Векторная алгебра. Решение задач оптимизации

НОЦ “БАЗОВОЕ ОБРАЗОВАНИЕ"
ИНФОРМАТИКА
Модуль 2. Прикладное программное обеспечение.
Microsoft Excel.
Екатеринбург 2008
Лекция 1
Векторная алгебра
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
3
Цель лекции
Научиться различными способами создавать
вектора и матрицы
Познакомится с основными векторно-матричными
операциями
Научится решать системы линейных уравнений
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
4
Векторная алгебра
вектор – набор соседних ячеек, расположенных по
вертикали или по горизонтали. Количество ячеек
определяет длину вектора. Все ячейки должны быть
заполнены числовыми данными.
матрица – набор соседних ячеек, расположенных в n
строках и m столбцах. Тогда можно говорить о
матрице размером nxm. Все ячейки должны быть
заполнены числовыми данными.
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
5
Векторная алгебра
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
6
Операции над векторами
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
7
Матричные операции.
Сложение или вычитание матриц;
Умножение матрицы на скаляр;
Умножение матрицы на вектор;
Перемножение 2-х матриц;
Нахождение определителя матрицы;
Нахождение обратной матрицы.
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
8
Матричные операции.
Умножение матрицы на вектор
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
9
Матричные операции.
Перемножение двух матриц
Выделить нужный диапазон, начиная с ячейки, содержащей
формулу, нажмите клавишу F2, а затем нажмите клавиши
CTRL+SHIFT+ENTER.
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
10
Матричные операции.
Поиск определителя матрицы
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
11
Матричные операции.
Нахождение обратной матрицы. и проверка результатов
Выделить нужный диапазон, начиная с ячейки, содержащей
формулу, нажмите клавишу F2, а затем нажмите клавиши
CTRL+SHIFT+ENTER.
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
12
Решение систем линейных уравнений.
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
 a11 a12
a x  a x  ...  a x  b

21
1
22
2
2
n
n
2

 a21 a22
.....

A

x

b
,
ãäå
A


 ... ...
a x  a x  ...  a x  b

n1 1
n2 2
nn n
n
a

 n1 an 2

1
x  A b
... a1n 
 x1 
 b1 

 
 
... a2 n 
 x2 
 b2 
,
x

,
b

 ... 
 ... 
... ... 

 
 



b 
... ann 
 xn 
 n
- Решение системы
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
13
Решение систем линейных уравнений.
 x1  2 x 2  x3  1
2 x  x  3 x  x  0
4
3
2
 1
 x 2  x3  x 4  2
2 x  2 x  x  1
3
2
1


Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
14
Решение систем линейных уравнений.
Описать все необходимые данные в табличном
редакторе Microsoft Excel;
Проанализировать, существует ли решение системы;
Найти матрицу, обратную к данной;
Найти решение системы;
Проверим, является ли найдено решение
правильным.
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
15
Решение систем линейных уравнений.
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
16
Решение систем линейных уравнений.
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
17
Лекция 2
Решение задач оптимизации.
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
18
Цель лекции
Научиться находить локальные и глобальные
минимумы функции
Научиться решать задачи линейного
программирования
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
19
Поиск минимума функции одной
переменной
Провести векторизацию аргумента с каким-нибудь
начальным шагом;
Построить массив значений функции;
Построить график функции на этом интервале;
Проанализировать, на каких именно интервалах
лежат точки локального минимума функции;
Найти все локальные минимумы функции,
принадлежащие заданному интервалу, с помощью
функции МИН;
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
20
Поиск минимума функции одной
переменной
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
21
Поиск минимума функции одной
переменной
Проведем дискретизацию аргумента с шагом 0.1, а также
построим массив значений функции в этих узловых точках. По
полученному массиву значений построим график функции:
График функции
60
50
40
30
20
10
1
0.
6
2
-0
.
0.
2
6
4
-1
.
-0
.
8
-1
.
-1
2
-2
.
4
-3
.
6
8
-3
.
-2
.
2
-4
.
-3
6
-5
-10
-4
.
0
-20
-30
-40
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
22
Поиск минимума функции одной
переменной
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
23
Линейное программирование.
Min f(x)
при ограничениях
A*x < b;
Aeq*x = beq;
Lb < х < Ub,
где х — вектор оптимизируемых параметров, f(x) — линейная
целевая функция (критерий) векторного аргумента. A, Aeq –
некоторые матрицы, которые отвечают за условия на аргумент
x, b beq – соответствующие вектора, Lb и Ub – вектора
размерности n, описывающие область в которой проводится
минимизация целевой функции.
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
24
Линейное программирование.
Описать коэффициенты целевой функции, задать
некоторые начальные значения аргументов xi;
Задать формулу, описывающую целевую функцию;
Записать все ограничения на аргументы xi.;
Применить процедуру «поиск решения»;
Вывести результат на экран.
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
25
Линейное программирование.
f ( x)  2 x1 3x2  4 x3  x4
2 x1  x2  x3  x4 10
x1  2 x2  2 x3  x 4  5
3 x1  2 x 2  3 x3  x4  20
x1  0 , x 2  0 , x3  0 , x4  0 ,
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
26
Линейное программирование.
Заполнение необходимых данных
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
27
Линейное программирование.
Процедура поиск решения
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
28
Линейное программирование.
Полученное решение
Информатика. Модуль 2. Прикладное программное обеспечение. Системы редактирования и подготовки документов
(Электронные таблицы Microsoft Excel)
29