Продолжение работы

Задача 4. Решить уравнение 6sin2x+2sin22x=5 и указать корни,
принадлежащие промежутку  ;2  .
Решение. Приведем уравнение 6sin2x+2sin22x=5 к квадратному уравнению
относительно cos2x.
6
1  сos 2 x
 2(1  cos 2 2 x)  5  0,2 cos 2 2 x  3 cos 2 x  5  0 .
2
Откуда cos2x=1, х 


4

2
к, к  Z
Здесь применим способ отбора в промежуток при помощи двойного
неравенства


4


2
к  2 ,  

4


2
к  2 
 3

7 3
7
,   к
, к
4 4
2
4 2
2
Так как к принимает только целые значения, то возможно лишь к=2,к=3.
5
7
, при к=3 получим х 
.
4
4
 
5 7
Ответ:  к, к  Z ; ;
4 2
4 4
При к=2 получим х 
Методический комментарий. Приведенные четыре задачи рекомендуется
решать учителю у доски с привлечением учащихся. Для решения
следующей задачи лучше вызвать к дочке сильного учащегося, предоставив
ему максимальную самостоятельность в рассуждениях.
Задача 5. Решить уравнение
2 sin 2 x  2 3 sin 2 ( x 
5x  x 2
3
) 3
4
0
Решение. Преобразовывая числитель, приведем уравнение к более простому
виду
3

1  cos 2 x 
3



2

2 sin 2 x  2 3 sin 2  x 
 3
2 sin 2 x  2 3 
4 

2
0
2
2
5x  x
5x  x


2 sin 2 x  3 (1  sin 2 x)  3
5x  x 2
sin x(sin x  3 cos x)
5x  x 2
0
2 sin 2 x  3 sin 2 x
5x  x 2


 3
0
0
Полученное уравнение равносильно совокупности двух систем:
 x  k , к  Z
 x  k , к  Z
sin x  0




x( x  5)  0
2


 x  (0;5)
5
x

x

0

 
 




x



n

,
п

Z

 х    п , п  Z
sin
x

3
cos
x

0



3
3


5 x  x 2  0






 x( x  5)  0
 x  (0;5)
0
Отбор корней на промежутке (0;5) проведем двумя способами. Первый
способ -для первой системы совокупности, второй способ – для второй
системы совокупности.
 х  к , к  Z
5
, 0<k  <5, 0  k  .


 x  (0;5)
Так как к – целое число, то к=1. Тогда x   - решение исходного уравнения.
Рассмотрим вторую систему совокупности


 x    n , п  Z
3

 x  (0;5)

Если n=0, то х    (0;5) . При п=-1;-2;… решений не будет.
3
2
2
Если п=1, х   (0;5), х  - решение системы и, следовательно, исходного
3
3
уравнения.
Если п=2, то х 
5
 (0;5)
3
При п  3, п  N решений не будет.
Ответ:
2
;
3
Задача 6. Найти все корни уравнения
4
sin 2 x  cos x  1
x
 5

5
 5 cos на отрезке  ;2 
x
2
 6

sin
2
Решение. Решение уравнения высвечивается на экране. По отдельным
этапам решения задаются вопросы учителем в устной форме или тексты
вопросов даются на экране.
Какой системе равносильно исходное уравнение?
4
x
x

sin 2 x  5 cos x  1  5 cos 2 sin 2

sin x  0
 2
Какие преобразования напрашиваются для уравнения?
В правой и левой части уравнения воспользоваться формулой двойного угла.
Записать систему в виде:
4
5

2 sin x cos x  cos x  1  sin x  0
5
2

 x  2n, п  Z
Не совсем очевидно, но если выполнить группировку в левой части
уравнения, то получим произведение двух множителей.
 5
 4

 5
 4
 5

1  sin x    cos x  2 sin x cos x   0  1  sin x   cos x1  sin x   0 
 2
 5

 2
 5
 2

 5
 4

 1  sin x 1  cos x   0
 2
 5

Совокупность, каких двух систем получили после преобразования уравнения?
 4

5
1  5 cos x  0
cos x  4



 x  2n, п  Z
 x  2n, п  Z



1  5 sin x  0
sin x  2
 2

5
 x  2n, п  Z
 x  2n, п  Z


Первая система решений не имеет, так как cos x 
5
1
4
В каком виде запишем решение уравнения второй системы совокупности?
Поскольку решение исходного уравнения нужно найти на отрезке, решение
уравнения sin x 
2
запишем в виде совокупности
5
2

x

arcsin
 2k , к  zZ
1

5

 x    arcsin 2  2m, m  Z Какие корни из полученной совокупности
 2
принадлежат рассматриваемому промежутку?
5
2 5
При m=0 х 2    arcsin   ,
5 6
5
1 2 1
2  5

sin   ,  , поэтому   arcsin   ;2 
6
2 5 2
5  6

5

х1    ;2  ни при каком к  Z
6

Проиллюстрируем полученные выводы на тригонометрическом круге
(рис.3)
Рис.3.
Ответ:   arcsin
2
5
Самостоятельная работа.
1. Решить уравнение
cos3x=cos5x+cosx, если 0  x 

Ответ:
6

2
2. Решить уравнение
3  4 sin x  2 sin x  1
5
8
Ответ: x  (1) n arcsin  n, п  Z
Указание. При решении уравнения после возведения в квадрат и замены
переменной отбор корней можно осуществить в квадратном уравнении.
3. Решить уравнение
sin 3x
 1


cos x  
6

 k
Ответ: x    , к  Z
12 2
Домашнее задание.
Решить уравнение.
1. 2 sin x  5 cos x  1
x
2
2. cos 2 x  3 cos x  4 cos 2 , если0  x  


2 cos 2 x  2 3 cos 2  x    3
4

3.
2
 6x  x
Необязательное задание.
Решить уравнение
1
1
1


sin x sin 2 x sin 3x
Комментарий для учителя. Самостоятельная работа носит обучающий
характер. Хорошие оценки следует выставить в журнал.
Материал рассчитан на два сдвоенных урока.
Литература:
1. Кравцов С.В. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных М: Издательство: «Экзамен»,2005.
2. Назаретов А.П., Пигарев Б.П.,Садовничая И.В., Симонов А.А. Математика: Задачи и
вариантф их решения на вступительных экзаменах в московских вузах (экономические
специальности),- М: УНЦ ДО,ФИЗМАТЛИТ 2001.
3. Нараленков М.И. Вступительный экзамен по математике. Алгебра: как решать задачи:
Учебно-практическое пособие.-М:Издательство «Экзамен»,2003.Математика.
Подготовка к ЕГЭ-2008. Вступительные испытания.Под редакцией Ф.Ф. Лысенко.Ростов-на-Дону:Легион,2007