Метод конечных элементов в расчетах прочности

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математики информатики
Салтанова Татьяна Викторовна
Метод конечных элементов в расчётах прочности
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления
02.03.01 – Математика и компьютерные науки,
профиль «Вычислительные, программные,
информационные системы и компьютерные технологии»
форма обучения очная
Тюменский государственный университет
2014
Салтанова Т.В. Метод конечных элементов в расчётах прочности.
Учебно-методический
комплекс.
направления
«Математика
02.03.01
Рабочая
и
программа
компьютерные
для
науки»
студентов
профиль
«Вычислительные, программные, информационные системы и компьютерные
технологии» (форма обучения очная) Тюмень, 2014, 18 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с
учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: «Метод
конечных элементов в расчётах прочности» [электронный ресурс] / Режим
доступа: http://www.umk3plus.utmn.ru, свободный.
.Рекомендовано
к изданию кафедрой математики и информатики. Утверждено
директором Института математики и компьютерных наук
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Григорьев М.В., к.т.н., доцент, и.о. зав.
кафедрой математики и информатики.
© Тюменский государственный университет, 2014
© Салтанова Т.В. 2014
1. Пояснительная записка:
1.1.Цели дисциплины:
Метод конечных элементов является численным методом решения
дифференциальных уравнений. Метод конечных элементов применяется в
различным задачам: задачи о распространении тепла, задачи теории упругости,
гидромеханики и в других областях. Цель курса – обучить студентов
численному методу, разобрать различные случаи дискретизации области, и
аппроксимации функций. Научить использовать стандартный пакет программ
по МКЭ.
Задачи дисциплины:
Освоить
дискретизации
основные
виды
областей,
конечных
научиться
элементов,
применять
различные
метод
для
виды
решения
дифференциальных уравнений.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы:
Дисциплина относится к циклу Б1, Дисциплины по выбору.
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
№
п/п
1.
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Современные
численные методы
решения задач алгебры
Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
1
2,3
4,5,6
7
8,9,10,11
12
14
16 18
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
способностью находить, анализировать, реализовывать программно и
использовать на практике математические алгоритмы, в том числе с
применением современных вычислительных систем (ОПК-4);
способностью математически корректно ставить естественнонаучные
задачи, знание постановок классических задач математики (ПК-2);
1.4.. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине:
Знать:
основные виды конечных элементов, способы дискретизации областей,
интерполяционные полиномы для дискретных областей,
Уметь:
дискретизировать область, сочетать разбиение одной области на
различные виды конечных элементов, решать задачи из разделов теории
упругости, уравнений в частных производных. Разрабатывать программы для
расчёта с помощью метода конечных элементов.
Владеть:
алгоритмами решения задач по методу конечных элементов, навыками
работы с программными продуктами
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 8. Форма промежуточной аттестации
экзамен. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 академических
часов, из них 64,35 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем,
43,65 часов, выделенных на самостоятельную работу.
3. Тематический план
Таблица 2.
Виды учебной работы
1.
3
Модуль 1
1-6
Метод конечных
элементов
4
5
2
2
7
2
по
работа*
6
часов
теме
ьная
е
о
Семинарски
работа, в час.
ые занятия*
ие)
занятия*
Самостоятел
2
Итог
(практическ
Лабораторн
1
и самостоятельная
Лекции*
Тема
недели семестра
№
В том числе
в
интерактив
ной форме
8
Итого
количество
баллов
9
2
0-10
2.
3.
Дискретизация
области
Линейные
интерполяционные
полиномы
Всего
Модуль 2
4.
5.
6.
7.
8.
9.
4
4
4
0-10
6
6
10
6
0-10
12
12
16
12
0-30
2
2
2
2
8
8
10
8
0-30
2
2
2
2
0-10
12
12
14
12
0-40
2
2
6
2
0-10
2
2
8
2
0-10
2
2
4
2
0-10
6
6
18
6
0-30
48
30
0-100
30
0-100
7-13
Интерполяционные
полиномы для
дискретизованной
области
Решение краевых
задач с помощью
метода конечных
элементов
Реализация метода
конечных элементов
на компьютере
Всего
Модуль 3
4
14-18
Реализация метода
конечных элементов
на компьютере
Радиальные и
осесимметричные
задачи теории поля
Нестандартные задачи
теории поля
Всего
Итого (часов,
баллов):
В том числе в
интерактивной
форме*
* - с учетом иных видов работ"
30
30
30
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 3
Модуль 1
1. Метод
конечных
элементов
2.
Дискретизация
области
3. Линейные
интерполяцион
ные полиномы
Всего
Модуль 2
4.
Интерполяцион
ные полиномы
для
дискретизован
ной области
5. Решение
краевых задач
с помощью
метода
конечных
элементов
6. Реализация
метода
конечных
элементов на
компьютере
Всего
Модуль 3
7 Реализация
метода
конечных
Техническ
ие формы
контроля
Информ
ационны
е
системы
и
техноло
гии
программ
ы
компьюте
комплекс
рного
ные
тестирова
ситуацион
ния
электронн
ные
ые
задания
практику
другие
формы
м
Итого количество баллов
эссе
реферат
Письменные работы
лаборатор
ная работа
контрольн
ая работа
тест
Устный опрос
коллоквиу
мы
собеседов
ание
ответ на
семинаре
№ темы
0-10
0-10
0-10
0-10
0-20
0-10
0-10
0-10
0-30
0-5
0-5
0-20
0-20
0-5
0-10
0-15
0-10
0-30
0-40
0-10
0-10
элементов на
компьютере
8. Радиальные
и
осесимметричн
ые задачи
теории поля
9.Нестандартн
ые задачи
теории поля
Всего
Итого
0-10
0-10
0-10
0-10
0-40
0-10
0-10
0-10
0-10
0-50
0-30
0 – 100
Штрафные баллы назначаются студентам в следующих случаях:
 Пропуск занятий – 1 балл;
 Несвоевременная сдача письменных домашних работ – 2 балла;
 Не выполнение домашнего задания – 3 балла.
Премиальные баллы назначаются студентам в следующих случаях:
 Решение дополнительных задач;
 Участие в олимпиадах.
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
Т 1. Метод конечных элементов. Основная концепция метода конечных
элементов. Преимущества и недостатки.
Т 2. Дискретизация области. Разбиение области на конечные элементы.
Нумерация узлов.
Т 3. Линейные интерполяционные полиномы. Одномерный, двумерный,
трёхмерные симплекс - элементы. Интерполирование векторных величин.
Местная система координат. Свойства интерполяционного полинома.
Модуль 2.
Т 4. Интерполяционные полиномы для дискретизованной области.
Т 5. Решение краевых задач с помощью метода конечных элементов.
Задачи теории поля, задачи теории упругости. Кручение стержня
некругового
сечения.
Уравнение
двумерный случай переноса).
переноса
тепла
(одномерный
и
Модуль 3.
Т 6. Реализация метода конечных элементов на компьютере.
Т 7. Радиальные и осесимметричные задачи теории поля. Симметричные и
осесимметричные задачи теории поля
Т 8. Нестандартные задачи теории поля. Конечно – разностное решение
дифференциальных уравнений. Численная устойчивость и колебания.
6. Планы семинарских занятий
Т 1. Метод конечных элементов. Основная концепция метода конечных
элементов. Преимущества и недостатки.
Т 2. Дискретизация области. Разбиение области на конечные элементы.
Нумерация узлов.
Т 3. Линейные интерполяционные полиномы. Одномерный, двумерный,
трёхмерные симплекс - элементы. Интерполирование векторных величин.
Местная система координат. Свойства интерполяционного полинома.
Модуль 2.
Т 4. Интерполяционные полиномы для дискретизованной области.
Т 5. Решение краевых задач с помощью метода конечных элементов.
Задачи теории поля, задачи теории упругости. Кручение стержня
некругового
сечения.
Уравнение
переноса
тепла
(одномерный
и
двумерный случай переноса).
Модуль 3.
Т 6. Реализация метода конечных элементов на компьютере.
Т 7. Радиальные и осесимметричные задачи теории поля. Симметричные и
осесимметричные задачи теории поля
Т 8. Нестандартные задачи теории поля. Конечно – разностное решение
дифференциальных уравнений. Численная устойчивость и колебания.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрено учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрено учебным планом ОП.
9. . Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
Таблица 4
№
Модули и темы
Модуль 1
1. Метод
конечных
элементов
2. Дискретизация области
Виды СРС
обязательн дополнитель
ые
ные
Домашние
задание
Домашнее
задание
Линейные
Контрольны
интерполяционные
е работы
полиномы
Всего по модулю 1:
Модуль 2
4. Интерполяционные
полиномы
для Домашнее
дискретизованной
задание
области
5. Решение краевых задач с
Контрольная
помощью
метода
работа
конечных элементов
6. Реализация
метода
Контрольная
конечных элементов на
работа
компьютере
Всего по модулю 2:
Модуль 3
7.
Реализация
метода
Контрольная
конечных элементов на
работа
компьютере
8.
Радиальные
и
Домашнее
осесимметричные задачи
задание
теории поля
9.
Нестандартные
задачи Домашнее
теории поля
задание
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
Недел
я
семест
ра
Объе Колм
во
часов балло
в
2
4
3.
10
0-10
16
0-10
2
10
0-20
2
0-10
14
0-30
6
0-10
8
4
18
48
0-20
0-60
* - с учетом иных видов работ";
Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении домашних
заданий, аудиторных и домашней контрольных работ.
10..Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины.
10.1.
Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в
процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы
компетенций)
ПК-2
способностью
математически
корректно
ставить естественнонаучные задачи, знание
постановок классических задач математики
семестры
1
2
3
4
5
6
7
+
+
8
Б1.Б.14
Теоретическая механика
Б1.В.ОД.1
Курсовая работа по направлению
Б1.В.ОД.2
Преддипломная практика
+
Б3.ОД.1
Выпускная квалификационная работа
+
Б1.ДВ.1
История развития математической науки
+
Б1.ДВ.2
Методологические
+
основы
+
+
обучению
математики
Б1.ДВ.1
Концепции современного естествознания
+
Б1.ДВ.2
Физика
+
Б1.ДВ.1
Избранные вопросы математики
+
Б1.ДВ.2
Практикум по решению математических задач
+
Б1.ДВ.1
Информационные системы в нефтегазовом
комплексе
Информационные системы в экономике
Б1.ДВ.2
+
+
ОПК-4
способностью математически корректно
ставить естественнонаучные задачи, знание
постановок классических задач математики
Б1.Б.9
Б1.Б.19
Б1.В.6
Компьютерная геометрия и компьютерное
моделирование
Численные методы
Объектно-ориентированное программирование
Б1.В.13
Технологии программирования
Б1.В.ОД.1
Курсовая работа по направлению
Б3.ОД.1
Выпускная квалификационная работа
+
Б1.ДВ.1
Метод конечных элементов в расчетах
прочности
Современные численные методы решения
задач анализа
+
Б1.ДВ.2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
10.2.
Описание показателей и критериев оценивания компетенций на
различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Код компетенции
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
основные
(ОПК- Знает:
понятия из разделов
4).
курса
Умеет:
применять
формулы и понятия при
решении задач
Владеет:
навыками
решения типовых задач
по разделам курса
базовый (хор.)
76-90 баллов
Знает:
все
определения
и
формулировки теорем,
Умеет: доказывать некоторые
теоремы. Применять на практике
теоретический материал
Владеет:
навыками
решения
стандартных задач.
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Виды занятий
(лекции,
семинар
ские,
практические,
лабораторные)
Знает: все определения Лекции,
и формулировки теорем семинары
Умеет: доказывать все
теоремы. Применять на
практике
теоретический
материал.
Владеет:
навыками
решения всех типов
задач, в том числе и
повышенного уровня
сложности. Навыками
анализа
результата
решенных задач
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и др.)
Контрольные и
самостоятельные
работы
основные
(ПК-2) Знает:
понятия из разделов
курса
Умеет:
применять
формулы и понятия при
решении задач
Владеет:
навыками
решения типовых задач
по разделам курса
Знает:
все
определения
и
формулировки теорем,
Умеет: доказывать некоторые
теоремы. Применять на практике
теоретический материал
Владеет:
навыками
решения
стандартных задач.
Знает: все определения Лекции,
и формулировки теорем семинары
Умеет: доказывать все
теоремы. Применять на
практике
теоретический
материал.
Владеет:
навыками
решения всех типов
задач, в том числе и
повышенного уровня
сложности. Навыками
анализа
результата
решенных задач
Контрольные и
самостоятельные
работы.
10.3.
Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые
для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности,
характеризующей
этапы
формирования
компетенций
в
процессе
освоения образовательной программы.
Вопросы к экзамену:
1. Основная концепция метода конечных элементов. Преимущества и
недостатки.
2. Типы конечных элементов.
3. Разбиение области на конечные элементы. Нумерация узлов.
4. Двумерный, трёхмерные симплекс - элементы. Интерполирование
векторных
величин.
Местная
система
координат.
Свойства
интерполяционного полинома.
5. Скалярные и векторные величины.
6. Задачи теории поля, задачи теории упругости. Кручение стержня
некругового сечения. Уравнение переноса тепла (одномерный и
двумерный случай переноса)
7. Стандартные программные продукты, решение уже изученных задач на
компьютере.
8. Симметричные и осесимметричные задачи теории поля.
9. Конечно – разностное решение дифференциальных уравнений. Численная
устойчивость и колебания.
10.Квадратичные и кубичные элементы и их применение.
11.Функции
формы
для
элементов
высокого
порядка.
Вычисление
производных функций формы и составление матриц элементов.
Линейны, квадратичные и кубичные четырёхугольные элементы.
Соотношения, определяющие элементы.
Вариант контрольной работы:
1. Разбейте область на 16 треугольных элементов и вычислите ширину
полосы, при наличии двух степеней свободы.
2. Разбейте четырёхугольник на 24 элемента, используя 5 узлов вдоль
одной пары сторон и четыре узла вдоль другой пары. Пронумеруйте
узлы так, чтобы получилось минимальное значение величины R.
3. Прогиб
опёртой
изгибающего
балки,
момента
подверженной
M,
уравнением
действию
описывается
постоянного
дифференциальным
, где EI – жёсткость поперечного
сечения, не зависящее от длины. Дайте вариационную формулировку
этой задачи. Выведите систему уравнений для
, используя
четырёхэлементную модель.
4. Вычислите числовые значения R, необходимые для определения
узловых перемещений
.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
знаний, умений, навыков характеризующих этапы формирования
компетенций.
При работе в семестре студенты набирают баллы. Если количество
баллов, набранных студентом не достаточно для получения им желаемой
оценки, то студент приходит на экзамен, где он может улучшить свой
результат. Студенту выдается билет, который состоит из теоретического
вопроса и практических заданий.
Каждый семестровый курс предлагается оценивать по шкале в 100
баллов. Для экзамена предлагается следующая шкала, обеспечивающая
сопоставимость с международной системой оценок:
«отлично» 91-100 баллов;
«хорошо» 76-90 баллов;
«удовлетворительно» 61-75 баллов;
«неудовлетворительно» менее 61 балла.
11.. Образовательные технологии.
Практические занятия проводятся в интерактивной форме: студенты
получают задание на практических занятиях и работают у доски с
участием преподавателя, самостоятельно на местах, в малых группах.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1.
1.
Основная литература:
. Салтанова, Т. В..
методическое
"Математика
Введение в метод конечных элементов: учебно-
пособие
и
для
студентов
компьютерные
науки",
направлений
010100.62
010200.62
"Математика",
011000.62 "Механика. Прикладная математика"/ Т. В. Салтанова. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2012. - 27 с.
12.2.
Дополнительная литература:
1. Кандидов, В. П.. Метод конечных элементов в задачах динамики/ В. П.
Кандидов, С. С. Чесноков, В. А. Выслоух. - Москва: Изд-во МГУ, 1980. 165 с.
12.3.
.Интернет-ресурсы:
1. www.exponenta.ru
2. www.mathprofi.ru
3. www.mathematics.ru
13. Перечень
информационных
технологий,
используемых
при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю),
включая перечень программного обеспечения и информационных
справочных систем (при необходимости).
При изучении дисциплины используется следующее программное
обеспечение: MS Office Power Point 2007.
14.Технические
дисциплины
средства
и
материально-техническое
обеспечение
Лекционные
и
семинарские
аудитории
с
мультимедийным
оборудованием.
15.Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины.
Дисциплина «Метод конечных элементов в расчётах прочности» изучается
в восьмом семестре, и включает в себя такие разделы как «Метод
конечных элементов. Основная концепция метода конечных элементов.
Преимущества и недостатки», «Дискретизация области. Разбиение области
на конечные элементы. Нумерация узлов», «Линейные интерполяционные
полиномы. Одномерный, двумерный, трёхмерные симплекс - элементы.
Интерполирование векторных величин. Местная система координат.
Свойства интерполяционного полинома», «Интерполяционные полиномы
для дискретизованной области», «Решение краевых задач с помощью
метода конечных элементов. Задачи теории поля, задачи теории упругости.
Кручение стержня некругового сечения. Уравнение переноса тепла
(одномерный и двумерный случай переноса)», «Реализация метода
конечных элементов на компьютере», «Радиальные и осесимметричные
задачи теории поля. Симметричные и осесимметричные задачи теории
поля», «Нестандартные задачи теории поля. Конечно – разностное
решение дифференциальных уравнений. Численная устойчивость и
колебания».
По
всем
разделам
представлены
контрольные
и
самостоятельные работы, а также литературы, с помощью которой
составляются эти работы.