математика-11-кл.-задание-1-2012

Математика 11 класс
И.В.Карпова, зав.кафедрой математики ДВГГУ
Системы иррациональных, логарифмических и показательных уравнений
Традиционно в контрольные измерительные материалы для проведения
единого государственного экзамена по математике
включаются задачи
позволяющие проверить
умения выпускников решать различные системы
уравнений. Как правило, это системы из двух уравнений с двумя переменными.
Уравнения, входящие в систему могут быть как алгебраическими, в том числе
иррациональными, так и трансцендентными. В рамках этой статьи рассмотрим
основные методы решения систем с двумя переменными иррациональных,
логарифмических и показательных уравнений.
Прежде чем непосредственно переходить к методам решения систем
уравнений напомним основные определения и свойства различных функций,
которые могут входить в уравнения системы.
Напомним, что два уравнения с двумя неизвестными образуют систему
уравнений, если ставится задача о нахождении таких значений переменных,
которые являются решениями каждого из уравнений.
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется
упорядоченная пара чисел, при подстановке которых в систему вместо
соответствующих переменных, получаются верные числовые равенства.
Решить систему уравнений – означает найти все ее решения.
Процесс решения системы уравнений, как и процесс решения уравнения,
состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от
данной системы к более простой. Обычно пользуются преобразованиями, которые
приводят к равносильной системе, в этом случае не требуется проверка найденных
решений. Если же были использованы неравносильные преобразования, то
обязательна проверка найденных решений.
Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится
под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.
Следует отметить, что
1. Все корни четной степени, входящие в уравнения, являются
арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение
отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно
нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение
положительно, то и значение корня положительно.
2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом
действительном значении подкоренного выражения. При этом корень
отрицателен, если подкоренной выражение отрицательно; равен нулю, если
подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное
выражение положительно.
Функции y = 2 n x и y = 2n1 x являются возрастающими на своей области
определения.
При решении систем иррациональных уравнений используются два
основных метода: 1) возведение обеих частей уравнений в одну и туже степень; 2)
введение новых переменных.
При решении систем иррациональных уравнений первым методом следует
помнить, что при возведении обеих частей уравнения, содержащего корни четной
степени, в одну и туже степень, получается уравнение, которое является
следствием первоначального, в связи с этим, в процессе решения могут появиться
посторонние корни. При решении иррациональных уравнений часто используется


n
формула n f ( x) = f(x), применение которой в случае четного n может привести к
расширению области определения уравнения. По этим (и по другим) причинам при
решении иррациональных уравнений в большинстве случаев необходима проверка
найденных решений.
Рассмотрим примеры решения систем иррациональных уравнений
различными методами.
2 x  y  4 x  2 y  4
Пример 1. Решить систему уравнений 
8 ( x  y ) 4 ( x  2 y ) 2  2
Решение. Чтобы избавиться от иррациональности введем новые переменные.
u  x  y
Пусть 
v  4 x  2 y
……………………… (1),
2u  v  4
. Решая полученную
uv  2
систему, например методом подстановки находим: u  1; v  2 . Подставим
тогда первоначальная система примет вид: 
найденные значения в систему (1), получим:
1  x  y
. Возведя обе части

2  4 x  2 y
первого уравнения в квадрат, второго – в четвертую степень, получим систему:
1  x  y
, откуда находим: x  6; y  5

16  x  2 y
Нетрудно убедиться в том, что найденное решение последней системы
является решением исходной системы.
Ответ: (6; 5)

 7x  y  x  y  y
Пример 2. Решить систему уравнений 

 x  y  7x  2
Решение. 1. Из второго уравнения системы
Подставим в первое уравнение системы вместо
получим:
7x  y  2  7x  y
или
имеем:
x  y  2  7x .
x  y правую часть равенства,
7 x  y  7 x  y  2 ………………………..(2).
Введем новую переменную: положим
7 x  y  u …………………….(3) и
подставим в уравнение (2), получим квадратное уравнение от переменной u :
u 2  u  2  0 . Находим корни этого уравнения, например, по теореме Виета:
u1  2; u2  1. Корень u2  1 является посторонним, так как через u обозначили
арифметический корень. Подставим, u1  2 в (3), получим 7 x  y  2 . Возведем
обе части уравнения в квадрат и выразим y : y  4  7 x .
Подставим, полученное выражение во второе уравнение первоначальной
системы: x  4  7 x  2  7 x   6 x  4  2  7 x . Возведем обе части полученного
уравнения в квадрат, при этом, чтобы не расширить область допустимых значений
2
………………………………(4).
7
22
.
 6 x  4  4  28x  49 x 2  49 x 2  22 x  0  x(49 x  22)  0  x1  0 ; x2 
49
22
В силу (4) корень x2 
является посторонним.
49
Найдем значение у при x1  0 : y  4  7  0  4 .
полученного уравнения, потребуем, чтобы x 
Нетрудно убедиться в том,
первоначальной системы уравнений.
Ответ: (0; 4)
что
пара
(0;
4)
является
решением
2
2

 2 y  2 xy  x  25  y  x,
Пример 3. Решить систему уравнений: 
2

 x  4 xy  100  0
Решение. 1. Заметим, что правая часть первого уравнения должна быть
неотрицательной, т.е. y  x .
2. Возведем обе части первого уравнения в квадрат, получим уравнение:
 y 2  25  0
. Из
2 y 2  2 xy  x 2  25  y 2  2 xy  x 2 . Тогда система примет вид:  2
 x  4 xy  100  0
первого уравнения системы находим значения y  5 . Подставим их во второе
уравнение и найдем значения переменной x :
y5
x 2  20 x  100  0 
x  10 .Так как найденные значения не
удовлетворяют неравенству y  x , пара (10; 5) не является решением
первоначальной системы.
y  5  x 2  20 x  100  0  x  10 .Эта пара значений удовлетворяет
неравенству y  x . Нетрудно убедиться в том, что найденная пара чисел является
решением первоначальной системы.
Ответ: (-10; -5)
Для успешного решения показательных и логарифмических систем
уравнений, вспомним определение и свойства логарифма.
Логарифмом числа b по основанию а, называется показатель степени, в
которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Основные свойства логарифмов:
1) a log b  b ;
6) log a b m  m  log a b ;
a
2) log a a m  m ;
3) log a (b  c)  log a b  log a c ;
b
c
1
5) log a   =  log a c ;
c
4) log a   = log a b  log a c ;
1
n
log c b
8) log a b 
.
log c a
7) log a b   log a b ;
n
9) log a b  log b a  1
Перечислим основные свойства показательной и логарифмической функций:
Область определения функции у  a x , где a  0, a  1 - всё множество
действительных чисел; функции y  log a x , где a  0, a  1 - множество
положительных действительных чисел.
2) Множество значений функции у  a x - множество положительных
действительных чисел; функции y  log a x - всё множество действительных
чисел.
3) Промежутки монотонности: если a  1 обе функции возрастают; если
0  a  1 - обе функции убывают.
Замечание. В соответствии со вторым свойством, при решении
логарифмических уравнений необходимо либо выяснять область допустимых
значений уравнения, либо после решения делать проверку.
1)
Показательным называется трансцендентное уравнение, в котором
неизвестное входит в показатель степени некоторых величин. При решении
показательных уравнений используются два основных метода:
1) переход от уравнения a f ( x )  b g ( x ) ……….(1) к уравнению f ( x)  g ( x) ;
2) введение новых переменных.
Иногда приходится применять искусственные приемы.
Первый метод решения показательных уравнений основан на следующей
теореме:
Если a  0, a  1 , то уравнение a f ( x )  b g ( x ) равносильно уравнению f ( x)  g ( x) .
Перечислим основные приемы сведения показательного уравнения к
уравнению вида (1).
1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию.
2. Логарифмирование обеих частей уравнения (если они строго
положительные) по одинаковому основанию.
Замечание. Логарифмировать можно, вообще говоря, по любому основанию,
но обычно логарифмируют по одному из оснований степеней, входящих в
уравнение.
3. Разложение левой части уравнения на множители и сведение уравнения к
совокупности нескольких уравнений вида (1).
Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором
неизвестное входит в аргумент логарифма.
При решении логарифмических уравнений используются два основных
метода:
1) переход от уравнения log a f ( x)  log a g ( x) к уравнению вида f ( x)  g ( x) ;
2) введение новых переменных.
Замечание. Так как область определения логарифмической функции только
множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических
уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения
(ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку.
Решение простейшего логарифмического уравнения вида
log a x  b; a  0, a  1 ……(1)
основано на следующем важном свойстве логарифмов:
логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же
положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда,
когда равны эти числа.
Для уравнения (1) из этого свойства получаем: x  a b
единственный
корень.
Для уравнения вида
log a f ( x)  b; a  0, a  1 …………..(2)
получаем равносильное уравнение f ( x)  a b .
Пример 4. Найдите значение выражения x  2 y , если пара x, y  является
log 1 x  3 log 3 y  1

решением системы уравнений  3
.
log 3 9 x  log 1 y  3
3

Решение. 1. Исходя из области определения логарифмической функции
получаем требования x  0, y  0 .
2. Так как уравнения системы содержат логарифмы по двум разным
основаниям,
перейдем
к
одному
основанию
3:
 log 3 x  log 3 y 3  1
.

log 3 9 x  log 3 y  3
Воспользовавшись свойствами логарифмов, получим систему:

y3
log 3 x  1

log 3 9 x  3
y

.
 y3
 x  3
x  3 y
По определению логарифма имеем: 
. Из второго уравнения
 2
y  9
 9 x  27
 y
системы получаем значения y  3 . Учитывая условие y  0 , делаем вывод что
y  3 - посторонний корень. Из первого уравнения последней системы находим
значение x при y  3 : x  9 . Таким образом пара (9; 3) является единственным
решением первоначальной системы уравнений.
3. Найдем значение выражения x  2 y  9  2  3  3
Ответ: 3.
Пример 5. Найдите наибольшую сумму x  y , если пара
x, y  является
5  25 x  8  15 x  y  0
.
3  9 x  y  0
решением системы уравнений 
Решение. Имеем систему показательных уравнений. Особенностью этой
системы является то, что неизвестные находятся как в показателе степени, так и в
ее основании. Первым шагом при решении таких систем обычно стараются
оставить неизвестные только в показателе степени.
В нашем случае это нетрудно сделать, выразив y из второго уравнения
системы: y  3 9 x . Подставим полученное выражение для y в первое уравнение
системы, получим: 5  25 x  8 15 x  3  9 x  0 . Получили показательное уравнение от
одной переменной.
Воспользуемся свойствами степени: 5  52 x  8  3x  5 x  3  32 x  0 . В уравнение
входят степени с двумя разными основаниями. Стандартным приемом перехода к
одному основанию является деление обеих частей уравнения на одну из степеней с
наибольшим показателем. В нашем случае разделим, например, на 5 2 x , получим
x
3
3
показательное уравнение: 5  8     3   
5
5
2x
 0 . Стандартным методом решения
такого вида показательного уравнения является замена переменной. Пусть
x
3
   t (замечаем, что на основании свойств показательной функции, значение
5
новой переменной должно быть положительным), тогда получим уравнение
3t 2  8t  5  0 . Находим корни этого уравнения t1 
5
; t  1 . Решаем совокупность
3 2
 3  x 5
  
3
5
двух уравнений: 
. Получаем: x1  1; x2  0 .
x
 3


   1
 5 
Из уравнения y  3 9 x находим соответствующие значения переменной y :
x1  1  y1 
1
;
3
1

x2  0  y2  3 . Таким образом, пары   1;  и
3

0;3
являются решениями первоначальной системы.
Найдем суммы вида x  y и выберем из них наибольшую, которая очевидно
равна 3.
Ответ 3.
Рассмотрим несколько примеров «комбинированных» систем уравнений в
которые входят уравнения различных видов: иррациональные, логарифмические,
показательные.
2 logy x 1

 4 y2  3y  0
y
Пример 6. Решить систему уравнений 
2

log x (2 xy)  log x 2  log y x
Решение. 1. На основании свойств логарифмической функции, имеем
x  0, y  0 , x  1, y  1
2. Преобразуем систему, воспользовавшись свойствами степени и
логарифма:
 y logy x  y  4 y 2  3 y  0
x2  y  4 y 2  3 y  0


 
2

2 xy
1
2
log x
1  log x y  log y
2
log x y
x


2
3. Второе логарифмическое уравнение системы содержит одинаковые
логарифмы, рациональным методом решения таких уравнений является метод
замены переменной. Пусть log x y  u (1), тогда второе уравнение системы примет
2
u
Получим: u1  2 ; u2  1. Воспользуемся равенством (1) и выразим y через x .
вид: 1  u  . Решим это дробно-рациональное уравнение, учитывая, что u  0 .
1
. Подставим это выражение в первое
x2
уравнение последней системы: 1  4 y 2  3 y  0 . Решим это уравнение: y1  1, так
1
как y должен быть положительным, то это посторонний корень; y2  , тогда из
4
1
равенства y  2 , получаем x  2 .
x
При u2  1, log x y  1 , откуда x  y . Подставим это выражение в первое
При u1  2 , log x y  2 , откуда y 
уравнение последней системы: x( x 2  4 x  3)  0 . Мы уже нашли, что x  0 ,
следовательно равен нулю может быть только второй сомножитель произведения:
x 2  4 x  3  0 . Найдем корни этого уравнения:
x1, 2  2  7 . Очевидно, что
x1  2  7 - посторонний корень. Следовательно, еще одним решением системы


является пара 2  7 ; 2  7 .




Ответ:  2;  ; 2  7 ; 2  7 .

1
4
log 2 (10  3 y )  log 1 (2 y  5 x)  0

2
Пример 7. Решить систему 

 x  2 y  1  11  3 y  2 x  4 y  12
.
Решение. 1. Отметим, что система смешанного типа, состоит из
логарифмического и иррационального уравнений. Учитывая область определения
логарифмической функции, имеем: y 
10
2
; x  y ……………….(1)
3
5
Область допустимых значений иррационального уравнения определять не
будем, чтобы не тратить время на решение системы неравенств, которая при этом
получиться. Но тогда обязательно, когда найдем значения переменных,
необходимо сделать проверку.
2. Воспользовавшись свойствами логарифма преобразуем первое уравнение
системы:
log 2 (10  3 y)  log 2 (2 y  5x)  10  3 y  2 y  5 x  y  2  x .
Таким образом, из второго уравнения системы мы выразили одну
переменную через другую.
3. Подставим во второе уравнение системы вместо переменной y ее
выражение через x , получим иррациональное уравнение от одной переменной,
которое будем решать возведением обеих частей в квадрат:
3x  5  5  3x  6 x  4  10  2 (3x  5)(5  3x)  6 x  4 
14  6 x  2 25  9 x 2  7  3x  25  9 x 2  49  42 x  9 x 2  25  9 x 2 
9 x 2  21x  12  0
Найдем корни квадратного уравнения: x1  1; x2  3 .
Учитывая, что y  2  x , найдем значения переменной y : y1  3; y2  5 .
4. Учитывая (1) делаем вывод, что
y2  5 - постороннее решение.
Следовательно, пара чисел (3; 5) не является решением первоначальной системы.
Пара чисел (1; 3) удовлетворяет условию (1). Непосредственной проверкой
убеждаемся, что эта пара удовлетворяет и второму уравнению системы.
Ответ: (1; 3).
 x y 1
3  2 
9
Пример 8. Решить систему 
 x  y  1  4 xy  3 y  7 x  5

Решение. 1. Рассмотрим второе уравнение системы. Чтобы избавиться от
иррациональности, уединим квадратный корень и возведем обе части уравнения в
квадрат:
4 xy  3 y  7 x  5  1  x  y  4 xy  3 y  7 x  5  (1  x  y)2 
y 2  2 xy  5 y  x 2  5 x  6  0
Рассмотрим это уравнение как квадратное, относительно переменной y :
y  (2 x  5) y  ( x 2  5x  6)  0 и найдем его корни: y1  x  3 ; y2  x  2 .
2. Обе части первого уравнения прологарифмируем по основанию 3, тем
самым мы избавимся в уравнении от показательных функций по разным
основаниям: x  y log 3 2  2 .
3. Учитывая найденные выражения для переменной y , решим две системы
уравнений:
2
 x  y log 3 2  2
 x  y log 3 2  2
и Б) 
.
y  x  3
y  x  2
А) Подставим выражение для y в первое уравнение системы, получим:
 log 3 72
x  ( x  3) log 3 2  2  x(1  log 3 2)  2  3 log 3 2  x 
.
Воспользуемся
log 3 6
А) 
формулой перехода к новому основанию: x   log 6 72 . Тогда из второго уравнения
системы имеем: y   log 6 72  3   log 6 72  log 6 216  log 6 3 . Таким образом, пара
( log 6 72; log 6 3) является решением системы А). Непосредственно проверяем, что
эта пара удовлетворяет второму уравнению первоначальной системы.
Б) Подставим выражение для y в первое уравнение системы, получим:
x  ( x  2) log 3 2  2  x(1  log 3 2)  2  2 log 3 2  x  2 .
Тогда
из
второго
уравнения системы имеем: y  0 . Таким образом, пара (2; 0) является решением
системы Б). Непосредственно проверяем, что эта пара удовлетворяет второму
уравнению первоначальной системы.
Ответ: ( log 6 72; log 6 3) ; (2; 0)
Задания для самостоятельного решения
 y 2  5  2 x  0
1. Решить систему 
 x 2  2 x  1  y  3
 3x  2 y
2x

2

2x
3x  2 y
2. Решить систему 
 2
4 y  1  3 y ( x  1)
3 log 2 x  log 2 y  1
3. Найти x  y , если 
log 0,5 x  2 log 2 4 y  7

 y
log 0.5  x   log 2 ( y  1)  log 2 3
 
4. Решить систему 
4 x y  4 y  2 y 2  log 1
0. 2

3 x4 y

 252 x3 y  0
5
5. Решить систему 

 12  2 x  19 y  x  9 y  2  5
 x y 1
5  2 
16
6. Решить систему 
 x  y  4 xy  9 y  y  2  2
