Учебная программа для инженерно

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УТВЕРЖДАЮ
Первый заместитель Министра образования
Республики Беларусь
____________________А.И. Жук
03.03.2010
Регистрационный № ТД- I. 314/тип.
МАТЕМАТИКА
Типовая учебная программа для высших учебных заведений
по направлениям образования:
38 Приборы; 52 Прочие виды производства; 55 Интеллектуальные системы; 70 Строительство;
по группам специальностей:
36 01
36 02
37 01
42 01
Машиностроительное оборудование и технологии (кроме специальности 1-36 01 08);
Металлургия; 36 20 Общеотраслевое оборудование; 36 13 Торфяное производство;
Автомобили, тракторы, электрифицированный наземный городской транспорт;
Металлургия; 43 01 Электроэнергетика, теплоэнергетика;
по специальностям: 1-08 01 01 Профессиональное обучение (по направлениям);
1-36 10 01 Горные машины и оборудование (по направлениям); 1-36 11 01 Подъемно-транспортные,
строительные, дорожные машины и оборудование (по направлениям);
1-37 03 02 Кораблестроение и техническая эксплуатация водного транспорта;
1-44 01 01 Организация перевозок и управление на автомобильном и городском транспорте;
1-44 01 02 Организация дорожного движения; 1-51 02 01 Разработка месторождений полезных
ископаемых (по направлениям); 1-53 01 04 Автоматизация и управление энергетическими процессами;
1-53 01 05 Автоматизированные электроприводы;
1-53 01 06 Промышленные роботы и робототехнические комплексы;
1-54 01 02 Методы и приборы контроля качества и диагностики состояния объектов;
по направлениям специальностей: 1-53 01 01-01 Автоматизация технологических процессов
и производств (машиностроение и приборостроение);
1-53 01 01-02 Автоматизация технологических процессов и производств (в приборостроении и радиоэлектронике); 1-53 01 01-10 Автоматизация технологических процессов и производств (энергетика);
1-54 01 01-01 Метрология, стандартизация и сертификация (машиностроение и приборостроение)
СОГЛАСОВАНО
Ректор Белорусского национального
технического университета, член президиума
Координационного научно-методического
совета учебно-методических объединений
высших учебных заведений
Республики Беларусь по профилям,
направлениям и специальностям образования
_________________Б.М. Хрусталев
12.11.2009
СОГЛАСОВАНО
Начальник Управления высшего и
среднего специального образования
Министерства образования
Республики Беларусь
__________________Ю.И. Миксюк
_______________________
Проректор по учебной и воспитательной
работе Государственного учреждения
образования «Республиканский
институт высшей школы»
___________________В.И. Шупляк
_______________________
Эксперт-нормоконтролер
_______________________________
________________________
Минск 2009
2
СОСТАВИТЕЛИ:
Н.А. Микулик, заведующий кафедрой высшей математики № 1 Белорусского национального
технического университета, доктор технических наук, профессор, Заслуженный работник образования Республики Беларусь;
В.М. Климович, доцент кафедры высшей математики № 1 Белорусского национального технического университета, кандидат технических наук, доцент;
Г.Н. Рейзина, профессор кафедры высшей математики № 1 Белорусского национального технического университета, доктор технических наук, доцент;
В.И. Юринок, доцент кафедры высшей математики № 1 Белорусского национального технического университета, кандидат технических наук, доцент
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Кафедра высшей математики Учреждения образования «Белорусский государственный
университет информатики и радиоэлектроники»
(протокол № 9 от 26 января 2009 г.);
В.В. Беняш-Кривец, профессор кафедры высшей алгебры Белорусского государственного университета, доктор физико-математических наук
РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ В КАЧЕСТВЕ ТИПОВОЙ:
Кафедрой высшей математики №1 Белорусского национального технического университета
(протокол № 7 от 24 февраля 2009 г.)
Кафедрой высшей математики №2 Белорусского национального технического университета
(протокол № 5от 23 февраля 2009 г.)
Кафедрой высшей математики №3 Белорусского национального технического университета
(протокол № 5от 10 февраля 2009 г.)
Кафедрой инженерной математики Белорусского национального технического университета
(протокол № 5 от 18 февраля 2009 г.)
Научно-методической комиссией Белорусского национального технического университета
(протокол № 2 от 31 марта 2009 г.)
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по образованию в области
транспорта и транспортной деятельности (протокол № 4 от 3 апреля 2009г.)
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по образованию в области машиностроительного оборудования и технологий (протокол № 2 от 21.04.2009г.)
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по образованию в области
строительства и архитектуры (протокол № 3 от 30.03.2009г.)
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по образованию в области
энергетики и энергетического оборудования (протокол № 26 от 04.05.2009г.)
3
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по образованию в области металлургического оборудования и технологий (протокол № 14 от 03.04.2009г.)
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по образованию в области
приборостроения (протокол № 26 от 15.04.2009г.)
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по образованию в области горнодобывающей промышленности (протокол № 4 от 07.05.2009г.)
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по образованию в области автоматизации технологических процессов, производств и управления
(протокол № 35 от 23.04.2009г.)
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по образованию в области
обеспечения качества (протокол № 25 от 10.04.2009г.)
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по профессиональнотехническому обучению (протокол №2 от 13.05.2009г.)
Учебно-методическим объединением вузов Республики Беларусь по образованию в области экономики и организации производства (протокол №4 от 17.11.2009г.)
Ответственный за редакцию: Н.А.Микулик
Ответственный за выпуск: В.И.Юринок
4
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Типовая учебная программа по дисциплине «Математика» для информационнотехнологических, автотракторных, энергетических, машиностроительных, приборостроительных, строительных и других специальностей составлена на основании соответствующих образовательных стандартов и типовых учебных планов.
Актуальность изучения учебной дисциплины и ее роль
в профессиональной подготовке выпускников вуза
Стремительное развитие и внедрение новых технологий, их конкуренция на мировом рынке, прогресс средств вычислительной техники, а также научно-технический прогресс предъявляют повышенные требования к качеству подготовки специалистов и, в частности, к их математическому образованию. На нынешнем этапе развития инженерно-технического образования и
информационных технологий математика предстает как язык общения «цивилизованных» инженеров. Современный специалист обязан владеть основами математического моделирования и его
реализации в компьютерных информационных технологиях. Математические методы выступают
в этой связи как возможность дать унифицированный научный подход к изучению различных
физических и социальных явлений реального мира путем составления их математических моделей, которые во многих случаях описываются одними и теми же математическими структурами.
Таким образом, математическое моделирование позволяет не только изучить общие закономерности различных производственных задач, но и дать универсальные рекомендации по их решению.
Цели и задачи учебной дисциплины
Преподавание высшей математики имеет целью:
- формирование личности студента, развитие его интеллекта и способности к логическому и алгоритмическому мышлению;
– воспитание достаточно высокой математической культуры;
- обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования
устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений для осуществления научнотехнического прогресса и выбора наилучших способов реализации этих решений, методам обработки и анализа результатов численных и натурных экспериментов.
Задачи преподавания математики состоят в том, чтобы на примерах математических понятий и методов продемонстрировать студентам действие законов природы, сущность научного
подхода, специфику математики и ее роль в осуществлении научно-технического прогресса.
Научить
студентов
приемам
исследования
и
решения
математических
задач;
вы
5
работать у студентов умение анализировать полученные результаты, привить им навыки самостоятельного изучения литературы по математике и ее приложениям.
Требования к знаниям и умениям
В результате освоения курса математики студент должен:
знать:
– методы математического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, решения дифференциальных уравнений;
– основы теории функций комплексного переменного, операционного исчисления, теории поля;
– основные понятия и методы теории вероятностей и математической статистики;
– основные математические методы решения инженерных задач;
уметь:
– решать математически формализованные задачи линейной алгебры и аналитической
геометрии;
– дифференцировать и интегрировать функции, вычислять интегралы по фигуре, решать
дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений;
– ставить и решать вероятностные задачи и производить статистическую обработку
опытных данных;
– строить математические модели физических процессов.
владеть:
– навыками творческого аналитического мышления;
– способностью самостоятельно генерировать и реализовывать новые идеи и методы.
Диагностика компетенции студента.
Оценка уровня знаний студента при всех формах контроля производится по десятибалльной шкале.
Для оценки достижений студента используется следующий диагностический инструментарий:
– система учета, контроля и стимулирования регулярной работы студента в семестре;
– защита выполненных на практических занятиях индивидуальных заданий;
– защита лабораторных работ;
– проведение рейтинговых контрольных работ по отдельным блокам;
– выступление студента на конференции;
– подготовка работы на республиканский смотр;
– сдача зачета по дисциплине;
– сдача экзамена.
6
Контроль качества обучения. Рекомендуются различные формы текущего, рубежного и
итогового контроля: опрос по теории, математические диктанты, контрольные (без использования справочной литературы) и самостоятельные (со справочной литературой) работы, тесты и
др. Главной формой контроля усвоения курса является итоговый экзамен или зачет (в устной
форме, письменной, письменной с последующим устным собеседованием).
Изучение курса математики рассчитано максимально на 884 часа, в том числе - 424 часа
аудиторных занятий.
Формы аудиторных занятий.
Лекции. На лекциях вводятся основные математические понятия, подчеркивается роль и
специфика математического моделирования в инженерных науках и математического образовании в формировании личности специалиста, выводятся формулы, доказываются математические
утверждения – теоремы и излагаются основные математические методы. Математические понятия, утверждения и методы, где это возможно, желательно иллюстрировать на геометрических
(математика в картинках) и/или физических объектах, по возможности с учетом будущей специальности обучаемых, что позволяет представить математику как универсальный язык изучения
дисциплин.
Практические занятия. На практических занятиях студенты уточняют и закрепляют
лекционный материал, получая разъяснение основных теоретических положений курса, овладевают основными способами, приемами и методами решения математических задач, в том числе
и адаптированных к будущей специальности.
Лабораторные работы. Бурный прогресс средств вычислительной техники и возросшие
в связи с этим возможности математического моделирования требуют от современных специалистов знакомства, а во многих специальностях и хорошего владения передовыми методами
прикладной и «компьютерной» математики, что предполагает проведение лабораторных работ с
применением ЭВМ. Выполнение лабораторных работ должно развивать у студентов навыки математического моделирования с учетом избранной специальности, правильной организации вычислений и умение пользоваться вычислительными средствами и методами современной компьютерной математики.
7
Примерный тематический план
Таблица 1
Шифр специальности
1–43 01 01;
1–43 01 02;
1–43 01 03;
1–43 01 04;
1–43 01 05;
1–43 01 08;
1-53 01 04
Наименование темы
1–37 01 01; 1–37 01 02;
1–37 01 03; 1–37 01 04;
1–37 01 05; 1–37 01 06;
1–37 01 07; 1–37 01 08;
1-52 04 01
Лекции,
час
Практические занятия,
час
Лекции,
час
Практические занятия,
час
1.1. Линейная алгебра и аналитическая
геометрия
1.2. Введение в математический анализ
24
34
24
24
10
12
12
10-14
1.3. Дифференциальное исчисление
функций одной переменной
1.4. Интегральное исчисление функций
одной переменной
1.5. Дифференциальное исчисление
функций многих переменных
1.6. Интегральное исчисление функций
многих переменных
1.7. Обыкновенные дифференциальные
уравнения
1.8. Векторный анализ и элементы теории поля
1.9. Интегралы, зависящие от параметра
24
26
15
14-18
18
20
17
19
12
10
12
10-14
20
16
13
13
20
18
17
17-21
6
4
4
6
5
6
5
5
1.10. Числовые и функциональные ряды
11
8
14
14
1.11. Ряд и интеграл Фурье
6
4
6
6
1.12. Элементы теории функций комплексной переменной
1.13. Операционное исчисление
10
4
-
-
10
8
10
10
1.14. Уравнения математической физики
10
10
6
6
1.15. Теория вероятностей
16
8
25
17
1.16. Математическая статистика
14
10
24
17
216
198
204
188-204
Итого:
Всего аудиторных часов:
414
392-408
8
Продолжение таблицы 1
Шифр специальности
1-38 01 01;
1-38 02 02;
1-38 02 04;
1-52 02 01
1-38 01 02;
1-38 01 04;
1-38 02 01;
1-38 02 03;
1-54 01 01-01;
1-54 01 02
Наименование темы
Лекции,
час
Практические занятия,
час
Лекции,
час
Практические занятия,
час
20
20
20
20
8
10
12
16
10
12
14
18
16
18
16
16
14
16
14
14
12
13
16
16
18
18
20-22
22
4
4
4
6
2
2
2
2
1.10. Числовые и функциональные ряды
12
16
13
15
1.11. Ряд и интеграл Фурье
8
8
5
5
8
8
8
10
8
8
6
6-8
1.1. Линейная алгебра и аналитическая
геометрия
1.2. Введение в математический анализ
1.3. Дифференциальное исчисление
функций одной переменной
1.4. Интегральное исчисление функций
одной переменной
1.5. Дифференциальное исчисление
функций многих переменных
1.6. Интегральное исчисление функций
многих переменных
1.7.Обыкновенные дифференциальные
уравнения
1.8. Векторный анализ и элементы теории поля
1.9. Интегралы, зависящие от параметра
1.12. Элементы теории функций комплексной переменной
1.13. Операционное исчисление
1.14. Уравнения математической физики
1.15. Теория вероятностей
12
13
8
10
16-18
18
14
14
1.16. Математическая статистика
16-18
18
12
12
184-188
202
184-186
202-204
Итого:
Всего аудиторных часов:
386-390
386-390
9
Продолжение таблицы 1
Шифр специальности
1-36 01 02;
1-36 01 05;
1-36 01 06;
1-36 02 01
Наименование темы
1.1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1.2. Введение в математический
анализ
1.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1.4. Интегральное исчисление
функций одной переменной
1.5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
1.6. Интегральное исчисление
функций многих переменных
1.7.Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.8. Векторный анализ и элементы теории поля
1.9. Интегралы, зависящие от
параметра
1.10. Числовые и функциональные ряды
1.11. Ряд и интеграл Фурье
1.12. Элементы теории функций
комплексной переменной
1.13. Операционное исчисление
1-42 01 01;
1-42 01 02
Лекции,
час
Практичекие
занятия,
час
Лабораторные
работы,
час
Лекции,
час
Практические
занятия,
час,
Лабораторные
работы,
час
16
32
-
14
30
-
6
12
-
8
16
-
12
24
-
12
22
-
14
20
10
12
20
10
6
6
-
6
6
-
12
22
-
14
22
-
10
16
7
8
16
7
2
6
-
4
6
-
4
8
-
4
8
-
7
14
-
6
14
-
3
6
-
2
4
-
10
20
-
6
12
-
-
-
-
-
-
-
1.14. Уравнения математической
физики
1.15. Теория вероятностей
-
-
-
6
10
-
10
20
-
10
20
-
1.16. Математическая статистика
8
14
17
8
14
17
120
220
34
120
220
34
Итого:
Всего аудиторных часов:
374
374
10
Продолжение таблицы 1
Шифр специальности
1-36 01 01;
1-36 01 03;
1-36 01 04;
1-55 01 01;
1-55 01 02;
1-55 01 03;
1-53 01 01-01;
1-70 05 01
Наименование темы
1-36 11 01-01;
1-36 11 01-02;
1-70 03 02
Лекции,
час
Практичекие занятия,
час
Лекции,
час
Практические
занятия,
час,
Лабораторные
работы,
час
20
20
22
22
-
12
10
12
12
-
18
18
18
18
-
14
14
13
27
-
14
14
16
16
-
14
14
13
10
7
20
20
18
30-32
4
4
4
4
2
-
4
4
4
6
-
1.10. Числовые и функциональные ряды
16
16
14
10
-
1.11. Ряд и интеграл Фурье
8
8
4
2-4
-
4
4
-
-
-
8
8
10
6
-
1.1. Линейная алгебра и аналитическая
геометрия
1.2. Введение в математический анализ
1.3. Дифференциальное исчисление
функций одной переменной
1.4. Интегральное исчисление функций
одной переменной
1.5. Дифференциальное исчисление
функций многих переменных
1.6. Интегральное исчисление функций
многих переменных
1.7.Обыкновенные дифференциальные
уравнения
1.8. Векторный анализ и элементы теории поля
1.9. Интегралы, зависящие от параметра
1.12. Элементы теории функций комплексной переменной
1.13. Операционное исчисление
1.14. Уравнения математической физики
1.15. Теория вероятностей
-
-
6
4
6
16
16
16
7
7
1.16. Математическая статистика
16
16
18
10
10
188
186
188
182-186
34
Итого:
Всего аудиторных часов:
374
404-408
11
Продолжение таблицы 1
Шифр специальности
Наименование темы
1-53 01 01-02;
1-53 01 01-10;
1-53 01 06
1-70 01 01;
1-70 02 01;
1-70 02 02
1-53 01 05;
1-36 20 03
ПрактиПрактиПрактиЛекции, чекие Лекции, чекие Лекции, ческие
час
занятия,
час
занятия,
час
занятия,
час
час
час
1.1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1.2. Введение в математический
анализ
1.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1.4. Интегральное исчисление
функций одной переменной
1.5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
1.6. Интегральное исчисление
функций многих переменных
1.7.Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.8. Векторный анализ и элементы теории поля
1.9. Интегралы, зависящие от
параметра
1.10. Числовыеи функциональные ряды
1.11. Ряд и интеграл Фурье
1.12. Элементы теории функций
комплексной переменной
1.13. Операционное исчисление
Лабораторные
работы,
час
28
28
28
28
22
22
-
10
10
10
10
12
12
-
13
13
13
13
16
16
-
10
10
10
10
18
18
-
14
14
14
14
12
12
-
12
12
12
12
12
12
7
22
22
20-22
20-22
18
17
-
6
6
6
6
4
4
-
4
4
4
4
4
4
-
16
16
14-16
14-16
14
6
4
8
8
8
8
6
3
-
14
14
14
14
14
10
-
7
7
7
7
10
10
-
1.14. Уравнения математической
физики
1.15. Теория вероятностей
6
6
6
6
8
8
6
16
26
16
16
16
16
7
1.16. Математическая статистика
18
24
18
18
18
-
10
Итого:
204
220
204
170
34
Всего аудиторных часов:
424
200-204 200-204
400-408
408
12
Продолжение таблицы 1
Шифр специальности
Наименование темы
1-36 01 07;
1-36 11 01-04;
1-36 20 02;
1-43 01 06;
1-43 01 07;
1-44 01 01;
1-44 01 02
1-36 20 04;
1-08 01 01
(кроме
направления
1-08 01 01-04)
1-70 03 01
ПрактиПрактиПрактиЛекции, чекие Лекции, чекие Лекции, ческие
час
занятия,
час
занятия,
час
занятия,
час
час
час
1.1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1.2. Введение в математический
анализ
1.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1.4. Интегральное исчисление
функций одной переменной
1.5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
1.6. Интегральное исчисление
функций многих переменных
1.7.Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.8. Векторный анализ и элементы теории поля
1.9. Интегралы, зависящие от
параметра
1.10. Числовые и функциональные ряды
1.11. Ряд и интеграл Фурье
Лабораторные
работы,
час
27
25
26
24
22
22
-
10
10
15
13
12
12
-
14
14
10
10-16
18
18
-
17
17
10
10-14
16
16
-
13
13
10
10-14
16
16
-
16
16
6
6
10
10
7
16
16
10
10-14
17
17
-
4
2
-
-
4
4
-
5
5
4
4
4
4
-
15
15
10
10
14
10
4
4
4
6
6
6
4
10
4
10
4
13
10
-
7
3
8
4
10
6
-
12
12
8
4
8
4
6
22
20
15
15
16
7
7
1.16. Математическая статистика
12
12
14
14
18
10
10
Итого:
204
188
162
144-162
204
170
34
1.12. Элементы теории функций
комплексной переменной
1.13. Операционное исчисление
1.14. Уравнения математической
физики
1.15. Теория вероятностей
Всего аудиторных часов:
392
306-324
408
13
Продолжение таблицы 1
Шифр специальности
1-36 20 01
Наименование темы
1-37 03 02;
1-70 04 01;
1-70 04 02;
1-70 04 03;
1-70 07 01;
1-08 01 01-04
1-36 10 01;
1-36 13 01;
1-51 02 01
ПрактиПрактиПрактиЛекции, чекие Лекции, чекие Лекции, ческие
час
занятия,
час
занятия,
час
занятия,
час
час
час
1.1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1.2. Введение в математический
анализ
1.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1.4. Интегральное исчисление
функций одной переменной
1.5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
1.6. Интегральное исчисление
функций многих переменных
1.7.Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.8. Векторный анализ и элементы теории поля
1.9. Интегралы, зависящие от
параметра
1.10. Числовые и функциональные ряды
1.11. Ряд и интеграл Фурье
Лабораторные
работы,
час
25
25
20
22
26-22
20-22
-
12
10
10
12
16-12
10-12
-
24
25
13
16
10-18
10-18
-
16
14
16
18
10-13
8-13
-
10
8
10
12
10-16
10-16
-
16
12
10
12
6-12
6-10
-
16
16
14
16
10-17
10-17
-
4
2
4
4
0-6
0-2
-
4
4
4
4
4
4
-
14
10
14
14
10-14
6-10
-
8
4
4
6
4
2
-
10
6
-
-
4-0
2-0
-
8
6
9
10
10
2-6
-
18
14
8
8
4-6
4
-
15
10
16
16
14-16
12-16
6
1.16. Математическая статистика
16
14
18
18
16-18
14-18
10
Итого:
216
180
170
188
1.12. Элементы теории функций
комплексной переменной
1.13. Операционное исчисление
1.14. Уравнения математической
физики
1.15. Теория вероятностей
Всего аудиторных часов:
396
358
154-188 120-170
290-374
16
14
1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1.1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
1. Матрицы и линейные операции над ними. Произведение матриц. Транспонирование
матрицы.
2. Определители 2 и 3 порядка и их свойства. Определитель n-го порядка.
3. Обратная матрица и её построение. Теорема существования и единственности обратной
матрицы.
4. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров и элементарными преобразованиями.
5. Системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Матричный метод решения невырожденных систем. Формулы Крамера. Однородные системы линейных уравнений.
Фундаментальная система решений.
6. Декартова и полярная система координат. Векторы в пространстве и линейные операции над ними. Условие коллинеарности векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Понятие базиса. Координаты вектора.
7. Скалярное произведение векторов, его свойства и механический смысл. Скалярное
произведение в координатной форме. Условие перпендикулярности двух векторов.
8. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов, его
свойства, геометрический и физический смысл. Векторное произведение в координатной форме.
9. Смешанное произведение векторов, его геометрический и механический смысл. Условие компланарности трёх векторов.
10. Прямая на плоскости и способы её задания. Различные виды уравнений прямой на
плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
11. Окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения.
Приложения геометрических свойств этих кривых. Общее уравнение кривых второго порядка в
декартовой системе координат. Уравнения кривых второго порядка в полярных координатах.
12. Плоскость в пространстве и различные формы её задания. Угол между плоскостями.
Расстояние от точки до плоскости. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.
13. Прямая в пространстве и способы её задания. Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
14. Эллипсоид, гиперболоид, параболоид, конус, цилиндр. Метод сечений в исследовании
уравнений поверхностей. Общее уравнение поверхности второго порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические и конические поверхности.
15. Линейное векторное пространство. Подпространство. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис и размерность. Координаты векторов. Преобразование координат вектора при замене базиса.
16. Евклидово пространство. Неравенство Буняковского-Коши. Ортогональный и ортонормированный базисы. Разложение вектора по ортогональному базису.
17. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами. Зависимость между матрицами линейного оператора в различных базисах.
18. Собственные векторы и собственные значения матриц и их свойства. Характеристическое уравнение и многочлен матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду.
19. Квадратичные формы и их матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Знакоопределённые квадратичные формы. Условия знакоопределённости квадратичных форм. Применение квадратичных форм к исследованию
кривых и поверхностей второго порядка.
20. Комплексные числа и действия над ними. Поле комплексных чисел. Алгебраическая,
тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. Формулы Муавра и Эйлера.
Сопряжённые числа.
15
21. Алгебраические многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение
многочлена на множители над полем комплексных и над полем действительных чисел.
22. Разложение рациональных дробей на простейшие дроби. Методы вычисления коэффициентов разложения.
1.2. Введение в математический анализ
I. Множества и действия над ними. Элементы математической логики. Логические символы. Необходимое и достаточное условия. Прямая и обратная теоремы. Метод математической
индукции. Бином Ньютона.
2. Поле действительных чисел. Модуль действительного числа. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Наибольший и наименьший элементы числового множества.
Верхняя и нижняя грани числового множества.
3. Понятие предела числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Монотонные последовательности, критерий их сходимости. Число е. Натуральные логарифмы.
4. Функция. Предел функции в точке и на бесконечности. Свойства функций, имеющих
предел. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
5. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции и их классификация. Непрерывность элементарных функций. Замечательные пределы.
6. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции и их применение к
вычислению пределов.
7. Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства. Теорема Коши о промежуточном
значении. Обратная функция и её непрерывность.
1.3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. Производная функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной
и нормали к кривой. Правила дифференцирования, производная сложной и обратной функции.
Производные элементарных функций. Таблица производных. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
2. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала в
приближённых вычислениях. Инвариантность формы первого дифференциала. Непрерывность
дифференцируемой функции.
3. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.
4. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Виды неопределённостей. Правило Лопиталя.
5. Формула Тейлора и различные формы её остаточного члена. Основные разложения
элементарных функций по формуле Тейлора и их приложения.
6. Монотонность и экстремумы функции. Теорема Ферма. Необходимые и достаточные
условия экстремума. Выпуклость и точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема
исследования функции и построения её графика.
7. Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Понятие об эволюте и эвольвенте. Векторная функция скалярного аргумента: определение, предел, непрерывность. Дифференцирование векторной функции. Геометрический и механический смысл производной. Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе.
1.4. Интегральное исчисление функций одной переменной
1. Первообразная функция. Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных
неопределённых интегралов. Замена переменной в неопределённом интеграле и интегрирование
по частям.
2. Интегрирование рациональных функций разложением на сумму простых дробей.
3. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции и некоторые
иррациональные функции.
16
4. Понятие определённого интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций. Интегрирование непрерывных и кусочнонепрерывных функций.
5. Интеграл с переменным верхним пределом и его дифференцирование. Формула Ньютона-Лейбница.
6. Замена переменной в определённом интеграле. Формула интегрирования по частям
определённого интеграла.
7. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площадей плоских
фигур; объемов тел; длин дуг; площадей поверхностей вращения.
8. Физические приложения определённых интегралов: вычисление работы; пути; давления; массы; центра тяжести; статических моментов и моментов инерции.
9. Несобственные интегралы первого и второго рода. Определения, признаки сходимости,
абсолютная и условная сходимость.
1.5. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
1. Множества на плоскости и в пространстве. Функции многих переменных (ФМП). Предел ФМП в точке и его свойства. Повторные пределы. Непрерывность ФМП в точке и на множестве.
2. Частные производные ФМП. Дифференциал ФМП и его связь с частными производными. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
3. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению ФМП и градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала функции
двух переменных.
4. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных. Понятие неявной ФМП, её существование и дифференцирование.
5. Понятие экстремума ФМП. Необходимое и достаточные условия экстремума. Метод
наименьших квадратов. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Условный экстремум; метод множителей Лагранжа.
1.6. Интегральное исчисление функций многих переменных
1. Определение двойного интеграла и его свойства. Геометрический и физический смысл
двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Перемена порядка интегрирования в повторном интеграле.
2. Тройной интеграл, его определение, свойства, вычисление в декартовой системе координат.
3. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве. Якобиан и его геометрический смысл. Замена переменных в двойном и тройном интегралах. Двойной интеграл в полярной
системе координат. Тройной интеграл в цилиндрической и сферической системах координат.
4. Приложения кратных интегралов: вычисление объёмов; площадей; статических моментов; центра тяжести; моментов инерции.
5. Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов первого рода. Приложения криволинейных интегралов первого рода.
6. Определение, свойства и вычисление криволинейных интегралов второго рода. Приложения криволинейных интегралов второго рода. Связь криволинейных интегралов первого и
второго рода.
7. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
8. Площадь поверхности. Поверхностный интеграл первого рода (ПОВИ-1), его вычисление, свойства, приложения.
9. Нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Ориентация двусторонней поверхности. Поверхностный интеграл второго рода (ПОВИ-2), его вычисление и
свойства. Формулы Остроградского и Стокса. Связь ПОВИ-1 и ПОВИ-2.
17
1.7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ). Общее и
частное решение ДУ. ДУ 1-го порядка. Задача Коши для ДУ первого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для ДУ первого порядка. Поле направлений,
изоклины.
2. Примеры ДУ первого порядка, интегрируемых в квадратурах: с разделяющимися переменными; однородные; в полных дифференциалах; линейные; Бернулли.
3. Общие понятия о ДУ высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка. Понятие о краевых задачах. Линейные однородные ДУ и свойства их решений. Структура общего решения неоднородных линейных ДУ высших порядков.
4. Линейные однородные ДУ высших порядков, свойства их решений. Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского. Линейные однородные ДУ с
постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Линейное неоднородное ДУ с
постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Метод вариации произвольных
постоянных.
5. Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Линейное неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами.
6. Устойчивость по Ляпунову решений линейных систем второго порядка. Устойчивость
нелинейных систем по первому приближению. Фазовая плоскость и особые точки двумерных
систем.
1.8. Векторный анализ и элементы теории поля
1. Скалярные и векторные поля. Векторные линии поля и их дифференциальные уравнения.
2. Потенциальное поле. Потенциальная функция поля. Поток векторного поля.
3. Дивергенция векторного поля. Её физический смысл. Формула Остроградского–Гаусса.
4. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция и ротор векторного поля. Формула Стокса и ее физический смысл.
5. Оператор Гамильтона. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор
Лапласа. Дифференциальные операции первого и второго порядков в цилиндрических и сферических координатах.
1.9. Интегралы, зависящие от параметра
1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Их непрерывность, дифференцирование и интегрирование.
2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (НИЗОП). Равномерная сходимость
НИЗОП, признак Вейерштрасса. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости НИЗОП.
3. Гамма-функция, бетта-функция и их применение.
1.10. Числовые и функциональные ряды
1. Числовой ряд и его сумма. Необходимое условие сходимости ряда. Критерий Коши
сходимости числового ряда. Достаточные условия сходимости ряда: признаки сравнения; признаки Даламбера и Коши; интегральный признак. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
2. Функциональные ряды, сумма ряда и область сходимости. Равномерная сходимость
функциональных рядов. Критерий Коши и признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование
функционального ряда.
3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенного ряда.
18
4. Ряды Тейлора. Теорема о единственности разложения функций в ряд Тейлора. Достаточные условия представления функции рядом Тейлора. Разложение некоторых элементарных
функций в ряд Тейлора.
5. Применение рядов к решению дифференциальных уравнений, вычислению определенных интегралов.
1.11. Ряд и интеграл Фурье
1. Ортогональность тригонометрической системы функций. Тригонометрический ряд
Фурье. Достаточные условия сходимости тригонометрических рядов Фурье. Ряд Фурье для
функций с периодом 2, и для функций с произвольным периодом. Тригонометрический ряд
Фурье в комплексной форме.
2. Интеграл Фурье. Косинус- и синус-преобразования Фурье и их свойства. Комплексная
форма интеграла Фурье.
1.12. Элементы теории функций комплексной переменной
1. Функции комплексной переменной. Предел и непрерывность функции комплексной
переменной.
2. Производная функции комплексной переменной. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие аналитической функции, условия Коши-Римана. Связь аналитических и гармонических функций. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Конформные преобразования.
3. Интеграл от функции комплексной переменной. Теорема Коши и интегральная формула Коши.
4. Функциональные ряды в комплексной области. Степенные ряды в комплексной области: теорема Абеля; радиус и круг сходимости. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. Нули аналитических функций и их классификация.
5. Ряд Лорана и область его сходимости. Изолированные особые точки аналитических
функций: устранимые особые точки; полюсы и их связь с нулями; существенно особые точки.
6. Вычеты аналитических функций. Основная теорема о вычетах. Приложения вычетов к
вычислению определённых интегралов.
1.13. Операционное исчисление
1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Свойства преобразования Лапласа:
линейность; подобие; дифференцирование оригинала и изображения; интегрирование оригинала
и изображения; запаздывание оригинала; смещение изображения; изображение свёртки. Формула обращения преобразования Лапласа. Теоремы разложения.
2. Применение преобразования Лапласа к решению обыкновенных дифференциальных
уравнений и систем, уравнений с частными производными.
1.14. Уравнения математической физики
1. Вывод основных уравнений математической физики: колебаний струны; теплопроводности.
2. Методы Даламбера и Фурье решения уравнений математической физики.
3. Уравнение Лапласа. Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.
4. Метод сеток решений уравнений математической физики.
19
1.15. Теория вероятностей
1. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения и сочетания.
2. Пространство элементарных событий, алгебра событий. Относительная частота и вероятность события. Аксиоматическое и классическое определения вероятности. Теоремы сложения
и умножения.
3. Условная вероятность. 3ависимые и независимые события. Формула полной вероятности, формулы Байеса.
4. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Предельные теоремы
Муавра-Лапласа и Пуассона. Случайные величины. Функция распределения случайной величины, ее свойства. Дискретные случайные величины, полигон распределения. Непрерывные случайные величины, функция и плотность распределения.
5. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной
величины. Моменты случайной величины.
6. Основные законы распределения. Биномиальный закон распределения, закон распределения Пуассона, равномерный закон распределения, показательный закон распределения, нормальный закон распределения. Функция Лапласа, правило трёх сигм.
7. Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенства Маркова и Чебышева. Теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема Ляпунова.
8. Системы случайных величин (случайные векторы). Функция и плотность распределения систем двух случайных величин, их свойства. Вероятность попадания случайной точки в заданную область. Зависимые и независимые случайные величины. Числовые характеристики систем случайных величин. Начальные и центральные моменты. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции.
1.16. Математическая статистика
1. Задачи математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Статистические ряды. Числовые характеристики выборки. Полигон и гистограмма.
2. Основные статистические распределения:  2 -распределение, распределение Фишера и
Стьюдента.
3. Статистические оценки параметров. Точечные и интервальные оценки. Методы нахождения точечных оценок: метод моментов Пирсона, метод максимального правдоподобия, метод
наименьших квадратов. Интервальные оценки: доверительный интервал, уровень значимости.
Доверительный интервал для математического ожидания при известной и неизвестной дисперсии.
4. Статистическая проверка гипотезы. Ошибки первого и второго родов. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий. Критерии согласия Неймана-Пирсона,  2 -Пирсона,
А. Н. Колмогорова.
5. Понятие о регрессионном и корреляционном анализе. Линейная регрессия. Определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.
6. Нелинейная регрессия. Корреляционное отношение.
Информационная часть
Л и т е р а т у р а
Основная
1. Апатёнок Р. Ф. и др. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. –Мн.: Вышэйшая школа, 1986.
2. Апатёнок Р. Ф. и др. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. –Мн.:
Вышэйшая школа, 2003.
3. Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. –Мн. «Тетрасистемс»,
1998.
4. Гусак А. А. Высшая математика. Ч. 1. Ч. 2. –Мн. «Тетрасистемс», 2000.
20
5. Русак В. М. i iнш. Вышэйшая матэматыка (у двух частках). –Мн.: Вышэйшая школа. Ч.1. –
1994; Ч.2 –1996.
6.Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Дифференциальное исчисление. –Мн.: Вышэйшая школа, 1992
7.Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика. Функции многих переменных. Интегральное
исчисление. –Мн.: Вышэйшая школа, 1993.
8.Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Ряды. Уравнения математической физики. Теория функций комплексной переменной. –Мн.: ИРФ «Обозрение», 1997.
9.Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика. Операционное исчисление. Теория вероятностей. Математическая статистика. Случайные процессы. –Мн.: ИРФ «Обозрение», 1997.
10. Микулик Н. А., Метельский А. В. Теория вероятностей и математическая статистика. Мн.:
Пион, 2002.
11. Мiкулiк Н. А., Рэйзiна Г. Н. Тэорыя iмавернасцей i матэматычная статыстыка. –Мн., БГПА,
2000.
12. Минюк С.А. и другие Математика для инженеров Т.1,2 под научной редакцией профессора
Микулика Н.А. Минск. “Элайда”. 2006.
13. Минюк С.А. и другие Высшая математика. Под общей редакцией профессора Микулика
Н.А.Минск. “Элайда”. 2004.
14. Типовая программа по математике. Утверждена 01.02.2004 года. Регистрационный № ТДТ.003/тип.
15. Сухая Т.А., Бубнов В. Ф. Сборник задач по высшей математике. Ч. 1-2. –Мн., «Выш. шк.,
1993.
16. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. –М.: Наука, 1985.
Дополнительная
1. Андриянчик А.Н., Микулик Н.А. и другие. Математика. Ч. 1,2. Мн. БНТУ. 2005.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшее образование,
2006.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., «Высшая школа». 2005.
4. Гусак А. А., Бричикова Е. А., Гусак Г. М. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление. –Мн. «Тетрасистемс», 2002.
5. Гурский И. Е. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике.
–Мн.: Вышэйшая школа, 1984.
6. Шипачёв В. С. Высшая математика. –М.: Высшая школа, 1985.
7. Микулик Н. А., Рейзина Г. Н. Решение технических задач по теории вероятностей и математической статистике. –Мн.: Вышэйшая школа, 1991
8. Лебедева Г. И., Микулик Н. А. Прикладная математика. Ч. 1. –Мн.: ВУЗ-ЮНИТИ, 1998
9. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Под редакцией Ефимова А. В. и Демидовича Б. П. –М.: Наука, 1986
10. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Под ред. Рябушко А. П. в четырех
частях. Мн.: Выш. школа, 2000-2002
11. Данко П.Е. и другие Высшая математика в упражнениях и задачах в 2 частях. М.: Онике,
2005.
Примерный перечень лабораторных занятий
1.
2.
3.
4.
Определение эмпирических зависимостей по методу наименьших квадратов.
Численные методы решения дифференциальных уравнений.
Определение точечных интервальных оценок параметров распределения.
Численные методы решения уравнений математической физики.
21
5.
6.
7.
Статистическая проверка гипотез по методу Пирсона и Колмогорова.
Определение коэффициента корреляции и коэффициента регрессиию
Решение задачи Дирихле методом конечных разностей.
Примерный перечень практических занятий
1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
1. Операции над матрицами.
2. Вычисление определителей.
3. Нахождение обратной матрицы.
4. Решение невырожденных систем.
5. Определение ранга матрицы.
6. Решение произвольных систем.
7. Решение однородных систем.
8. Скалярное и векторное произведение.
9. Смешанное произведение.
10. Решение задач на плоскость в пространстве.
11. Решение задач на прямую.
12. Решение задач на кривые второго порядка.
13. Поверхности второго порядка.
2. Введение в математический анализ
1. Нахождение пределов функций.
2. Нахождение пределов с помощью замечательных пределов.
3. Исследование функций на непрерывность.
4. Контрольная работа.
5. Дифференцирование функций.
6. Дифференцирование функций, заданных неявно.
7. Нахождение дифференциала функций.
8. Производные и дифференциалы высших порядков.
9. Нахождение пределов с помощью правила Лопиталя.
10. Экстремум функции, монотонность.
11. Точки перегиба, выпуклость и вогнутость кривой.
12. Асимптоты.
13. Исследование функций.
3. Неопределенный интеграл
1. Замена переменной в неопределенном интеграле.
2. Интегрирование по частям.
3. Разложение рациональных дробей на простейшие дроби.
4. Интегрирование рациональных дробей.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
6. Интегрирование иррациональных функций.
4. Определенный интеграл
1. Вычисление определенного интеграла.
2. Нахождение площадей криволинейных трапеций.
3. Нахождение длин кривых и объемов.
4. Несобственные интегралы. Контрольная работа.
Раздел 5. Функции нескольких переменных
1. Нахождение частных производных и полных дифференциалов.
2. Производные от неявно заданных функций. Производная сложной функции.
3. Частные производные и полные дифференциалы высших порядков.
22
4. Производная по направлению.
5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
6. Экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
7. Условный экстремум.
6. Дифференциальные уравнения (ДУ)
1. Решение ДУ с разделяющимися переменными и однородных.
2. Решение линейных ДУ и уравнений Бернулли.
3. ДУ в полных дифференциалах.
4. ДУ высших порядков, допускающие понижение порядка.
5. Решение однородных линейных ДУ.
6. Метод Лагранжа.
7. Решение неоднородных ДУ со специальной правой частью.
8. Решение систем ДУ.
7. Числовые и функциональные ряды
1. Исследование числовых рядов на сходимость.
2. Достаточные признаки сходимости.
3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.
6. Определение области сходимости степенного ряда.
7. Разложение функций в ряды Тейлора.
8. Применение рядов для приближенных вычислений.
9. Разложение функций в ряды Фурье на [-,].
10. Разложение функций в ряды Фурье на [-l,l].
8. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
1. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
2. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат.
3. Вычисление двойных интегралов в полярной системе координат.
4. Вычисление тройных интегралов в цилиндрической и сферической системах координат.
5. Применение двойных и тройных интегралов для решения задач геометрии и механики.
6. Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов первого рода.
7. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Формула Грина.
8. Вычисление поверхностных интегралов второго рода. Поток векторного поля.
9. Решение задач на формулы Остроградского-Гаусса и Стокса.
9. Элементы операционного исчисления
1. Нахождение изображений функций.
2. Нахождение оригиналов по изображениям.
3. Решение ДУ и систем ДУ.
10. Теория вероятностей
1. Элементы комбинаторики.
2. Решение задач на классическое определение вероятности.
3. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
4. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
5. Схема повторных независимых испытаний.
6. Функция распределения. Плотность распределения. Числовые характеристики.
7. Законы распределения дискретных СВ.
8. Законы распределения непрерывных СВ.
23
9. Двумерные СВ. Функция распределения. Условные законы распределения.
10. Числовые характеристики двумерных СВ. Вычисление коэффициента корреляции.
11. Решение задач на предельные теоремы.
11. Элементы математической статистики
1. Полигон, гистограмма. Вычисление точечных характеристик.
2. Определение доверительных интервалов.
3. Критерий согласия  2 .
4. Критерий согласия Колмогорова.
5. Вычисление выборочного коэффициента корреляции. Прямая регрессии. Криволинейная регрессия.
Примерное содержание расчетно-графических работ
1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
2. Предел. Производная и ее применение.
3. Неопределенный и определенный интеграл.
4. Дифференциальные уравнения.
5. Числовые, функциональные ряды и ряды Фурье.
6. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы.
7. Теория вероятностей.
8. Математическая статистика.
Примерная тематика контрольных работ
1. Матрицы. Решение линейных алгебраических уравнений.
2. Дифференцирование функций.
3. Интегрирование функций.
4. Дифференциальные уравнения.
5. Числовые и степенные ряды.
6. Кратные интегралы.
7. Теория вероятностей.
24
2. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КУРСЫ
В настоящей типовой программе предлагаются ряд специальных математических курсов,
которые изучаются после основного курса математики и способствуют лучшему усвоению курсов по будущим специальностям студентов.
Спецкурсы могут излагаться за счет часов вузовского компонента.
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
Содержание
1. Линейные операторы
1. Линейные операторы. Пространство линейных операторов. Умножение операторов.
Ядро и образ оператора. Матрица оператора. Изоморфность алгебры операторов и алгебры матриц. Матрица оператора при замене базиса.
2. Сопряженный оператор и его матрица в ортонормированном базисе. Самосопряженный
оператор. Теорема Фредгольма.
3. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора.
2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений и элементы теории устойчивости
1. Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши для нормальной системы. Существование и единственность решения задачи Коши. Общее и частное решение системы.
2. Системы линейных дифференциальных уравнений. Матричная запись системы. Задача
Коши. Структура общего решения в векторном виде. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Структура ее общего решения.
3. Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений и систем по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости. Случай чисто мнимых корней. Классификация точек покоя для системы
двух уравнений.
4. Нелинейные системы. Устойчивость по линейному приближению. Теоремы Ляпунова.
Автономные системы. Метод функций Ляпунова.
3. Дискретное преобразование Лапласа и его применение
1. Понятие о решетчатой функции. Дискретное преобразование Лапласа, его основные
свойства. Теоремы опережения, запаздывания, смещения. Дифференцирование и интегрирование изображения. Дифференцирование и интегрирование по параметру. Теорема умножения
изображений.
2. Изображение разностей и сумм решетчатых функций. Формула обращения дискретного
преобразования Лапласа. Решение разностных уравнений с помощью дискретного преобразования Лапласа. Понятие о Z- и W-преобразованиях и их применения.
Примерный тематический план
№ п.п.
1
1.
2.
Тема
2
Линейные операторы
Системы обыкновенных дифференциальных
уравнений и элементы теории устойчивости
лек
3
8
20
пр.зан
4
4
10
25
1
3.
2
Дискретное преобразование Лапласа и его применение
Итого:
3
8
4
4
36
18
Информационная часть
1. Л и т е р а т у р а
Основная
1.
2.
3.
4.
5.
Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М., 1979
Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М., 1978
Цыпкин Я. З. Теория линейных импульсных систем. М., Наука, 1980
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М., Наука, 1970
Краснов М. Л. и др. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.,
Высшая школа, 1978
2. Примерный перечень практических занятий
1. Линейные операторы
1. Линейные операторы. Умножение операторов. Ядро и образ оператора. Матрица оператора. Матрица оператора при замене базиса.
2. Сопряженный оператор и его матрица в ортонормированном базисе. Самосопряженный
оператор. Теорема Фредгольма.
3. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора.
2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений и элементы теории устойчивости
1. Системы линейных дифференциальных уравнений. Матричная запись системы. Задача
Коши. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
2. Контрольная работа.
3. Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений и систем по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Необходимое и достаточное условие асимптотической устойчивости. Случай чисто мнимых корней. Классификация точек покоя для системы
двух уравнений.
4. Нелинейные системы. Устойчивость по линейному приближению. Теоремы Ляпунова.
Автономные системы. Метод функций Ляпунова.
3. Дискретное преобразование Лапласа и его применение
1. Дискретное преобразование Лапласа. Теоремы опережения, запаздывания, смещения.
Дифференцирование и интегрирование изображения. Дифференцирование и интегрирование по
параметру. Теорема умножения изображений.
2. Изображение разностей и сумм решетчатых функций. Формула обращения дискретного
преобразования Лапласа. Решение разностных уравнений с помощью дискретного преобразования Лапласа. Понятие о Z- и W-преобразованиях и их применения.
3. Примерное содержание расчетно-графических работ
1. Дискретное преобразование Лапласа.
26
2. ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ
Содержание
1. Дискретная математика. Теория множеств и отношения
1. Множества. Операции над множествами и их свойства. Булева алгебра множеств.
Отображения множеств. Композиция отображений. Виды отображений. Критерий обратимости.
Декартово произведение множеств.
2. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности, фактор-множества. Отношения частичного порядка. Частично упорядоченные, линейно упорядоченные и вполне упорядоченные
множества. Решетки.
3. Мощность множества. Сравнение мощностей. Кардинальные числа. Теорема Кантора.
Понятие об алгебраических структурах. Группы, кольца, поля.
2. Математическая логика
1. Высказывания. Логические союзы. Формулы. Тавтологии. Законы логики. Булевы
функции. Пропозиционные формулы. Многочлены Жегалкина. Полные системы булевых функций. Теоремы о полноте. Базисы. Нормальные формы булевых функций. СДНФ и СКНФ. Теорема Шеннона. Минимизация булевых функций в классе ДНФ. Алгоритм Квайна. Метод карт
Карно. Реализации булевых функций. Логические схемы.
2. Предикаты. Кванторы. Формулы исчисления предикатов. Предваренная нормальная
форма. Понятие об алгоритмических теориях. Полнота и непротиворечивость. Теоремы Геделя.
Понятие о машине Тьюринга.
3. Теория графов
1. Основные определения: графы, мультиграфы, псевдографы, орграфы. Числовые характеристики и матрицы графов и орграфов. Изоморфные графы. Маршруты, пути, циклы, цепи.
Связные компоненты графа. Расстояние в графах. Радиус, диаметр, центры связного графа. Алгоритм поиска в ширину.
2. Остовы и деревья. Алгоритмы нахождения остовов минимального веса, пути минимальной длины. Циклы и разрезы. Циклический и коциклический ранг графа. Двудольные графы. Критерий двудольности. Задачи о назначениях и о паросочетаниях. Теорема Менгера. Сети.
Двудольные сети. Задача о наибольшем потоке. Теорема Форда – Фалкерсона.
3. Планарные графы. Теорема Куратовского-Понтрягина. Раскраски графа. Хроматическое число графа. Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости графа. Гамильтоновы графы. Задача
коммивояжера. Метод ветвей и границ.
Примерный тематический план
№ п.п.
1.
2.
3.
Тема
Дискретная математика. Теория множеств и отношения
Математическая логика
Теория графов
Итого:
лек
12
пр.зан
6
10
14
36
6
6
18
27
Информационная часть
1. Л и т е р а т у р а
Основная
1.
2.
3.
4.
5.
Карпов В. Г., Мощенский В. А. Математическая логика и дискретная математика. Мн., 1977
Нефедов В. Н., Осипенко В. А. Курс дискретной математики. М., 1992
Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. М., 1990
Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М., 1986
Судовлатов С. В., Овчинникова Е. В. Элементы дискретной математики. М., 2002
Дополнительная
1. Кузнецов А. В., Сакович В. А., Холод Н. И. Высшая математика. Математическое программирование. Мн., 1994
2. Горбатов В. А. Основы дискретной математики. М., 1984
3. Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера. М., 1988
4. Вольвачев Р. Т. Элементы математической логики и теории множеств. Мн., 1986
5. Мощенский В. А. Лекции по математической логике. Мн., 1973
6. Емеличев В. А. и др. Лекции по теории графов. М., 1990
7. Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. М., 1984
8. Белов В. В., Воробьев Е. М., Шаталов В. Е. Теория графов. М., 1976
9. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.,
1979
10. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. М.,
1985
11. Евстигнеев В. А. Применение теории графов в программировании. М.,1985
12. Липский В. Комбинаторика для программистов. М., 1988
13. Лебедева Г. И., Микулик Н. А. Прикладная математика. Мн., ВУЗЮНИТИ, 1998, 2009.
2. Примерный перечень практических занятий
1. Теория множеств и отношения
1. Операции над множествами. Отображения множеств. Композиция отображений.
2. Бинарные отношения. Отношения эквивалентности, фактор-множества. Отношения частичного порядка. Частично упорядоченные, линейно упорядоченные и вполне упорядоченные
множества.
3. Понятие об алгебраических структурах. Группы, кольца, поля.
2. Математическая логика
1. Высказывания. Логические союзы. Формулы. Тавтологии. Законы логики. Булевы
функции. Многочлены Жегалкина. Полные системы булевых функций. Теоремы о полноте. Минимизация булевых функций в классе ДНФ. Алгоритм Квайна. Метод карт Карно.
2. Предикаты. Кванторы. Формулы исчисления предикатов. Предваренная нормальная
форма.
2. Контрольная работа.
3. Теория графов
28
1. Основные определения: графы, мультиграфы, псевдографы, орграфы. Числовые характеристики и матрицы графов и орграфов. Радиус, диаметр, центры связного графа. Алгоритм поиска в ширину.
2. Остовы и деревья. Алгоритмы нахождения остовов минимального веса, пути минимальной длины. Циклы и разрезы. Двудольные графы. Критерий двудольности. Задачи о назначениях и о паросочетаниях. Сети. Задача о наибольшем потоке.
3. Эйлеровы графы. Гамильтоновы графы. Задача коммивояжера. Метод ветвей и границ.
3. Примерное содержание расчетно-графических работ
1. Дискретная математика.
29
3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ТЕОРИИ КОДИРОВАНИЯ И КРИПТОГРАФИИ
Содержание
1. Основы теории чисел
1. Делимость целых чисел. Теорема о делении с остатком. Математические основы теории
кодирования и криптографии. НОД и НОК. Алгоритм Евклида. Соотношение Безу. Взаимно
простые числа. Простые числа. Основная теорема арифметики.
2. Сравнения и их свойства. Применение сравнений при решении задач на делимость.
Классы вычетов и их свойства. Арифметические действия на вычетах.
3. Функция Эйлера и ее свойства. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера. Решение сравнений и систем сравнений. Китайская теорема об остатках.
2. Основы теории групп
1. Понятие группы: определение и примеры. Подгруппы, критерий подгруппы. Порядок
элемента. Циклические группы и подгруппы.
2. Смежные классы по подгруппе и их свойства. Порядок и индекс подгруппы. Теорема
Лагранжа. Нормальные подгруппы. Критерий нормальности. Фактор-группы.
3. Гомоморфизмы групп. Примеры. Мономорфизмы, эпиморфизмы, изоморфизмы, автоморфизмы. Образ и ядро гомоморфизма. Теоремы о гомоморфизмах.
4. Подстановки. Произведение подстановок и его свойства. Симметрическая группа. Разложение подстановки в произведение независимых циклов и произведение транспозиций. Четные и нечетные подстановки. Знакопеременная группа. Теорема Кэли. Действие группы на множестве. Орбиты.
3. Кольца и многочлены
1. Определения кольца, тела, поля. Примеры. Кольцо классов вычетов. Делители нуля.
Мультипликативная группа кольца. Подкольца и идеалы колец.
2. Главные идеалы, простые и максимальные идеалы колец. Идеалы в Z и Zm . Факторкольца. Гомоморфизмы колец.
3. Делимость в кольце многочленов. Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида.
Неприводимые многочлены. Разложение многочлена в произведение степеней неприводимых
многочленов.
4. Многочлены над Q и Z. Лемма Гаусса и теорема Гаусса. Признак неприводимости Эйзенштейна. Многочлены над Zm .
4. Поля
1. Поля и их свойства. Примеры. Характеристика поля. Подполе. Расширения полей. Поле
разложения многочлена.
2. Конечные поля и их свойства. Порядок конечного поля. Единственность конечного поля данного порядка.
3. Порождающий полином конечного поля. Гомоморфизмы и автоморфизмы полей.
Группа Галуа. Норма и след.
4. Алгебраические уравнения в конечных полях
5. Элементы теории кодирования и криптографии
1. Линейные коды. Матричное описание линейных блоковых кодов.
2. Коды Хэмминга. Циклические коды.
3. Криптосистема RSA.
30
Примерный тематический план
№ п.п.
1.
2.
3.
4.
5.
Тема
Основы теории чисел
Основы теории групп
Кольца и многочлены
Поля
Элементы теории кодирования и криптографии
Итого:
лек
6
8
8
8
6
36
пр.зан
4
4
4
6
18
лаб.зан.
4
2
4
4
4
18
Информационная часть
1. Л и т е р а т у р а
Основная
1.
2.
3.
4.
5.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977
Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. М.: Мир, 1976
Харин Ю.С. и др. Математические основы криптологии. Мн.: БГУ, 1999
Бейкер А. Введение в теорию чисел. МН.: Вышэйшая школа, 1995
Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика. М.: Мир, 1999
Дополнительная
1.
2.
3.
4.
5.
Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987
Коутинхо С. Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA. М.: Постмаркет, 2001
Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Т. 1,2. М.: Мир, 1988
Нечаев В.И. Элементы криптографии. Основы защиты информации. М.: Высшая школа, 1999
Конопелько В.К. и др. Прикладная теория кодирования. Мн. 2002
2. Примерный перечень лабораторных занятий
1. НОД и НОК. Алгоритм Евклида.
2. Сравнения и вычеты. Функция Эйлера.
3. Подстановки. Симметрическая группа и ее подгруппы.
4. Кольцо классов вычетов.
5. Многочлены.
6. Поля.
7. Конечные поля.
8. Кодирование.
9. Криптосистема RSA.
3. Примерный перечень практических занятий
1. Делимость целых чисел. НОД и НОК. Алгоритм Евклида. Взаимно простые числа.
Простые числа. Основная теорема арифметики.
2. Сравнения. Применение сравнений при решении задач на делимость. Функция Эйлера.
Решение сравнений.
3. Группы. Подгруппы.
4. Группы подстановок.
5. Кольца, подкольца и идеалы. Кольцо классов вычетов.
6. Многочлены.
7. Поля. Подполе и расширение поля.
8. Конечные поля. Алгебраические уравнения в конечных полях.
9. Контрольная работа.
31
4. Примерное содержание расчетно-графических работ
Типовой расчет “Группы, кольца и поля”.
32
4. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
Содержание
1. Основы теории множеств
1. Множества и способы их задания. Операции над множествами и их свойства. Диаграммы Эйлера – Венна. Алгебра множеств. Декартово произведение множеств.
2. Отображения множеств. Инъективные, сюръективные и биективные отображения.
Композиция отображений. Обратные отображения и критерий обратимости.
3. Мощности множеств. Мощности конечных множеств. Счетные множества: определение и примеры. Мощность континуума и теорема Кантора. Кардинальные числа. Континуумгипотеза.
4. Отношения на множествах и способы их задания. Операции над отношениями и их
свойства.
5. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактор-множество.
6. Отношения частичного порядка, линейного и полного порядка. Диаграммы Хассе.
Максимумы и минимумы, супремумы и инфимумы упорядоченных множеств. Решетки.
2. Основы теории графов
1. Основные понятия теории графов. Мультиграфы, псевдографы и орграфы. Помеченные
графы и взвешенные графы. Изоморфизмы графов. Число неизоморфных графов порядка n.
2. Числовые характеристики графа. Степенная последовательность графа. Лемма "о рукопожатиях". Матрицы смежности, инцидентности и матрица Кирхгофа графа и их свойства.
3. Маршруты, цепи и циклы графа. Связные графы. Компоненты связности. Сильная
связность орграфа.
4. Расстояния в графах. Радиус и диаметр графа. Центры и периферийные центры графа.
Метод поиска в ширину. Поиск в глубину.
5. Деревья. Критерии дерева. Корневое дерево и его код. Остов графа. Цикломатическое
число графа. Задача о минимальном остове. Алгоритм Прима и алгоритм Краскала.
6. Разделяющие множества и разрезы графа. Фундаментальная система циклов и фундаментальная система разрезов графа, ассоциированные с данным остовом. Линейное пространство графа. Подпространства циклов и разрезов.
7. Эйлеровы графы. Критерий эйлеровости. Полные обходы связного графа. Гамильтоновы графы. Достаточные условия гамильтоновости. Задача о коммивояжере.
8. Планарные графы. Формула Эйлера и следствия из нее. Теорема Куратовского – Понтрягина.
9. Раскраски графов. Хроматическое число графа. Критерий двудольности графа. Теоремы о хроматическом числе графа. Раскраски планарных графов. Реберные раскраски графа. Теорема Визинга.
10. Паросочетания. Задача о назначениях. Теорема Холла о свадьбах.
11. Сити и потоки в сетях. Пропускная способность сети. Теоремы Менгера и теорема
Форда – Фалкерсона.
12. Экстремальные задачи на графах.
33
Примерный тематический план
№ п.п.
1.
2.
Тема
Основы теории множеств
Основы теории графов
Итого:
лек
12
24
36
пр.зан
–
–
–
лаб.зан.
12
24
36
Информационная часть
1. Л и т е р а т у р а
Основная
1.
2.
3.
4.
5.
Карпов В.Г., Мощенский В.А. Математическая логика и дискретная математика. - Мн.,1977
Нефедов В.Н., Осипенко В.А. Курс дискретной математики. - М.,1992
Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. - М.,1990
Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. - М.,1986
Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. СПб: Питер. 2001
Дополнительная
Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. - К.,1977
Горбатов В.А. Основы дискретной математики. - М.,1984
Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. - М.,1988
Вольвачев Р.Т. Элементы математической логики и теории множеств. - Мн.,1986
Емеличев В.А. и др. Лекции по теории графов. - М.,1990
Свами М., Тхуласираман К. Графы, сети и алгоритмы. - М.,1984
Белов В.В., Воробьев Е.М., Шаталов В.Е. Теория графов. - М.,1976
Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.,1979
9. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. М.,1985
10. Евстигнеев В.А. Применение теории графов в программировании. - М.,1985
11. Липский В. Комбинаторика для программистов. - М.,1988
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2. Примерный перечень лабораторных занятий
1. Множества и операции над ними
2. Операции над множествами, доказательство равенства множеств.
3. Отображения. Виды отображений. Образ и прообраз.
4. Мощности множеств.
5. Отношения эквивалентности.
6. Отношения частичного порядка
7. Основные понятия и типы графов. Числовые характеристики графа.
8. Матрицы графа.
9. Маршруты, цепи, циклы, связность.
10. Расстояния на графах. Поиск в ширину.
11. Поиск в глубину.
12. Деревья. Остовы графа. Циклы и разрезы.
13. Эйлеровы и гамильтоновы графы
14. Планарные графы.
15. Раскраски графов
16. Паросочетания
17. Потоки в сетях.
18. Сетевое планирование.
34
5. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Содержание
1. Основные уравнения в частных производных
1. Уравнения в частных производных. Определение. Основные физические процессы и их
уравнения.
2. Уравнения колебаний, теплопроводности, диффузии, Максвелла, Лапласа.
3. Канонические формы и классификация. Уравнения в частных производных второго порядка, их классификация. Характеристическое уравнение.
2. Основные задачи в теории уравнений математической физики
I. Основные задачи: Коши, краевые, смешанные. Понятие корректной постановки задачи.
2. Задача Штурма-Лиувилля. Собственные функции и собственные значения, свойства.
3. Полнота и замкнутость системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля. Теорема о разложении. Сходимость в среднем.
4. Уравнение Бесселя. Функции Бесселя и их свойства.
5. Функции Ханкеля и их свойства. Теоремы о разложении.
6. Задача Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера, ее физический смысл. Неоднородное уравнение. Принцип Дюамеля.
3. Методы решений уравнений в частных производных
1. Уравнение свободных колебаний струны. Метод разделения переменных (Фурье) струны.
2. Вынужденные колебания струны с закрепленными и подвижными концами.
3. Задача с данными на характеристиках. Метод Римана решения задачи Коши для гиперболического уравнения на плоскости.
4. Задача Коши для трехмерного волнового уравнения. Формула Пуассона. Принцип Гюйгенса.
5. Задача Коши для двумерного волнового уравнения. Метод спуска. Принцип Дюамеля
решения задачи Коши для неоднородного уравнения колебаний в случае трех и двух пространственных переменных.
6. Свободные колебания прямоугольной мембраны.
7. Свободные радиальные колебания круглой мембраны.
8. Свободные нерадиальные колебания круглой мембраны.
9. Метод конечных разностей решения уравнения колебаний струны.
4. Смешанные задачи и их решение
1. Вывод уравнения распространения тепла в изотропном твердом теле.
2. Смешанные задачи уравнения теплопроводности. Принцип максимума.
3. Задача Коши для уравнения теплопроводности.
4. Явная разностная схема для решения уравнения теплопроводности.
5. Неявная разностная схема для решения уравнения теплопроводности.
5. Уравнения Лапласа и Пуассона
1. Уравнения Лапласа и Пуассона. Формула Грина. Теорема о среднем и принцип максимума для гармонических функций.
2. Функция Грина и ее применение к решению краевых задая. Формула Пуассона для шара и круга.
3. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конечных разностей.
4. Потенциалы объема, простого и двойного слоев.
35
Примерный тематический план
№ п.п.
1.
2.
3.
4.
5.
Тема
Основные уравнения в частных производных
Основные задачи в теории уравнений математической физики
Методы решений уравнений в частных производных
Смешанные задачи и их решение
Уравнения Лапласа и Пуассона
Итого:
лек
6
12
пр.зан
4
6
лаб.зан.
18
14
4
10
8
54
6
8
38
8
4
16
Информационная часть
1.
2.
3.
1.
2.
3.
4.
1. Л и т е р а т у р а
Основная
Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. –М.: Наука, 1977
Владимиров В. С. Уравнения математической физики. –М.: Наука, 1976
Бузак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. –М.:
Наука, 1980
Дополнительная
Самарский А. Я., Гулин А. В. Численные методы. –М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989
Калитин Н. Н. Численные методы. –М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978
Смирнов М. М. Задачи по уравнения математической физики. –М.: Наука, 1975
Марцинкевич В.С. Методическое пособие «Уравнения математической физики», Минск,
БНТУ, 2008.
2. Примерный перечень практических занятий
1. Решение линейных уравнений в частных производных первого порядка с двумя переменными.
2. Приведение к каноническому виду уравнений второго порядка с двумя независимыми
переменными. Характеристическое уравнение. Характеристики.
3. Задача Штурма-Лиувилля.
4. Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения по формуле Даламбера.
5. Решение задачи Коши для неоднородного одномерного волнового уравнения методом
Дюамеля.
6. Метод разделения переменных решения задачи о свободных и вынужденных колебаниях струны.
7. Свободные и вынужденные продольные колебания упругого однородного стержня.
8. Колебания прямоугольной мембраны.
9. Решение уравнений Бесселя.
10. Радиальные и нерадиальные колебания круглой мембраны.
11. Метод Фурье решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
12. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.
13. Решение краевых задач для уравнений параболического типа.
14. Решение краевых задач, требующих применения специальных функций.
15. Уравнение Лапласа. Фундаментальное решение. Построение методом зеркальных
изображений функций Грина для полуплоскости и двугранного прямого угла.
3. Примерный перечень лабораторных занятий
1. Метод конечных разностей для уравнения колебаний струны.
2. Явная разностная схема для решения уравнения теплопроводности.
36
3. Неявная разностная схема для решения уравнения теплопроводности.
4.Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конечных разностей.
37
6. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Содержание
1. Элементарная теория погрешностей
1. Предмет вычислительной математики. Математические модели и вычислительные алгоритмы. Особенности использования вычислительной техники в современных научных исследованиях
2. Абсолютная и относительная погрешности.
3. Погрешности арифметических операций. Погрешность функции. Оценки погрешности.
2. Вычислительные задачи и методы
1. Корректность вычислительной задачи.
2.Обусловленность вычислительной задачи.
3. Устойчивость вычислительного алгоритма.
3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
1. Прямые методы решения систем линейных уравнений. Метод Гаусса и метод прогонки.
Норма матрицы. Обусловленность задачи решения системы линейных алгебраических уравнений.
2. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Метод простой итерации.
Метод Зейделя. Условия сходимости.
3. Задачи на собственные значения и метод вращения.
4. Приближение функций
1. Интерполяция и приближение. Постановка задачи приближения функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Интерполяционная формула Ньютона.
2. Многочлены Чебышева. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье.
3. Интерполяция и приближение сплайнами. Численное дифференцирование. Многомерная интерполяция. Сплайн-интерполяция. Приближение кривых и поверхностей.
4. Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов. Равномерное приближение
функций.
5. Численное дифференцирование и интегрирование функций
1. Формулы численного дифференцирования.
2. Простейшие квадратурные формулы. Оценка погрешности. Ортогональные многочлены и квадратурные формулы Гаусса. Вычисление несобственных интегралов.
6. Численное решение нелинейных уравнений и систем
1. Метод бисекции и простой итерации.
2. Метод Ньютона и метод секущих.
3.Методы, основанные на интерполяции. Проблема локализации корней. Методы решения систем нелинейных уравнений.
7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
1. Методы Эйлера и Рунге–Кутты.
2. Жесткие задачи для дифференциальных уравнений.
3. Численное интегрирование краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Конечно-разностные методы.
8. Численная оптимизация
1. Одномерная оптимизация. Прямые методы поиска минимума унимодальной функции
одного переменного. Методы минимизации дифференцируемой функции одного переменного.
Методы минимизации неунимодальных функций (методы перебора и ломаных).
2. Многомерная безусловная оптимизация. Прямые методы минимизации. Методы минимизации с использованием производных. Метод Ньютона и его модификации. Квазиньютонов-
38
ские методы. Метод Девидсона – Флетчера – Пауэла. Методы сопряженных направлений. Общая
стратегия поиска. Метод Флетчера–Ривса (сопряженных градиентов). Критерии окончания. Особенности численной реализации.
3. Оптимизация с ограничениями. Метод множителей Лагранжа. Условия оптимальности
Куна–Таккера. Общая задача нелинейного программирования. Выпуклое программирование.
Метод штрафных и барьерных функций. Гридиентные методы. Метод Зойтендейка. Методы
возможных направлений.
9. Численные методы решения уравнений в частных производных
1. Метод конечных разностей и метод конечных элементов.
2. Аппроксимация, устойчивость и сходимость.
3. Построение разностных схем для краевых задач математической физики. Итерационные методы решения систем линейных уравнений.
4. Метод конечных элементов. Типы конечных элементов. Применение метода конечных
элементов. Понятие о методе граничных элементов.
Примерный тематический план
№ п.п.
Тема
лек
пр.зан
лаб.зан.
1.
Элементарная теория погрешностей
4
2
2
2.
Вычислительные задачи и методы
3
2
2
3.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Приближение функций
4
2
4
6
2
6
Численное дифференцирование и интегрирование функций
Численное решение нелинейных уравнений и
систем
Численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений и систем
Численная оптимизация
4
2
3
4
2
3
6
4
6
4
3
4
Численные методы решения уравнений в частных производных
Итого:
8
6
6
43
25
36
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Информационная часть
1. Л и т е р а т у р а
Основная
1. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. –М.:Наука. 1989– 430 с.
2. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966–
66с.
3. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. –М.: Наука, 1967
– 368 с.
4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Т.М. Численные методы. – М.: Наука. 1987 – 598
с.
5. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука. 1978 – 512 с.
39
6. Гусак А.А. Элементы методов вычислений. – Минск: Изд. БГУ им. В.И.Ленина. 1982 – 167
с.
7. Годунов С.К., Рябенький В.С. Теория разностных схем. – М.: Наука, 1977 – 440 с.
8. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения):
Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2000 – 153 с.
9. Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2001– 381 с.
10. Пирумов У.Г. Численные методы. Учебное пособие для вузов. – М.: Дрофа, 2003 – 221 с.
Дополнительная
1. Форсайт Дж., Мальеольм М., Моулер К. Машинные методы вычислений. – М.: Мир. 1980
– 279 с.
2. Турчак Л.И. Основы численных методов. – М.: Наука, 1987 – 256 с.
3. Банди Б. Методы оптимизации: Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988.
2. Примерный перечень практических занятий
1. Методы оценки погрешности при арифметических операциях и вычислении функций.
2. Оценки обусловленности вычислительной задачи и устойчивости численных алгоритмов в
задачах линейной алгебры.
3. Решение линейных систем алгебраических уравнений методом исключения с выбором главного элемента, методом прогонки и Зейделя. Оценка обусловленности задачи и погрешности
решения.
4. Полиномиальная интерполяция. Устойчивость интерполяции. Интерполяция сплайнами. Аппроксимация методом наименьших квадратов.
5. Квадратурные формулы для вычисления интегралов. Формулы Гаусса и Адамса. Разностные
формулы вычисления производных.
6. Прямые и градиентные методы решения нелинейных уравнений и систем. Метод биссекции
Ньютона. Методы последовательных приближений и Ньютона.
7. Методы Рунге-Кутты для решения задачи Коши обыкновенных дифференциальных уравнений и систем. Метод пристрелки для решения граничных задач.
8. Прямые и градиентные методы решения задач на безусловный экстремум. Метод Ньютона и
его модификации. Метод Девидсона – Флетчера – Пауэла. Методы решения задач на экстремум с ограничениями. Метод множителей Лагранжа. Задачи выпуклого программирования.
9. Метод конечных разностей в краевых задачах для уравнений в частных производных второго
порядка. Явные и неявные численные схемы. Оценка сходимости.
3. Примерный перечень лабораторных занятий
1. Оценка относительной и абсолютной погрешности при арифметических операциях, вычислении функций и в задачах линейной алгебры.
2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения, прогонки и Зейделя. Оценка обусловленности, сходимости и погрешности решения.
3. Интерполяция полиномом Лагранжа, кубическим натуральным сплайном. Аппроксимация
методом наименьших квадратов.
4. Вычисление интегралов на основе составных квадратурных формул прямоугольников, трапеций, Симпсона, формулы Адамса. Оценка погрешности.
5. Метод Ньютона и его модификации для решения нелинейных уравнений и систем.
6. Решение начальных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем методом Эйлера и Рунге-Кутты. Метод пристрелки для граничной задачи дифференциального
уравнения второго порядка.
7. Метод Девидсона-Флетчера в задачах на безусловный экстремум функций нескольких переменных. Метод штрафных функций в задачах на экстремум с ограничениями.
8. Явные и неявные разностные схемы в краевых задачах для гиперболических, параболических
и эллиптических уравнений математической физики. Оценка сходимости.
40
7.МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Содержание
1. Предмет методов оптимизации. Теоретические основы оптимизации.
1. Постановка задачи. Значение методов оптимизации в процессе подготовки и принятия
управленческих решений. Примеры экономических и технических проблем и задач, решаемых с применением математических методов оптимального управления.
2. Математическое моделирование операций. Классификация экономико-математических моделей. Преимущества и недостатки использования моделей. Принципы моделирования. Проверка и корректировка модели. Подготовка модели к эксплуатации. Внедрение результатов операционного исследования.
2. Элементы выпуклого анализа
1. Понятие отрезка в n-мерном пространстве. Понятие выпуклого множества. Выпуклые и вогнутые функции и их свойства. Экстремальные свойства. Сильная выпуклость функций. Выпуклость гиперплоскости и полупространства.
2. Теорема о пересечении выпуклых множеств. Проекция точки на множество. Понятие крайней точки выпуклого множества.
3. Теоремы отделимости. Выпуклые и вогнутые множества. Дифференцируемость по направлению.
3. Выпуклое программирование.
1. Постановка задачи выпуклого программирования. Возможные направления. Условие регулярности Слейтера.
2. Функция Лагранжа. Седловая точка функции Лагранжа. Теорема Куна-Таккера.
3. Квадратичное программирование.
4. Теория линейного программирования.
1. Основная задача линейного программирования (ЗЛП). Свойства ЗЛП. Разрешимые и неразрешимые ЗЛП. Опорные решения. Базис опорного плана. Геометрическая интерпретация и
графическое решение ЗЛП.
2. Симплекс-метод. Модифицированный симплекс-метод. Метод искусственного базиса. Вырожденность.
3. Теория двойственности. Определение двойственной ЗЛП. Общие правила построения двойственной задачи. Лемма о взаимной двойственности. 1-ая и 2-ая теоремы двойственности.
Одновременное решение прямой и двойственной задач. Использование 2-ой теоремы двойственности для проверки на оптимальность решения ЗЛП. Экономические приложения.
Двойственный симплекс-метод. Экономическая интерпретация теории двойственности.
4. Алгоритмы и их обоснование. Анализ линейных моделей на чувствительность. Анализ
устойчивости ЗЛП.
5. Транспортные задачи.
1.Транспортная задача и ее модификации. Методы решения ТЗ. Метод потенциалов для решения
транспортной задачи. Закрытые и открытые модели. Транспортные задачи с ограничениями.
2.Транспортная логистика. ЗЦЛП и методы ее решения.
3.Задача коммивояжера.
4. Задача о назначениях.
6. Задачи целочисленного линейного программирования.
1. Задачи целочисленного линейного программирования, экономические приложения.
2. Метод отсечения Гомори. Метод ветвей и границ.
7. Численные методы оптимизации.
41
1. Задачи одномерной оптимищзации. Методы дихотомии. Фибоначчи, «золотого сечения».
Методы поиска с использованием квадратичной аппроксимации, метод кубической аппроксимации.
2. Многомерная оптимизация без ограничений. Модели и условия сходимости численных методов. Градиентные и квазиньютоновские методы в Rn. Методы сопряженных градиентов.
3. Многомерная оптимизация с ограничениями. Метод проекции градиента. Метод условного
градиента. Метод возможных направлений. Методы внешних штрафных функций, методы
внутренних штрафных функций, комбинированные методы штрафных функций, модифицированные методы штрафных функций.
Примерный тематический план
№ п.п.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Тема
Предмет методов оптимизации . Теоретические
основы оптимизации.
Элементы выпуклого анализа
Выпуклое программирование
Теория линейного программирования
Транспортные задачи
Задачи целочисленного линейного программирования
Численные методы оптимизации
Итого
лек
3
пр.зан
2
4
4
7
6
4
2
2
4
3
2
6
34
2
17
Информационная часть
1. Л и т е р а т у р а
Основная
1. Альсевич В.В. Математическая экономика. Конструктивная теория. – Мн.: ДизайнПРО, 1998.
2. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа,
1986.
3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, 1984.
4. Кузнецов А.В. Руководство по решению задач по математическому программированию. –
Мн.: Вышэйшая школа, 1978.
5. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы Оптимизации. – М.: Изд-во БГУ, 1981.
6. Минюк С.А., Пецевич В.М. Вариационное исчисление и методы оптимизации: тексты лекций. В 3 ч. Ч.1. – нелинейное и выпуклое программирование. –Гродно: ГрГУ, 2000.
Дополнительная
1. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое программирование. – Мн.: Вышэйшая школа, 1994.
2. Ланкастер К. Математическая экономика. –М.: Сов.радио, 1972.
3. Левин М.И., Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математические модели экономических взаимодействий. – М.: Наука, 1996.
4. Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. Математические методы и модели экономике. – Мн.:
ТетраСистемс, 2002.
5. Фурунжиев Р.И., Бабушкин Ф.М., Варавко В.В. Применение математических методов и
ЭВМ: Практикум: Учебное пособие. – Минск: Вышейшая школа, 1988. –192 с.
6. Альсевич В.В., Крахотко В.В. Сборник задач по методам оптимизации: линейное программирование: Учеб. пособие для студ. мат. и экон. спец. – М.: Белгосуниверситет, 1997. – 67 с.
42
2. Примерный перечень практических занятий
1. Выпуклые и вогнутые функции и их свойства, примеры.
2. Функция Лагранжа. Седловая точка функции Лагранжа.
3. Задачи линейного программирования.
4. Двойственные задачи линейного программирования; правила построения и простейшие своства.
5. Транспортная задача и ее модификации. Методы решения ТЗ.
6. Задача коммивояжера. Задача о назначениях.
7. Методы штрафных функций в линейном программировании. Задачи одномерной оптимизации. Методы дихотомии. Фибоначчи, «золотого сечения».
8. Методы решения задач динамического программирования.
9. Метод проекции градиента. Метод условного градиента. Метод возможных направлений.