Об аппроксимации граничных условий в схемах расщепления

УДК 51(06) Проблемы современной математики
В.Е. ТРОЩИЕВ, Д.А. НОСОВ
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
ОБ АППРОКСИМАЦИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
В СХЕМАХ РАСЩЕПЛЕНИЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ
НАПРАВЛЕНИЯМ НА КОСОУГОЛЬНЫХ СЕТКАХ
Построена схема для уравнений дифференциальной прогонки, одномерного
уравнения теплопроводности. Схема имеет важное значение для реализации граничных условий в методах расщепления двумерного уравнения на косоугольных
сетках.
Двумерное уравнение теплопроводности и граничные условия на контуре области:
T  2T  2T , T
(1)


  AT  B |( x , y )
n
t x 2 y 2
аппроксимируем неявной схемой расщепления по ортогональным направлениям ξ и η [1]:
T *  T n  2T * ,

t
 2
T *
(2)
 a0T  b0 |

T n1
T n1  T *  2T n1 ,
(3)
 c0T  d 0 |


t
 2
Физический смысл расщепления состоит в том, что сначала в течение
малого времени ∆t теплу «разрешается» перетекать только в направлении
ξ, а затем – только в направлении η. Схема (2), (3) имеет второй порядок
точности по ξ и η и первый по времени t.
Если пространственная сетка ортогональна, и расщепление происходит вдоль линий сетки, то задачи (2), (3) легко решаются методом одномерной прогонки. Однако на косоугольных сетках расщепленная система
(2), (3) остается существенно двумерной. В работе [2] для решения задач
(2), (3) было предложено использовать уравнения дифференциальной прогонки (УДП) [3]:
(4)
t a'  a 2   1


t b'  ab  T n
T 
* '

 aT  b
*
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7
(5)
(6)
101
УДК 51(06) Проблемы современной математики
(аналогично записывается система уравнений для задачи (3)). Граничные
условия для уравнений (4-6) следуют из условий (2), (3). Уравнения (4)-(6)
по сути есть двумерные уравнения переноса (все функции a, b и т. д. зависят от ξ и η). Поэтому для их решения на косоугольных сетках можно использовать методы, основанные на «принципе освещенности» [4]. Таким
образом решение двумерного уравнения теплопроводности было сведено
к решению уравнений переноса [2].
Чтобы реализовать граничное условие для УДП в виде температуры,
надо задать a0 и b0 большими числами. Тогда на границе температура
T  b0 / a0 . Расчеты показали, что при таком способе задания граничного
условия метод является неустойчивым.
Проблему удалось решить на пути построения схем для УДП, эквивалентных классической прогонке. Построена схема:
 a  am 1

(8)
ham  t  m
 am am 1   1
h


b b

(9)
hbm  t  m m 1  bm am 1   Tmn
h


Tm*1  Tm*
(10)
 amTm*1  bm
h
при этом значения a0 = 1 / h, b0 = –T0n / h, то есть однозначно связаны с
шагом сетки. Расчеты показывают устойчивость такого задания a0 и b0.
Требуется обобщение новой схемы на косоугольные сетки.
Список литературы
1. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической
физики. Новосибирск: Наука, 1967.
2. Трощиев В.Е., Трощиев Ю.В. Метод расщепления уравнения теплопроводности по
ортогональным направлениям на косоугольных сетках. Препринт ТРИНИТИ № 0114-А.
ЦНИИАТОМИНФОРМ, 2004.
3. Гельфанд И.М., Локуциевский О.В. Метод «прогонки» для решения разностных
уравнений // Годунов С.К., Рябенький В.С. Введение в теорию разностных схем. Дополнение
II. М., 1962.
4. Трощиев В.Е. ЖВМ и МФ. Т. 16, № 3, 1976. С. 793-797.
ISBN 5-7262-0710-6. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2007. Том 7
102