МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
Российский Университет дружбы народов
(РУДН)
"УТВЕРЖДАЮ"
Начальник УМУ РУДН
«____»_____________2005г
ПРОГРАММА
Дисциплины " МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ "
Направление 550200 "Автоматизация и управление"
Инженерный факультет
Кафедра "Техническая кибернетика"
Курс 4 (7 семестр)
Лекции - 60 часов
Практические занятия-20 часов
Вид итогового контроля – экзамен
Составитель программы
к.т.н., доц. Исаев А.Б.
"ОДОБРЕНО":
Зав. кафедрой
«Техническая кибернетика»
д.т.н., проф. Пупков К.А.
Москва 2005 г.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Введение
1.1.Введение в предмет и задачи методов оптимизации. Связь
методов оптимизации с практическими инженерными задачами
оптимального управления проектирования и принятия решений.
1.
Выпуклый анализ.
2.1Выпуклые множества.
Выпуклые оболочки. Теорема Каратеодори. Замыкание и
внутренность выпуклого множества. Отрезки, соединяющие точки
замыкания и внутренности.
Теоремы.
Отделимость и опорные гиперплоскости.
Минимальное расстояние от точки до выпуклого множества. Теорема
о существовании единственной точки с минимальным расстоянием.
Гиперплоскости и разделение двух множеств.
Разделение выпуклого множества и точки. Теорема об отделимости.
Строго и сильно разделяющиеся гиперплоскости.
Теорема Фаркаша. Следствия. Разделение двух выпуклых множеств.
Теорема Жордана. Теорема о сильной отделимости.
Выпуклые и невыпуклые конуса, полярный конус. Теорема о
замкнутых выпуклых конусах.
Многогранные множества. Экстремальные точки и экстремальные
направления. Теорема о структуре экстремальных точек и их числе.
Теорема о структуре экстремальных направлений. Теорема о
представлении многогранного множества через экстремальные точки и
экстремальные направления.
2.2Выпуклые функции.
Определение, основные свойства: непрерывность, производная по
направлению. Субдифференциал и субградиент выпуклой функции.
Теоремы существования. Производные по Гато и Фреше. Квазивыпуклые
(вогнутые),строго и сильно квазивыпуклые (вогнутые) функции,
псевдовыпуклые, различные типы выпуклости в точке, их свойства.
2.
Условия оптимальности
3.1.Задачи безусловной оптимальности. Необходимые и достаточные
условия оптимальности. Матрица Гессе, ее связь с необходимым и
достаточным условиями оптимальности.
3.
3.2.Задачи с ограничениями-неравенствами. Конус возможных
направлений. Теорема о необходимых условиях оптимальности функции в
точке при ограничениях. Геометрическая интерпретация. Условия
оптимальности Ф. Джона, теорема. Множители Лагранжа и условия
дополняющей нежесткости. Условия регулярности. Теоремы о
необходимых и достаточных условиях Куна-Таккера, геометрическая
интерпретация.
3.3. Задачи со смешанными ограничениями. Условия Ф. Джона.
Необходимые и достаточные условия Куна-Таккера. Альтернативные
формы условий Куна-Таккера.
3.4.Условия регулярности. Конус касательных. Условия
регулярности Абади. Необходимость условий Куна-Таккера в задачах
оптимизации с линейными ограничениями. Задачи с ограничениями в виде
равенств и неравенств. Генетическая связь между собой различных
условий регулярности и выполнимости необходимых условий
оптимальности Куна-Таккера.
4.
Теория двойственности. Седловые точки.
Условия оптимальности.
4.1.Двойственность в линейном программировании. Построение
симметричных и несимметричных двойственных задач. Критерий
оптимальности Канторовича. Малая теорема двойственности. Основная
теорема двойственности. Базисные и свободные переменные пары
двойственных задач. Решение пары двойственных задач симплексным
методом. Теорема о дополняющей нежесткости.
Теорема об оценках.
4.2. Задача, двойственная по Лагранжу. Геометрическая
интерпретация.
4.3. Теорема двойственности и седловые точки. Разрыв
двойственности. Критерий седловой точки и теорема Куна-Таккера.
Дифференциальные свойства двойственной функции Лагранжа,
субградиент. Алгоритмы решения двойственной по Лагранжу задачи:
градиентный, подъема, секущих плоскостей.
4.4.Задачи линейного программирования. Формы записи задач
линейного программирования: общая задача линейного
программирования, симметричная и каноническая задачи. Переход от
общей задачи линейного программирования к канонической задаче.
Геометрическая интерпретация задач линейного программирования,
свойства решений этих задач. Базисные и свободные переменные.
Опорные планы. Теоремы о крайних точках многогранника планов.
Теорема о существовании решения задачи линейного программирования и
экстремальных значениях ее целевой функции в крайних точках
многогранника планов. Симплексный метод. Общая идея симплексного
метода. Предпочтительный вид системы ограничений. Искусственный
базис. М-задачи линейного программирования. Теоремы об оптимальном
плане М-задачи и свойствах искусственных переменных. Симплексные
таблицы. Теоремы о признаках оптимальности опорного плана. Вопросы
сходимости симплексного метода. Чувствительность.
5.
.Численные методы оптимизации.
5.1. Одномерная оптимизация. Унимодальные функции.
Обусловленность задач оптимизации. Методы деления отрезка пополам,
золотого сечения, метод Фибоначчи, методы Ньютона, бисекции,
параболической интерполяции. Исследование эффективности методов,
гарантированная оценка погрешности.
5.2. Методы многомерной безусловной минимизации.
Покоординатный спуск. Метод наискорейшего спуска. Проблема оврагов.
Метод Ньютона. Квазиньютоновские методы. Метод сопряженных
градиентов. Метод деформированного многогранника.
5.3. Методы многомерной условной оптимизации. Методы
барьерных и штрафных функций. Методы условного градиента и проекции
градиента. Методы параметризации целевой функции и метод множителей
Лагранжа, метод возможных направлений Зойтендейка.
Задачи оптимального управления
6.1. Динамические задачи оптимизации. Формулы градиентов
функционалов. Обобщенный метод моментов. Принцип максимума
Понтрягина. Связь с задачами вариационного исчисления.
6.
ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
1.
Основы выпуклого анализа.
Решение задач на построение выпуклых оболочек для заданных множеств.
Исследование топологических свойств заданных множеств.
Топологические свойства многогранников. Построение замыканий
внутренностей и границ заданных множеств. Определение минимального
расстояния от точки до множества, построение разделяющих
гиперплоскостей. Практическое применение теоремы Фаркаша для
установления разрешимости систем. Условие существования
гиперплоскости, (строго) разделяющей два выпуклых множества.
Построение всех экстремальных точек и всех экстремальных направлений
для заданных множеств, симплексов. Решение задач на установление
выпуклости (вогнутости) заданных функций при помощи различных
критериев.
2.
Задачи линейного программирования.
Решение задач линейного программирования симплексным и
геометрическим методами.
1.
Условия оптимальности
Отыскание оптимальных решений задач минимизации с помощью условий
Куна-Таккера, геометрическая иллюстрация. Решение задачи минимизации
квадратичного программирования путем перехода к двойственной задаче.
2.
Численные методы оптимизации
Нахождение с заданной точностью точек локального минимума функции
двух переменных методами докоординатного спуска, наискорейшего
спуска, методом Ньютона, методом сопряженных градиентов, методом
деформируемого многогранника.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Основная литература:
Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач.
–М.: "Наука", 1988.
Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и
алгоритмы. –М: "Мир", 1982.
Амосов А.А., Дубинский Ю. А., Копченова Н.В. Вычислительные
методы для инженеров. –М.: "Высшая школа", 1994.
Пшеничный Б.М., Данилин Ю.М. Численные методы в
экстремальных задачах. –М.: "Наука", 1975.
Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. –М.:
"Мир", 1975.
Дополнительная литература:
Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. –
М.: "Наука", 1988.
Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное
управление. –М.: "Наука", 1979.
Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. –М.:
"Мир", 1985.
Акулич И.Л. Математическое программирование. –М.: "Высшая
школа", 1993.