изображения через о.с.
Дифракционное распространение поля от плоскости предмета
до входной сферы:
 
2i  x  x  y  y 
(2.32)

 
  U  x , y  e
U x ,  y 
d x d y  F U  x , y

 
Геометрическое распространение поля от входной до выходной
сферы:
(2.33)
U   ,   U  ,   f  , 

x
y


x
y
 
x
y

Дифракционное распространение поля от выходной сферы до
плоскости изображения:
 
2i         
(2.34)
U   ,   
U   ,    e
d  d   F 1 U   ,   
x

y
x
x
y
x
y
y
x
y
x
y
  
Вычисление распределения интенсивности на изображении:
2
(2.35)
I    ,   U    , 

x
y


x
y

Алгоритм моделирования
Общее выражение для вычисления распределения
интенсивности на плоскости изображения по
заданной комплексной амплитуде поля на плоскости
предмета:

объединенные выражения (2.32 – 2.35)


I   x , y  F
1
F U  x , y  f  x ,  y 
2
(2.36)
 в канонических координатах справедливо для любых типов оптических
систем, для любых точек поля и длин волн
2.7. Формирование изображений
самосветящихся предметов
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Формирование изображения
точечного предмета
Комплексную амплитуду поля на точечном предмете
можно описать дельта-функцией Дирака:
,  x   y  0;
(2.37)

 

U  x , y    x , y  
 0,  x  0,  y  0.
Распределение интенсивности на плоскости
изображения (см.2.36):
 фурье-образ дельта-функции равен 1



 
I   x , y  F 1 F   x , y  f  x ,  y

2
F
1
 f  x ,  y 
2
(2.38)
Функция рассеяния точки
Функция рассеяния точки (ФРТ) – распределение
интенсивности в изображении светящейся точки:
2
(2.39)
1
h  ,    F  f  ,  
x

y
x
y
характер распределения интенсивности в изображении (форму
пятна рассеяния) определяют только характеристики оптической
системы
Пятно рассеяния, создаваемое
различными оптическими системами
безаберрационная
о.с. с круглой
апертурной
диафрагмой
(дифракционная
картина Эйри)
безаберрационная о.с.
с экспоненциальным
падением функции
амплитудного
пропускания
безаберрационная
о.с. с квадратной
апертурной
диафрагмой
о.с. с круглой
апертурной
диафрагмой и
расфокусировкой
Описание светящегося
предмета
Реальные источники излучения имеют протяжённые размеры и
состоят из большого числа элементарных излучателей.
Светящийся предмет можно описать функцией распределения
яркости B x , y  и представить в виде совокупности взаимно
некогерентных точечных излучателей:
 
(2.40)
B  x , y    Bo  sx , sy    x   sx , y   sy d sx d sy






 

 

где Bo  sx , sy – функция, описывающая область существования и
распределение яркости в системе координат источника
 sx , sy – величина смещения рассматриваемой точки источника
относительно центра координат на плоскости предмета


Рассмотрим изображение каждой точки источника в
отдельности, а затем представим изображение как сумму
интенсивностей изображений этих точек
Комплексная амплитуда поля в
изображении светящейся точки
Комплексная амплитуда поля в изображении отдельной точки
светящегося предмета, смещённой относительно центра на
небольшую величину  sx , sy




к.а. поля, приходящего от этой точки источника на входную поверхность
о.с., пропорциональна значению яркости в данной точке источника
с использованием свойств преобразования Фурье:




U  sx , sy ,  x ,  y  Bo  sx , sy  e
2i sx  x s y  y 
(2.41)
Комплексная амплитуда поля после прохождения о.с.
определяется согласно выражению (2.33):



 

U   sx , sy ,  x ,  y  Bo  sx , sy  f  x ,  y  e
2i sx  x s y  y 
(2.42)
Итоговое изображение источника
произвольной формы
Распределение интенсивности изображения точки предмета:

из выражений (2.34) и (2.35)



 
~



I  sx , sy , x , y  Bo  sx , sy  f  x   sx , y   sy


2
(2.43)
~
где f – фурье-образ зрачковой функции, который смещён относительно
центра координат на изображении на величину  sx , sy 
Если система координат источника совмещена с системой
координат предмета, то вместо  sx , sy можно использовать
 x , y :
(2.44)
2
I   x , y , x , y  Bo  x , y  h  x   x , y   y







 

Итоговое изображение источника произвольной формы можно
найти как сумму изображений всех его точек.
(2.45)
 
.
I   x , y    Bo2  x , y  h  x   x , y   y d x d y



 
 

Моделирование формирования
изображения светящегося предмета
Интеграл такого вида называется свёрткой:



 
I   x , y  Bo2  x , y  h  x , y


(2.46)
таким образом, изображение светящегося предмета произвольных
размеров и формы определяется свёрткой квадрата функции
распределения яркости с функцией рассеяния точки оптической системы
Влияние, оказываемое о.с. на поле приходящее из разных
точек, будет различным

должно описываться различными зрачковыми функциями f  x , y ,  x ,  y 

каждой точке предмета соответствует своя ФРТ h x , y , x , y 
В общем случае интенсивность на изображении:

 
   
I   x , y 
Bo2
 
 

 x , y  h  x , y , x , y d x d y
(2.47)
Изопланатические зоны
На поверхности предмета можно выделить области
(изопланатические зоны), в пределах которых ФРТ
инвариантна к сдвигу:

для дифракционно-ограниченной о.с. при изменении координат на
предмете ФРТ изменяется незначительно

 
h  x , y , x , y  h  x   x , y   y


(2.48)
Если размеры области предмета меньше изопланатической зоны,
то для моделирования формирования изображения вместо
выражения (2.47) можно использовать выражение (2.45)
2.8. Описание свойств
освещаемых предметов
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Комплексное пропускание
предмета
Предмет ослабляет амплитуду падающего на него света, и может
изменять его фазу. Для описания влияния предмета используется


при изучении света отражённого от предмета – функция отражения
при изучении света прошедшего сквозь предмет – функция пропускания
Комплексное пропускание предмета полностью описывает действие
предмета на проходящее или отражённое поле


если предмет считать бесконечно тонким
влияние предмета на прошедшее поле можно описать отношением к.а. поля после
прохождения предмета и к.а. поля, падающего на предмет:


T  x , y  
U o  x , y 
U  x , y
(2.49)
комплексное пропускание предмета в экспоненциальном виде:

 

T  x , y    x , y  e


где
i  x , y 
  x , y   T  x , y 
– функция амплитудного пропускания предмета
  x , y   argT  x , y  – функция изменения фазы на предмете
(2.50)
Амплитудный предмет
Амплитудный предмет представляет собой
бесконечно тонкий экран, который изменяет только
амплитуду падающей волны, не изменяя её фазу
  x , y   0
При этом амплитуда поля


в одних областях предмета не меняется
(свет проходит как сквозь отверстие)
после прохождения других областей уменьшается до 0
(предмет действует как непрозрачный экран)
Фазовый предмет
Фазовые предметы изменяют только фазу падающей волны, а
амплитуду оставляют неизменной   x , y  1



например, если предмет представляет собой слоистую структуру с разными
показателями преломления, то проходящее его поле из-за разности оптических путей
приобретает разность фаз Δ
no
n1
1
1
2
2
n2
n
d
d
разность фаз в проходящем свете
Δ  1   2  kd n2  n1 
разность фаз в отраженном свете
Δ  1   2  2kdn
Амплитудно-фазовый предмет
В общем случае, предмет является амплитудно-фазовым

представляет собой сложную структуру, в разных точках изменяет и
амплитуду, и фазу падающей волны
Влияние предмета на проходящее поле описывает функция
комплексного пропускания (отражения) предмета:
(2.51)
U  ,  U  ,  T  ,


x
y

o

x
y
 
x
y

влияние предмета на проходящее поле описывается с использованием
геометрического приближения
 справедливо только при соблюдении требования о том, что амплитуда поля и
амплитудное пропускание предмета не должны иметь резких изменений, размеры
которых сравнимы с длиной волны
 в большинстве случаев это требование выполняется
2.9. Определение когерентных
свойств освещения
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Когерентность
Если расстояние между отдельными излучателями источника мало по
сравнению со средней длиной волны    /   квазимонохроматического
излучения, то световые возмущения, создаваемые ими на
изображении, будут коррелировать в области перекрывающихся пятен
рассеяния

протяжённый источник не монохроматический, но свет, исходящий от отдельных
излучателей (точек) большинства реальных источников, можно считать
квазимонохроматическим
Световые возмущения, которые создаются на изображении
излучателями источника расположенными на расстоянии гораздо
большем средней длины волны, коррелировать не будут.


в интенсивность изображения предметов, освещаемых протяжённым источником,
вносится как когерентный, так и некогерентный вклад
для оценки и учёта этого вклада необходимо определить характеристики
когерентности волн, дошедших от источника до изображения
Характеристики когерентных
свойств освещения
Взаимная интенсивность J12 описывает корреляцию
колебаний и в двух произвольных точках U1 и U2 зависит
только от их взаимного положения:
J12 r1 , r2   U1 r1 , t   U*2 r2 , t 
(2.52)
Комплексная степень когерентности - нормированная
взаимная интенсивность (приведённая к диапазону от 0 до 1):
J12 r1 , r2 
(2.53)
12 r1 , r2  
I1 r1   I 2 r2 

где I1 r1  и I 2 r2  – интенсивность в рассматриваемых точках
Определение когерентных
свойств освещения
Рассмотрим взаимную интенсивность для точек Р1 и Р2 на поверхности
Sp, освещаемой протяжённым квазимонохроматическим источником 
с плоской поверхностью и яркостью
B rS 
 некогерентный источник
y'
разделяется на элементы dS с
размерами, малыми по сравнению
со средней длиной волны
P1
y
B(rS)
rP1
x
rS

S
r1
r2
dS
P2
rP2
SP

x'

световые колебания, создаваемые
различными элементами dS, можно
считать взаимно некогерентными
общее возмущение, возникающее в
точках на поверхности Sp,
определяется суммой всех
возмущений, обусловленных
каждым элементом источника
Теорема
Ван-Циттерта – Цернике
Элемент источника dS заменяется дифракционным отверстием
такого же размера и формы, которое заполняется сферической
волной
Взаимная интенсивность на поверхности SP определяется как
интеграл по поверхности источника:
(2.54)
e  ik r1  r2 


J12 rP1 , rP2   BrS  



r1r2
dS
где k  2 
r1 и r2 расстояния между точкой S источника и точками P1 и P2
Для выполнения нормировки необходимо определить значения
интенсивности в точках P1 и P2:
(2.55)
BrS 
I rP   J12 rP , rP    2 dS
 r
Взаимная интенсивность
Взаимная интенсивность зависит только от разности координат
 Δx, Δy между рассматриваемыми точками и определяется
преобразованием Фурье функции распределения яркости на
источнике B(x,y):

если линейные размеры источника и расстояние между точками мало по
сравнению с расстоянием от этих точек до источника
J12  Δx, Δy   c0
 

 ik  xΔx   yΔy  


B
x
,
y

e
dxdy

 
вывод – посмотреть самостоятельно
(2.57)
Комплексная степень
когерентности
Модуль комплексной степени когерентности:

нормированное преобразование Фурье от функции распределения
яркости по источнику
 
  B  x, y   e
12  Δx, Δy     
 ik  xΔx   yΔy  
dxdy
(2.58)
 
  Bx, y dxdy
 
Фазой комплексной степени когерентности можно
пренебречь
arg12  Δx, Δy  k  r1  r2 
 т.к. при сделанных допущениях разность расстояний от точек P1, P2 до
источника возмущения r  r  
1
2


Распределение яркости по
источнику
Взаимная интенсивность и степень когерентности света,
пришедшего от протяжённого некогерентного
квазимонохроматического источника, определяется размерами,
формой и распределением яркости по источнику:


размеры источника совсем невелики (точечный источник),
яркость на источнике B x, y     x, y 
 степень когерентности для любой пары точек P1 и P2 постоянна
то есть освещение поверхности Sp является когерентным
 12  Δx, Δy  1
источник протяжённый, яркость по источнику постоянна B x, y   const 
 степень когерентности резко падает даже при небольшом удалении
пары точек P1 и P2, есть освещение является некогерентным
 12 Δx, Δy   Δx, Δy
В общем случае степень когерентности заметно изменяется в
пределах рассматриваемой области

частично-когерентное освещение
Взаимная интенсивность на входной
поверхности осветительной о.с.
Осветительная система используется для получения
достаточной и равномерной освещённости предмета
Взаимная интенсивность на входной поверхности
осветительной о.с. :


в канонических координатах - преобразование Фурье функции
распределения яркости по источнику:
 
   B x , y  e  2i Δ
J12  x1 ,  x 2 ,  y1 ,  y 2 
x
 
y
 y Δ y 
d x d y (2.59)
Взаимная интенсивность на
выходной поверхности
По определению взаимная интенсивность представляет собой
произведение комплексных амплитуд U1  x1 ,  y1  U 2*  x2 ,  y 2  .
Рассмотрим распространение этих комплексных амплитуд
через о.с.
Взаимная интенсивность на выходной поверхности:



 U 2*  x
 

,  y   f 2*  x , y ,  x ,  y 
  x1 ,  y1 ,  x 2 ,  y 2  U1  x1 ,  y1  f1  x , y ,  x1 ,  y1 
J12




2
2
2

(2.61)
2

где f1  x , y ,  x1 ,  y1 и f 2  x , y ,  x 2 ,  y 2
– функции комплексного
пропускания (зрачковые функции)
описывают влияние оптической системы на поля U1  x1 ,  y1 U 2  x 2 ,  y 2
обусловленные возмущением в точке  x , y источника






Комплексная степень когерентности
на выходной поверхности
Комплексная степень когерентности на выходной поверхности :
  x1 ,  y1 ,  x 2 ,  y 2   12  x1 ,  y1 ,  x 2 ,  y 2 
12
e

 

(2.63)
 ik E1  x , y ,  x1 ,  y1  E 2  x , y ,  x 2 ,  y 2 
степень когерентности для любых двух точек выходной поверхности равна
степени когерентности сопряжённых точек входной поверхности, а фаза
комплексной степени когерентности отличается на разность эйконалов
вывод посмотреть самостоятельно
Степень когерентности на
изображении

В типовых условиях некогерентный квазимонохроматический источник
 будет когерентно освещать на выходном зрачке площадки, размеры которых
малы по сравнению с самим зрачком
 то есть в целом выходной зрачок освещается некогерентно

комплексная степень когерентности для пары точек в плоскости
изображения будет совпадать со степенью когерентности, обусловленной
некогерентным источником


расположенным там же, где и выходной зрачок
обладающий тем же размерами, формой и распределением яркости
Тогда степень когерентности на изображении:

аналогично (2.58), но вместо распределения яркости по источнику распределение интенсивности на выходном зрачке
 
12 Δ x , Δ y  
  
 

I   x ,  y  e
 
 ik  x Δ x   y Δ y 
  I  x ,  y d x d y
 
d x d y
(2.64)
Определение степени
когерентности

Распределение интенсивности на выходном зрачке I   x ,  y
рассчитывается по (2.61).

Степень когерентности на поверхности изображения не зависит
от аберраций оптической системы, формирующей изображение
источника

т.к. в (2.61) не входит фаза зрачковой функции
Полученную степень когерентности можно использовать при
определении итогового распределения интенсивности на
изображении в соответствии с законом интерференции (1.21)
Критическое освещение
Критическое освещение


используется, если некогерентный источник относительно
однороден
осветительная о.с. (конденсор) формирует изображение источника
в плоскости объекта
n'c
n
o
c
Источник
Конденсор
Предмет
Изображающая
система
Изображение
Освещение по Келеру
Освещение по Кёлеру


используют, когда некогерентный источник неоднороден
конденсор формирует изображение источника в плоскости входного зрачка
изображающей системы или на бесконечном расстоянии от объекта
 неравномерность в распределении яркости по источнику не вызывает
неравномерности в освещённости поверхности предмета.


Источник
Конденсор
Предмет
Изображающая
система
Изображение
Эквивалентный источник
Реальный источник и конденсор можно заменить
эквивалентным источником:


расположен в выходном зрачке конденсора
имеет соответствующую форму, размеры и распределение яркости
Канонические координаты на эквивалентном
источнике:



выходные зрачковые координаты конденсора
в масштабе входных зрачковых координат изображающей системы
px

x  x 
Ax
 y   y 
p y
(2.65)
Ay
где Ax и Ay – передние обобщённые апертуры изображающей
системы
Степень когерентности на
поверхности освещаемого предмета
Степень когерентности на поверхности освещаемого предмета:
 
  
12 Δ x , Δ y      




Bc  x ,  y  e
 ik  x Δ x   y Δ y 
d x d y
 
  Bc  x , y d x d y
 
где Bc  x ,  y – эквивалентное распределение яркости в
выходном зрачке конденсора.
(2.66)
Формирование изображения
предмета из двух точек
Предмет представляет собой два точечных
отверстия с координатами  x1 , y1  и  x2 , y 2 

предмет можно описать как сумму двух смещённых δ-функций

если отверстия находятся в пределах изопланатической зоны
 изображение каждого из них описывается одинаковыми, но
смещёнными ФРТ
 распределение интенсивности на изображении определяется как
I r   I1 r   I 2 r   2 I1 r   I 2 r   12  cosψ12  ψ 

используется схема критического освещения
 конденсор - центрированная о.с. с круглым выходным зрачком r = 1
 распределение интенсивности в области зрачка равномерно


Bc  x ,  y  circ 
   x2   y2
.
Формирование изображения
предмета из двух точек
Комплексная степень когерентности света, достигающего
отверстий в плоскости предмета:

(из выражения 2.66)
J1 2Δ c 

12  Δ c   2 
Δ c

1

где J1 – функция Бесселя 1-го порядка

Δ c 
 x
1
  x 2
2   y
1
  y 2
(2.67)
2 – радиальная разность в системе канонических
координат на изображении, формируемом конденсором
 связана с предметными каноническими координатами изображающей системы:
Ac
 c   
 
Ao

где
A’c– задняя обобщённая апертура конденсора

A’0
– передняя обобщённая апертура изображающей системы
(2.68)
Формирование изображения
предмета из двух точек
Тогда итоговое распределение интенсивности:
 

 

I   x , y  h  x   x1 , y   y1  h  x   x 2 , y   y 2 


2

2

(2.69)
J1 2Δ   
 h  x   x1 , y   y1  h  x   x 2 , y   y 2
Δ  




выходной зрачок конденсора намного меньше входного зрачка
изображающей системы
 эквивалентный источник может считаться точечным   0
J1 2Δ     2 Δ    1
 имеем когерентную суперпозицию, освещение считается когерентным
 изображающая система формирует когерентное изображение

выходной зрачок конденсора равен или больше входного зрачка
изображающей системы   1
 третье слагаемое в выражении (2.69) равно 0.
 освещение можно считать некогерентным
 изображающая оптическая система формирует некогерентное изображение

В остальных случаях необходимо рассматривать промежуточные свойства
освещения и формирование частично когерентного изображения
Коэффициент когерентности
Коэффициент когерентности (коэффициентом
заполнения зрачка) σ
 часто используется в качестве характеристики когерентных свойств
освещения

при критическом освещении определяется соотношением числовых
апертур конденсора и изображающей системы:
  nc  sin  c  n  sin  o 

в схеме освещения по Кёлеру определяется соотношением
размеров изображения источника и зрачка:
  
Моделирование формирования изображений
предметов, освещаемых протяжённым
квазимонохроматическим источником
Таким образом, для моделирования формирования
изображений предметов, освещаемых протяжённым
квазимонохроматическим источником, необходимо:



определить степень когерентности каждой пары точек на предмете
рассмотреть распространение волн от каждой пары до изображения
итоговое распределение интенсивности на изображении определяется как
сумма интенсивностей изображения каждой пары точек предмета
Когда источник и предмет имеют произвольную форму и
размеры, а оптическая система не является идеальной

такой подход является весьма трудоёмким и мало пригодным для
эффективной численной реализации
2.10. Формирование изображений
предметов
в проходящем свете
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Метод интегрирования по
источнику


метод обладает высокой эффективностью при численной реализации,
обеспечивает универсальность и адекватность при моделировании
в основу метода положено понятие эффективного источника
Рассмотрим подынтегральную часть выражения (2.59) в случае
освещения предмета эквивалентным источником:
(2.70)
2i  y  x  y  y 
2i  y  x  y  y 


Bc  x , y d x d y  e



 Bc  e
освещение на поверхности предмета создаётся угловым спектром
отдельных когерентных волн, исходящих от отдельных областей источника
с постоянной амплитудой Bc, пропорциональной их площади и яркости
источника
любые физически реализуемые условия освещения на плоскости предмета
можно создать эффективным источником, представляющим собой
совокупность точек, каждая из которых создаёт полностью когерентное
освещение предмета, а оптическая система – соответствующее ему
когерентное изображение
итоговое изображение можно найти как суперпозицию изображений,
полученных при освещении предмета отдельными точками эффективного
источника
Исходные данные для
моделирования
функция распределения яркости по эквивалентному источнику


описывает форму и размеры источника
описывает распределение яркости по поверхности источника
функция комплексного пропускания предмета (2.50)

описывает амплитудное и фазовое пропускание предмета.
зрачковая функция (2.26)

описывает влияние оптической системы на проходящее поле
Модель формирования
изображения в проходящем свете
Представим функцию распределения яркости в виде
совокупности δ-функций, каждая из которых
соответствует отдельной точке источника:
 
(2.71)

   Bc  sx , sy    x   sx , y   sy d sx d sy
Bc  x ,  y 

  



,

где sx sy – величина смещения относительно начала
канонической системы координат на эквивалентном источнике.
От отдельной точки  sx ,  sy  источника на предмет
падает наклонная плоская волна с комплексной
амплитудой:




U o  x , y  Bc  sx , sy  e
2i  x  s x  y  s y 
(2.72)
Модель формирования
изображения в проходящем свете
Комплексная амплитуда поля за предметом:
U  x , y  U o  x , y  T  x , y 



 


 Bc  sx , sy  e

2i  x  s x  y  s y 

(2.73)
 T  x , y

Комплексная амплитуда поля на входной поверхности:



 
 2i   
~
 Bc  sx , sy  T  x  sx ,  y  sy 
U  x ,  y  F T  x , y  Bc  sx , sy  e
x sx
y sy


(2.74)
Модель формирования
изображения в проходящем свете
Комплексная амплитуда поля на поверхности
изображения:

 
 

 
 

U   x , y  F 1 U  x ,  y  f  x ,  y 
(2.75)
~
 F 1 Bc  sx ,  sy  T  x  s x ,  y  s y  f  x ,  y

 
Интенсивность изображения, полученного от
отдельной точки источника с координатами  sx ,  sy :


I   sx ,  sy , x , y  F
1
Bc  sx , sy  
 
~
 T  x  sx ,  y  sy  f  x ,  y

2
(2.76)
Метод интегрирования
по источнику
Распределение интенсивности на изображении,
полученном от источника произвольной формы
сумма интенсивностей изображений, полученных от каждой точки
источника


 
   Bc  sx , sy   I  sx , sy , x , y d sx d sy (2.77)
I   x , y 
 
Когерентное освещение
Эквивалентный источник является практически
точечным


 
распределение яркости по источнику Bc  x ,  y    x ,  y

Распределение интенсивности на изображении:
2
(2.78)
1


I   x , y  F

F T  x , y  f  x ,  y 
аналогично выражению для светящегося предмета (2.36)
 к.а. поля = функция комплексного пропускания предмета

оптическая система линейна по амплитуде
Некогерентное освещение
Размеры эквивалентного источника гораздо больше зрачка
изображающей системы

распределение яркости по источнику Bc  x ,  y  const


Распределение интенсивности на изображении:

 
 
I   x , y  I  x , y  h  x , y



(2.83)
взаимно некогерентные точечные источники, составляющие протяжённый
источник, дают в итоге некогерентное изображение, которое представляет
собой сумму интенсивностей изображений, полученных освещением
каждым точечным источником
аналогично выражению (2.45)
вывод посмотреть самостоятельно
Математическая модель формирования
некогерентного изображения
Математическую модель формирования некогерентного изображения
можно записать в виде выражения с четырьмя преобразованиями
Фурье:


1 

I   x , y  F  F  T  x , y
 



 F  F 1 f  x ,  y
 
2

2 
  (2.84)
Таким образом, при некогерентном освещении оптическая система линейна
относительно интенсивности
когерентное
освещение
некогерентное
освещение
частично когерентное
освещение
Изображение полуплоскости
при различном освещении
….......
когерентное освещение
_____
некогерентное освещение
-------частично когерентное освещение
I
x

когерентное освещение


некогерентное освещение


резко выражены осцилляции интенсивности на светлой части изображения
распределение интенсивности изменяется плавно
частично когерентное освещение
на границе светлой и темной частей изображения наблюдается резкий максимум, как в случае
когерентного освещения
 на остальной части изображения интенсивность меняется плавно, как в случае некогерентного
освещения

2.11. Алгоритмы моделирования
формирования оптических
изображений
Моделирование формирования оптического изображения
кафедра ПиКО
Начальный этап численной
реализации
Выбор алгоритма:



алгоритм для самосветящихся предметов
алгоритм для освещаемых предметов
в зависимости от коэффициент когерентности σ:
 в предельном случае когерентного освещения
можно использовать
  0
упрощённый алгоритм (2.78)
 в предельном случае некогерентного освещения
можно использовать
упрощённый алгоритм (2.84)
  1
 в остальных случаях – метод интегрирования по источнику
Входные данные для моделирования:
B x ,  y  – функция, описывающая форму, размеры и распределение



.
яркости по источнику;
T  x , y – функция, описывающая форму, размеры и комплексное
пропускание предмета;
f  x ,  y – зрачковая функция, описывающая влияние оптической
системы на комплексную амплитуду проходящего поля




Моделирование формирования
изображения самосветящегося
предмета
Вычисление фурье-образа квадрата распределения яркости по
источнику:
~
(2.85)
B  ,   F B 2  ,

x
y
  
x
y

Вычисление фурье-образа функции рассеяния точки:
2
~

1
h x,  y  F  F f x,  y 






(2.86)
Вычисление фурье-образа распределения интенсивности на
изображении:
~
~
~
(2.87)



I x ,  y  B x ,  y  h x ,  y

 
 

Вычисление распределения интенсивности на изображении:
~
(2.88)
I   x , y  F 1 I   x ,  y




Моделирование формирования
изображения освещаемого предмета
Представление источника в виде совокупности точек:
 
B ,   
B ,       ,    d d (2.89)
x
 
y
sx
sy
x
sx
y
sy
sx
sy
  

Выделение наклонной плоской волны, падающей на предмет от
отдельной точки  sx ,  sy :


 


U o  x , y  B  sx , sy  e

2i  x  s x  y  s y 
Прохождение поля через предмет:



 
U  x , y  U o  x , y  T  x , y

.
(2.90)

(2.91)
Дифракционное распространение поля в пространстве предметов:

  
U  x ,  y  F U  x , y

(2.92)
Моделирование формирования
изображения освещаемого предмета
Распространение поля через оптическую систему:




 
U   x ,  y  U  x ,  y  f  x ,  y

(2.93)
Дифракционное распространение поля в пр-ве изображений:



 
U   x , y  F 1 U   x ,  y

(2.94)
Распределение интенсивности на изображении, полученное от
одной точки источника:




I   sx , sy , x , y  U   x , y

2
(2.95)
Интегрирование изображений, полученных при
освещении от каждой точки источника:
 
(2.96)
  

 

   B sx , sy   I  sx , sy , x , y d sx d sy
I  x , y 
 
Моделирование формирования
изображения при когерентном
освещении
Дифракционное распространение поля от предмета до о.с.:
U  x ,  y  F T  x , y
(2.97)
 


Распространение поля через оптическую систему:
U   x ,  y  U  x ,  y  f  x ,  y
(2.98)



 

Дифракционное распространение поля в пр-ве изображений:
(2.99)
U   x , y  F 1 U   x ,  y

 


Вычисление распределения интенсивности на изображении:
(2.100)
2



I   x , y  U   x , y

Моделирование формирования
изображения при некогерентном
освещении
Вычисление фурье-образа распределения интенсивности на
предмете:
2
~
(2.101)
I  ,   F  T  , 

x

y


x
y


Вычисление фурье-образа функции рассеяния точки:
2
~

1
(2.102)
h x,  y  F  F f x,  y 






Вычисление фурье-образа распределения интенсивности на
изображении:
~
~
~
(2.103)
I   ,   B  ,   h  , 

x
y
 
x
y
 
x
y

Вычисление распределения интенсивности на изображении:
~
(2.104)
I    ,   F 1 I    ,  

x
y


x
y

Выводы
Cтрогая модель формирования изображения должна учитывать
действие всех диафрагм и экранов в оптической системе, и
рассматривать распространение поля как ряд
последовательных дифракций на каждом препятствии
Для получения универсальных и практически полезных
выражений используются упрощённые модели

модель с апертурной диафрагмой:
 дифракционное распространение поля от предмета до входной поверхности и от
выходной поверхности до изображения в канонических координатах описывается
прямым и обратным преобразованием Фурье
 для описания распространение поля от входной до выходной поверхности
оптической системы используется геометрический подход.
 зрачковая функция описывает ограничение и ослабление поля, и изменение
фазы из-за аберраций.
 дифракция в этой модели вынесена за пределы оптической системы.
Выводы
Светящиеся предметы

отдельные источники, составляющие протяжённый источник,
являются взаимно некогерентными и дают в итоге некогерентное
изображение, которое представляет собой сумму интенсивностей
изображений каждой точки
Освещаемые предметы


источник и осветительную оптическую систему можно заменить
эквивалентным источником, которые размещен в выходном зрачке
осветителя
для моделирования необходимо сформировать
 функцию распределения яркости по источнику
 функцию комплексного пропускания (отражения) предмета
 зрачковую функцию, описывающую действие оптической системы.
Выводы
Метод интегрирования по источнику.


Источник представляется в виде совокупности точек, каждая из
которых создает полностью когерентное освещение предмета, а
оптическая система – соответствующее ему когерентное
изображение.
Итоговое изображение – суперпозиция изображений, полученных
при освещении предмета отдельными точками эффективного
источника.
В предельных случаях когерентного и некогерентного
освещения


для моделирования формирования изображения можно
пользоваться упрощёнными алгоритмами вычислений.
При когерентном освещении оптическая система линейна по
амплитуде, а при некогерентном освещении – по интенсивности