Дисциплина «Математическая экономика» Специальность №08080165 Прикладная информатика (в экономике)»

Дисциплина «Математическая экономика»
Специальность №08080165 «Прикладная информатика (в экономике)»
Институт информатики, инноваций и бизнес систем
Кафедра информатики, инженерной и компьютерной графики
Старший преподаватель Слугина Н.Л.
Производственные функции
СОДЕРЖАНИЕ
1. Ключевые понятия
2. Учебный материал
3. Вопросы для самопроверки
4. Рекомендуемая литература
2
КЛЮЧЕВЫЕ ПОНЯТИЯ
 Производственная функция
 Функция Кобба-Дугласа
 Мультипликативная функция
 Функция издержек
 Функция дохода
 Функция спроса и предложения
 Функция полезности
 Эластичность
3
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Основные задачи лекции
 Раскрыть основные понятия производственной
функции.
 Описать основные виды производственных функций.
 Раскрыть понятие эластичности.
4
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Производственная функция
(функция выпуска)
функция, связывающая объём выпускаемой продукции с
потребляемыми ресурсами
Y = Y ( K , L ),
здесь Y – объём выпускаемой продукции, K – объём используемого
капитала, L – количество единиц затрачиваемого труда (живой
труд), который тоже может исчисляться в стоимостном выражении.
В данном случае производственная функция (ПФ) называется
двухфакторной, поскольку зависит от двух аргументов
5
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Производственная функция
Кобба-Дугласа
На практике при моделировании отдельной отрасли,
региона или страны часто используют ПФ следующего
вида:
a
1-a
=


Y A K L ,
где параметры А, a – положительные
Такая функция называется ПФ Кобби-Дугласа по имени
американских математика Кобби и экономиста Дугласа,
предложивших её использовать в 1928 году.
6
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Мультипликативная
производственная функция
задается выражением
a
b
=


Y A K L .
здесь А называется коэффициентом нейтрального
технического прогресса,
a , b - коэффициенты эластичности по труду и капиталу.
Если a + b = 1 ,то мультипликативная ПФ носит
название функции Кобба-Дугласа
7
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Если a + b > 1 , то выпуск растет быстрее
затраченных ресурсов (растущая экономика);
Если a + b < 1 , то потребление ресурсов
неэффективно, в случае ПФ Кобба-Дугласа
соблюдается пропорциональный рост на
масштаб ресурса.
8
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Мультипликативная ПФ имеет ряд свойств,
которые соответствуют реальной экономике:
 Увеличение ресурса приводит к увеличению конечного
продукта.
 При монотонном увеличении ресурсов скорость роста
объема продукции будет уменьшаться.
9
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Изокванта – геометрическое место
точек, в которых различные сочетания
факторов производства дают одно и то
же количество продукции.
Изоклиналь – линия наибольшего роста
производственной функции.
10
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Функция издержек
показывает зависимость объёма затрат (издержек) от
объёма выпускаемой продукции.
Обычно полные затраты Z(y) сепарируются на постоянные
Zп = const , не зависящие от объёма выпускаемой
продукции и переменные затраты, Zпер (Y) являющиеся
функцией Y– объёма выпускаемой продукции.
Например, для функции
получаем
11
ZП = c
2
=

Z (Y ) a Y + b  Y + c
2
=

Z Пер (Y ) a Y + b  Y
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Функция спроса и предложения
связывает величину спроса (предложения) на товар Yc от
комплекса факторов.
c
Y
( p) = C  e
Функция спроса
-bp
(здесь C, β – положительные параметры, p – цена на товар)
показывает, как спрос убывает с ростом цены.
Функция предложения YП(p) является возрастающей,
поскольку продавец заинтересован (в отличие от покупателя)
в росте цены.
П
Y
( p) = M  p
Например,
где М – положительный параметр.
12
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Функция выручки (дохода)
определяет полученный доход от объёма
реализованного товара и цены за единицу этого
товара.
(
)
Таким образом, функция выручки W Y C , p имеет вид:
c
=
W (Y , p ) Y  p
c
В частности для заданной функции спроса имеем
зависимость только от цены
-bp
=


W ( p) C p e
13
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Функция прибыли
определяется, как разность между функцией
выручки и функцией издержекPr = W - Z
В случае конкретного вида формул получим:
(
-bp
2
=



Pr (Y , p ) C p e
a Y + b Y + c
14
)
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Функция полезности
количественно в относительных единицах
показывает потребительскую оценку
(пользу) данного набора благ
Часто эту функцию используют в виде
логарифмической зависимости
U = ln(n + 1)
15
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Понятие эластичности
В экономике и социологии это создаёт ряд неудобств, учитывая
многообразие входящих в модели размерностей. Поэтому
вводится понятие безразмерной производной, или
эластичности.
Средней эластичностью называется отношение
относительного приращения функции к относительному
приращению аргумента
x Dy
Eср. = 
y Dx
Естественно, что эластичностью (мгновенной) называется
величина
x dy
E=
16

y dx
УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Экономический смысл эластичности
Она показывает, на сколько процентов изменится
результат, если фактор изменить на один процент,
поскольку
 Dy

 100 % 
E  
 y

17
 Dx

 100 % 

 x

УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ
Классическую производную
dy
dx
в социально – экономических исследованиях интерпретируют
так: она показывает, на сколько изменится результат, если
аргумент изменить на 1 единицу, поскольку:
dy  Dy = Dy = D
y.
dx Dx 1
Однако формально с математической точки зрения это
выполняется только при линейных соотношениях, поскольку
в общем случае:
dy   + y ( x 1) y ( x ).
dx
18
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
 Опишите производственную функцию выпуска.
 Опишите производственную функцию Кобба-Дугласа.
 Опишите мультипликативную производственную
функцию.
 Опишите функцию издержек.
 Опишите функцию спроса и предложения.
 Опишите функцию выручки.
 Опишите функцию прибыли.
 Раскройте понятие эластичности.
19
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
 Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник / Е.М.
Четыркин – М.: Дело, 2006
 Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для
вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002
 Данилов Н.Н. Курс математической экономики: Учебное
пособие. – М.: Высш. шк., 2006
 Альсевич В.В. Введение в математическую экономику.
Конструктивная теория: Учебное пособие. – М.
Издательство ЛКИ, 2007
20
Использование материалов презентации
Использование данной презентации, может осуществляться только при условии соблюдения требований законов РФ
об авторском праве и интеллектуальной собственности, а также с учетом требований настоящего Заявления.
Презентация является собственностью авторов. Разрешается распечатывать копию любой части презентации для
личного некоммерческого использования, однако не допускается распечатывать какую-либо часть презентации с
любой иной целью или по каким-либо причинам вносить изменения в любую часть презентации. Использование
любой части презентации в другом произведении, как в печатной, электронной, так и иной форме, а также
использование любой части презентации в другой презентации посредством ссылки или иным образом допускается
только после получения письменного согласия авторов.
21