Математика - Московский Новый Юридический Институт

Негосударственное образовательное частное учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ НОВЫЙ ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
МАТЕМАТИКА
ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
СПЕЦИАЛЬНОСТИ
080105.65 ФИНАНСЫ И КРЕДИТ
080507.65 МЕНЕДЖМЕНТ ОРГАНИЗАЦИИ
080109.65 БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЁТ,АНАЛИЗ И АУДИТ
080500.62 МЕНЕДЖМЕНТ
МОСКВА, 2013
Учебно-методический комплекс подготовлен Горяиновым В.В., кандидатом
экономических наук, доцентом, Молдавановым К.О., преподавателем
Обновления учебно-методического комплекса одобрены кафедрой Общих гуманитарных, математических и социально-экономических дисциплин протокол от 18 января 2013
№5
Учебно-методический комплекс одобрен и рекомендован к опубликованию Учебнометодическим советом Протокол №1 от 24 января 2013 года
Рецензент: Липецкий В.Н. доктор физико-математических наук, профессор МГУ им. М.В..
Ломоносова
Рецензент: Максимов С.Б., кандидат физико-математических наук.
Рецензент: Гудыно Л.П., кандидат технических наук, доцент
© МНЮИ
2
Оглавление
Раздел I. Пояснительная записка .................................................................................................4
Раздел II. Тематический план ......................................................................................................6
2.1 Тематический план для студентов очной формы обучения .............................................7
2.2 Тематический план для студентов очно-заочной формы обучения .............................10
2.3. Тематический план для студентов заочной формы обучения ......................................13
Раздел III. Содержание дисциплины..........................................................................................17
Раздел IV. Планы семинарских и практических занятий .....................................................26
4.1 Планы семинарских и практических занятий для студентов очной формы обучения
....................................................................................................................................................26
4.2 Планы практических занятий для студентов очно-заочной формы обучения ............53
4.3 Планы практических занятий для студентов заочной формы обучения ....................63
Раздел V. Практикум ...................................................................................................................80
5.1 Задачи для контрольной по курсу линейная алгебра ...................................................180
5.2 Задачи для контрольной работы по курсу Математический анализ. .........................188
5.3 Задачи для контрольной работы по курсу Теория вероятностей и математическая
статистика ...............................................................................................................................192
Раздел VI. Организация самостоятельной работы студентов ...............................................199
6.1 Таблица распределения времени на самостоятельную работу ....................................199
6.1.1 Очная форма обучения .............................................................................................199
6.1.2 Очно-заочная форма обучения .................................................................................202
6.1.3 Заочная форма обучения...........................................................................................205
Раздел VII.Итоговый контроль .................................................................................................225
7.1 Примерный перечень вопросов для подготовки к экзамену.....................................225
7.2 Примерный перечень вопросов для подготовки к зачёту .........................................226
Раздел VIII Источники ..............................................................................................................228
8.1 Основная литература........................................................................................................228
8.2 Дополнительная литература ............................................................................................228
Раздел IХ. Глоссарий .................................................................................................................229
3
Раздел I. Пояснительная записка
Программа разработана в соответствии с государственными стандартами высшего профессионального образования по специальностям: 080109.65 «Бухгалтерский учет, анализ и
аудит», 080105.65 «Финансы и кредит»080507.65»Менеджмент организации»
Курс «Математика» относится к циклу «Общие математические и естественно-научные
дисциплины» (федеральный компонент), изучается в 1, 2, 3, 4 семестрах и используется
при изучении как «общих математических и естественно-научных дисциплин», так и «общепрофессиональных и специальных дисциплин» (ОПД и СД).
Преподавание математики имеет целью:
— формирование личности студентов, повышение их интеллекта;
— улучшение навыков логического мышления;
— развитие способностей к абстрактному мышлению;
— освоение студентами математического аппарата, позволяющего моделировать и анализировать реальные экономические процессы в условиях профессиональной деятельности.
Основными задачами курса являются:
— обучение основам математического мышления;
— усвоение абстрактных понятий матрицы, определителей, систем уравнений, предела,
бесконечно малого, бесконечно большого;
— изучение дифференциального и интегрального исчислений;
— освоение теории рядов;
— изучение математических методов, необходимых для анализа и моделирования
устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений и численной реализации этих решений;
— усвоение основных методов обработки и анализа результатов численных и натурных
экспериментов.
В результате изучения дисциплины «Математика» специалист должен знать и уметь использовать:
- матрицы, определители, системы уравнений, элементы матричного анализа, уравнение
линии, прямую и плоскость,
— основные операции математического анализа: предел, дифференцирование и интегрирование функций одной переменной; предел, дифференцирование и интегрирование
функций многих переменных;
— применение дифференциального и интегрального исчисления к исследованию функций и построению специальных функций;
— использование рядов для задания функций и их вычисления;
— составлять математические модели прикладных задач и проводить их изучение.
Особое внимание при изучении дисциплины должно уделяться:
— усвоению теоретических понятий предела, производной, интеграла, ряда; дифференциальных уравнений,
выработке практических навыков вычисления пределов, производных, интегралов, исследования сходимости рядов
--основные понятия и теоремы теории вероятностей, случайные величины, законы распределения, вариационные ряды, выборочный метод, дисперсионный ,корреляционный и регрессионный анализ,
--линейное программирование, транспортная задача, теория двойственности, симплексный метод, целочисленное программирование.
4
Обязательный минимум содержания дисциплины
(извлечение из ГОС ВПО)
для специальностей:
080507.65 «Менеджмент организации», 080105.65 «Финансы и кредит», 080109.65
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит»
Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии: операции над векторами и
матрицами; системы линейных алгебраических уравнений; определители и их свойства;
собственные значения матриц; комплексные числа; прямые и плоскости в аффинном пространстве; выпуклые множества и их свойства. Математический анализ и дифференциальные уравнения: предел последовательности и его свойства; предел и непрерывность
функции; экстремумы функций нескольких переменных; неопределенный и определенный интегралы; числовые и степенные ряды; дифференциальные уравнения первого порядка; линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Теория
вероятностей и математическая статистика: случайные события; частота и вероятность;
основные формулы для вычисления вероятностей; случайные величины; числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин; нормальный закон распределения; генеральная совокупность и выборка; оценки параметров; корреляция и регрессия.
Экономико-математические методы: линейное и целочисленное программирование; графический метод и симплекс-метод решения задач линейного программирования; динамическое программирование; рекуррентные соотношения Беллмана; математическая теория
оптимального управления; матричные игры; кооперативные игры; игры с природой; плоские графы; эйлеровы графы; гамильтоновы графы; орграфы; сетевые графики; сети Петри;
марковские процессы; задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания. Экономико-математические модели: функции полезности; кривые безразличия;
функции спроса; уравнение Слуцкого; кривые “доход-потребление”; кривые “ценыпотребление”; коэффициенты эластичности; материальные балансы; функции выпуска
продукции; производственные функции затрат ресурсов; модели поведения фирмы в условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели общего экономического равновесия; модель Эрроу-Гурвица; статистическая и динамическая модели межотраслевого баланса; общие модели развития экономики; модель Солоу.
5
Раздел II. Тематический план
По специальностям 080109.65 Бухгалтерский учет, анализ и аудит,
080105.65 Финансы и кредит и 080507.65 Менеджмент организации *
Виды занятий
форма обучения
очное
очно-заочная
заочная
Общая трудоёмкость
600/ 500*
600/ 500*
600/ 500*
Аудиторные занятия
302
122
98
Лекции
206
86
40
Практические занятия
96
36
58
298/ 198*
478/ 378*
502/ 402*
Самостоятельная работа
Форма контроля
экзамен,
экзамен,
экзамен,
зачет,
экзамен,
экзамен,
экзамен,
зачет,
экзамен,
экзамен,
экзамен,
зачет,
6
2.1 Тематический план для студентов очной формы обучения
Самостоятельная работа
R N . Выпуклые мно-
Семинары
Тема №7. Прямые и плоскости в
Лекции
1
Раздел 1Линейная алгебра
Тема №1. Векторы и действия над ними. Скалярное
произведение векторов.
Тема №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение
плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве
Тема №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго порядка.
Тема №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому
виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Тема №5. Определители и их свойства. Определитель
матрицы. Обратная матрица.
Тема №6. Собственные векторы, собственные значения
матрицы. N-мерные линейные векторные пространства.
Базис
Всего
Раздел, тема
Всего часов
В том числе аудиторных:
2
3
4
5
6
14
7
5
2
7
14
7
5
2
7
15
7
5
2
8
16
9
5
4
7
17
10
6
4
7
17
8
6
2
9
17
8
6
2
9
110/110*
56
38
18
54/54*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
12/10*
6
6
4
4
2
2
6/4*
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
N
жества в R и их свойства. Понятие квадратичной
формы. Поверхности второго порядка
Итого по разделу:
Раздел 2: Математический анализ
Тема №8. Множества. Операции над множествами.
Функции. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности. Предел
функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки
разрыва и их классификация.
Тема №9. Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных элементарных функций.
Производная сложной функции.
Тема №10. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей.
Тема №11. Асимптоты графика. Исследование функции
на монотонность и экстремумы. Исследование графика
функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба.
Тема №12. Исследование экономических моделей.
Тема №13. Первообразная. Неопределенный интеграл и
его свойства. Таблица основных интегралов.
Тема №14. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по
частям
Тема №15. Определенный интеграл. Свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям.
Несобственные интегралы. Вычисление площадей.
Тема №16. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с
положительными членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера.
7
Тема №17. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область сходимости, свойства сходящихся рядов.
Тема №18. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.
Применение степенных рядов.
Тема №19. Определение функции нескольких переменных. Предел функции. Непрерывность. График функции двух переменных.
Тема №20. Частные производные. Производная сложной функции. Дифференциал. Производные высших
порядков
Тема №21. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное
условие экстремума функции двух переменных.
Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Тема №22. Понятие решения, общего решения, начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные
уравнения первого порядка.
Тема №23. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной
правой части.
Итого по разделу:
Раздел 3: Теория вероятностей и мат статистика
Тема №24. Предмет теории вероятностей. Полная группа равновозможных событий. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Тема №25. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события.
Тема №26. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей. Формула полной вероятности. Формула
Байеса.
Тема №27. Повторные испытания. Формула Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Тема №28. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
Тема №29. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Тема №30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема.
Тема №31. Функция распределения вероятностей и
плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Тема №32. Нормальное распределение вероятностей.
Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального
распределения.
Тема №33. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.
Тема №34. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики.
Тема №35. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
14/11*
6
4
2
8/5*
14/11*
8
6
2
6/5*
14/12*
6
4
2
8/6*
14/12*
8
6
2
7/4*
200/166*
100
68
32
100/66*
9/6*
4
3
1
5/2*
9/6*
4
3
1
5/2*
9/6*
4
3
1
5/2*
9/6*
4
3
1
5/2*
11/8*
6
4
2
5/2*
11/8*
6
4
2
5/2*
11/8*
6
4
2
5/2*
11/9*
6
4
2
5/3*
11/9*
6
4
2
5/3*
11/9*
6
4
2
5/3*
11/9*
6
4
2
5/3*
11/9*
6
4
2
5/3*
8
Тема №36. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный
интервал.
Тема №37. Методы расчета сводных характеристик
выборки. Построение нормальной кривой по опытным
данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа.
Тема №38. Статистическая проверка статистических
гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и
их применение.
Итого по разделу:
Раздел 4Экономико-математические методы
Тема №39. Предмет математического программирования. Основные методы математического программирования.
Тема №40. Классические методы одномерной оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.
Тема №41. Симплекс-метод решения задач линейного
программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы
Тема №42. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация пары двойственных задач.
Тема №43. Транспортные задачи. Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи.
Тема №44. Целочисленное программирование. Постановка задачи о коммивояжере.
Тема №45. Нелинейное программирование. Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование.
Тема №46. Динамическое программирование. Рекуррентные уравнения Беллмана.
Тема №47. Сетевое планирование. Сеть проекта.
Тема №48. Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта и неопределенности.
Итого по разделу:
Итого по учебной дисциплине:
11/9*
6
4
2
5/3*
11/9*
6
4
2
5/3*
11/9*
6
4
2
5/3*
164/120*
82
56
26
82/38*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
12/10*
6
4
2
6/4*
13/11*
7
5
2
6/4*
13/11*
7
5
2
6/4*
14/11*
14/11*
7
7
5
5
2
2
7/4*
7/4*
126/104*
64
44
20
62/40*
600/500*
302
206
96
298/198*
9
2.2 Тематический план для студентов очно-заочной формы обучения
Лекции
Семинары
Самостоятельная
работа
2
3
4
5
6
15
3
2
12
15
3
2
12
15
3
2
12
16
3
2
16
3
2
16
3
3
2
13
17
4
3
2
13
110/110*
22
16
6
88/88*
12/12*
1
1
12/12*
5
1
4
7/7*
12/12*
3
1
2
9/9*
10/8*
3
1
2
17/5*
10/10*
10/10*
4
2
2
2
2
6/6*
8/8*
10/10*
2
2
8/8*
12 /12 *
2
2
10/10*
Всего часов
Раздел, тема
1
Раздел 1Линейная алгебра
Тема №1. Векторы и действия над ними. Скалярное
произведение векторов.
Тема №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в
пространстве
Тема №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго порядка.
Тема №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных
алгебраических уравнений методом Гаусса.
Тема №5. Определители и их свойства. Определитель
матрицы. Обратная матрица.
Тема №6. Собственные векторы, собственные значения матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис
Тема №7. Прямые и плоскости в
Всего
В том числе аудиторных:
R N . Выпуклые
2
13
13
N
множества в R и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности второго порядка
Итого по разделу:
Раздел 2: Математический анализ
Тема №8. Множества. Операции над множествами.
Функции. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности.
Предел функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация.
Тема №9. Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных элементарных
функций. Производная сложной функции.
Тема №10. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей.
Тема №11. Асимптоты графика. Исследование функции на монотонность и экстремумы. Исследование
графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие
точек перегиба.
Тема №12. Исследование экономических моделей.
Тема №13. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
Тема №14. Методы интегрирования: табличный,
подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям
Тема №15. Определенный интеграл. Свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница.
Интегрирование с помощью замены переменной, по
частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей.
11/11*
10
Тема №16. Понятие числового ряда. Необходимый
признак сходимости. Свойства сходящихся рядов.
Ряды с положительными членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера.
Тема №17. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Знакопеременные ряды: абсолютная и условная
сходимость. Степенные ряды: область сходимости,
свойства сходящихся рядов.
Тема №18. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные
разложения. Алгоритм разложения функции в ряд
Тейлора. Применение степенных рядов.
Тема №19. Определение функции нескольких переменных. Предел функции. Непрерывность. График
функции двух переменных.
Тема №20. Частные производные. Производная
сложной функции. Дифференциал. Производные
высших порядков
Тема №21. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное
условие экстремума функции двух переменных.
Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Тема №22. Понятие решения, общего решения,
начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Тема №23. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами:
метод неопределенных коэффициентов для специальной правой части.
Итого по разделу:
Раздел 3: Теория вероятностей и математическая
статистика
Тема №24. Предмет теории вероятностей. Полная
группа равновозможных событий. Классическое
определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Тема №25. Геометрическая вероятность. Теорема
сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события.
Тема №26. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Тема №27. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Тема №28. Виды случайных величин. Дискретная
случайная величина. Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона.
Тема №29. Числовые характеристики дискретной
случайной величины. Математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Тема №30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема.
Тема №31. Функция распределения вероятностей и
плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Тема №32. Нормальное распределение вероятностей.
Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения.
Тема №33. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное
распределение. Их числовые характеристики.
11/10*
2
2
9/8*
11/10*
2
2
9/8*
16/10*
2
2
14/8*
14/10*
2
2
12/8*
14/10*
2
2
12/8*
14/10*
2
2
12/8*
12/10*
2
2
10/8*
20/10*
4
2
2
16/6*
200/166*
40
28
12
160/126*
10/8*
1
1
9/7*
11/8*
1
1
10/7*
11/8*
1
1
10/7*
11/8*
1
1
10/7*
11/8*
3
1
2
8/5*
11/8*
3
1
2
8/5*
11 /8*
4
2
2
7/4*
11 /8*
2
2
11 /8*
6
2
11 /8*
2
2
9/6*
4
5/2*
9/6*
11
Тема №34. Система двух непрерывных случайных
величин, ее числовые характеристики.
Тема №35. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Тема №36. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Тема №37. Методы расчета сводных характеристик
выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа.
Тема №38. Статистическая проверка статистических
гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова
и их применение.
Итого по разделу:
Раздел 4Экономико-математические методы
11/8*
2
2
9/6*
11/8*
2
2
9/6*
11/8*
2
2
9/6*
11/8*
2
2
9/6*
11/8*
2
2
9/6*
164/120*
34
24
10
130/86*
Тема №39. Предмет математического программирования. Основные методы математического программирования.
Тема №40. Классические методы одномерной оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция
полезности. Кривые безразличия.
14 /10 *
4
2
2
10/6*
12 /10 *
2
2
10/8*
Тема №41. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Экономическая интерпретация
элементов симплексной таблицы
Тема №42. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация пары двойственных задач.
Тема №43. Транспортные задачи. Экономическая и
математическая формулировки транспортной задачи.
12 /10 *
2
2
10/8*
12 /10 *
2
2
10/8*
13/11*
2
2
11/9*
Тема №44. Целочисленное программирование. Постановка задачи о коммивояжере.
13/11*
4
2
2
9/7*
Тема №45. Нелинейное программирование. Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое
программирование.
Тема №46. Динамическое программирование. Рекуррентные уравнения Беллмана.
13/11*
4
2
2
9/7*
13/11*
4
2
2
9/7*
Тема №47. Сетевое планирование. Сеть проекта.
12/10*
1
1
11/9*
Тема №48. Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях
конфликта и неопределенности.
Итого по разделу:
12/10*
1
1
11/9*
126/104*
26
18
8
100/78*
Итого по учебной дисциплине:
600/500*
122
86
36
478/378*
12
RN .
Обзорные
лекции
Тема №7. Прямые и плоскости в
Семинары
1
Раздел 1: Линейная алгебра
Тема №1. Векторы и действия над
ними. Скалярное произведение векторов.
Тема №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве
Тема №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго
порядка.
Тема №4. Матрицы. Операции над
матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому
виду. Ранг матрицы. Решение систем
линейных алгебраических уравнений
методом Гаусса.
Тема №5. Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица.
Тема №6. Собственные векторы, собственные значения матрицы. Nмерные линейные векторные пространства. Базис
Лекции
Раздел, тема
Всего
Всего часов
В том числе аудиторных:
Самостоятельная
работа
2.3. Тематический план для студентов заочной формы обучения
2
3
4
5
6
15
1
1
15
3
1
2
12
15
3
1
2
12
16
3
1
2
13
16
3
1
2
13
16
3
1
2
13
17
6
2
4
11
110/110*
22
8
14
88/88*
12/10,5*
0,5
0,5
11,5/10*
12/10,5*
0,5
0,5
11,5/10*
12/10,5*
0,5
0,5
11,5/10*
12/10,5*
2,5
0,5
7
14
N
Выпуклые множества в R и их
свойства. Понятие квадратичной
формы. Поверхности второго порядка
Обзорные лекции – 4 часа
Итого по разделу:
Раздел 2: Математический анализ
Тема №8. Множества. Операции над
множествами. Функции. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывные
функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация.
Тема №9. Производная функции.
Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых
функций. Производные основных
элементарных функций. Производная
сложной функции.
Тема №10. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей.
Тема №11. Асимптоты графика. Исследование функции на монотонность
и экстремумы. Исследование графика
функции на выпуклость, вогнутость,
наличие точек перегиба.
2
9,5/8*
13
Тема №12. Исследование экономических моделей.
Тема №13. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
Тема №14. Методы интегрирования:
табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по
частям
Тема №15. Определенный интеграл.
Свойства, геометрический смысл.
Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям. Несобственные
интегралы. Вычисление площадей.
Тема №16. Понятие числового ряда.
Необходимый признак сходимости.
Свойства сходящихся рядов. Ряды с
положительными членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера.
Тема №17. Знакочередующиеся ряды:
признак Лейбница. Знакопеременные
ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область сходимости, свойства сходящихся рядов.
Тема №18. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения. Алгоритм
разложения функции в ряд Тейлора.
Применение степенных рядов.
Тема №19. Определение функции нескольких переменных. Предел функции. Непрерывность. График функции
двух переменных.
Тема №20. Частные производные.
Производная сложной функции. Дифференциал. Производные высших порядков
Тема №21. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое
условие экстремума. Достаточное
условие экстремума функции двух
переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой
области.
Тема №22. Понятие решения, общего
решения, начальной задачи, краевой
задачи. Уравнения с разделяющимися
переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Тема №23. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами: метод
неопределенных коэффициентов для
специальной правой части.
Обзорные лекции – 4 часа
Итого по разделу:
12,5/11*
2
1
1
10,5/9*
12,5/11*
2
1
1
10,5/9*
12,5/10*
2
1
1
10,5/8*
12,5/10*
2
1
1
10,5/8*
12,5/10*
3
1
2
9,5/7*
12,5/10*
3
1
2
9,5/7*
12,5/10*
3
1
2
9,5/7*
12,5/10*
3
1
2
9,5/7*
12,5/10*
3
1
2
9,5/7*
12,5/10*
3
1
2
9,5/7*
13,5/11*
1
1
10,5/8*
13,5/11*
1
1
10,5/8*
200/166*
32
14
18
168/134*
14
Раздел 3: Теория вероятностей и математическая статистика
Тема №24. Предмет теории вероятностей. Полная группа равновозможных
событий. Классическое определение
вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Тема №25. Геометрическая вероятность.
Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события.
Тема №26. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула
полной вероятности. Формула Байеса.
Тема №27. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Тема №28. Виды случайных величин.
Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение
Пуассона.
Тема №29. Числовые характеристики
дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Тема №30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема.
Тема №31. Функция распределения вероятностей и плотность распределения
вероятностей непрерывной случайной
величины. Числовые характеристики
непрерывной случайной величины.
Тема №32. Нормальное распределение
вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые
характеристики нормального распределения.
Тема №33. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.
Тема №34. Система двух непрерывных
случайных величин, ее числовые характеристики.
Тема №35. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая
функция распределения.
Тема №36. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная
вероятность и доверительный интервал.
Тема №37. Методы расчета сводных
характеристик выборки. Построение
нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и
регрессионного анализа.
Тема №38. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их применение.
Обзорные лекции – 2 часа
Итого по разделу:
Раздел 4: Экономико-математические
методы
Тема №39. Предмет математического программирования. Основные методы математического программирования.
10/7*
0,5
0,5
9,5/6,5*
10/7*
0,5
0,5
9,5/6,5*
10,5/7,5*
0,5
0,5
10/7*
10,5/7,5*
0,5
0,5
10/7*
10,5/7,5*
2,5
0,5
2
8 /5*
10,5/7,5*
2,5
0,5
2
8/5*
10,5/7,5*
2,5
0,5
2
8/5*
10,5/7,5*
4,5
0,5
4
6/3*
10,5/7,5*
2,5
0,5
2
8/5*
10,5/8,5*
0,5
0,5
10/8*
12/9*
1
1
11/8*
12/9*
3
1
12/9*
1
1
11/8*
12/9*
1
1
11/8*
12/9*
1
1
11/8*
164/120*
24
10
12,75/9,75*
0,75
0,75
2
14
9/6*
140//96*
12/9*
15
Тема №40. Классические методы одномерной оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.
Тема №41. Симплекс-метод решения задач
линейного программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной
таблицы
Тема №42. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация пары двойственных задач.
Тема №43. Транспортные задачи. Экономическая и математическая формулировки
транспортной задачи.
Тема №44. Целочисленное программирование. Постановка задачи о коммивояжере.
Тема №45. Нелинейное программирование.
Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование.
Тема №46. Динамическое программирование. Рекуррентные уравнения Беллмана.
Тема №47. Сетевое планирование. Сеть проекта.
Тема №48. Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта и неопределенности.
Итого по разделу:
Итого по учебной дисциплине:
12,75/9,75*
2,75
0,75
2
10/7*
12,75/9,75*
4,75
0,75
4
8/5*
12,75/9,75*
4,75
0,75
4
8/5*
12,75/9,75*
2,75
0,75
2
10/7*
12,75/9,75*
0,75
0,75
12/9*
11,75/10,75*
0,75
0,75
11/10*
11,75/10,75*
0,75
0,75
11/10*
13/12*
1
1
12/11*
13/12*
1
1
12/10*
126/104*
600/500*
20
8
12
106//84*
40
58
502/402*
98
16
Раздел III. Содержание дисциплины
Раздел 1: Линейная алгебра
Тема №1. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.
Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Понятия связанного и свободного вектора. Линейные операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Проекция вектора на ось, основные свойства проекций. Скалярное произведение
векторов, свойства скалярного произведения, скалярное произведение векторов, заданных
координатами. Косинус угла между векторами, направляющие косинусы.
Литература: [4], Т.1, С.5-10; [4], Т.1, С.14-24; [9], С.9-20; [12], Т.1, С.6-15
Тема №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве
Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение
прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Условие
параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве. Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общие уравнения прямой.
Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с плоскостью.
Литература: [4], Т.1, С.31-45; [9], С.59-68; [9], С.204-214; [12], Т.1, С.15-26; [12], Т.1, С.5767
Тема №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго порядка
Комплексные числа и действия над ними: сложение, умножение, деление. Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа. Преобразование координат на
плоскости: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка.
Литература: [4], Т.1, С.184-189; [4], Т.1, С.46-63; [9], С.82-100; [12], Т.1, С.26-33
Тема №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования.
Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Матрицы: терминология и обозначения. Операции над матрицами: сложение, умножение
матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду.
Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Литература: [4], Т.1, С.75-90; [12], Т.1, С.81-90
17
Тема №5. Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица.
Определители и их свойства: линейность, антисимметричность, транспонирование определителя, определитель произведения квадратных матриц. Вычисление определителя. Обратная матрица. Метод Жордана. Способ построения обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы через определитель.
Литература: [4], Т.1, С.90-110; [11], С.9-26; [12], Т.1, С.76-80; [12], Т.1, С.101-110
Тема №6. Собственные векторы, собственные значения матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис
N-мерные линейные векторные пространства: определение линейного пространства, простейшие свойства, примеры. Линейные подпространства. Свойства линейного подпространства, сумма и пересечение линейных подпространств, свойства пересечения и суммы
линейных подпространств, линейная оболочка. Линейная зависимость. Базис, размерность. Замена базиса. Евклидовы пространства. Собственные векторы, собственные значения матрицы.
Литература: [4], Т.1, С.121-133, [4], Т.1, С.150-158; [10], С.7-30; [11], С.42-60; [12], Т.1,
С.115-125
Тема №7. Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества в R N и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности
Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества в R N и их свойства. Понятие квадратичной формы. Критерий знакоположительности квадратной формы. Поверхности второго
порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические поверхности.
Эллипсоид. Гиперболоиды. Эллиптический параболоид. Гиперболический параболоид.
Цилиндры и конус второго порядка.
Литература: [4], Т.1, С.162-167; [12], Т.1, С.68-75
Раздел 2: Математический анализ
Тема №8. Множества. Операции над множествами. Функции. Способы задания
функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности. Предел
функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация.
Множества. Числовая ось. Простейшие множества чисел. Операции над множествами.
Числовая последовательность и ее предел. Арифметические операции над сходящимися
последовательностями. Монотонные последовательности. Число e. Функция. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел функции в точке. Теоремы о
пределах. Предел функции в бесконечности. Замечательные пределы. Непрерывные функции и их свойства. Операции над непрерывными функциями. Точки разрыва и их классификация.
Литература: [4], Т.1, С.168-183; [4], Т.1, С.192-200; [3], Т.1, С.28-40; [4], Т.1, С.211-218;
[12], Т.1, С.149-164
18
Тема №9. Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства
дифференцируемых функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции.
Производная функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и
нормали к кривой. Производная с точки зрения механики. Дифференцируемость функции.
Основные свойства дифференцируемых функций. Дифференциал функции. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Понятие обратной функции. Производная обратной
функции.
Литература: [4], Т.1, С.232-249; [3], Т.1, С.121-140; [12], Т.1, С.165-175
Тема №10. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей.
Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Производные
высших порядков суммы и произведения функций. Дифференциалы первого и высших
порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Раскрытие неопределенностей.
Литература: [4], Т.1, С.253-258; [4], Т.1, С.269-273; [3], Т.1, С.148-155; [12], Т.1, С.176-181
Тема №11. Асимптоты графика. Исследование функции на монотонность и экстремумы. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек
перегиба.
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия максимума и минимума. Исследование функции на
максимум и минимум при помощи второй производной. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Асимптоты графика функции. Схема построения графика функции. Исследование
функция на экстремум с помощью производных высшего порядка.
Литература: [4], Т.1, С.284-306; [3], Т.1, С.184-208; [12], Т.1, С.181-197
Тема №12. Исследование экономических моделей.
Основные экономические модели, основанные на понятии производной. Конкретные
примеры экономической одномерной оптимизации.
Литература: [22], С.104-125; [23], С.14-30
Тема №13. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
Литература: [4], Т.2, С.3-8; [3], Т.1, С.318-322; [12], Т.1, С.225-230
Тема №14. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям
Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших
дробей.
Литература: [4], Т.2, С.9-25; [3], Т.1, С.323-326; [3], Т.1, С.350-354; [12], Т.1, С.231-246
19
Тема №15. Определенный интеграл. Свойства, геометрический смысл. Формула
Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей.
Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства, геометрический смысл определенного интеграла. Условия интегрируемости функции. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по
частям. Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах. Несобственные интегралы: интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных
функций.
Литература: [4], Т.2, С.43-53; [4], Т.2, С.57-66; [4], Т.2, С.85-103; [3], Т.1, С.379-390; [12],
Т.1, С.260-264
Тема №16. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства
сходящихся рядов. Ряды с положительными членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера.
Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов.
Ряды с положительными членами. Гармонический ряд, ряд Дирихле. Признак сравнения,
предельный признак сравнения. Признак Даламбера.
Литература: [3], Т.1, С.477-495; [12], Т.2, С.56-66
Тема №17. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Знакопеременные ряды:
абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область сходимости, свойства
сходящихся рядов.
Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов.
Литература: [3], Т.1, С.496-540; [12], Т.2, С.60-67
Тема №18. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора. Применение степенных рядов.
Формула Тейлора. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости ряда Тейлора к исходной функции. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.
Применение степенных рядов.
Литература: [4], Т.1, С.273-283; [3], Т.1, С.173-180; [3], Т.1, С.547-560; [12], Т.2, С.67-79
Тема №19. Определение функции нескольких переменных. Предел функции. Непрерывность. График функции двух переменных.
Определение функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность функции нескольких переменных. График функции двух переменных.
Литература: [4], Т.2, С.106-113; [3], Т.1, С.247-265; [12], Т.1, С.208-209
Тема №20. Частные производные. Производная сложной функции. Дифференциал.
Производные высших порядков
Частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Производная сложной
20
функции. Полный дифференциал. Частные дифференциалы. Производные высших порядков.
Литература: [4], Т.2, С.114-124; [3], Т.1, С.283-293; [4], Т.2, С.133-136; [12], Т.1, С.209-218
Тема №21. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и
наименьшее значение функции в замкнутой области.
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Литература: [4], Т.2, С.139-145; [4], Т.2, С.149-152; [3], Т.2, С.16-25; [12], Т.1, С.221-225
Тема №22. Понятие решения, общего решения, начальной задачи, краевой задачи.
Уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие решения, общего решения,
начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Литература: [4], Т.3, С.10-30; [12], Т.2, С.105-125
Тема №23. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной правой части
Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной
правой части.
Литература: [4], Т.3, С.35-55; [12], Т.2, С.126-145
Раздел 3: Теория вероятностей и математическая статистика
Тема №24. Предмет теории вероятностей. Полная группа равновозможных событий.
Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Предмет теории вероятностей и ее значение для экономической науки. Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое и геометрическое определения вероятности. Комбинаторика. Частота события, ее свойства, статистическая устойчивость частоты.
Аксиомы теории вероятностей. Простейшие следствия из аксиом.
Литература: [13], С.17-23; [14], С.8-12
Тема №25. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий.
Зависимые и независимые события.
Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Полная группа событий. Противоположные события. Принцип практической невозможности маловероятных событий.
Литература: [13], С.27-35; [14], С.12-18
21
Тема №26. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления
хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез, формула
Бейеса.
Литература: [13], С.37-53; [14], С.19-35
Тема №27. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная
теоремы Лапласа.
Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная
теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Литература: [13], С.55-64; [14], С.37-45
Тема №28. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
Виды случайных величин. Дискретная и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое распределение.
Гипергеометрическое распределение.
Литература: [13], С.64-74; [14], С.52-59
Тема №29. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Вероятностный смысл математического
ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. Начальные и центральные теоретические моменты.
Литература: [13], С.75-100; [14], С.60-81
Тема №30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная
теорема.
Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли.
Литература: [13], С.101-110; [14], С.82-86
Тема №31. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Функция распределения вероятностей случайной величины: определение, свойства, график. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины: определение, свойства.
Литература: [13], С.111-124; [14], С.87-94
22
Тема №32. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения.
Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. Правило трех сигм. Распределения «хи квадрат» и Стьюдента.
Литература: [13], С.124-133; [13], С.143-149; [14], С.109-113
Тема №33. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.
Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики. Функция надежности. Показательный
закон надежности.
Литература: [13], С.149-155; [14], С.106-108; [14], С.114-120
Тема №34. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики.
Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики. Свойства
функции распределения. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Коэффициент корреляции. Линейная регрессия.
Литература: [13], С.155-160; [13], С.174-185; [14], С.137-150
Тема №35. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция
распределения.
Выборочный метод. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и репрезентативная выборки. Полигон и гистограмма. Эмпирическая
функция распределения.
Литература: [13], С.187-196; [14], С.151-156
Тема №36. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Метод наибольшего правдоподобия.
Литература: [13], С.197-200; [13], С.230-235; [14], С.157-180
Тема №37. Методы расчета сводных характеристик выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного
анализа.
Методы расчета сводных характеристик выборки. Эмпирические моменты. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Выборочные уравнения регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Понятие о множественной корреляции.
Литература: [13], С.237-250; [14], С.181-189; [13], С.253-270; [14], С.190-200
Тема №38. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их применение.
Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и
сложная гипотезы. Область принятия гипотезы. Понятие о критерии согласия. Критерий
23
согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова. Цепи Маркова и их применение. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода. Равенство Маркова.
Литература: [13], С.281-290; [13], С.327-335; [14], С.206-210; [14], С.239-250; [13], С.380385
Раздел 4: Экономико-математические методы и модели.
Тема №39. Предмет математического программирования. Основные методы математического программирования.
Математическое программирование. Основные определения. Обзор основных методов.
Литература: [16], С.7-20
Тема №40. Классические методы одномерной оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.
Одномерная оптимизация. Методы, использующие производные. Методы, не использующие производные. Метод Ньютона. Метод «золотого сечения». Метод Фибоначчи. Функция спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.
Литература: [16], С.71-91; [21], С.13-17
Тема №41. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы
Симплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы.
Улучшение опорного решения. Определение ведущих столбца и строки. Выбор начального допустимого базисного решения. Введение искусственных переменных. Вырожденные
задачи линейного программирования. Зацикливание и его предотвращение.
Литература: [16], С.40-59
Тема №42. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация пары двойственных задач
Понятие двойственности. Двойственная задача к линейной задаче в стандартной форме.
Определение двойственности в общем случае. Теорема двойственности. Двойственные
переменные и теневые цены. Двойственные и исходно-двойственные алгоритмы.
Литература: [16], С.60-70
Тема №43. Транспортные задачи. Экономическая и математическая формулировки
транспортной задачи.
Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи. Метод потенциалов. Основные способы построения начального опорного решения. Транспортные задачи с
нарушенным балансом производства и потребления. Транспортные задачи с дополнительными условиями.
Литература: [18], С.34-58
Тема №44. Целочисленное программирование. Постановка задачи о коммивояжере.
Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры целочисленных моделей. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори. Метод
ветвей и границ. Постановка задачи о коммивояжере. Понятие о приближенных методах.
Литература: [16], С.249-274
24
Тема №45. Нелинейное программирование. Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование.
Методы нелинейной многомерной оптимизации. Унимодальные функции. Методы поиска. Общая задача нелинейного программирования. Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование. Метод штрафов. Теорема Куна-Таккера, ее
связь с теорией двойственности в линейном программировании.
Литература: [16], С.150-182
Тема №46. Динамическое программирование. Рекуррентные уравнения Беллмана.
Динамическое программирование. Постановка задачи. Основные определения. Принцип
оптимальности. Рекуррентные уравнения Беллмана. Примеры решения задач математического программирования методом Беллмана.
Литература: [16], С.340-379
Тема №47. Сетевое планирование. Сеть проекта.
Сетевое планирование. Сеть проекта. Критический путь, время завершения проекта. Резервы событий, резервы операций.
Литература: [19], С.23-50
Тема №48. Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных
решений в условиях конфликта и неопределенности.
Игра как математическая модель конфликта. Основные понятия теории игр. Классификация игр. Примеры бескоалиционных игр. Антагонистические игры. Матричные игры.
Смешанные стратегии. Графоаналитический метод решения игр. Матричные игры и линейное программирование.
Литература: [20], С.50-87
25
Раздел IV. Планы семинарских и практических занятий
4.1 Планы семинарских и практических занятий для студентов очной формы обучения
Раздел 1.Линейная алгебра
Практическое занятие по теме №1 . Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.-2 часа
Цель занятия. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:. Прямоугольные декартовы координаты на
плоскости и в пространстве. Понятия связанного и свободного вектора. Линейные операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число. Координаты и компоненты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Проекция вектора на
ось, основные свойства проекций. Скалярное произведение векторов, свойства скалярного
произведения, скалярное произведение векторов, заданных координатами. Косинус угла
между векторами, направляющие косинусы.
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти скалярное произведение векторов a  (3,8) и и  (1,4) .
2.Найти угол между векторами a = (-1, 3) и b = (2, 7).
. 3. Выяснить ортогональность векторов a = (-2, 3) и b = (4, 1).
Практикум тесты 1.1-1.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.6-15
Практическое занятие по теме №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение
плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве-2 часа
Цель занятия. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения
. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве
Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение
прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Условие
параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве. Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общие уравнения прямой.
Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с плоскостью.
Задания для самостоятельной работы.
1. Известны точка М(2, 5) на прямой m и направляющий вектор s  (1,3) этой прямой.
Найти каноническое уравнение прямой m.
2.Что можно сказать о взаимном расположении прямых x + 2y – 3 = 0 и 5x + 10y – 2 = 0?
3.Что можно сказать о взаимном расположении прямых 2x + 3y – 6 = 0 и 8x +12y +3 = 0?
Практикум тесты 1.6-1.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.6-15
Практическое занятие по теме №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения
кривых второго порядка-2часа
Цель занятия. Уравнения кривых второго порядка
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Комплексные числа и действия над ними: сложение, умножение, деление. Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа. Преобразование координат на
плоскости: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка.
Задания для самостоятельной работы.
. Найти координаты центра и радиус окружности
1.х2 + у2+ \6y-9 =0.
2.. Определить вид и расположение кривой
х2+2;и2-4х + 16>; = 0.
3..Составить уравнение параболы, проходящей через точки: а) (0; 0) и (—1; —3) симметрично
относительно оси Ох; б) (0; 0) и.(2; —4) симметрично относительно оси Оу.
Практикум тесты 2.1-2.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.26-33
Практическое занятие по теме №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение
систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-4часа
Цель занятия. Операции над матрицами. Элементарные преобразования.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Матрицы: терминология и обозначения. Операции над матрицами: сложение, умножение
матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду.
Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Задания для самостоятельной работы.
2 5 7 
1. Для матрицы А = 

3 4 1 
найти матрицу 5А.
27
11 12 13 14


2.Транспонировать матрицу А = 15 4 6 19
3 7 8 9


1 2 3
3.Даны матрицы А = 
 иВ=
7 5 6
5 1 


9 3 . Найти произведения АВ, ВА.
8 7


Практикум тесты 2.6-2.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.81-90
Практическое занятие по теме №5 Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица.-4часа
Цель занятия. Определители и их свойства Обратная матрица
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Определители и их свойства: линейность, антисимметричность, транспонирование определителя, определитель произведения квадратных матриц. Вычисление определителя. Обратная матрица. Метод Жордана. Способ построения обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы через определитель.
Задания для самостоятельной работы.
3 1 2
1.Вычислить определитель 4 6 7 .
5 8 9
 3 1 2
2.А = 4 6 7 . Найти миноры M11, M32 и M13.
5 8 9
3. Вычислить определитель
2
5
4
3
3
4
7
5
4 9 8 5
3 2 5 3
.
Найти обратную матрицу для матрицы
5 3
4.A = 

2 1
Практикум тесты 3.1-3.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
1], Т.1, С.76-80; [12], Т.1, С.101-110
28
Практическое занятие по теме №6. Собственные векторы, собственные значения
матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис-2 часа
Цель занятия. . Собственные векторы, собственные значения матрицы
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
N-мерные линейные векторные пространства: определение линейного пространства, простейшие свойства, примеры. Линейные подпространства. Свойства линейного подпространства, сумма и пересечение линейных подпространств, свойства пересечения и суммы
линейных подпространств, линейная оболочка. Линейная зависимость. Базис, размерность. Замена базиса. Евклидовы пространства. Собственные векторы, собственные значения матрицы
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
3 4
матрицей 
.
5 2
2.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного мат2 1 
рицей 
.
1 2 
3.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
 0 1 0
матрицей  4 4 0


 2 1 2
Практикум тесты 3.6-3.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература : [1], Т.1, С.115-125
Практическое занятие по теме №7. Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества
в R N и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности-2часа
Цель занятия. . Прямые и плоскости в R N .
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества в R N и их свойства. Понятие квадратичной формы. Критерий знакоположительности квадратной формы
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(1,3) и М2(4, 5)
2. Найти расстояние  (M 0 , m) от точки М0(2, 5) до прямой т, заданной уравнением
Зx + 7у - 2 = 0.
3.Известны точка М(2, 5) на прямой m и направляющий вектор s  (1,3) этой прямой.
Найти каноническое уравнение прямой m.
4.. Найти длину вектора х = (5, 1, 2, 3).
Практикум тесты 4.1-4.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература Т.1, С.68-75
29
Раздел 2.Математический анализ
Практическое занятие по теме №8. Множества. Операции над множествами. Функции. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация-2часа
Цель занятия. . Элементарные функции. Предел последовательности. Предел функции.
Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Множества. Числовая ось. Простейшие множества чисел. Операции над множествами.
Числовая последовательность и ее предел. Арифметические операции над сходящимися
последовательностями. Монотонные последовательности. Число e. Функция. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел функции в точке. Теоремы о
пределах. Предел функции в бесконечности. Замечательные пределы. Непрерывные функции и их свойства. Операции над непрерывными функциями. Точки разрыва и их классификация
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти интервалы монотонности функции у. = х3.
2.Исследовать на экстремум функцию у =х(х — I)3.
3.Доказать непрерывность функции у = cos x.
4.. Выберите функцию, наиболее точно соответствующую графику.
1)
y  2 2 cos( x   / 4 )
2) y  2 2 cos( x   / 4 )
3)
y  2 2 sin( x   / 4)
4) y  2 2 sin( x   / 4 )
y  2 2 sin( x  3 / 4 )
5. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в
этих точках: а) у = х2; б) у = л:3 +1;
6. Найти пределы:
а) lim x 2  2 ;
x9
б)


5x  9
lim 9 x  3 ;
x
в)
lim
x  7
x 2  9 x  14
;
x  17
x
 9
г) lim 1   .
x
x  
Практикум тесты 4.6-4.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.149-164
30
Практическое занятие по теме №.9 Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных
элементарных функций. Производная сложной функции.-2часа
Цель занятия. Производная функции.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Производная функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и
нормали к кривой. Производная с точки зрения механики. Дифференцируемость функции.
Основные свойства дифференцируемых функций. Дифференциал функции. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Понятие обратной функции. Производная обратной
функции.
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти производную функции у = х3.
2.Найти производную функци. у = sin(x2 + 2Х).
3.Найти производную функции у=х2- л/х3 .
4.Найти производную функций: а) у - хх;
Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [a,b] одновременно выполняются 3 условия: y<0; y'>0; y"<0?
1) только IV
2) только I
3) только I и II
4) только I и IV
5) только III
Практикум тесты 5.1-5.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.165-175
Практическое занятие по теме №.10. Производные высших порядков. Дифференциал
функции. Раскрытие неопределенностей-2часа
Цель занятия.. Производные высших порядков
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Производные
высших порядков суммы и произведения функций. Дифференциалы первого и высших
порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Раскрытие неопределенностей.
31
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти производную функции у, заданной уравнением х2 -ху + \пу= 2, и вычислить ее значение в точке (2; 1).
2.Найти производные до л-го порядка включительно от функции у = In х.
d
3. Вычислить
tg 2 ( x 4  2 ) .
4
2tg( x  2dx
)
8x 3tg( x 4  2)
1)
2)
2
4
2
4


cos( x  2)
3)
4x 3
cos( x 4  2)
2
cos( x  2)
4)
tg3( x 4  2)
3
5) 2tg(x4-2)
4.Найти производную функции. у = cos2 x + In tgПрактикум тесты 5.6-5.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.176-181
Практическое занятие по теме №.11. Асимптоты графика. Исследование функции на
монотонность и экстремумы. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба.2часа
Цель занятия. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек
перегиба
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия максимума и минимума. Исследование функции на
максимум и минимум при помощи второй производной. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Асимптоты графика функции. Схема построения графика функции. Исследование
функция на экстремум с помощью производных высшего порядка.
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти приращение и дифференциал функции у = 2х2 -Зх при х = 10 и Ах = 0,1.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций: . у = Зх2 -6х на отрезке [0;
3].
3. Исследовать функции и построить их графики:
y=x*-Ux2+36x.
*3
у =(2 + х)е~х.
4.Если z=3x2+6xy+5x+2y2, тогда градиент z в точке А(-1;1) равен...
1) 5i  2 j
2) 2i  5 j
3) 29
4) 3
5) 2i  5 j
Практикум тесты 6.1-6.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.181-197
32
Практическое занятие по теме №.12. Исследование экономических моделей -2часа
Цель занятия. Исследование экономических моделей.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Основные экономические модели, основанные на понятии производной. Конкретные
примеры экономической одномерной оптимизации.
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции у = х(х-1)3.
2. Капитал в 1 млрд. рублей может быть размещен
в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью.
Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство является более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке?
Практикум тесты 6.6-6.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [22], С.104-125
Практическое занятие по теме №.13. Первообразная. Неопределенный интеграл и его
свойства. Таблица основных интегралов - 2часа
Цель занятия. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных
интегралов.
Задания для самостоятельной работы.
Найти интегралы:
1. ⌠Inxdx; б) ⌠(*3 +1)Inxdx.
2.Найти ⌠cos(3x +dx
2)dx.
3.. Интеграл 
можно представить в виде суммы интегралов …
2
4
x

x
dx
dx
dx
dx

1) 
2) 

x
4( x  4)
4x
x4
4. 3)
5)
dx
dx
 4x   x
dx
4)
2
dx
dx
dx
 4 x   4( x  4 )
 4 x   4( x  4 )
6.Дана функция f(x) =
6
+ 1. Найдите для нее первообразную, график
cos23x
которой проходит через точку М (π/4; π/4).
7.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1, x = 2, x = -1, y = 0.
8.Дана функция f(x) = 3 - 4
. Найдите для нее первообразную, график
sin2 2x которой проходит через точку М (π/4; 3π/4).
9.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1, x = 1, x = 2, y = 0.
10.Дана функция f(x) = 2
- 3. Найдите для нее первообразную, график
2
cos 3x
33
которой проходит через точку М (π/4; π/4).
11.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x2 + 1, x = 2,
x = 3, y = 0.
12.Дана функция f(x) = 1 + 3
. Найдите для нее первообразную, график
sin2 2x которой проходит через точку М (π/4; 3π/4).
13.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x2 - 1, x = 1, x = 3, y = 0
Практикум тесты 7.1-7.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.225-230
Практическое занятие по теме №.14. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям- 2часа
Цель занятия. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших
дробей.
Задания для самостоятельной работы.
Найти интегралы:
а)  3 / x 2  2 cos x dx;
б)  sin  x  9 dx;
3
в)  x dx.
2
Практикум тесты 7.6-7.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.231-246
Практическое занятие по теме №. 15. Определенный интеграл. Свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены
переменной, по частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей - 2часа
Цель занятия. Определенный интеграл.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства, геометрический смысл определенного интеграла. Условия интегрируемости функции. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по
частям. Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах. Несобственные интегралы: интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных
функций.
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти интеграл
3

x dx.
2
2. Какой из следующих интегралов представляет площадь заштрихованной части фигуры,
34
изображенной на чертеже?
3
1)
 ( x  (2 x  x
2
))dx
0
1
2)
 ( x  (2 x  x
2
)) dx
3
3
3)
 ( x  (2 x  x
2
)) dx
0
3
4)
 ((2 x  x
2
)  ( x))dx
0
1
5)
 ((2 x  x
2
)  x)dx
3
3.Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
 f ( x , y)dx dy
по области D,
D
изображенной на чертеже:
4
1)  dx
0
2)
3
 f ( x , y)dy
x 1
4
3
0
1
 dx  f ( x , y)dy
4
3)  dx
0
4)
5)
3
4
1
0
 dy  f ( x , y)dx
3
4
1
y
 dy  f ( x , y)dx
3
 f ( x , y)dy
1
x 1
2
Практикум тесты 8.1-8.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.260-264
Практическое занятие по теме №.16. Понятие числового ряда. Необходимый признак
сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера -2 часа
Цель занятия. Понятие числового ряда.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:. Понятие числового ряда. Необходимый
признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами. Гармонический ряд, ряд Дирихле. Признак сравнения, предельный признак сравнения. Признак Даламбера
35
Задания для самостоятельной работы.
Укажите, какие из рядов сходятся:


3
ln n
I) 
II) 
n 1 n n
n 1 3  2 n
1) только III
4) только I

III)
n
2) только I и III
5) только I и II
3
 1,5
n
3)
только
II
и
III
Вычислить
1. lim
x 0
3 x  sin x
.
tg 2 x
1)-1/2
2) 3/2
3) 1/2
4) 1
5) 0
2. lim ( x  tg3 x )ctg2 x = …
x 0
1) –4
2) –1
3) 0
Практикум тесты 8.6-8.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература : [1], Т.2, С.56-66
Практическое занятие по теме №.17. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница.
Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область сходимости, свойства сходящихся рядов – 2 часа
Цель занятия. Знакочередующиеся ряды
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов
Задания для самостоятельной работы.
Укажите, какие из рядов сходятся:

I.
4

n1 7n  2
1) только II

II.
5

2
n1 2n

III.
2
5
n 1
n
2) только II и III 3) только I и III
4) только I и II 5) только III
Практикум тесты 9.1-9.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература:[1], Т.2, С.60-67
36
Практическое занятие по теме №.18. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора. Применение степенных рядов
-2 часа
Цель занятия. Ряды Тейлора и Маклорена
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Формула Тейлора. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости ряда Тейлора к исходной функции. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.
Применение степенных рядов
Задания для самостоятельной работы.
1.Если
по степеням
1
, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлора
равен…
2
0,25
0
2.Если
по степеням
2
, то коэффициент а5 разложения данной функции в ряд Тейлора
равен…
10
12
0
Если
, то коэффициент а6 разложения данной функции в ряд
Практикум тесты 9.6-9.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.2, С.67-79
Практическое занятие по теме №.19. Определение функции нескольких переменных.
Предел функции. Непрерывность. График функции двух переменных -2часа
Цель занятия. Определение функции нескольких переменных.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Определение функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность функции нескольких переменных. График функции двух переменных.
37
Задания для самостоятельной работы.
1.Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
нечетна, если функция
2.Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
нечетна, если функция
Практикум тесты 10.1-10.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.208-209
Практическое занятие по теме №.20. Частные производные. Производная сложной
функции. Дифференциал. Производные высших порядков -2часа
Цель занятия... Частные производные
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Производная сложной
функции. Полный дифференциал. Частные дифференциалы. Производные высших порядков.
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти частные и полное приращения функции z = ху.
2. Найти точки максимума и минимума функции z = х2 + 2у2 при условии ЗА +2у =11.
Практикум тесты 10.6-10.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.209-218
38
Практическое занятие по теме №. 21 Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух
переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области –
2 часа
Цель занятия Экстремум функции нескольких переменных.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Задания для самостоятельной работы.
Найти точки
экстремума функции z = х2 + ly2 при условии Зх + 2у = 11, используя метод множителей Лагранжа.
Практикум тесты 11.1-11.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.221-225
Практическое занятие по теме №.22. Понятие решения, общего решения, начальной
задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные
дифференциальные уравнения первого порядка - 2часа
Цель занятия... линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие решения, общего решения,
начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Задания для самостоятельной работы.
1. Решить уравнение у" = х.
2.Найти уравнения кривых, в каждой точке
которых отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам точкой касания
3.Частное решение дифференциального уравнения ( x 2  1) y   2 x ( 4  y ) при y(0)=1
имеет вид...
4 x 2 1
3
1
1) 4  2
2)
3) 4  2
2
x 1
x 1
x 1
4x2
5
5)
x 2 1
x 2 1
Практикум тесты 11.6-11.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.2, С.105-125
4) 4 
39
Практическое занятие по теме №.23 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной правой части - 2часа
Цель занятия. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной
правой части.
Задания для самостоятельной работы.
1.. Решить уравнение ху" + у' = 0.
2.Решить уравнение 2уу" = (у')2+ 1.
3.Найти частное решение следующих уравнений при указанных начальных условиях:
а) у"- Зу' + 2у = 0, у (0) = 3, у'(0) .= 4;
б) у" -2у' + у = 0,у (0) = 1, >>'(0) = 0;
в) у" - 2У + 2у=0,у (0) = 1, Г(0) = 1.
4.Если одним из частных решений дифференциального уравнения y"-16y=-32x-48 является функция y*=2x+3, то общее решение данного уравнения имеет вид ...
1) С1e4x+C2e-4x+2x+3 2) C1e4x-C2e-4x+2x-3
3) С1e4x+C2e-4x+2x
4) С1e4x+C2e-4x+3
5) С1e4x+C2e-4x-32x-48
Практикум тесты 12.1-12.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.2, С.126-145
Раздел 3 теория вероятностей и математическая статистика
Практическое занятие по теме №.24. Предмет теории вероятностей. Полная группа
равновозможных событий. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики-1час
Цель занятия. Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Предмет теории вероятностей и ее значение для экономической науки. Испытания и события. Виды случайных событий. Классическое и геометрическое определения вероятности. Комбинаторика. Частота события, ее свойства, статистическая устойчивость частоты.
Аксиомы теории вероятностей. Простейшие следствия из аксиом.
Задания для самостоятельной работы.
1.В ящике 5 новых и 6 старых инструментов. Рабочему сразу выдали 3 инструмента. Вероятность того, что рабочему выдали только новые инструменты, равна…
1) 8/11
2) 3/11
3) 5/11
4) 4/33
5) 2/33
40
2.Различные элементы электрической цепи работают независимо друг от друга.
Вероятности безотказной работы элементов за время Т следующие: P(A1)=0.6, P(A2)=0.8,
P(A3)=0.7. Тогда вероятность безотказной работы системы за время Т равна… 1) 0,5
2)
0,893 3) 0,588
4) 0,644
5) 0,485
Практикум тесты 12.6-12.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.8-12
Практическое занятие по теме №.25. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события - 1час
Цель занятия Зависимые и независимые события.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Полная группа событий. Противоположные события. Принцип практической невозможности маловероятных событий.
Задания для самостоятельной работы.
1.. Различные элементы электрической цепи работают независимо друг от друга
2.Вероятности безотказной работы элементов за время Т следующая: P(A1)=0.6,
P(A2)=0.8, P(A3)=0.7. Тогда вероятность безотказной работы системы за время Т равна…
1) 0.742
2) 0.821
3) 0.426
4) 0.844
5) 0.324
3.Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины: Р(А{) = 0,2; Р(А2) = 0,4. Тогда вероятность того, что к складу будет додана хотя бы одна из этих машин равна
Практикум тесты 13.1-13.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.12-18
41
Практическое занятие по теме №26. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса -1час
. Цель занятия Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность появления
хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез, формула
Бейеса
Задания для самостоятельной работы.
1. Если вероятность поступления в магазин одного вида товара Р(А) — 0,4, а второго вида
Р(В) = 0,5 и если допустить, что эти события независимы, но совместны, то вероятность
суммы событий
Р(А+В) =
2. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки:
первая — 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов
у этих организаций соответственно таковы: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет, и он оказался
правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.
Практикум тесты 13.6-13.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[2], С.19-35
Практическое занятие по теме №27. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа-1час
Цель занятия. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная
теоремы Лапласа
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная
теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.
Задания для самостоятельной работы.
1. В четырех попытках разыгрываются некоторые предмета. Вероятность выигрыша в каждой попытке равна 0,5. Какова вероятность выигрыша трех предметов?
2.. Предприятие изготовило и отправило заказчику 100 000 бутылок пива. Вероятность того, что
бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятности того, что в отправленной
партии будет три и пять битых бутылок
Практикум тесты 14.1-14.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.37-45
Практическое занятие по теме №.28. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона -2часа
42
Цель занятия Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное
распределение. Распределение Пуассона.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Виды случайных величин. Дискретная и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое распределение.
Гипергеометрическое распределение.
1.. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (2, 8). Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 10, а среднее квадратичное отклонение равно 2, Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 12).
3.Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 18, а вероятность ее попадания в интервал (16, 20) равна 0,98. Найти среднее
квадратичное отклонение случайной величины
Практикум тесты 14.6-14.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.52-59
Практическое занятие по теме №.29. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение -2часа
Цель занятия Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Вероятностный смысл математического
ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. Начальные и центральные теоретические моменты.
Задания для самостоятельной работы.
1. Дано следующее распределение дискретной случайной величины:
X
1
2
4
5
р
0,2
0,1
0,4 0,3
Найти ее дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
2. В пяти торговых точках проверяется годовой баланс. Вероятность правильного оформления баланса в каждой точке равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию
правильно оформленных балансов.
Практикум тесты 15.1-15.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.60-81
43
Практическое занятие по теме №30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Центральная предельная теорема -2часа
Цель занятия Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная
теорема
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли.
Задания для самостоятельной работы.
1. Анализ Теоремы Чебышева, которая устанавливает связь между теорией вероятностей,
которая рассматривает средние характеристики всего множества значений случайной величины, и математической статистикой.
Она показывает, что при достаточно, большом
числе измерений некоторой случайной величины среднее арифметическое значений этих
измерений приближается к математическому ожиданию.
2 Анализ Центральной предельной Теоремы. Если случайная величина ^представляет собой
сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному. •
Практикум тесты 15.6-15.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
Практическое занятие по теме №31. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые
характеристики непрерывной случайной величины -2часа
Цель занятия . Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Функция распределения вероятностей случайной величины: определение, свойства, график. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины: определение, свойства.
Задания для самостоятельной работы.
Случайная величина X задана плотностью вероятности 2х в интервале (О, 1), «не этого
интервала/(х) = 0. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Практикум тесты 16.1-16.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.87-94
Практическое занятие по теме №32. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения -2часа
Цель занятия. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. Правило трех сигм. Распределения «хи квадрат» и Стьюдента
Задания для самостоятельной работы.
1. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 12, а среднее квадратичное отклонение равно 3, Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 11).
2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 15, а вероятность ее попадания в интервал (16, 21) равна 0,98. Найти среднее
квадратичное отклонение случайной величины
Практикум тесты 16.6-16.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.109-113
Практическое занятие по теме №33. Типичные законы распределения вероятностей.
Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики -2часа
Цель занятия . Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики. Функция надежности. Показательный
закон надежности.
Задания для самостоятельной работы.
Случайная величина X распределена равномерно в интервале (1, 7). Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Практикум тесты 17.1-17.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.106-108; [14], С.114-120
Практическое занятие по теме №34. Система двух непрерывных случайных величин,
ее числовые характеристики -2часа
Цель занятия. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики. Свойства
функции распределения. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Коэффициент корреляции. Линейная регрессия
Задания для самостоятельной работы.
Найти линейную среднюю квадратическую регрессию Хна Y" при следующих исходных данных: математические ожидания тxх = 3, my — 6, ковариация V_ = -10, средние квадратичные
отклонения а = 5,
У
Практикум тесты 17.6-17.10
Рекомендуемая литература:
45
Основная литература: [2], С.137-150
Практическое занятие по теме №35. Выборочный метод. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения -2 часа
Цель занятия . . Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция
распределения.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Выборочный метод. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и репрезентативная выборки. Полигон и гистограмма. Эмпирическая
функция распределения.
Задания для самостоятельной работы.
. Построить эмпирическую функцию распределения по данной выборке:
*/
2
6
8
10
»/
6
16
18
20
Практикум тесты 18.1-18.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.151-156
Практическое занятие по теме №36. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал -2 часа
Цель занятия . Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Метод наибольшего правдоподобия.
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти общую среднюю на основе выборки:
Группа
Значение варианты
Частота
Объем
1
2
1
10
25
6
15
1
20
5
30
50
2/Найти методом наибольшего правдоподобия оценку па раметра X в распределении
Пуассона
Практикум тесты 18.6-18.10
46
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.157-180
Практическое занятие по теме №37. Методы расчета сводных характеристик выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа -2 часа
Цель занятия
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Методы расчета сводных характеристик выборки. Эмпирические моменты. Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Выборочные уравнения регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Понятие о множественной корреляции.
Задания для самостоятельной работы.
1. Пусть величина А'имеет нормальное распределение. Проведена выборка, объем которой
я = 25, и найдено «исправленное» выборочное среднее квадратичное отклонение s = 0,8Найти доверительный интервал, покрывающий о^ с надежностью y "" 0,95.
2. В магазине постельных принадлежностей в течение пяти дней подсчитывали число
покупок простыней X и подушек Y:
х,
7
10
12
I
20
14
25
28
30 у,
4
ч
8
(Выданной таблице значения А'расставлены в возрастающем порядке.) Найти выборочное уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент корреляции.
Практикум тесты 19.1-19.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.181-189; [2], С.190-200
Практическое занятие по теме №38. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их применениеи-2 часа
Цель занятия. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и
сложная гипотезы. Область принятия гипотезы. Понятие о критерии согласия. Критерий
согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова. Цепи Маркова и их применение. Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода. Равенство Маркова
Задания для самостоятельной работы.
. Проведены измерения для каждого из трех уровней некоторого фактора Ф. В качестве
уровня значимости принимается величина а = 0,05. Проверить дудевую гидоте^ о незначительном влиянии фактора Ф,
Исходные данные помещены в табл.
47
Номер
Ф3
1
22 3
3D
Уровни фактора измерения
38
35
34 xtj
20
26
35
21 2
31 4
25
Таблица
Ф,
36
Ф2
24
31
27
Практикум тесты 20.1-20.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.206-210; [14], С.239-250; [2], С.380-385
Раздел 4 Экономико-математические методы и модели
Практическое занятие по теме №39. Предмет математического программирования.
Основные методы математического программирования -2 часа
Цель занятия. Предмет математического программирования. Основные методы математического программирования.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Математическое программирование. Основные определения. Обзор основных методов
Задания для самостоятельной работы.
Задачи о смесях возникают при оптимизации смешивания различных компонентов с
целью получения смесей с заданным составом
Составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость. . Если х — количество
компонента первого вида, входящего в дневной рацион, а у — количество компонента
второго вида, то задачу линейного программирования можно записать в виде:
F(x,y) = x+2y-+ min
при условиях
8х+4у>20, (1)
4х + 6.у>18, (2) 6 у> 9 , (3)
х > 0, у > 0.
Практикум тесты 20.6-20.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.7-20
Практическое занятие по теме №40. Классические методы одномерной оптимизации.
Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия -2часа
Цель занятия . Классические методы одномерной оптимизации.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
48
Одномерная оптимизация. Методы, использующие производные. Методы, не использующие производные. Метод Ньютона. Метод «золотого сечения». Метод Фибоначчи. Функция спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия
Задания для самостоятельной работы.
Пусть в течение месяца потребляется 60 единиц продукта х и 90 единиц продукта у.
Функция полезности потребителя задана соотношением
и = ху.
Определить величину, на которую потребитель должен увеличить потребление второго
продукта при уменьшении потребления первого на шесть единиц
Практикум тесты 21.1-21.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.71-91
Практическое занятие по теме №41. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы-2
часа
Цель занятия . Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Симплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы.
Улучшение опорного решения. Определение ведущих столбца и строки. Выбор начального допустимого базисного решения. Введение искусственных переменных. Вырожденные
задачи линейного программирования. Зацикливание и его предотвращение
Задания для самостоятельной работы.
Решить, симплексным методом задачу
Z(X) = 2х, + 4х 2 -> max,
(-2х( + Зх2 < 12, | х, + х г < 9,
[ Зое, - 2х2 < 12,
х, > 0, х2 > б.
Практикум тесты 21.6-21.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.40-59!
Практическое занятие по теме №42. Двойственность в линейном программировании.
Экономическая интерпретация пары двойственных задач-2часа
Цель занятия . Двойственность в линейном программировании.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Понятие двойственности. Двойственная задача к линейной задаче в стандартной форме.
Определение двойственности в общем случае. Теорема двойственности. Двойственные
переменные и теневые цены. Двойственные и исходно-двойственные алгоритмы
Задания для самостоятельной работы.
Составить задачу, двойственную к данной
49
Z{X) = х,- + 4х, + Зх 3 -> min,
6
12
Практикум тесты 22.1-22.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.60-70
Практическое занятие по теме №43. Транспортные задачи. Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи -2часа
Цель занятия Транспортные задачи.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи. Метод потенциалов. Основные способы построения начального опорного решения. Транспортные задачи с
нарушенным балансом производства и потребления. Транспортные задачи с дополнительными условиями.
Задания для самостоятельной работы.
Составить математическую модель транспортной задачи, исходные данные которой приведены в табл.
Таблица
Практикум тесты 22.6-22.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [4], С.34-58
Практическое занятие по теме №44. Целочисленное программирование. Постановка
задачи о коммивояжере -2часа
Цель занятия. Целочисленное программирование.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения.
Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры целочисленных моделей. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори. Метод
ветвей и границ. Постановка задачи о коммивояжере. Понятие о приближенных методах
.
Задания для самостоятельной работы.
. Получить целочисленный оптимальный план задачи
Z(X) ••*= xl — 4хг — 2х3 + Зх4 —> max
50
При условиях
3x, - х2'+ 8 х + x4 = 35,
. x ' + х,+.х 4 < б,
х>0, Xj — целые числа, j = 1 , 2 , 3,4.
Практикум тесты 23.1-23.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.249-274
,
Практическое занятие по теме №45. Нелинейное программирование. Градиентные
методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование -2часа
Цель занятия. Нелинейное программирование.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Методы нелинейной многомерной оптимизации. Унимодальные функции. Методы поиска. Общая задача нелинейного программирования. Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование. Метод штрафов. Теорема Куна-Таккера, ее
связь с теорией двойственности в линейном программировании.
Задания для самостоятельной работы.
1. Для увеличения содержания витаминов в питании детей для детского сада решено закупить на рынке не менее 25 кг яблок, апельсинов и персиков. Суммарная потребность в витамине А составляет не менее 90 мг, в витамине С - не менее 70 мг. Содержание- витаминов в 1 кг соответствующих фруктов приведена в табл. Там же указана цена 1 кг соответствующего фрукта.
Сколько фруктов следует закупить, чтобы суммарная стоимость покупки была минимальной?
Таблица
Яблоки
Апельсины
Персики
Витамин А, мг/кг
1
6
20
Витамин £, мг/fcr' "
Цена за 1 кг, руб.
3
8
3
9
л„
13
Практикум тесты 23.6-23.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.275-320
Практическое занятие по теме №46. Динамическое программирование. Рекуррентные уравнения Беллмана -2часа
Цель занятия. Динамическое программирование
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Динамическое программирование. Постановка задачи. Основные определения. Принцип
оптимальности. Рекуррентные уравнения Беллмана. Примеры решения задач математического программирования методом Беллмана.
Задания для самостоятельной работы.
(задача эффективного использования производственных площадей). При модернизации
оборудования в цехе выделено 64 м2 для установки оборудования первого и второго типов.
На установку одного комплекта оборудования первого типа требуется 2 м2, на установку
51
одного комплекта оборудования второго типа — 3,2 м2. Причем оборудование первого
типа приносит ежемесячный доход 2 млн руб., а оборудование второго типа — 4 млн руб.
Определить количество комплектов оборудования первого и второго типов, обеспечивающее максимальную прибыль, при условии, что предприятие может приобрести не более
20 комплектов оборудования первого типа и не более 11 комплектов оборудования второго типа
Практикум тесты 24.1-24.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.340-379
Практическое занятие по теме №47. Сетевое планирование. Сеть проекта -2часа
Цель занятия. Сетевое планирование
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Сетевое планирование. Сеть проекта. Критический путь, время завершения проекта. Резервы событий, резервы операций.
Задания для самостоятельной работы.
Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
Практикум тесты 24.6-24.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [5], С.23-50
Практическое занятие по теме №48. Теория игр – теория математических моделей
принятия оптимальных решений в условиях конфликта и неопределенности -2часа
Цель занятия... Теория игр
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Игра как математическая модель конфликта. Основные понятия теории игр. Классификация игр. Примеры бескоалиционных игр. Антагонистические игры. Матричные игры.
Смешанные стратегии. Графоаналитический метод решения игр. Матричные игры и линейное программирование
Задания для самостоятельной работы.
.
Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
6
, равна…
52
4
5
1
Практикум тесты 25.1-25.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [6], С.50-87
4.2 Планы практических занятий для студентов очно-заочной формы обучения
Практическое занятие по теме №5 Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица -2 часа
Цель занятия. Определители и их свойства Обратная матрица
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Определители и их свойства: линейность, антисимметричность, транспонирование определителя, определитель произведения квадратных матриц. Вычисление определителя. Обратная матрица. Метод Жордана. Способ построения обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы через определитель.
Задания для самостоятельной работы.
1. Если
и
2.. Вычислить определитель
, то матрица
2
5
4
3
3
4
7
5
4 9 8 5
3 2 5 3
имеет вид…
.
53
3. Дана матрица
. Тогда матрица
имеет вид …
4. Найти обратную матрицу для матрицы
5 3
A = 

2 1
Практикум тесты 3.1-3.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: 1], Т.1, С.76-80; [12], Т.1, С.101-110
Практическое занятие по теме №6. Собственные векторы, собственные значения
матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис-2 часа
Цель занятия. . Собственные векторы, собственные значения матрицы
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
N-мерные линейные векторные пространства: определение линейного пространства, простейшие свойства, примеры. Линейные подпространства. Свойства линейного подпространства, сумма и пересечение линейных подпространств, свойства пересечения и суммы
линейных подпространств, линейная оболочка. Линейная зависимость. Базис, размерность. Замена базиса. Евклидовы пространства. Собственные векторы, собственные значения матрицы
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
3 4
матрицей 
.
5 2
2.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного мат2 1 
рицей 
.
1 2 
54
3.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
 0 1 0
матрицей  4 4 0


 2 1 2
Практикум тесты 3.6-3.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература : [1], Т.1, С.115-125
Практическое занятие по теме №7. Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества
в R N и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности-2 часа
Цель занятия. . Прямые и плоскости в R N .
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества в R N и их свойства. Понятие квадратичной формы. Критерий знакоположительности квадратной формы
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(1,3) и М2(4, 5)
2. Найти расстояние  (M 0 , m) от точки М0(2, 5) до прямой т, заданной уравнением
Зx + 7у - 2 = 0.
3.Известны точка М(2, 5) на прямой m и направляющий вектор s  (1,3) этой прямой.
Найти каноническое уравнение прямой m.
4.. Найти длину вектора х = (5, 1, 2, 3).
Практикум тесты 4.1-4.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
Т.1, С.68-75
Практическое занятие по теме №.9 Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных
элементарных функций. Производная сложной функции -4 часа
Цель занятия. Производная функции.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Производная функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и
нормали к кривой. Производная с точки зрения механики. Дифференцируемость функции.
Основные свойства дифференцируемых функций. Дифференциал функции. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Понятие обратной функции. Производная обратной
функции.
Задания для самостоятельной работы.
Вычислите производную f (x ) при данном значении аргумента x:
f ( x)  ( x 2  2 x  1)4 , x  1;
a)
55
b)
c)
d)
e)
f)
1
, x  2;
x 1
f ( x)  4  x 2 , x  3;
f ( x) 
3
f ( x)  ( x2  1) x2  1, x  3;
9x
f ( x) 
, x  2 2;
x2  1
f ( x)  arcsin x  2 arccos x, x 
3
;
2
f ( x)  arctg 3 x.
g)
Практикум тесты 5.1-5.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.165-175
Практическое занятие по теме №.10. Производные высших порядков. Дифференциал
функции. Раскрытие неопределенностей-2часа
Цель занятия.. Производные высших порядков
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Производные
высших порядков суммы и произведения функций. Дифференциалы первого и высших
порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Раскрытие неопределенностей.
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти производную функции у, заданной уравнением х2 -ху + \пу= 2, и вычислить ее значение в точке (2; 1).
2.Найти производные до л-го порядка включительно от функции у = In х.
d
3. Вычислить
tg 2 ( x 4  2 ) .
2tg( x 4  2dx
)
8x 3tg( x 4  2)
1)
2)
2
4
2
4


cos( x  2)
3)
4x 3
cos2( x 4  2)
cos( x  2)
4)
tg3( x 4  2)
3
5) 2tg(x4-2)
4.Найти производную функции. у = cos2 x + In tgПрактикум тесты 5.6-5.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.176-181
Практическое занятие по теме №.11. Асимптоты графика. Исследование функции на
монотонность и экстремумы. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба- 2часа
Цель занятия. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек
перегиба
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
56
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия максимума и минимума. Исследование функции на
максимум и минимум при помощи второй производной. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Асимптоты графика функции. Схема построения графика функции. Исследование
функция на экстремум с помощью производных высшего порядка.
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти приращение и дифференциал функции у = 2х2 -Зх при х = 10 и Ах = 0,1.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций: . у = Зх2 -6х на отрезке [0;
3].
3. Исследовать функции и построить их графики:
y=x*-Ux2+36x.
*3
у =(2 + х)е~х.
4.Если z=3x2+6xy+5x+2y2, тогда градиент z в точке А(-1;1) равен...
1) 5i  2 j
2) 2i  5 j
3) 29
4) 3
5) 2i  5 j
Практикум тесты 6.1-6.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.181-197
Практическое занятие по теме №.12. Исследование экономических моделей -2часа
Цель занятия. Исследование экономических моделей.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Основные экономические модели, основанные на понятии производной. Конкретные
примеры экономической одномерной оптимизации.
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции у = х(х-1)3.
2. Капитал в 1 млрд. рублей может быть размещен
в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью.
Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство является более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке?
Практикум тесты 6.6-6.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [22], С.104-125
Практическое занятие по теме №.23. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной правой части - 2часа
Цель занятия. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
57
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной
правой части.
Задания для самостоятельной работы.
1.. Решить уравнение ху" + у' = 0.
2.Решить уравнение 2уу" = (у')2+ 1.
3.Найти частное решение следующих уравнений при указанных начальных условиях:
а) у"- Зу' + 2у = 0, у (0) = 3, у'(0) .= 4;
б) у" -2у' + у = 0,у (0) = 1, >>'(0) = 0;
в) у" - 2У + 2у=0,у (0) = 1, Г(0) = 1.
4.Если одним из частных решений дифференциального уравнения y"-16y=-32x-48 является функция y*=2x+3, то общее решение данного уравнения имеет вид ...
1) С1e4x+C2e-4x+2x+3 2) C1e4x-C2e-4x+2x-3
3) С1e4x+C2e-4x+2x
4) С1e4x+C2e-4x+3
5) С1e4x+C2e-4x-32x-48
Практикум тесты 12.1-12.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.2, С.126-145
Практическое занятие по теме №.28. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона -2часа
Цель занятия Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное
распределение. Распределение Пуассона.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Виды случайных величин. Дискретная и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое распределение.
Гипергеометрическое распределение.
1.. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (2, 8). Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 10, а среднее квадратичное отклонение равно 2, Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 12).
3.Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 18, а вероятность ее попадания в интервал (16, 20) равна 0,98. Найти среднее
квадратичное отклонение случайной величины
Практикум тесты 14.6-14.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.52-59
58
Практическое занятие по теме №.29. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение -2часа
Цель занятия Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Вероятностный смысл математического
ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. Начальные и центральные теоретические моменты.
Задания для самостоятельной работы.
1.. Дано следующее распределение дискретной случайной величины:
X
1
2
4
5
р
0,2
0,1
0,4 0,3
Найти ее дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
2. В пяти торговых точках проверяется годовой баланс. Вероятность правильного оформления баланса в каждой точке равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию
правильно оформленных балансов.
Практикум тесты 15.1-15.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.60-81
Практическое занятие по теме №30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Центральная предельная теорема-2часа
Цель занятия Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная
теорема
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли.
Задания для самостоятельной работы.
1. Анализ Теоремы Чебышева,которая устанавливает связь между теорией вероятностей,
которая рассматривает средние характеристики всего множества значений случайной величины, и математической статистикой, оперирующей ограниченны^ лниже<9ром значений
этой величины. Она показывает, что при достаточно ,болъщом числе измерений некоторой
случайной величины среднее арифметическое значений этих измерений приближается к
математическому ожиданию.
2 Анализ Центральной предельной Теоремы. Если случайная величина ^представляет собой
сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному. •
Практикум тесты 15.6-15.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
59
Практическое занятие по теме №32. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения – 4 часа
Цель занятия . Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. Правило трех сигм. Распределения «хи квадрат» и Стьюдента
Задания для самостоятельной работы.
1. Из каждой из двух колод вынимают по одной карте. События А – «карта из первой колоды – красной масти» и В – «карта из второй колоды – бубновой масти» являются:
независимыми
несовместными
зависимыми
совместными
2. Бросают 2 монеты. События А – «цифра на первой монете» и В – «цифра на второй монете» являются:
зависимыми
несовместными
независимыми
совместными
Практикум тесты 16.6-16.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.109-113
Практическое занятие по теме №39. Предмет математического программирования.
Основные методы математического программирования.-2часа
Цель занятия . Предмет математического программирования. Основные методы математического программирования.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Математическое программирование. Основные определения. Обзор основных методов
Задания для самостоятельной работы.
60
Максимальное значение целевой функции
при ограничениях
равно…
10
8
6
11
Задачи о смесях возникают при оптимизации смешивания различных компонентов с
целью получения смесей с заданным составом
Составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость. . Если х — количество
компонента первого вида, входящего в дневной рацион, а у — количество компонента
второго вида, то задачу линейного программирования можно записать в виде:
F(x,y) = x+2y-+ min
при условиях
8х+4у>20, (1)
4х + 6.у>18, (2) 6 у> 9 , (3)
х > 0, у > 0.
Практикум тесты 20.6-20.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.7-20
Практическое занятие по теме №44. Целочисленное программирование. Постановка
задачи о коммивояжере.-2часа
Цель занятия. Целочисленное программирование.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения.
Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры целочисленных моделей. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори. Метод
ветвей и границ. Постановка задачи о коммивояжере. Понятие о приближенных методах
Задания для самостоятельной работы.
. Получить целочисленный оптимальный план задачи
Z(X) ••*= xl — 4хг — 2х3 + Зх4 —> max
При условиях
3x, - х2'+ 8 х + x4 = 35,
. x ' + х,+.х 4 < б,
х>0, Xj — целые числа, j = 1 , 2 , 3,4.
Практикум тесты 23.1-23.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.249-274
,
61
Практическое занятие по теме №45. Нелинейное программирование. Градиентные
методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование.-2часа
Цель занятия. Нелинейное программирование.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Методы нелинейной многомерной оптимизации. Унимодальные функции. Методы поиска. Общая задача нелинейного программирования. Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование. Метод штрафов. Теорема Куна-Таккера, ее
связь с теорией двойственности в линейном программировании.
Задания для самостоятельной работы.
1. Для увеличения содержания витаминов в питании детей для детского сада решено закупить на рынке не менее 25 кг яблок, апельсинов и персиков. Суммарная потребность в витамине А составляет не менее 90 мг, в витамине С - не менее 70 мг. Содержание- витаминов в 1 кг соответствующих фруктов приведена в табл. Там же указана цена 1 кг соответствующего фрукта.
Сколько фруктов следует закупить, чтобы суммарная стоимость покупки была минимальной?
Таблица
Яблоки
Апельсины
Персики
Витамин А, мг/кг
1
6
20
Витамин £, мг/fcr' "
Цена за 1 кг, руб.
3
8
3
9
л„
13
Практикум тесты 23.6-23.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.275-320
Практическое занятие по теме №46. Динамическое программирование. Рекуррентные уравнения Беллмана.-2часа
Цель занятия. Динамическое программирование
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Динамическое программирование. Постановка задачи. Основные определения. Принцип
оптимальности. Рекуррентные уравнения Беллмана. Примеры решения задач математического программирования методом Беллмана.
Задания для самостоятельной работы.
(задача эффективного использования производственных площадей). При модернизации
оборудования в цехе выделено 64 м2 для установки оборудования первого и второго типов.
На установку одного комплекта оборудования первого типа требуется 2 м2, на установку
одного комплекта оборудования второго типа — 3,2 м2. Причем оборудование первого
типа приносит ежемесячный доход 2 млн руб., а оборудование второго типа — 4 млн руб.
Определить количество комплектов оборудования первого и второго типов, обеспечивающее максимальную прибыль, при условии, что предприятие может приобрести не более
20 комплектов оборудования первого типа и не более 11 комплектов оборудования второго типа
Практикум тесты 24.1-24.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.340-379
62
4.3 Планы практических занятий для студентов заочной формы обучения
Практическое занятие по теме №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение
плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве-2 часа
Цель занятия. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения
. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве
Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение
прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух плоскостей. Условие
параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве. Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Общие уравнения прямой.
Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с плоскостью.
Задания для самостоятельной работы.
1. Известны точка М(2, 5) на прямой m и направляющий вектор s  (1,3) этой прямой.
Найти каноническое уравнение прямой m.
2.Что можно сказать о взаимном расположении прямых x + 2y – 3 = 0 и 5x + 10y – 2 = 0?
3.Что можно сказать о взаимном расположении прямых 2x + 3y – 6 = 0 и 8x +12y +3 = 0?
Практикум тесты 1.6-1.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.6-15
Практическое занятие по теме №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения
кривых второго порядка-2часа
Цель занятия. Уравнения кривых второго порядка
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Комплексные числа и действия над ними: сложение, умножение, деление. Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа. Преобразование координат на
плоскости: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка. Канонические уравнения кривых второго порядка.
Задания для самостоятельной работы.
. Найти координаты центра и радиус окружности
1.х2 + у2+ \6y-9 =0.
2.. Определить вид и расположение кривой
х2+2;и2-4х + 16>; = 0.
3..Составить уравнение параболы, проходящей через точки: а) (0; 0) и (—1; —3) симметрично
относительно оси Ох; б) (0; 0) и.(2; —4) симметрично относительно оси Оу.
63
Практикум тесты 2.1-2.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.26-33
Практическое занятие по теме №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение
систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса-4часа
Цель занятия. Операции над матрицами. Элементарные преобразования.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Матрицы: терминология и обозначения. Операции над матрицами: сложение, умножение
матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду.
Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Задания для самостоятельной работы.
2 5 7 
1. Для матрицы А = 

3 4 1 
найти матрицу 5А.
11 12 13 14


2.Транспонировать матрицу А = 15 4 6 19
3 7 8 9


5 1 
1 2 3


3.Даны матрицы А = 
 и В = 9 3 . Найти произведения АВ, ВА.
7 5 6
8 7


Практикум тесты 2.6-2.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.81-90
Практическое занятие по теме №5 Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица -2 часа
Цель занятия. Определители и их свойства Обратная матрица
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Определители и их свойства: линейность, антисимметричность, транспонирование определителя, определитель произведения квадратных матриц. Вычисление определителя. Обратная матрица. Метод Жордана. Способ построения обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы через определитель.
64
Задания для самостоятельной работы.
3 1 2
1.Вычислить определитель 4 6 7 .
5 8 9
 3 1 2
2.А = 4 6 7 . Найти миноры M11, M32 и M13.


5 8 9
3. Вычислить определитель
2
5
4
3
3
4
7
5
4 9 8 5
3 2 5 3
.
Найти обратную матрицу для матрицы
5 3
4.A = 

2 1
Практикум тесты 3.1-3.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
1], Т.1, С.76-80; [12], Т.1, С.101-110
Практическое занятие по теме №6. Собственные векторы, собственные значения
матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис-2 часа
Цель занятия. . Собственные векторы, собственные значения матрицы
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
N-мерные линейные векторные пространства: определение линейного пространства, простейшие свойства, примеры. Линейные подпространства. Свойства линейного подпространства, сумма и пересечение линейных подпространств, свойства пересечения и суммы
линейных подпространств, линейная оболочка. Линейная зависимость. Базис, размерность. Замена базиса. Евклидовы пространства. Собственные векторы, собственные значения матрицы
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
3 4
матрицей 
.
5 2
2.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного мат2 1 
рицей 
.
1 2 
65
3.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
 0 1 0
матрицей  4 4 0


 2 1 2
Практикум тесты 3.6-3.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература : [1], Т.1, С.115-125
Практическое занятие по теме №7. Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества
в R N и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности второго порядка
- 4 часа
Цель занятия. Прямые и плоскости в R N .
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества в R N и их свойства. Понятие квадратичной формы. Критерий знакоположительности квадратной формы
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(1,3) и М2(4, 5).
2. Найти расстояние  (M 0 , m) от точки М0(2, 5) до прямой т, заданной уравнение
Зx + 7у - 2 = 0.
3.Известны точка М(2, 5) на прямой m и направляющий вектор s  (1,3) этой прямой.
Найти каноническое уравнение прямой m.
4.. Найти длину вектора х = (5, 1, 2, 3).
5.Уравнением прямой, параллельной
, является …
Практикум тесты 4.1-4.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: Т.1, С.68-75
Практическое занятие по теме №.11. Асимптоты графика. Исследование функции на
монотонность и экстремумы. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба -2часа
Цель занятия. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек
перегиба
66
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия максимума и минимума. Исследование функции на
максимум и минимум при помощи второй производной. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Асимптоты графика функции. Схема построения графика функции. Исследование
функция на экстремум с помощью производных высшего порядка.
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти приращение и дифференциал функции у = 2х2 -Зх при х = 10 и Ах = 0,1.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций: . у = Зх2 -6х на отрезке [0; 3].
3. Исследовать функции и построить их графики:
y=x*-Ux2+36x.
*3
х
у =(2 + х)е~ .
4.Если z=3x2+6xy+5x+2y2, тогда градиент z в точке А(-1;1) равен...
1) 5i  2 j
2) 2i  5 j
3) 29
4) 3
5) 2i  5 j
5. Интервалом, на котором касательная к графику функции
положительный угловой коэффициент, является …
имеет
Практикум тесты 6.1-6.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.181-197
Практическое занятие по теме №.12. Исследование экономических моделей -1 час
Цель занятия. Исследование экономических моделей.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Основные экономические модели, основанные на понятии производной. Конкретные
примеры экономической одномерной оптимизации.
67
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции у = х(х-1)3.
2. Капитал в 1 млрд. рублей может быть размещен
в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство является
более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке?
Практикум тесты 6.6-6.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [22], С.104-125
Практическое занятие по теме №.13. Первообразная. Неопределенный интеграл и его
свойства. Таблица основных интегралов - 1 час
Цель занятия.. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных
интегралов.
Задания для самостоятельной работы.
Найти интегралы:
1. ⌠Inxdx; б) ⌠(*3 +1)Inxdx.
2.Найти ⌠cos(3x +dx
2)dx.
3.. Интеграл 
можно представить в виде суммы интегралов …
4 xdx
 x2
dx
dx
dx

1) 
2) 

x
4( x  4)
4x
x4
4.
5)
3)
dx
dx
 4x   x
dx
4)
2
dx
dx
dx
 4 x   4( x  4 )
 4 x   4( x  4 )
6.Дана функция f(x) =
6
+ 1. Найдите для нее первообразную, график
cos23x
которой проходит через точку М (π/4; π/4).
7.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1, x = 2, x = -1, y = 0.
8.Дана функция f(x) = 3 - 4
. Найдите для нее первообразную, график
2
sin 2x которой проходит через точку М (π/4; 3π/4).
9.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1, x = 1, x = 2, y = 0.
10.Дана функция f(x) = 2
- 3. Найдите для нее первообразную, график
cos23x
которой проходит через точку М (π/4; π/4).
11.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x2 + 1, x = 2,
x = 3, y = 0.
12.Дана функция f(x) = 1 + 3
. Найдите для нее первообразную, график
sin2 2x которой проходит через точку М (π/4; 3π/4).
13.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x2 - 1, x = 1, x = 3, y = 0
68
Практикум тесты 7.1-7.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.225-230
Практическое занятие по теме №..14. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям – 1 час
Цель занятия. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование простейших
дробей.
Задания для самостоятельной работы.
Найти интегралы:
а)  3 / x 2  2 cos x dx;
б)  sin  x  9 dx;
3
в)  x dx.
2
Практикум тесты 7.6-7.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.231-246
Практическое занятие по теме №. 15. Определенный интеграл. Свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены
переменной, по частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей - 1 часа
Цель занятия. Определенный интеграл.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Свойства, геометрический смысл определенного интеграла. Условия интегрируемости функции. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по
частям. Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах. Несобственные интегралы: интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных
функций.
1.Найти интеграл
Задания для самостоятельной работы.
3

x dx.
2
2. Какой из следующих интегралов представляет площадь заштрихованной части фигуры,
изображенной на чертеже?
69
3
6)
 ( x  (2 x  x
2
))dx
0
1
7)
 ( x  (2 x  x
2
)) dx
3
3
8)
 ( x  (2 x  x
2
)) dx
0
3
9)
 ((2 x  x
2
)  ( x))dx
0
1
10)
 ((2 x  x
2
)  x)dx
3
3.Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
 f ( x , y)dx dy
по области D,
D
изображенной на чертеже:
4
1)  dx
0
3
 f ( x , y)dy
x 1
3
4)
 dy  f ( x , y)dx
1
2)
4
3
0
1
 dx  f ( x , y)dy
4
3)  dx
0
5)
4
0
3
4
1
y
 dy  f ( x , y)dx
3
 f ( x , y)dy
1
x 1
2
Практикум тесты 8.1-8.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.260-264
Практическое занятие по теме №.16. Понятие числового ряда. Необходимый признак
сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера.-2часа
Цель занятия. Понятие числового ряда.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:. Понятие числового ряда. Необходимый
признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами. Гармонический ряд, ряд Дирихле. Признак сравнения, предельный признак сравнения. Признак Даламбера
70
Задания для самостоятельной работы.
Укажите, какие из рядов сходятся:


3
ln n
I) 
II) 
n 1 n n
n 1 3  2 n
1) только III
4) только I

III)
n
2) только I и III
5) только I и II
3
 1,5
n
3)
только
II
и
III
Вычислить
1. lim
x 0
3 x  sin x
.
tg 2 x
1)-1/2
2) 3/2
3) 1/2
4) 1
5) 0
2. lim ( x  tg3 x )ctg2 x = …
x 0
1) –4
2) –1
3) 0
Практикум тесты 8.6-8.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.2, С.56-66
Практическое занятие по теме №.17. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница.
Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область сходимости, свойства сходящихся рядов-2часа
Цель занятия. Знакочередующиеся ряды
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Свойства степенных рядов
Задания для самостоятельной работы.
Укажите, какие из рядов сходятся:

I.
4
 7n  2
n1
1) только II

II.
n1

5
 2n
2
III.
2
5
n 1
n
2) только II и III 3) только I и III
4) только I и II 5) только III
Практикум тесты 9.1-9.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература:[1], Т.2, С.60-67
71
Практическое занятие по теме №.18. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора. Применение степенных рядов
-2часа
Цель занятия. Ряды Тейлора и Маклорена
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Формула Тейлора. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости ряда Тейлора к исходной функции. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.
Применение степенных рядов
Задания для самостоятельной работы.
1.Если
по степеням
1
, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлора
равен…
2
0,25
0
2.Если
по степеням
2
, то коэффициент а5 разложения данной функции в ряд Тейлора
равен…
10
12
0
Если
, то коэффициент а6 разложения данной функции в ряд
Практикум тесты 9.6-9.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.2, С.67-79
Практическое занятие по теме №.19. Определение функции нескольких переменных.
Предел функции. Непрерывность. График функции двух переменных.-2часа
Цель занятия. Определение функции нескольких переменных.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Определение функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность функции нескольких переменных. График функции двух переменных.
72
Задания для самостоятельной работы.
1.Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
нечетна, если функция
2.Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
нечетна, если функция
Практикум тесты 10.1-10.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.208-209
Практическое занятие по теме №.20. Частные производные. Производная сложной
функции. Дифференциал. Производные высших порядков-2часа
Цель занятия... Частные производные
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Производная сложной
функции. Полный дифференциал. Частные дифференциалы. Производные высших порядков.
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти частные и полное приращения функции z = ху.
2. Найти точки максимума и минимума функции z = х2 + 2у2 при условии ЗА +2у =11.
Практикум тесты 10.6-10.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература:
[1], Т.1, С.209-218
73
Практическое занятие по теме №..21 Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух
переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области 2часа
Цель занятия Экстремум функции нескольких переменных.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Задания для самостоятельной работы.
Найти точки
экстремума функции z = х2 + ly2 при условии Зх + 2у = 11, используя метод множителей Лагранжа.
Практикум тесты 11.1-11.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [1], Т.1, С.221-225
Практическое занятие по теме №.28. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона -2часа
Цель занятия Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное
распределение. Распределение Пуассона.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Виды случайных величин. Дискретная и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое распределение.
Гипергеометрическое распределение.
1.. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (2, 8). Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 10, а среднее квадратичное отклонение равно 2, Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 12).
3.Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 18, а вероятность ее попадания в интервал (16, 20) равна 0,98. Найти среднее
квадратичное отклонение случайной величины
Практикум тесты 14.6-14.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.52-59
Практическое занятие по теме №.29. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение -2часа
Цель занятия Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
74
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Вероятностный смысл математического
ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. Начальные и центральные теоретические моменты.
Задания для самостоятельной работы.
1.. Дано следующее распределение дискретной случайной величины:
X
1
2
4
5
р
0,2
0,1
0,4 0,3
Найти ее дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
2. В пяти торговых точках проверяется годовой баланс. Вероятность правильного оформления баланса в каждой точке равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию
правильно оформленных балансов.
Практикум тесты 15.1-15.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.60-81
Практическое занятие по теме №30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Центральная предельная теорема-2часа
Цель занятия Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная
теорема
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева. Значение теоремы Чебышева для практики. Теорема Бернулли.
Задания для самостоятельной работы.
1. Анализ Теоремы Чебышева, которая устанавливает связь между теорией вероятностей,
которая рассматривает средние характеристики всего множества значений случайной величины, и математической статистикой. Она показывает, что при достаточно, большом числе
измерений некоторой случайной величины среднее арифметическое значений этих измерений приближается к математическому ожиданию.
2 Анализ Центральной предельной Теоремы. Если случайная величина ^представляет собой
сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному. •
Практикум тесты 15.6-15.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
Практическое занятие по теме №31. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые
характеристики непрерывной случайной величины -4 часа
Цель занятия. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
75
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Функция распределения вероятностей случайной величины: определение, свойства, график. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины: определение, свойства.
Задания для самостоятельной работы.
Случайная величина X задана плотностью вероятности 2х в интервале (О, 1), «не этого
интервала/(х) = 0. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Практикум тесты 16.1-16.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.87-94
Практическое занятие по теме №32. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения -2часа
Цель занятия. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. Правило трех сигм. Распределения «хи квадрат» и Стьюдента
Задания для самостоятельной работы.
1. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 12, а среднее квадратичное отклонение равно 3, Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 11).
2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое ожидание равно 15, а вероятность ее попадания в интервал (16, 21) равна 0,98. Найти среднее
квадратичное отклонение случайной величины
Практикум тесты 16.6-16.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.109-113
Практическое занятие по теме №35. Выборочный метод. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения – 2 часа
Цель занятия. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Выборочный метод. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Повторная и репрезентативная выборки. Полигон и гистограмма. Эмпирическая
функция распределения.
Задания для самостоятельной работы.
1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50:
Тогда n4 равен…
76
24
23
50
7
2. Построить эмпирическую функцию распределения по данной выборке:
*/
2
6
8
10
»/
6
16
18
20
Практикум тесты 18.1-18.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [2], С.151-156
Практическое занятие по теме №40. Классические методы одномерной оптимизации.
Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.-2часа
Цель занятия . Классические методы одномерной оптимизации.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Одномерная оптимизация. Методы, использующие производные. Методы, не использующие производные. Метод Ньютона. Метод «золотого сечения». Метод Фибоначчи. Функция спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия
Задания для самостоятельной работы.
Пусть в течение месяца потребляется 60 единиц продукта х и 90 единиц продукта у.
Функция полезности потребителя задана соотношением
и = ху.
Определить величину, на которую потребитель должен увеличить потребление второго
продукта при уменьшении потребления первого на шесть единиц
Практикум тесты 21.1-21.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.71-91
Практическое занятие по теме №41. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы-4
часа
Цель занятия . Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
77
Симплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы.
Улучшение опорного решения. Определение ведущих столбца и строки. Выбор начального допустимого базисного решения. Введение искусственных переменных. Вырожденные
задачи линейного программирования. Зацикливание и его предотвращение
Задания для самостоятельной работы.
Решить, симплексным методом задачу
Z(X) = 2х, + 4х 2 -> max,
(-2х( + Зх2 < 12, | х, + х г < 9,
[ Зое, - 2х2 < 12,
х, > 0, х2 > б.
Практикум тесты 21.6-21.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.40-59!
Практическое занятие по теме №42. Двойственность в линейном программировании.
Экономическая интерпретация пары двойственных задач-4 часа
Цель занятия . Двойственность в линейном программировании.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Понятие двойственности. Двойственная задача к линейной задаче в стандартной форме.
Определение двойственности в общем случае. Теорема двойственности. Двойственные
переменные и теневые цены. Двойственные и исходно-двойственные алгоритмы
Задания для самостоятельной работы.
Составить задачу, двойственную к данной
Z{X) = х,- + 4х, + Зх 3 -> min,
6
12
Практикум тесты 22.1-22.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [3], С.60-70
Практическое занятие по теме №43. Транспортные задачи. Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи.-2часа
Цель занятия Транспортные задачи.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи. Метод потенциалов. Основные способы построения начального опорного решения. Транспортные задачи с
78
нарушенным балансом производства и потребления. Транспортные задачи с дополнительными условиями.
Задания для самостоятельной работы.
Составить математическую модель транспортной задачи, исходные данные которой приведены в табл.
Таб лица
Практикум тесты 22.6-22.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература: [4], С.34-58
79
Раздел V. Практикум
Тесты
1. Вычисление определителей
1.1Формула вычисления определителя третьего порядка
произведения: …
содержит следующие
1.2 Формула вычисления определителя третьего порядка
щие произведения: …
содержит следую-
1.3 Формула вычисления определителя третьего порядка
щие произведения: …
содержит следую-
1.4 Формула вычисления определителя третьего порядка
щие произведения: …
содержит следую-
1.5 Формула вычисления определителя третьего порядка
щие произведения: …
содержит следую-
1.6 Установите соответствие между матрицей и ее определителем.
1.
2.
3.
49
0
- 21
- 42
40
81
1.7 Установите соответствие между матрицей и ее определителем.
1.
2.
3.
-4
- 600
28
- 28
0
1.8 Установите соответствие между матрицей и ее определителем.
1.
2.
3.
0
400
- 400
200
- 200
1.9 Установите соответствие между
1.
2.
3.
4.
и значениями определителей
.
82
1.11 Установите соответствие между
1.
2.
3.
4.
и значениями определителей
.
2. Линейные операции над матрицами
2.1 Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы
, если
,
-6
2.2 Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы
, если
,
-7
83
2.3 Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы
, если
,
4
2.4 Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы
, если
,
-16
2.5 Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы
, если
,
-34
2.6 Если
и
, то матрица
имеет вид…
84
2.7 Если
и
, то матрица
имеет вид…
2.8 Если
и
, то матрица
имеет вид…
2.9 Даны матрицы
и
ния
является матрица …
. Тогда решением матричного уравне-
85
2.10 Даны матрицы
ющаяся решением уравнения
и
. Тогда матрица
, явля-
, равна …
3. Умножение матриц
3.1 Даны матрицы
и
расположенных на ее главной диагонали, равна …
15
3.2 Даны матрицы
равна …
0
и
. Сумма элементов матрицы
,
. Сумма элементов матрицы
86
3.3 Даны матрицы
и
. Сумма элементов матрицы
, расположенных на ее главной диагонали, равна …
10
3.4 Даны матрицы
и
. Сумма элементов матрицы
, расположенных на ее главной диагонали, равна …
16
3.5 Даны матрицы
и
. Сумма элементов матрицы
, расположенных на ее главной диагонали, равна …
-4
3.6 Даны две матрицы:
столбца произведения
и
. Элемент первой строки второго
равен
7
8
3.7 Даны матрицы
и
. Тогда произведение
равно …
87
3.8 Для матриц А и В найдено произведение
В может быть матрица …
3.9 Заданы матрицы
,
, причем
. Тогда элемент
. Тогда матрицей
матрицы
равен …
− 10
2
19
7
88
3.10 Дана матрица
. Тогда матрица
имеет вид …
4. Системы линейных уравнений: методы решения
4.1 При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов
можно применять формулы Крамера, если
один из столбцов матрицы
является линейной комбинацией остальных
столбцы матрицы
линейно независимы
определитель матрицы
строки матрицы
не равен нулю
линейно зависимы
4.2 При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов
можно применять формулы Крамера, если
строки матрицы
линейно независимы
определитель матрицы
столбцы матрицы
не равен нулю
линейно зависимы
одна из строк матрицы
является линейной комбинацией остальных
4.3 При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов
нельзя применять формулы Крамера, если
определитель матрицы
равен нулю
89
строки матрицы
линейно независимы
ни один из столбцов матрицы
столбцы матрицы
не является линейной комбинацией остальных
линейно зависимы
4.4 При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов
нельзя применять формулы Крамера, если
ни одна из строк матрицы
не является линейной комбинацией остальных
столбцы матрицы
строки матрицы
линейно независимы
линейно зависимы
определитель матрицы
равен нулю
4 5 При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов
нельзя применять формулы Крамера, если
определитель матрицы
равен нулю
столбцы матрицы
строки матрицы
ранг матрицы
линейно независимы
линейно независимы
не равен числу ее уравнений
4.6 Система линейных уравнений
решается по правилу Крамера. Установите соответствие между определителями системы и их значениями.
1.
2.
3.
2
-2
6
14
90
4 7.Система линейных уравнений
решается по правилу Крамера. Установите соответствие между определителями системы и их значениями.
1.
2.
3.
-5
11
23
5
4.8 Система линейных уравнений
решается по правилу Крамера. Установите соответствие между определителями системы и их значениями.
1.
2.
3.
17
18
22
- 17
4.9 Система линейных уравнений
решается по правилу Крамера. Установите соответствие между определителями системы и их значениями.
1.
2.
3.
3
27
13
-3
91
4 10.Система линейных уравнений
решается по правилу Крамера. Установите соответствие между определителями системы и их значениями.
1.
2.
3.
19
-4
29
- 19
5. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости
5.1 Расположите по возрастанию длины сторон треугольника
и
, где
,
, где
,
, где
,
.
5 .2 Расположите по возрастанию длины сторон треугольника
и
.
5.3 Расположите по возрастанию длины сторон треугольника
и
.
92
5.4 Расположите по возрастанию длины сторон треугольника
и
, где
,
, где
,
.
5.5 Расположите по возрастанию длины сторон треугольника
и
5.6 Даны точки
резком и его длиной.
.
,
и
. Установите соответствие между от-
1.
2.
3.
11
10
13
5
12
5.7 Установите соответствие между элементами двух множеств (
между точками А и В)
- расстояние
1.
2.
3.
93
6
21
40
5.8 Установите соответствие между элементами двух множеств (
между точками А и В)
- расстояние
1.
2.
3.
5
10
8
5.9 Установите соответствие между элементами двух множеств (
между точками А и В)
- расстояние
1.
2.
3.
17
6
9
94
5.10 Установите соответствие между элементами двух множеств (
между точками А и В)
- расстояние
1.
2.
3.
5
40
21
6. Прямая на плоскости
6.1 Даны графики прямых
:
Тогда сумма их угловых коэффициентов равна…
2
95
6.2 Даны графики прямых
:
Тогда сумма их угловых коэффициентов равна…
1
6.3 Даны графики прямых
:
Тогда сумма их угловых коэффициентов равна…
0
6.4 Даны графики прямых
:
Тогда сумма их угловых коэффициентов равна…
3
96
6.5 Даны графики прямых
:
Тогда сумма их угловых коэффициентов равна…
1
6.6 Даны вершины треугольника
имеет вид …
. Тогда уравнение высоты
6.7 Выберите уравнение прямой, соответствующее данному рисунку.
97
6.8 Выберите уравнение прямой, соответствующее данному рисунку.
6.9 Прямая проходит через точки
равен…
6.10 Уравнением прямой, параллельной
и
. Тогда ее угловой коэффициент
, является …
7. Кривые второго порядка
7.1 Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.
98
2.
3.
4.
гипербола
парабола
окружность
эллипс
7.2 Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.
2.
3.
4.
эллипс
парабола
окружность
гипербола
7.3 Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.
2.
3.
4.
эллипс
гипербола
окружность
парабола
99
7.4 Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.
2.
3.
4.
окружность
парабола
эллипс
гипербола
7.5 Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.
2.
3.
4.
эллипс
парабола
гипербола
окружность
7.6 Расстояние между фокусами эллипса
6
7.7 Расстояние между фокусами гиперболы
20
равно …
равно …
100
7.8 Вещественная полуось гиперболы, заданной уравнением
на…
5
7.9 Малая полуось эллипса, заданного уравнением
4
7.10 Большая полуось эллипса, заданного уравнением
3
, рав-
, равна…
, равна…
8. Прямая и плоскость в пространстве
8.1 Нормальный вектор плоскости
(1; 1; – 15)
имеет координаты…
(1; 2; – 15)
(1; 2; 1)
(2; 1; – 15)
8.2 Нормальный вектор плоскости
(1; – 9; – 17)
имеет координаты…
(1; 5; – 9)
(5; – 9; – 17)
(– 1; – 5; 9)
8.3 Прямая
том случае, когда
пересекает плоскость
только в
не равно …
5
2
4
101
8.4 Уравнение плоскости, проходящей через точку
сти
, имеет вид …
8.5 Уравнение плоскости, проходящей через точку
сти
и параллельной плоско-
и параллельной плоско-
, имеет вид …
8.6 Установите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в пространстве
1.
2.
3.
4.
проходит через ось y
параллельна оси
проходит через начало координат
параллельна оси
параллельна оси
8.7 Установите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в пространстве
1.
2.
3.
4.
102
проходит через начало координат
параллельна оси
параллельна оси
параллельна оси
проходит через ось
8.8 Установите соответствие между уравнением плоскости и точками, которые лежат в
этих плоскостях
1.
2.
3.
4.
8.9 Установите соответствие между уравнением плоскости и точками, которые лежат в
этих плоскостях
1.
2.
3.
4.
103
8.10 Установите соответствие между уравнением плоскости и точками, которые лежат в
этих плоскостях
1.
2.
3.
4.
9. Функции: основные понятия и определения
9.1 Наименьшее значение
20
из области значений функции
равно…
4
- 44
- 12
9.2 Дана функция
ляется множество …
9.3 Дана функция
является множество …
. Тогда ее областью определения яв-
. Тогда ее областью определения
104
9.4 Дана функция двух переменных
этой функции изображена на рисунке …
9.5 Дана функция двух переменных
функции изображена на рисунке …
. Тогда область определения
. Тогда область определения этой
105
9.6 Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
нечетна, если функция
9.7 Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
нечетна, если функция
106
9.8 Пусть
. Тогда сложная функция
дается формулами…
четна, если функция
9.9 Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
нечетна, если функция
9.10 Функция
задана на отрезке
за-
графиком:
Правильными утверждениями являются…
на промежутке
функция
возрастает
107
среди значений функции
на отрезке
при любом значении
выполняется неравенство
уравнение
имеет три корня
есть наибольшее и наименьшее
Предел функции
10.1 Конечный предел при
имеют следующие функции …
10.2 Конечный предел при
имеют следующие функции …
10.3 Конечный предел при
имеют следующие функции …
108
10.4 Конечный предел при
имеют следующие функции …
10.5 Конечный предел при
имеют следующие функции …
109
10.6 Выберите верную последовательность значений пределов
1
-9
10.7 Установите соответствие между пределом и его значением
1.
2.
3.
4.
0
∞
1
3
10.8 Установите соответствие между пределом и его значением
1.
110
2.
3.
4.
5
0
∞
10.9 Установите соответствие между пределами и их значениями
1.
2.
3.
1
3
0
111
10.10 Установите соответствие между пределами и их значениями
1.
2.
3.
0
2
10. Геометрический и физический смысл производной
11.1 График функции
изображен на рисунке.
11.2 Тогда значение производной этой функции в точке
равно ….
112
11.3 На рисунке изображен график функции
, заданной на интервале
Тогда число интервалов, на которых касательная к графику функции
ложительный угловой коэффициент, равно …
3
.
имеет по-
2
1
0
11.4 Интервалом, на котором касательная к графику функции
положительный угловой коэффициент, является …
11.5 Касательная к графику функции
имеет
не пересекает прямую
. Тогда абсцисса точки касания равна …
-3
-1
2
113
11.6 Касательная к графику функции
не пересекает прямую
. Тогда абсцисса точки касания равна …
-2
-5
0
11.7 Функция задана графически. Определите количество точек, принадлежащих интервалу
, в которых не существует производная этой функции.
2
11.8 Функция задана графически. Определите количество точек, принадлежащих интервалу
, в которых не существует производная этой функции.
1
114
11.9 Функция задана графически. Определите количество точек, принадлежащих интервалу
, в которых не существует производная этой функции.
4
11.10 Функция задана графически. Определите количество точек, принадлежащих интервалу
, в которых не существует производная этой функции.
2
11.11 Функция задана графически. Определите количество точек, принадлежащих интервалу
, в которых не существует производная этой функции.
4
11. Производные первого порядка
12.1 Установите соответствие между функциями и их производными
1.
115
2.
3.
12.2 Пусть
- некоторая дифференцируемая функция по
между функциями и их производными по
. Установите соответствие
1.
2.
3.
12.3 Пусть
- некоторая дифференцируемая функция по
между функциями и их производными по
. Установите соответствие
1.
116
2.
3.
12.4 Установите соответствие между функцией и ее производной:
1.
2.
3.
117
12.5 Установите соответствие между функцией и ее производной:
1.
2.
3.
12.6 Производная произведения
равна …
12.7 Производная произведения
равна …
12.8 Производная функции
равна…
118
1
12.9 Производная функции
равна…
12.10 Производная функции
равна…
12. Основные методы интегрирования
13.1 Установите соответствие между неопределенными интегралами и разложениями
подынтегральных функций на элементарные дроби.
1)
2)
119
3)
4)
13.2 Установите соответствие между неопределенными интегралами и разложениями
подынтегральных функций на элементарные дроби.
1)
2)
3)
4)
120
13.3 Установите соответствие между неопределенными интегралами и разложениями
подынтегральных функций на элементарные дроби.
1)
2)
3)
4)
13.4 Установите соответствие между интегралами и их значениями
1.
121
2.
3.
13.4 Установите соответствие между интегралами и их значениями
1.
2.
3.
122
13.5 Множество первообразных функции
имеет вид …
13.6 Множество первообразных функции
13.7 Множество первообразных функции
13.8 Дан интеграл
виду …
имеет вид …
имеет вид…
. Тогда замена переменной
приводит его к
123
13.9 Дан интеграл
виду …
. Тогда замена переменной
приводит его к
13. Вычисление определенного интеграла
14.1 Сходящимися являются несобственные интегралы …
124
14.2 Сходящимися являются несобственные интегралы …
14.3 Сходящимися являются несобственные интегралы …
14.4 Сходящимися являются несобственные интегралы …
125
14.5 Сходящимися являются несобственные интегралы …
14.6 Несобственный интеграл
равен …
1
126
14.7 Несобственный интеграл
равен …
1
14.8 Несобственный интеграл
0
равен…
-ln13
расходится
-lnln13
14.9 Определенный интеграл
- 180
равен…
84
-4
180
14.10 Определенный интеграл
0,2
равен…
- 0,2
0,4
127
- 0,4
14. Числовые последовательности
15.1Общий член последовательности
имеет вид…
15.2
-й член числовой последовательности
равен…
15.3 Последовательность задана рекуррентным соотношением
. Тогда четвертый член этой последовательности
;
равен…
7
5
9
128
11
15.4 Последовательность задана рекуррентным соотношением
;
. Тогда четвертый член этой последовательности
равен…
17
14
13
8
15.5 Известны первые три члена числовой последовательности:
общего члена этой последовательности имеет вид …
,
15.6 Установить соответствие между числовой последовательностью
при
.
,
. Тогда формула
и ее пределом
1.
2.
3.
4.
129
0
3
15.7 Установить соответствие между числовой последовательностью
при
.
и ее пределом
1.
2.
3.
4.
0
130
15.8 Установить соответствие между числовой последовательностью
при
.
и ее пределом
1.
2.
3.
4.
0
15.9 Установите соответствие между числовой последовательностью и формулой ее общего члена
1.
2.
3.
131
15.10 Установите соответствие между числовой последовательностью и формулой ее общего члена
1.
2.
3.
Сходимость числовых рядов
16.1Сумма сходящегося числового ряда
равна …
7
132
10
16.2 Укажите правильное утверждение относительно сходимости числовых рядов
А)
и B)
А – расходится, В – сходится
А и В сходятся
А – сходится, В – расходится
А и В расходятся
16.3 Сумма числового ряда
16.4 Числовой ряд
0
равна…
- сходится. Тогда
равен …
3
1
133
16.5 Если для числового ряда
то верно утверждение …
предел общего члена
,
и ряд расходится
и ряд сходится
и ряд сходится
и ряд расходится
16.6 Необходимый признак сходимости не выполнен для рядов …
16.7 Необходимый признак сходимости не выполнен для рядов …
134
16.8 Сходящимися среди приведенных ниже числовых рядов являются …
16.9 Сходящимися среди приведенных ниже числовых рядов являются …
16.10 Укажите сходящиеся числовые ряды
135
Область сходимости степенного ряда
17.1Интервал
17.2 Интервал
17.3 Интервал
является интервалом сходимости степенного ряда …
является интервалом сходимости степенного ряда …
является интервалом сходимости степенного ряда …
136
17.4 Интервал
является интервалом сходимости степенного ряда …
17.5 Интервал
является интервалом сходимости степенного ряда …
137
17.6 Интервал сходимости степенного ряда
равно …
-2
имеет вид
. Тогда
17.7 Количество целых чисел, принадлежащих интервалу сходимости степенного
ряда
7
равно …
17.8 Количество целых чисел, принадлежащих интервалу сходимости степенного
ряда
3
равно …
17.9 Количество целых чисел, принадлежащих интервалу сходимости степенного
ряда
1
равно …
17.10 Количество целых чисел, принадлежащих интервалу сходимости степенного
ряда
5
равно …
Ряды Тейлора (Маклорена)
18.1 Если
ра по степеням
1
, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлоравен…
2
0,25
138
0
18.2 Если
, то коэффициент а5 разложения данной функции в ряд Тей-
лора по степеням
2
равен…
10
12
0
18.3 Если
, то коэффициент а6 разложения данной функции в ряд Тейло-
ра по степеням
9
равен…
0
18
10
18.4 Коэффициент
пеням
0
в разложении функции
в ряд Тейлора по сте-
равен…
4
1
18.5 Функция
гда коэффициент при
0
разложена в ряд Тейлора по степеням
. То-
равен …
-1
24
12
139
18.6 Первый отличный от нуля коэффициент разложения функции
Тейлора по степеням равен …
2
в ряд
18.7 Первый отличный от нуля коэффициент разложения функции
лора по степеням равен …
1
в ряд Тей-
18.8 Первый отличный от нуля коэффициент разложения функции
лора по степеням равен …
1
в ряд Тей-
18.9Первый отличный от нуля коэффициент разложения функции
лора по степеням равен …
3
в ряд Тей-
18.10 Первый отличный от нуля коэффициент разложения функции
Тейлора по степеням равен …
1
в ряд
Типы дифференциальных уравнений
19.1 Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка
являются:
140
19.2 Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка
являются:
19.3 Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка
являются:
19.4 Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями второго порядка
являются:
141
19.5 Из данных дифференциальных уравнений уравнениями Бернулли являются…
19.6 Уравнение
является …
дифференциальным уравнением Бернулли
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
19.7 Уравнение
является …
дифференциальным уравнением Бернулли
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными
19.8 Уравнение
является …
дифференциальным уравнением Бернулли
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными
142
19.9 Уравнение
является …
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
19.10 дифференциальным уравнением Бернулли
Уравнение
является …
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами
дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными
дифференциальным уравнением Бернулли
Дифференциальные уравнения первого порядка
20.1 Дано дифференциальное уравнение
функция…
20.2 Общий интеграл дифференциального уравнения
. Тогда его решением является
имеет вид…
143
20 .3 Дано дифференциальное уравнение
при
. Тогда интегральная кривая, которая определяет решение этого уравнения, имеет вид…
B
C
D
A
20.4 Интегральная кривая дифференциального уравнения первого порядка
, удовлетворяющая условию
20.5 Решением уравнения первого порядка
, имеет вид …
является функция …
144
20.6 Если
— решение уравнения
, тогда
, удовлетворяющее условию
равно …
1
20.7 Если
тогда
2
— решение уравнения
, удовлетворяющее условию
,
равно …
20.8 Если
— решение уравнения
, тогда
, удовлетворяющее условию
равно …
1
20.9 Если
тогда
2
20.10 Если
— решение уравнения
, удовлетворяющее условию
,
равно …
— решение уравнения
, тогда
, удовлетворяющее условию
равно …
1
Дифференциальные уравнения высших порядков
21.1 Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид …
145
21.2 Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид …
21.3 Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид …
21.4 Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид …
146
21.5 Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид …
Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка
22.1 Однородному дифференциальному уравнению второго порядка
соответствует характеристическое уравнение …
22.2 Семейству интегральных кривых
, где
- произвольные
постоянные, соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение второго
порядка …
147
22.3 Дано дифференциальное уравнение
решения данного уравнения является …
. Общим видом частного
22.4 Дано дифференциальное уравнение
решения данного уравнения является …
. Общим видом частного
22.5 Дано дифференциальное уравнение
решения данного уравнения является …
22.6 Если функция
. Общим видом частного
имеет вид:
1.
2.
3.
то частное решение
неоднородного дифференциального уравнения
следует искать в виде …
148
22.7 Если функция
имеет вид:
1.
2.
3.
то частное решение
неоднородного дифференциального уравнения
следует искать в виде …
22.8 Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его
частного решения
1.
2.
3.
149
22.9 Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его
частного решения
1.
2.
3.
22.10 Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его
частного решения …
1.
2.
3.
150
Основные понятия теории вероятностей
23.1 Бросают 2 монеты. События А – «герб на первой монете» и В – «герб на второй монете» являются:
совместными
зависимыми
несовместными
независимыми
23.2 Бросают 2 кубика. События А – «на первом кубике выпала тройка» и В – «на втором
кубике выпала шестерка» являются:
независимыми
несовместными
совместными
зависимыми
23.3 Бросают 2 кубика. События А – «на первом кубике выпала шестерка» и В – «на втором кубике выпала шестерка» являются:
совместными
зависимыми
несовместными
независимыми
23.4 Из каждой из двух колод вынимают по одной карте. События А – «карта из первой
колоды – красной масти» и В – «карта из второй колоды – бубновой масти» являются:
независимыми
несовместными
зависимыми
совместными
151
23.5 Бросают 2 монеты. События А – «цифра на первой монете» и В – «цифра на второй
монете» являются:
зависимыми
несовместными
независимыми
совместными
23.6 Случайные события А и В, удовлетворяющие условиям
,
,
, являются …
совместными и зависимыми
несовместными и зависимыми
несовместными и независимыми
совместными и независимыми
23.7 В урне находится 5 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимаются четыре шара. Вероятность того, что все шары будут белыми, равна …
23.8 В урне находится 5 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимаются четыре шара. Вероятность того, что один шар будет белым, а 3 черными, равна …
152
23.9 Вероятность достоверного события равна…
0
0,999
–1
1
23.10 В квадрат со стороной 5 брошена точка.
Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна …
2
Теоремы сложения и умножения вероятностей
24.1 По мишени производится четыре выстрела. Значение вероятности промаха при первом выстреле 0,5; при втором – 0,3; при третьем – 0,2; при четвертом – 0,1.
Тогда вероятность того, что мишень будет поражена все четыре раза, равна…
0,215
0,003
0,515
0,252
153
24.2 По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,4 и 0,15. Тогда вероятность банкротства обоих
предприятий равна…
0,60
0,06
0,55
0,51
24.3 По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,5 и 0,15. Тогда вероятность банкротства обоих
предприятий равна…
0,75
0,075
0,65
0,425
24.4 По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих разнотипную продукцию, равны 0,5 и 0,25. Тогда вероятность банкротства обоих
предприятий равна…
0,125
0,75
0,105
0,375
24.5 Пусть
- события, заключающиеся в том, что в электрической цепи
сопротивления
не вышли из строя за время
время
представимо через
. Тогда
, событие
- цепь из строя не вышла за
следующим образом …
154
24.6 Несовместные события
равны …
,
,
,
,
,
,
,
,
не образуют полную группу, если их вероятности
,
и
не образуют полную группу, если их вероятности
,
и
не образуют полную группу, если их вероятности
,
,
,
,
и
,
24.7 Несовместные события
равны …
,
,
,
,
24.8 Несовместные события
равны …
,
,
,
,
155
,
,
,
,
24.9 Несовместные события
равны …
,
и
,
не образуют полную группу, если их вероятности
,
,
,
,
,
,
,
24.10 Несовместные события
сти равны …
,
,
и
не образуют полную группу, если их вероятно-
,
,
,
,
,
,
,
156
Дискретная случайная величина
25.1 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Если математическое ожидание
0
, то значение
равно …
-2
-1
2
25.2 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:
Тогда математическое ожидание случайной величины
3,7
равно…
3,8
3,4
4
25.3 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:
Тогда математическое ожидание случайной величины
3,3
равно…
3
3,9
4,1
157
25.4 Страхуется 1200 автомобилей; считается, что каждый из них может попасть в аварию
с вероятностью 0.1. Для вычисления вероятности того, что количество аварий среди всех
застрахованных автомобилей не превзойдет 115, следует использовать…
формулу Байеса
формулу Пуассона
интегральную формулу Муавра-Лапласа
формулу полной вероятности
25.5 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Тогда значение интегральной функции распределения вероятностей
0,5
равно …
0,3
0,9
0,6
Непрерывная случайная величина
26.1 Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
.Тогда математическое ожидание этой нормально распределённой случайной величины равно …
9
81
162
10
158
26.2 Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения
вероятностей
Тогда значение С равно …
1,2
4
3
2,25
26.3 Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения
вероятностей
Тогда значение С равно …
0,5
1
0
1,1
26.4 Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения вероятностей
Тогда значение С равно …
2
159
26.5 График плотности распределения вероятностей
на рисунке.
Тогда значение
1
случайной величины приведен
равно …
0,8
0,75
Статистическое распределение выборки
27.1 Статистическое распределение выборки имеет вид
Тогда относительная частота варианты
0,5
, равна …
10
0,1
0,2
160
27.2 Статистическое распределение выборки имеет вид
Тогда относительная частота варианты
0,5
, равна …
0,3
0,55
6
27.3 Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50:
Тогда n4 равен…
24
23
50
7
27.4 По выборке объема n=100 построена гистограмма частот:
161
Тогда значение а равно…
55
6
5
4
27.5 По выборке объема n=100 построена гистограмма частот:
Тогда значение а равно…
5
6
56
7
Характеристики вариационного ряда
28.1 Мода вариационного ряда 2 , 5 , 5 , 6 , 7 , 9 , 10 равна …
2
10
6
5
28.2 Мода вариационного ряда 5 , 8 , 8 , 9 , 10 , 11 , 13 равна …
5
8
13
9
162
28.3 Мода вариационного ряда 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 7 равна …
1
5
7
4
28.4 Мода вариационного ряда 1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 7 , 10 равна …
1
10
6
7
28.5 Мода вариационного ряда 2 , 3 , 4 , 7 , 8 , 8 , 9 равна …
7
2
9
8
Интервальные оценки параметров распределения
29.1 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 12.
Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
(10,8; 12)
(12; 13,7)
(11,2; 11,8)
(10,6; 13,4)
29.2 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 13.
Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
(11,8; 14,2)
(13; 14,6)
(11,8; 12,8)
(11,6; 13)
163
29.3 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 14.
Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
(12,6; 15,4)
(14; 15,1)
(12,1; 14)
(12,7; 13,7)
29.4 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 11.
Тогда его интервальная оценка может иметь вид...
(10,1; 11,9)
(10,1; 11)
(11; 11,9)
(10,1; 10,8)
29.5 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 13.
Тогда его интервальная оценка может иметь вид...
(13; 13,7)
(12,3; 12,8)
(12,3; 13,7)
(12,3; 13)
Проверка статистических гипотез
30.1 Если основная гипотеза имеет вид
гипотеза …
, то конкурирующей может быть
164
30.2 Если основная гипотеза имеет вид
гипотеза …
, то конкурирующей может быть
30.3 Если основная гипотеза имеет вид
гипотеза …
, то конкурирующей может быть
30.4 Если основная гипотеза имеет вид
потеза …
, то конкурирующей может быть ги-
30.5 Если основная гипотеза имеет вид
потеза …
, то конкурирующей может быть ги-
165
Линейное программирование
31.1 Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:
31.2 Тогда максимальное значение функции
16
равно…
22
24
20
31.3 Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:
31.4 Тогда максимальное значение функции
23
равно…
20
21
18
166
31.5 Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:
31.6 Тогда максимальное значение функции
30
равно…
26
24
32
31.7 Максимальное значение целевой функции
при ограничениях
равно…
10
8
6
11
31.8 Максимальное значение целевой функции
при ограничениях
равно…
24
18
26
12
167
31.9 Максимальное значение функции
при ограничениях
равно …
1
31.10 Минимальное значение функции
при ограничениях
равно …
-3
31.11Максимальное значение функции
при ограничениях
равно …
1
31.12 Минимальное значение функции
при ограничениях
равно …
-6
31.13 Минимальное значение функции
при ограничениях
равно …
-4
Транспортная задача
32.1 Транспортная задача
будет закрытой, если …
a=25, b=5
a=25, b=15
a=25, b=10
a=25, b=20
168
32.2 Транспортная задача
будет закрытой, если …
a=45, b=30
a=45, b=25
a=45, b=40
a=45, b=35
32.3 Транспортная задача
будет закрытой, если …
a=45, b=60
a=45, b=55
a=45, b=65
a=45, b=70
169
32.4 Среди данных транспортных задач
1.
2.
3.
закрытыми являются …
1
2и3
3
1и2
32.5 Среди данных транспортных задач
1.
170
2.
3.
закрытыми являются …
1
2
3
2и3
Теория игр: матричные игры
33.1 Нижняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
4
, равна…
2
5
6
33.2 Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
1
, равна…
2
3
4
171
33.3 Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
3
, равна…
5
4
1
33.4 Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
6
, равна…
4
5
1
33.5 Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
3
, равна…
4
5
2
172
Сетевое планирование и управление
34.1 Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
11
13
34
10
34.2 Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
12
37
11
14
34.3 Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
46
173
14
15
17
34.4 Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
37
14
12
11
34.5 Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
16
14
13
43
174
Кривые безразличия
35.1 Дана функция полезности
нием…
. Тогда кривая безразличия задается уравне-
35.2 Дана функция полезности
нием…
. Тогда кривая безразличия задается уравне-
35.3 Дана функция полезности
нием…
. Тогда кривая безразличия задается уравне-
175
35.4 Дана функция полезности
нием…
. Тогда кривая безразличия задается уравне-
35.5 Дана функция полезности
нием…
. Тогда кривая безразличия задается уравне-
Функции спроса и предложения
36.1 Даны функции спроса
Тогда равновесная цена равна…
1
и предложения
, где р – цена товара.
3,5
4,5
2,25
176
36.2 Даны функции спроса
Тогда равновесная цена равна…
1
и предложения
, где р – цена товара.
5
2,5
4
36.3 Даны функции спроса
ра. Тогда равновесная цена равна…
3,25
и предложения
, где р – цена това-
6,5
5,5
1
36.4 Даны функции спроса
Тогда равновесная цена равна…
5
и предложения
, где р – цена товара.
7
3
2
36.5 Даны функции спроса
Тогда равновесная цена равна…
7,5
и предложения
, где р – цена товара.
5,5
3,5
2
177
Производственные функции
37.1 Производственная функция задается как
Тогда предельный продукт труда
0,4
при
, где K – капитал, L – труд.
равен…
,
0,2
1,25
2,5
37.2 Производственная функция задается как
Тогда предельный продукт труда
0,625
при
, где K – капитал, L – труд.
равен…
,
20
0,4
0,8
37.3 Производственная функция задается как
Тогда предельный продукт капитала
0,4
при
, где K – капитал, L – труд.
,
равен…
1,25
20
0,625
37.4 Неоклассическая мультипликативная производственная функция переменных K и L
может иметь вид …
178
37.5 Неоклассическая мультипликативная производственная функция переменных K и L
может иметь вид …
Коэффициенты эластичности
38.1 Для мультипликативной производственной функции
эластичности по капиталу равен …
0,6
коэффициент
3,11
0,51
1,11
38.2 Для мультипликативной производственной функции
эластичности по капиталу равен …
3,1
коэффициент
0,59
0,51
1,1
38.3 Для мультипликативной производственной функции
эластичности по капиталу равен …
0,59
коэффициент
3,16
0,57
1,16
179
38.4 Для мультипликативной производственной функции
эластичности по труду равен …
1,17
коэффициент
0,62
0,55
3,17
38.5 Мультипликативная производственная функция имеет вид
, где K –
капитал, L – труд. Тогда увеличение объема капитала на 1% приведет к увеличению валового выпуска на …
1%
0,7%
0,6%
1,3%
5.1 Задачи для контрольной по курсу линейная алгебра
1-10 Для матриц А=
найти сумму А + В, произведения АВ и ВА,
определители, транспортные и обратные матрицы
вариант
k
l
m
n
p
q
r
1
9
7
3
2
5
3
7
s
6
2
3
7
5
4
2
4
8
5
3
8
4
2
6
8
9
5
3
4
9
1
2
5
2
9
3
7
5
1
2
8
7
9
7
9
1
6
6
5
7
4
7
1
3
2
7
3
6
1
8
5
4
7
1
8
8
5
2
6
9
7
6
2
9
6
3
5
7
3
2
5
7
10
7
3
9
6
4
5
7
3
k
n
r
180
11-20 Для матрицы А=
l p s
матрицу.
вариант
k l
m
n p q
1
9 7 3
2 5 3
вычислить определитель и найти обратную
r
7
s
6
t
7
2
3
7
5
4
2
4
8
5
3
3
8
4
2
6
8
9
5
3
6
4
9
1
2
5
2
9
3
7
3
5
1
2
8
7
9
7
9
1
6
6
6
5
7
4
7
1
3
2
7
7
3
6
1
8
5
4
7
1
4
8
8
5
2
6
9
7
6
2
8
9
6
3
5
7
3
2
5
7
9
10
7
3
9
6
4
5
7
3
7
21-30 Решить систему уравнений
А) с помощью правил Крамера
Б) матричным методом
В) методом Гаусса
вариант
k
l
m
1
9
7
3
n
2
p
5
q
3
2
3
7
5
4
2
4
3
8
4
2
6
8
9
4
9
1
2
5
2
9
5
1
2
8
7
9
7
6
6
5
7
4
7
1
7
3
6
1
8
5
4
8
8
5
2
6
9
7
9
6
3
5
7
3
2
10
7
3
9
6
4
5
181
31-40 Решить систему уравнений
А) с помощью правил Крамера
Б) матричным методом
В) методом Гаусса
вариk l m n p q
ант
1
1 1 1 0 2 1
2
1 1 -1 -4 2 3
3
2 1 1 3 5 -2
4
1 1 -1 0 2 3
5
1 1 1 4 2 1
6
2 1 1 -3 3 1
7
3 - -1 2 1 1
1
8
2 1 -1 3 3 2
9
1 1 1 6 2 -1
10
1 1 2 3 2 -1
r
s
t
f
g
h
0
1
3
-2
3
-2
1
4
-1
0
2
9
7
0
1
1
1
3
3
3
2
-1
-1
0
-2
3
1
2
-2
2
2
0
-1
0
3
5
6
5
1
9
1
7
2
2
0
-7 1
6 3
3 3
0
1
-1
1
-1
0
-2
2
1
41-50 Методом Гаусса
решить систему уравнений
a11x1+a12x2+a13x3+a14x4+a1
5x5=b1
a21x1+a22x2+a23x3+a24x4+a2
5x5=b2
a31x1+a32x2+a33x3+a34x4+a3
5x5=b3
a41x1+a42x2+a43x3+a44x4+a4
5x5=b4
вариант a11 a12 a13 a14 a15 b1
a21 a22 a23 a24 a25 b2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
3
2
0
-1
0
3
1
1
3
2
5
4
2
1
2
5
3
3
5
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
3
2
0
0
1
3
2
1
2
2
6
5
3
3
4
6
5
4
5
4
11
9
5
4
6
11
8
7
10
7
20
16
8
7
11
20
15
12
17
3
3
3
3
3
1
2
3
3
3
2
2
1
-1
-1
0
2
1
0
1
5
5
4
2
2
1
4
4
3
4
8
8
6
2
1
1
7
5
4
7
15
15
11
3
2
2
13
10
7
12
вариант a31 a32 a33 a34 a35 b3
a41 a42
a43
a44
a45
b4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
4
1
2
1
1
2
3
3
4
2
4
1
1
1
1
2
3
2
3
4
7
2
3
3
2
3
5
4
6
7
11
3
5
4
3
5
8
7
10
13
22
6
9
8
6
10
16
13
19
1
5
2
1
1
2
5
3
3
5
1
4
2
2
4
4
4
4
4
4
2
3
1
0
0
1
2
2
1
2
3
7
3
2
4
5
6
6
5
6
4
12
5
3
5
7
11
9
8
11
9
22
9
5
9
13
19
17
14
19
2
3
1
2
2
1
1
2
2
3
182
51-60 Даны точки A(k,l), B(m,n) , C(p,q). Найти координаты вектора
+
, скалярное
произведение векторов
и
, длину вектора , косинус угла между векторами
и
, уравнение прямой АС, расстояние от точки В до прямой АС.
вариант
k
l
m
n
p
q
1
9
7
3
2
5
3
7
6
2
3
7
5
4
2
4
8
5
3
8
4
2
6
8
9
5
3
4
9
1
2
5
2
9
3
7
5
1
2
8
7
9
7
8
1
6
6
5
7
4
7
1
3
2
7
3
6
1
8
5
4
7
1
8
8
5
2
6
9
7
6
2
9
6
3
5
7
3
2
5
7
10
7
3
9
6
4
5
7
3
61–70. Что можно сказать о взаимном расположении прямых kx + ty + m = 0 и nx + py + q
= 0?
Вариант
k
t
m
n
p
q
1
1
-3
-10
-5
15
50
2
21
8
18
42
16
-30
3
11
3
12
22
6
24
4
2
1
4
10
5
30
5
1
-2
-3
-3
6
9
6
2
-1
6
6
-3
-20
7
1
-1
-4
3
-3
-20
8
3
1
-5
21
7
-35
9
1
-2
10
4
-8
40
10
5
2
4
-15
-6
-20
183
71–80. Изобразить прямую kx + py + m = 0.
Вариант
k
р
m
1
1
-3
-10
2
21
8
18
3
11
3
12
4
2
1
4
5
1
-2
-3
6
2
-1
6
7
1
-1
-4
8
3
1
-5
9
1
-2
10
10
5
2
4
81-90. Являются ли линейными следующие преобразования?
81.Ax = (6X1 + 6x2 - 5х3, 4X1 + 7x2 + X3, X1 - 2х2 - 5х3), Bx = (3X1 + X2, -X1 - X2, X1).
82.Ax = (2X1 + 4x2, X1 - X2, X2), Bx = (-9X1 + Зх2 - 4x3, X2, 7X1 + 6х2 + 9х3).
83.Ax = (3x1+ X3,-X1+X2-X3,X1-2 + X3), Bx = (x1+X2-X3, X2 + X3, X2).
84.Ax = (4x1 + 5x2-6x3,X2-2x3,X3), Bx = (x1 + 3x2,X1-X2, X1 + X2 - 5х3 + 8).
85. Ax = (X1, 2X1 + X2, X2 - Зх3 + 4), Bx = (5X1 + X2, X1, X2 + 7х3).
86. Ax = (6X1 + 2x2 - 3x3, X2 + 5, -X1 + 2x2 - 8x3), Bx = (x3, 2X1 + 6x3, -2X1 - 7x2 + X3).
87.Ax = (8X1 - 6x2 + 4, -X1 + 2x2 + X3, X3), Bx = (2X1 + 3x2 - 7x3, X1 + X2 + X3, X3).
88. Ax = (-5X1 - 2x2 + X3, 7X1 + 2x2, X1 + X2 - X3), Bx (X1 + X2, -2X1 + 3x2 + 5, X1 - X3).
89. Ax = (4X1 + 5x2 - 9x3, X1 + X2 + X3, X2), Bx = (7X1 - 2x2 + 4x3, -2X1 + 3 - 4x3, X1 + X3).
90.Ax = (-9X1 + X2 - 3x3, X1, 6x2 + 5x3), Bx = (X1 + 3x2 - 4x3, 2X1 + 3x2 - 7, X1 + 3x3).
184
91-100. Решить уравнение kx3 + px2 + mx + n = 0. »
вариант
k
p
m
n
1
2
11
19
10
2
6
7
-1
-2
3
6
-7
-1
2
4
5
-4
-12
-3
5
6
-4
-12
-2
6
7
-8
14
-13
7
5
-4
-14
-5
8
5
-4
-15
-6
9
5
-4
-16
-7
10
5
-4
-17
-8
101-110 Дана матрица линейного оператора А=
в базисе е1=(1,0), е2=(0,1). Найти
матрицу этого линейного оператора в базисе е`1=(p,q), e2=(r,s).
вариант
k
l
m
n
p
q
1
9
7
3
2
5
3
7
6
2
3
7
5
4
2
4
8
5
3
8
4
2
6
8
9
5
3
4
9
1
2
5
2
9
3
7
5
1
2
8
7
9
7
8
1
6
6
5
7
4
7
1
3
2
7
8
3
8
6
5
1
2
8
6
5
9
4
7
7
6
1
2
9
6
3
5
7
3
2
5
7
10
7
3
9
6
4
5
7
3
185
111-120 Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей
Вариант
k
l
m
n
1
3
3
2
4
2
1
7
-2
-8
3
5
1
3
3
4
1
7
-3
-9
5
4
2
1
5
6
-5
2
1
-4
7
1
5
-3
9
8
-7
-1
3
-3
9
8
2
-3
3
10
-2
4
-3
-9
121-130 Найти собственные значения линейного оператора, заданного матрицей
r
l
p
k
n
s
m q
t
Вариант
k
l
m
n
p
q
r
s
t
1
4
-1
1
-2
3
-2
-1
-1
2
2
3
2
3
-1
0
1
0
-1
-1
2
2
-1
-1
0
1
0
-1
1
2
4
5
5
6
0
-1
0
1
-1
-2
4
5
-1
-2
-1
-1
-1
-1
4
4
6
3
2
-2
1
2
1
-1
-1
4
7
8
2
2
1
1
-1
-1
0
1
1
2
0
1
-1
0
-1
0
2
3
9
4
1
-1
1
4
1
0
0
5
10
5
-2
-2
1
4
1
-1
-1
6
186
131-140 Применить процесс ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов f1=(k,l,m)
, f2=(n,p,q), f3=(r,s,t).
вариант
k
l
m
n
p
q
r
s
t
1
-1
2
1
2
0
3
1
1
-1
2
1
1
4
0
-3
2
2
1
-1
3
1
-2
0
-1
1
3
1
0
4
4
1
0
5
-1
3
2
0
-1
1
5
1
1
0
0
1
-2
1
0
3
6
1
0
2
-1
0
1
2
5
-3
7
2
0
1
1
1
0
4
1
2
8
0
1
3
1
2
-1
2
0
-1
9
1
2
-1
3
0
2
-1
1
1
10
1
4
1
-3
2
0
1
-1
2
141-150 Решить методом методом наименьших квадратов и найти невязку решения системы линейных уравнений:
вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
1
1
2
1
1
2
3
2
1
1
l
1
1
1
1
1
1
-1
1
1
1
m
1
-1
1
-1
1
1
-1
-1
1
2
n
3
-4
3
4
4
-3
2
3
6
3
p
2
2
5
2
2
3
1
3
2
2
q
1
3
-2
3
1
1
1
2
-1
-1
r
2
1
3
-2
3
-2
1
2
2
2
s
4
-1
2
2
9
7
3
-7
6
3
t
1
1
1
3
3
3
2
1
3
3
151–160. Дана квадратичная форма a11x12 + a22x22 + + a33x32 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3.
Написать матрицу этой квадратичной формы, исследовать квадратичную форму на положительную определенность с помощью критерия Сильвестра, привести квадратичную
форму с помощью ортогонального преобразования к каноническому виду.
вариант
а11
а22
а33
а12
а13
а23
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-4
2
4
-1
1
3
1
-2
-4
5
-4
2
4
-1
-7
-7
1
2
1
13
2
2
1
-3
1
3
-1
-2
-4
5
-4
8
2
-2
-4
8
0
4
4
4
8
8
-4
-6
-2
-8
-4
-6
-4
0
-8
-8
4
6
-4
-8
4
4
4
8
187
5.2 Задачи для контрольной работы по курсу Математический анализ.
1-10 Для множеств А и В найти объединение А В, пересечение А В , разность А\В
Вариант
А
В
1
3,2,1,5,9
5,9,7
2
6,9,2,3,4
1,4,6
3
4,5,1,3,8
4,1,5,9
4
9,4,6,8,3
1,4,9
5
1,9,5,6,4
5,1,3,0
6
9,8,0,6,2
8,4,2,6
7
8,7,0,1,5
8,4,6
8
3,1,8,6,5
3,1,2,6
9
7,9,5,2,4
7,9,1,4,0
10
1,8,6,3
3,2,5,7
11-20 Зная значение функции в точках a, b, c найти при помощи линейной интерполяции
значение функции в точке х.
Вариант
a
f(a)
b
f(b)
c
f (c )
x
1
1,43
2,05
1,45
2,25
1,57
2,41
1,54
2
1,28
2,02
1,41
2,36
1,86
2,44
1,51
3
1,12
2,23
1,23
2,36
1,98
2,62
1,64
4
1,52
2,01
1,71
2,58
1,82
2,74
1,69
5
1,71
2,06
1,85
2,66
1,89
2,93
1,79
6
1,84
2,10
1,92
2,13
1,99
2,74
1,91
7
1,08
2,06
1,28
2,15
1,99
2,82
1,77
8
1,15
2,28
1,60
2,34
1,69
2,47
1,38
9
3,06
4,28
3,34
4,89
3,71
4,93
3,39
10
3,44
4,01
3,66
4,05
3,86
4,57
3,72
21-30 Изобразить схематически график функции y= (kx+p)\(mx+n)
вариант
k
p
m
n
1
9
7
3
2
2
3
7
5
4
3
8
4
2
6
4
9
1
2
5
5
1
2
8
7
6
6
5
7
4
7
3
6
1
8
8
8
5
2
6
9
6
3
5
7
10
7
3
9
6
188
31-40 Выделить из выражения kx2+px+m полный квадрат.
Вариант
k
p
m
1
9
7
3
2
3
7
5
3
8
4
2
4
9
1
2
5
1
2
8
6
6
5
7
7
3
6
1
8
8
5
2
9
6
3
5
10
7
3
9
41-50 Найти пределы:
А)
+n)
Б)
)
B)
Г)
(1+k/x)mx
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
9
3
8
9
1
6
3
8
6
7
m
7
7
4
1
2
5
6
5
3
3
n
3
5
2
2
8
7
1
2
5
9
p
2
4
6
5
7
4
8
6
7
6
q
5
2
8
2
9
7
5
9
3
4
r
3
4
9
9
7
1
4
7
2
5
s
7
8
5
3
8
3
7
6
5
7
a
1
1
1
1
1
1
1
3
2
5
b
-4
-11
4
9
-24
-9
2
17
-21
-24
c
3
10
-5
14
128
14
-8
-6
-11
-5
d
3
10
-5
-7
8
2
-4
-6
11
5
51-60 Найти производную функции:
А)
; б) x3
А)
; б)( x2-1)ex
а)
; б)(x-8)5x
А)
; б) (x+10)3x
А)
; б) (x+4)ex
а)
; б)(x+9)ln x
а)
; б) (x-7)cos x
а)
; б) (x-4)tg x
а)
; б) (x+2)ctg x
а)
; б) x2ln x
189
61-70 Для функции ax3+bx3+cx+d найти производные 1го и 2го порядков, дифференциал,
интервалы монотонности, локальные экстремумы, интервалы выпуклости вверх (вниз),
точки перегиба, наибольшее и наименьшее значение на отрезке [0,2].
Варианты
a
b
c
d
1
1
6
-15
8
2
1
-3
-24
-28
3
1
12
45
50
4
1
-6
9
-4
5
1
-3
-9
-5
6
4
24
36
16
7
1
3
-24
28
8
1
-12
45
50
9
-1
-3
9
-5
10
-2
0
24
0
71-80 для функции kx2+mxy+ny2+px+gy+r найти частные производные и дифференциалы
1го и 2го порядков, производную по направлению вектора (b,c), приближённое значение
в точке В (1,98; 3,04) ( с помощью дифференциала), экстремумы, наибольшее и наименьшее значение в замкнутой области -1
.
Варианты
k
m
n
p
q
r
b
c
1
9
7
3
2
5
3
6
-5
2
3
7
5
4
2
4
-3
-2
3
8
4
2
6
8
9
-2
4
4
9
1
2
5
2
9
-6
9
5
1
2
8
7
9
7
-3
-9
6
6
5
7
4
7
1
2
3
7
3
6
1
8
5
4
3
-2
8
8
5
2
6
9
7
-1
4
9
6
3
5
7
3
2
-3
9
10
7
3
9
6
4
5
2
4
81-90
Найти интегралы :
а)
(9x+7sin x) ; б)
; в)
а)
(3x2-5cos x) ; б)
; в)
а)
(8x3+4
)dx ; б)
; в)
190
а)
; б)
а)
; б)
а)
а)
; в)
; б)
; б)
; в)
; в)
а)
а)
; в)
; б);
; б)
в)
; в)
91-100 Доказать, что ряд
расходится.
Вариант
k
m
p
q
1
2
3
4
5
6
7
8
-7
-9
-11
-13
-15
-17
-19
-21
12
20
30
42
56
72
90
110
6
8
-10
-12
-14
-16
-18
20
9
16
25
36
49
64
81
100
9
10
7
9
12
20
-6
-8
9
16
101-110 Решить дифференциальные уравнения:
а) y’’+ky’+m=0
б) y’’+n y’+p=0
в) y’’+q y’+r
г) y’’+s y’+t=f(x)
вариант k
m
n
p
q r
s t
1
-7 12 6
9
0 9
-5 6
2
-9 20 8
16 0 16 -2 5
3
-11 30 -10 25 0 25 -4 4
4
-13 42 -12 36 0 36 2 10
5
-15 56 -14 49 0 49 -4 3
6
-17 72 -16 64 0 64 0 4
7
-19 90 -18 81 0 81 1 0
8
-21 110 20 100 0 100 -6 9
9
7
12 -6 9
0 121 0 9
10
9
20 -8 16 0 144 2 -8
F(x)
2cos x
X2+1
-x2+3x
-sin2x
E5x
Sin2x
e-x
9x2-12x+2
36e3x
3sinx
191
111-120 Решить систему дифференциальных уравнений
вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
3
1
5
1
4
-5
1
-7
8
-2
L
3
7
1
7
2
2
5
-1
2
4
m
2
-2
3
-3
1
1
-3
3
-3
-3
n
4
-8
3
-9
5
-4
9
-3
3
-9
5.3 Задачи для контрольной работы по курсу Теория вероятностей и математическая статистика
1-10. В первой урне находятся a белых и b чёрных шара, во второй урне- с белых и d
чёрных шара. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, а затем из второй извлекли
один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
вариант
a
b
c
d
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
17
16
15
14
13
11
10
9
8
8
3
4
5
6
7
9
10
11
12
3
4
5
6
5
2
6
1
3
2
5
4
2
1
2
5
2
6
5
6
11-20 На заводах А и В изготовлено m% и n% всех деталей. Из прошлых данных известно, что a% деталей завода А и b% деталей завода В оказываются бракованными. Случайно выбранная деталь оказывается бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на заводе А?
Вариант
a
b
m
n
11
15
25
80
20
12
30
10
90
10
13
20
5
85
15
14
5
30
70
30
15
5
15
60
40
16
25
10
75
25
17
30
20
55
45
18
5
10
65
35
19
30
15
95
5
20
20
10
20
80
192
21-30 Вероятность повреждения мишени стрелком при одном выстреле равна р. Найти вероятность того, что при n выстрелах мишень будет поражена к1 не менее к и не более к2
раз.
Вариант
p
к1
к2
n
21
22
0,2
0,3
1
600
3
660
6
2100
23
24
25
26
0,4
0,5
0,5
0,7
250
5
43
1500
600
7
57
2700
600
8
100
2100
27
28
29
30
0,3
0,6
0,8
0,9
3
345
86
86
6
375
100
94
6
600
100
100
31-40 Среднее число самолётов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту равно m. Найти вероятность того, что за время n минут прибудут а) s самолётов; б) не менее s самолётов.
Поток предполагается простейшим.
Вариант
m
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
n
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
2
3
6
7
8
8
7
6
3
2
s
2
3
4
2
3
4
2
3
4
2
41-50 Произведено n независимых испытаний. В каждом из них вероятность появления
события А равна p. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от
постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа ε.
вариант
n
p
ε
41
200
0,2
0,02
42
300
0,25
0,04
43
400
0,35
0,05
44
600
0,45
0,06
45
700
0,55
0,07
46
800
0,6
0,08
193
47
900
0,65
0,09
48
1100
0,7
0,05
49
1200
0,75
0,04
50
300
0,8
0,02
51-60. Дискретная случайная величина принимает значение xi с вероятностями pi. Найти
её математическое ожидание и дисперсию.
Вариант
x1
x2
x3
p1
p2
p3
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
1
4
6
3
8
3
4
4
1
8
5
7
2
6
7
5
7
5
2
3
3
1
8
7
3
7
5
6
8
4
0,1
0,4
0,3
0,6
0,4
0,5
0,6
0,5
0,8
0,1
0,7
0,5
0,2
0,3
0,2
0,1
0,2
0,3
0,1
0,5
0,2
0,1
0,5
0,1
0,4
0,4
0,2
0,2
0,1
0,4
61-70 Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет
вид, показанный на графике. Найдите неизвестное число m, функцию распределения F(x),
математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Вариант
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
а
2
1
1
1
2
2
4
4
4
3
b
3
2
3
3
4
4
6
5
5
4
c
4
3
4
5
5
6
10
6
8
5
194
71-80 Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины X имеет вид f(x) = γe –ax2+bx+c. Найти неизвестное число γ, математическое
ожидание М(Х), дисперсию D(Х), вероятность выполнения неравенства <X< β и |ХМ(Х)| <δ).
Вариант
а
b
c
β
δ

71
2
8
-2
1
4
0,1
72
2
6
-1
2
5
0,2
73
2
4
-3
3
6
0,15
74
2
10
-4
4
7
0,25
75
2
12
-5
5
8
0,05
76
1
2
1
1
2
0,1
77
1
4
2
2
3
0,15
78
1
6
3
3
4
0,2
79
1
8
4
4
5
0,25
80
1
10
5
5
6
0,1
81-90 Из текущей продукции произведён выбор распределённой случайной величины Х
валиков. Найти реализацию оценки математического ожидания и стандартного отклонения распределённой случайной величины Х – отклонения диаметра валика от номинала.
вариант от -20
до -15
81
7
82
6
83
5
84
4
85
3
86
7
87
6
88
5
89
4
90
3
от -15
до -10
11
12
13
14
15
12
13
13
14
11
от -10
до-5
14
13
15
16
17
15
16
17
18
19
от-5
до 0
25
26
24
23
22
24
23
23
22
25
от 0
до 5
50
51
52
53
54
53
51
52
53
54
от 5
до 10
40
41
42
42
41
39
38
39
40
40
от 10
до 15
27
27
25
25
26
28
27
26
25
24
от 15
до 20
16
13
15
14
13
12
16
15
16
18
от 20
до 25
7
8
8
7
6
6
8
7
6
5
от 25
до 30
3
3
1
2
3
4
2
3
1
1
91-100 Автомат фасует сахар в пакеты. Проведена случайная выборка объёмом n пакетов.
Средний вес пакета сахара в выборке кг, выборочное стандартное отклонение s кг.
Найти доверительный интервал для среднего веса пакета сахара в генеральной совокупности с доверительной вероятностью p в случае:
А) стандартное отклонение автомата σ кг;
Б) стандартное отклонение автомата неизвестно.
195
Определить необходимый объём выборки для достижения ширины доверительного интервала . Проверить гипотезу о равенстве генеральной средней 1 кг.
Вариант
n
σ
p
s
91
0,99
30
0,01
0,10
0,95
0,05
92
0,98
34
0,07
0,15
0,99
0,10
93
0,97
33
0,03
0,18
0,95
0,04
94
0,96
35
0,06
0,12
0,99
0,08
95
0,95
36
0,09
0,19
0,95
0,02
96
1,01
32
0,02
0,11
0,99
0,09
97
1,02
37
0,08
0,13
0,95
0,06
98
1,03
38
0,04
0,16
0,99
0,03
99
1,04
39
0,10
0,14
0,95
0,17
100
1,05
31
0,05
0,17
0,99
0,01
101-110 Проведена выборка объёма n1 деталей. r1 из них оказались бракованными. Найти
доверительный интервал доли бракованных изделий в генеральной совокупности для доверительной вероятности p. Определить необходимый объём выборки для достижения
ширины доверительного интервала
. В повторной выборке объёма n2 r2 деталей оказались бракованными. Понизилась ли доля брака?
Вариант
n1
r1
101
1000
200
102
1100
103
p
n2
r2
0,01
0,95
1100
190
190
0,02
0,99
1150
185
1200
180
0,09
0,95
1250
170
104
1300
170
0,08
0,99
1330
165
105
1400
160
0,07
0,95
1430
155
106
1500
150
0,03
0,99
1570
140
107
1600
140
0,04
0,95
1620
135
108
1700
130
0,06
0,99
1780
120
109
1800
120
0,12
0,95
1900
115
110
1900
110
0,05
0,99
2000
108
196
111-120 Для производства каждой из n1=53 деталей по первой технологии было затрачено
в среднем 1 с (выборочная дисперсия s12 c2). Для производства каждой из n2=43 деталей
по второй технологии было затрачено в среднем 2 с (выборочная дисперсия s22 c2) Можно сделать вывод , что по первой технологии требуется в среднем больше времени для
производства одной детали? Доверительная вероятность р.
Вариант
s1 2
s2 2
p
1
2
111
38
4
31
2
0,95
112
39
5
32
3
0,99
113
33
7
31
8
0,95
114
37
8
34
7
0,99
115
35
4
32
5
0,95
116
37
5
36
4
0,99
117
37
7
35
7
0,95
118
38
8
33
8
0,99
119
42
3
40
5
0,95
120
40
2
34
4
0,99
121-130 Проводились испытания нового лекарства. В эксперименте участвовали n1 мужчин и n2 женщин. У m1 мужчин и m2 женщин наблюдались побочные эффекты. Можно ли
утверждать, что побочные эффекты от нового лекарства у женщин возникают реже, чем у
мужчин? Доверительная вероятность равна р.
Вариант
n1
m1
n2
m2
p
121
1000
200
1100
190
0,95
122
1100
190
1150
185
0,99
123
1200
180
1250
170
0,95
124
1300
170
1330
165
0,99
125
1400
160
1430
155
0,95
126
1500
150
1570
140
0,99
127
1600
140
1620
135
0,95
128
1700
130
1780
120
0,99
129
1800
120
1900
115
0,95
130
1900
110
2000
108
0,99
197
131-140 В таблице указана цена товара с февраля по май. Найти соответствующие индексы роста и прироста, а так же соотв. цепные и базисные индексы (февраль – базовый месяц)
Вариант
фев
март
апрель
май
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
20
30
25
40
25
20
30
40
45
35
30
45
40
70
50
45
40
50
55
50
50
70
50
85
70
50
45
60
70
60
75
90
80
100
100
70
60
80
80
90
141-150 Известны данные по объёму продаж товаров А, Б, В, Г в 2006 году и рост объёма
продаж (в %) в 2007 году. Найти средний индекс роста.
Вариант Объём продаж
Рост объёма продаж
А Б В Г
А
Б
В
Г
141
20 30 50 75 10
15
5
20
142
30 45 70 90 30
10
20
25
143
25 40 50 80 20
5
40
10
144
40 70 85 100 40
30
10
5
145
25 50 70 100 10
20
15
5
146
20 45 50 70 5
20
15
10
147
30 40 45 60 30
15
20
5
148
40 50 60 80 5
40
50
30
149
45 55 70 80 40
10
25
20
150
35 50 60 90 25
20
30
15
151-160 По результатам наблюдений найти оценки коэффициентов уравнения линейной
регрессии y=a+bx, коэффициент корреляции Пирсона, коэффициент детерминации. Дать
прогноз для х=х0.
Вариант
х
y
х0.
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
1
3
4
9
1
0
4
7
3
4
5
6
7
8
0
4
2
5
5
4
3
7
5
3
3
7
3
1
7
8
4
8
4
4
3
8
4
0
2
9
7
7
5
1
0
5
3
3
5
5
1
1
3
0
2
2
8
8
1
6
5
3
1
1
3
6
6
6
3
2
5
5
2
4
5
8
8
4
5
9
2
5
2
3
6
7
7
2
0
9
8
4
1
5
4
5
6
4
1
4
2
4
6
7
2
6
5
4
4
7
198
Раздел VI. Организация самостоятельной работы студентов
6.1 Таблица распределения времени на самостоятельную работу
Тема №7. Прямые и плоскости в
R N . Выпуклые множе-
3
2/1*
4
2 /1*
5
1/ 1*
8
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
6/ 4*
2/1*
2/1*
2 /1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
Изучение рекомендуемой литературы
2
6/ 4*
Выполнение тестовых заданий
Конспектирование учебной и
другой литераРешение
турыпрактических задач
1
Тема №1. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.
Тема №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение
плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве
Тема №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения
кривых второго порядка.
Тема №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду.
Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса.
Тема №5. Определители и их свойства. Определитель
матрицы. Обратная матрица.
Тема №6. Собственные векторы, собственные значения
матрицы. N-мерные линейные векторные пространства.
Базис
Время на СРС
(по тематическому плану)
Номера тем (по
тематическому
плану
6.1.1 Очная форма обучения
N
ства в R и их свойства. Понятие квадратичной формы.
Поверхности второго порядка
Тема №8. Множества. Операции над множествами.
Функции. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва
и их классификация.
Тема №9. Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций.
Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции.
Тема №10. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей.
Тема №11. Асимптоты графика. Исследование функции на
монотонность и экстремумы. Исследование графика
функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба.
Тема №12. Исследование экономических моделей.
Тема №13. Первообразная. Неопределенный интеграл и
его свойства. Таблица основных интегралов.
Тема №14. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям
Тема №15. Определенный интеграл. Свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей.
199
Тема №16. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами: предельный признак сравнения,
признак Даламбера.
Тема №17. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница.
Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область сходимости, свойства
сходящихся рядов.
Тема №18. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.
Применение степенных рядов.
Тема №19. Определение функции нескольких переменных. Предел функции. Непрерывность. График функции
двух переменных.
Тема №20. Частные производные. Производная сложной
функции. Дифференциал. Производные высших порядков
Тема №21. Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимое условие экстремума. Достаточное условие
экстремума функции двух переменных. Наибольшее и
наименьшее значение функции в замкнутой области.
Тема №22. Понятие решения, общего решения, начальной
задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися
переменными, линейные дифференциальные уравнения
первого порядка.
Тема №23. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной правой
части.
Тема №24. Предмет теории вероятностей. Полная группа
равновозможных событий. Классическое определение
вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Тема №25. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события.
Тема №26. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей. Формула полной вероятности. Формула
Байеса.
Тема №27. Повторные испытания. Формула Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Тема №28. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
Тема №29. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия,
среднее квадратичное отклонение.
Тема №30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Центральная предельная теорема.
Тема №31. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной
случайной величины.
Тема №32. Нормальное распределение вероятностей.
Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального
распределения.
Тема №33. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.
Тема №34. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики.
Тема №35. Выборочный метод. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения.
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
7/ 4*
2/1*
2 /1*
2/ 1*
1/ 1*
7/ 4*
2/1*
2 /1*
2/ 1*
1/ 1*
7/ 4*
2/1*
2 /1*
2/ 1*
1/ 1*
7/ 4*
2/1*
2 /1*
2/ 1*
1/ 1*
7/ 4*
2/1*
2 /1*
2/ 1*
1/ 1*
7/ 5*
2/2*
2 /1*
2/ 1*
1/ 1*
7/ 5*
2/2*
2 /1*
2/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
200
Тема №36. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Тема №37. Методы расчета сводных характеристик выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа.
Тема №38. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их
применение.
Тема №39. Предмет математического программирования.
Основные методы математического программирования.
Тема №40. Классические методы одномерной оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.
Тема №41. Симплекс-метод решения задач линейного
программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы
Тема №42. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация пары двойственных
задач.
Тема №43. Транспортные задачи. Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи.
Тема №44. Целочисленное программирование. Постановка задачи о коммивояжере.
Тема №45. Нелинейное программирование. Градиентные
методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование.
Тема №46. Динамическое программирование. Рекуррентные уравнения Беллмана.
Тема №47. Сетевое планирование. Сеть проекта.
Тема №48. Теория игр – теория математических моделей
принятия оптимальных решений в условиях конфликта и
неопределенности.
Итого:
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
6/ 4*
2/1*
2 /1*
1/ 1*
1/ 1*
7/ 5*
2/2*
2 /1*
2/ 1*
1/ 1*
7/ 5*
2/2*
2 /1*
2/ 1*
1/ 1*
7/ 5*
7/ 5*
2/2*
2/2*
2 /1*
2 /1*
2/ 1*
2/ 1*
1/ 1*
1/ 1*
298 /198
201
Тема №7. Прямые и плоскости в
R N . Выпуклые
3
3/ 2*
4
3 /2*
5
3/ 2*
8
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
10/ 8*
3/ 2*
3/ 2*
3 /2*
3 /2*
3/ 2*
3/ 2*
1 /2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
Изучение рекомендуемой литературы
2
10/ 8*
Выполнение тестовых заданий
Конспектирование учебной и
другой литераРешение
турыпрактических задач
1
Тема №1. Векторы и действия над ними. Скалярное
произведение векторов.
Тема №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в
пространстве
Тема №3. Комлексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго порядка.
Тема №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных
алгебраических уравнений методом Гаусса.
Тема №5. Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица.
Тема №6. Собственные векторы, собственные значения матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис
Время на СРС
(по тематическому плану)
Номера тем (по
тематическому
плану
6.1.2 Очно-заочная форма обучения
N
множества в R и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности второго порядка
Тема №8. Множества. Операции над множествами.
Функции. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности.
Предел функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация.
Тема №9. Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции.
Тема №10. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей.
Тема №11. Асимптоты графика. Исследование
функции на монотонность и экстремумы. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость,
наличие точек перегиба.
Тема №12. Исследование экономических моделей.
Тема №13. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
Тема №14. Методы интегрирования: табличный,
подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям
Тема №15. Определенный интеграл. Свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница.
Интегрирование с помощью замены переменной, по
частям. Несобственные интегралы. Вычисление
площадей.
Тема №16. Понятие числового ряда. Необходимый
признак сходимости. Свойства сходящихся рядов.
Ряды с положительными членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера.
202
Тема №17. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область сходимости, свойства сходящихся рядов.
Тема №18. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные
разложения. Алгоритм разложения функции в ряд
Тейлора. Применение степенных рядов.
Тема №19. Определение функции нескольких переменных. Предел функции. Непрерывность. График
функции двух переменных.
Тема №20. Частные производные. Производная
сложной функции. Дифференциал. Производные
высших порядков
Тема №21. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в
замкнутой области.
Тема №22. Понятие решения, общего решения,
начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Тема №23. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами:
метод неопределенных коэффициентов для специальной правой части.
Тема №24. Предмет теории вероятностей. Полная
группа равновозможных событий. Классическое
определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Тема №25. Геометрическая вероятность. Теорема
сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события.
Тема №26. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Тема №27. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Тема №28. Виды случайных величин. Дискретная
случайная величина. Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона.
Тема №29. Числовые характеристики дискретной
случайной величины. Математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Тема №30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема.
Тема №31. Функция распределения вероятностей и
плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Тема №32. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики
нормального распределения.
Тема №33. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное
распределение. Их числовые характеристики.
Тема №34. Система двух непрерывных случайных
величин, ее числовые характеристики.
Тема №35. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Тема №36. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 7*
3/ 1*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 7*
3/ 1*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
203
Тема №37. Методы расчета сводных характеристик
выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа.
Тема №38. Статистическая проверка статистических
гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова
и их применение.
Тема №39. Предмет математического программирования. Основные методы математического программирования.
Тема №40. Классические методы одномерной оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция
полезности. Кривые безразличия.
Тема №41. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы
Тема №42. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация пары двойственных задач.
Тема №43. Транспортные задачи. Экономическая и
математическая формулировки транспортной задачи.
Тема №44. Целочисленное программирование. Постановка задачи о коммивояжере.
Тема №45. Нелинейное программирование. Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое
программирование.
Тема №46. Динамическое программирование. Рекуррентные уравнения Беллмана.
Тема №47. Сетевое планирование. Сеть проекта.
Тема №48. Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях
конфликта и неопределенности.
Итого:
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 8*
3/ 2*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 7*
3/ 1*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
10/ 7*
3/ 1*
3 /2*
3/ 2*
1 /2*
9/ 7*
9/ 7*
2/ 1*
2/ 1*
3 /2*
3 /2*
3/ 2*
3/ 2*
1 /2*
1 /2*
478 /378
204
6.1.3 Заочная форма обучения
2
11/5*
3
3 /2*
4
3 /1*
5
3 /1*
8
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
R N . Выпуклые множе-
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
11/5*
3 /2*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
Тема №7. Прямые и плоскости в
Изучение рекомендуемой литературы
Конспектирование учебной и
другой литераРешение
турыпрактических задач
1
Тема №1. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.
Тема №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение
плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве
Тема №3. Комлексные числа и многочлены. Уравнения
кривых второго порядка.
Тема №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Тема №5. Определители и их свойства. Определитель
матрицы. Обратная матрица.
Тема №6. Собственные векторы, собственные значения
матрицы. N-мерные линейные векторные пространства.
Базис
Выполнение тестовых заданий
Время на СРС
(по тематическому плану)
Номера тем (по тематическому плану
N
ства в R и их свойства. Понятие квадратичной формы.
Поверхности второго порядка
Тема №8. Множества. Операции над множествами.
Функции. Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности. Предел
функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки
разрыва и их классификация.
Тема №9. Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных элементарных функций.
Производная сложной функции.
Тема №10. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей.
Тема №11. Асимптоты графика. Исследование функции
на монотонность и экстремумы. Исследование графика
функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба.
Тема №12. Исследование экономических моделей.
Тема №13. Первообразная. Неопределенный интеграл и
его свойства. Таблица основных интегралов.
Тема №14. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по
частям
Тема №15. Определенный интеграл. Свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей.
Тема №16. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с
положительными членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера.
Тема №17. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница.
Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область сходимости, свойства
сходящихся рядов.
205
Тема №18. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.
Применение степенных рядов.
Тема №19. Определение функции нескольких переменных. Предел функции. Непрерывность. График функции
двух переменных.
Тема №20. Частные производные. Производная сложной
функции. Дифференциал. Производные высших порядков
Тема №21. Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимое условие экстремума. Достаточное условие
экстремума функции двух переменных. Наибольшее и
наименьшее значение функции в замкнутой области.
Тема №22. Понятие решения, общего решения, начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Тема №23. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод
неопределенных коэффициентов для специальной правой
части.
Тема №24. Предмет теории вероятностей. Полная группа
равновозможных событий. Классическое определение
вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Тема №25. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые
события.
Тема №26. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей. Формула полной вероятности. Формула
Байеса.
Тема №27. Повторные испытания. Формула Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Тема №28. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.
Тема №29. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия,
среднее квадратичное отклонение.
Тема №30. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема.
Тема №31. Функция распределения вероятностей и
плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Тема №32. Нормальное распределение вероятностей.
Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального
распределения.
Тема №33. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.
Тема №34. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики.
Тема №35. Выборочный метод. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения.
Тема №36. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Тема №37. Методы расчета сводных характеристик выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного
анализа.
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
11/5*
3 /2*
3 /1*
3 /1*
2 /1*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
206
Тема №38. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их
применение.
Тема №39. Предмет математического программирования. Основные методы математического программирования.
Тема №40. Классические методы одномерной оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.
Тема №41. Симплекс-метод решения задач линейного
программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы
Тема №42. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация пары двойственных
задач.
Тема №43. Транспортные задачи. Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи.
Тема №44. Целочисленное программирование. Постановка задачи о коммивояжере.
Тема №45. Нелинейное программирование. Градиентные
методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование.
Тема №46. Динамическое программирование. Рекуррентные уравнения Беллмана.
Тема №47. Сетевое планирование. Сеть проекта.
Тема №48. Теория игр – теория математических моделей
принятия оптимальных решений в условиях конфликта и
неопределенности.
Итого:
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
10/ 8*
10/ 8*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
3 /2*
1/2*
1/2*
502/ 402
Самостоятельная работа студентов по теме№1. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов
Цель задания- Векторы и действия над ними
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 26.1-26.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные: [4], Т.1, С.5-10; [4], Т.1, С.14-24; [9], С.9-20; [12], Т.1, С.6-15
Самостоятельная работа студентов по теме№2. Уравнение прямой на плоскости.
Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве
Цель задания Уравнение прямой
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 27.1-27.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные[1], Т.1, С.6-15
207
Самостоятельная работа студентов по теме№3. Комплексные числа и многочлены.
Уравнения кривых второго порядка
Цель задания Уравнения кривых второго порядка.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 28.1-28.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные
[1], Т.1, С.26-33
Самостоятельная работа студентов по теме№4. Матрицы. Операции над матрицами.
Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы.
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Цель задания Матрицы
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 29.1-29.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные[1], Т.1, С.81-90
Самостоятельная работа студентов по теме№5. Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица.
Цель задания Определители и их свойства
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 30.1-30.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
[4], Т.1, С.90-110; [11], С.9-26; [12], Т.1, С.76-80; [12], Т.1, С.101-110
Самостоятельная работа студентов по теме№6. Собственные векторы, собственные
значения матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис
Цель задания Собственные векторы, собственные значения матрицы.
208
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 31.1-31.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные
[4], Т.1, С.121-133, [4], Т.1, С.150-158; [10], С.7-30; [11], С.42-60; [12], Т.1, С.115-125
Самостоятельная работа студентов по теме№7. Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества в R N и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности
второго порядка
Цель задания . Прямые и плоскости в R N .
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 32.1-32.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные
[4], Т.1, С.162-167; [12], Т.1, С.68-75
Самостоятельная работа студентов по теме№8. Множества. Операции над множествами. Функции. Способы задания функции. График. Элементарные функции.
Предел последовательности. Предел функции. Непрерывные функции и их свойства.
Точки разрыва и их классификация.
Цель задания . Функции.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 33.1-33.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные
[4], Т.1, С.168-183; [4], Т.1, С.192-200; [3], Т.1, С.28-40; [4], Т.1, С.211-218; [12], Т.1,
С.149-164
Самостоятельная работа студентов по теме№9. Производная функции. Правила
дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции
Цель задания . Производная функции
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты34.1-34.5
209
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные
[4], Т.1, С.232-249; [3], Т.1, С.121-140; [12], Т.1, С.165-175
Самостоятельная работа студентов по теме№10. Производные высших порядков.
Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей
Цель задания Производные высших порядков
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты35.1-35.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные
[4], Т.1, С.253-258; [4], Т.1, С.269-273; [3], Т.1, С.148-155; [12], Т.1, С.176-181
Самостоятельная работа студентов по теме№11. Асимптоты графика. Исследование
функции на монотонность и экстремумы. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба
Цель задания Исследование функции
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 36.1-36.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные
: [4], Т.1, С.284-306; [3], Т.1, С.184-208; [12], Т.1, С.181-197
Самостоятельная работа студентов по теме№12. Исследование экономических моделей.
Цель задания Исследование экономических моделей.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 37.1-37.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные
[22], С.104-125; [23], С.14-30
Самостоятельная работа студентов по теме№13. Первообразная. Неопределенный
интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов
210
Цель задания Первообразная Таблица основных интегралов
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 38.1-38.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные
[4], Т.2, С.3-8; [3], Т.1, С.318-322; [12], Т.1, С.225-230
Самостоятельная работа студентов по теме№14. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям
Цель задания Методы интегрирования
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Найти интегралы:
а) ⌠ (9x+7sin x) ;
б)⌠
;
в)
а) ⌠ (3x2-5cos x) ;
б) ⌠
;
в)
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные
[4], Т.2, С.9-25; [3], Т.1, С.323-326; [3], Т.1, С.350-354; [12], Т.1, С.231-246
Самостоятельная работа студентов по теме№15. Определенный интеграл. Свойства,
геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью
замены переменной, по частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей.
Цель задания Определенный интеграл
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Найти интегралы :
а)
⌠ (8x3+4
б)
⌠
)dx ;
; в)
211
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные
[4], Т.2, С.43-53; [4], Т.2, С.57-66; [4], Т.2, С.85-103; [3], Т.1, С.379-390; [12], Т.1, С.260264
Самостоятельная работа студентов по теме№.16. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными
членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера
Цель задания . Свойства сходящихся рядов
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Найти интегралы :⌠
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[3], Т.1, С.477-495; [12], Т.2, С.56-66
1. а)
; б)
⌠
; в)
2.
3. а)
; б)
4. а)
5. а)
; в)
; б);
; б)
в)
; в)
Самостоятельная работа студентов по теме№17. Знакочередующиеся ряды: признак
Лейбница. Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные
ряды: область сходимости, свойства сходящихся рядов.
Цель задания . Знакочередующиеся ряды
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Найти интеграл
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[3], Т.1, С.496-540; [12], Т.2, С.60-67
212
Самостоятельная работа студентов по теме№.18. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора. Применение
степенных рядов.
Цель задания . . Ряды Тейлора и Маклорена
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Найти интеграл
⌠
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[4], Т.1, С.273-283; [3], Т.1, С.173-180; [3], Т.1, С.547-560; [12], Т.2, С.67-79
Самостоятельная работа студентов по теме№.19. Определение функции нескольких
переменных. Предел функции. Непрерывность. График функции двух переменных.
Цель задания . . Определение функции нескольких переменных.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Найти интеграл
⌠
;
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[4], Т.2, С.106-113; [3], Т.1, С.247-265; [12], Т.1, С.208-209
Самостоятельная работа студентов по теме№.20. Частные производные. Производная сложной функции. Дифференциал. Производные высших порядков
Цель задания. Частные производные
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Найти интеграл
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[4], Т.2, С.114-124; [3], Т.1, С.283-293; [4], Т.2, С.133-136; [12], Т.1, С.209-218
Самостоятельная работа студентов по теме№.21. Экстремум функции нескольких
переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума
функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
213
Цель задания. Экстремум функции нескольких переменных
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Найти интеграл
⌠
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[4], Т.2, С.139-145; [4], Т.2, С.149-152; [3], Т.2, С.16-25; [12], Т.1, С.221-225
Самостоятельная работа студентов по теме№22. Понятие решения, общего решения,
начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Цель задания. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Для функции ax3+bx3+cx+d найти производные 1го и 2го порядков, дифференциал, интервалы монотонности, локальные экстремумы, интервалы выпуклости вверх (вниз), точки
перегиба, наибольшее и наименьшее значение на отрезке [0,2].
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[4], Т.3, С.10-30; [12], Т.2, С.105-125
Самостоятельная работа студентов по теме№.23. Линейные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных
коэффициентов для специальной правой части.
Цель задания . Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
для функции kx2+mxy+ny2+px+gy+r найти частные производные и дифференциалы 1го и
2го порядков, производную по направлению вектора (b,c), приближённое значение в
точке В (1,98; 3,04) ( с помощью дифференциала), экстремумы, наибольшее и наименьшее значение в замкнутой области -1
.
Отчетность: решение примеров
214
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[4], Т.3, С.35-55; [12], Т.2, С.126-145
Самостоятельная работа студентов по теме№.24. Предмет теории вероятностей.
Полная группа равновозможных событий. Классическое определение вероятности.
Основные формулы комбинаторики.
Цель задания Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
. В первой урне находятся a белых и b чёрных шара, во второй урне- с белых и d чёрных
шара. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, а затем из второй извлекли один
шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.17-23; [14], С.8-12
Самостоятельная работа студентов по теме № 25. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события.
Цель задания Зависимые и независимые события
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
На заводах А и В изготовлено m% и n% всех деталей. Из прошлых данных известно, что
a% деталей завода А и b% деталей завода В оказываются бракованными. Случайно выбранная деталь оказывается бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена
на заводе А?
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.27-35; [14], С.12-18
Самостоятельная работа студентов по теме№26. Условная вероятность. Теорема
умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Цель задания. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Вероятность повреждения мишени стрелком при одном выстреле равна р. Найти вероятность того, что при n выстрелах мишень будет поражена к1 не менее к и не более к2 раз.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
215
[13], С.37-53; [14], С.19-35
Самостоятельная работа студентов по теме№27. Повторные испытания. Формула
Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Цель задания. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Среднее число самолётов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту равно m. Найти вероятность того, что за время n минут прибудут а) s самолётов; б) не менее s самолётов. Поток
предполагается простейшим
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.55-64; [14], С.37-4
Самостоятельная работа студентов по теме№28. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона
Цель задания. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Произведено n независимых испытаний. В каждом из них вероятность появления события
А равна p. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной
вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа ε.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.64-74; [14], С.52-59
Самостоятельная работа студентов по теме№29. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Цель задания. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Дискретная случайная величина принимает значение xi с вероятностями pi. Найти её математическое ожидание и дисперсию.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.75-100; [14], С.60-81
216
Самостоятельная работа студентов по теме№30. Закон больших чисел. Неравенство
Чебышева. Центральная предельная теорема.
Цель задания. . Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная
теорема.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины
X имеет вид f(x) = γe –ax2+bx+c. Найти неизвестное число γ, математическое ожидание
М(Х), дисперсию D(Х), вероятность выполнения неравенства <X< β и |Х-М(Х)|
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.101-110; [14], С.82-86
Самостоятельная работа студентов по теме№31. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Цель задания. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Из текущей продукции произведён выбор распределённой случайной величины Х валиков. Найти реализацию оценки математического ожидания и стандартного отклонения
распределённой случайной величины Х – отклонения диаметра валика от номинала.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.111-124; [14], С.87-94
Самостоятельная работа студентов по теме№.32. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения.
.Цель задания. Нормальное распределение вероятностей.
Ориентировочный объем конспекта - не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Проведена выборка объёма n1 деталей. r1 из них оказались бракованными. Найти доверительный интервал доли бракованных изделий в генеральной совокупности для доверительной вероятности p. Определить необходимый объём выборки для достижения ширины доверительного интервала
. В повторной выборке объёма n2 r2 деталей оказались
бракованными. Понизилась ли доля брака?
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
217
[13], С.124-133; [13], С.143-149; [14], С.109-113
Самостоятельная работа студентов по теме№.33. Типичные законы распределения
вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики
Цель задания. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые
характеристики
Задания на самостоятельную работу
Для производства каждой из n1=53 деталей по первой технологии было затрачено в среднем 1 с (выборочная дисперсия s12 c2). Для производства каждой из n2=43 деталей по второй технологии было затрачено в среднем 2 с (выборочная дисперсия s22 c2) Можно сделать вывод , что по первой технологии требуется в среднем больше времени для производства одной детали? Доверительная вероятность р.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.149-155; [14], С.106-108; [14], С.114-120
Самостоятельная работа студентов по теме№.34. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики
Цель задания Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики
Задания на самостоятельную работу
Автомат фасует сахар в пакеты. Проведена случайная выборка объёмом n пакетов. Средний вес пакета сахара в выборке кг, выборочное стандартное отклонение s кг. Найти доверительный интервал для среднего веса пакета сахара в генеральной совокупности с доверительной вероятностью p в случае:
А) стандартное отклонение автомата σ кг;
Б) стандартное отклонение автомата неизвестно.
Определить необходимый объём выборки для достижения ширины доверительного интервала. Проверить гипотезу о равенстве генеральной средней 1 кг.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.155-160; [13], С.174-185; [14], С.137-150
Самостоятельная работа студентов по теме№.35. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Цель задания Выборочный метод
Задания на самостоятельную работу
Известны данные по объёму продаж товаров А, Б, В, Г в 2006 году и рост объёма
продаж (в %) в 2007 году. Найти средний индекс роста.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
218
Источники: обязательные:
[13], С.187-196; [14], С.151-156
Самостоятельная работа студентов по теме№.36. Статистические оценки параметров
распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал
Цель задания Статистические оценки параметров распределения.
Задания на самостоятельную работу
Указана цена товара с февраля по май. Найти соответствующие индексы роста и прироста,
а так же соотв. цепные и базисные индексы (февраль – базовый месяц)
По результатам наблюдений найти оценки коэффициентов уравнения линейной регрессии y=a+bx, коэффициент корреляции Пирсона, коэффициент детерминации. Дать прогноз для х=х0.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.197-200; [13], С.230-235; [14], С.157-180
Самостоятельная работа студентов по теме№37. Методы расчета сводных характеристик выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы
теории корреляции и регрессионного анализа
Цель задания. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа
Задания на самостоятельную работу
Указана цена товара с февраля по май. Найти соответствующие индексы роста и прироста,
а так же соотв. цепные и базисные индексы (февраль – базовый месяц)
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.237-250; [14], С.181-189; [13], С.253-270; [14], С.190-200
Самостоятельная работа студентов по теме №38. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их применение.
Цель задания. Статистическая проверка статистических гипотез
Задания на самостоятельную работу
Если основная гипотеза имеет вид
…
, то конкурирующей может быть гипотеза
219
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[13], С.281-290; [13], С.327-335; [14], С.206-210; [14], С.239-250; [13], С.380-38
Самостоятельная работа студентов по теме№39. Предмет математического программирования. Основные методы математического программирования
Цель задания. Основные методы математического программирования
Задания на самостоятельную работу
Минимальное значение функции
при ограничениях
равно
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[16], С.71-91; [21], С.13-17
Самостоятельная работа студентов по теме№40. Классические методы одномерной оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.
Цель задания. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.
Задания на самостоятельную работу
Дана функция полезности
ем…
. Тогда кривая безразличия задается уравнени-
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[16], С.71-91; [21], С.13-17
220
Самостоятельная работа студентов по теме№41. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной
таблицы
Цель задания Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Задания на самостоятельную работу
Минимальное значение функции
при ограничениях
равно
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[16], С.40-59
Самостоятельная работа студентов по теме№42. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация пары двойственных задач
Цель задания Двойственность в линейном программировании
Задания на самостоятельную работу
Максимальное значение функции
при ограничениях
равно
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
16], С.60-70
Самостоятельная работа студентов по теме№43. Транспортные задачи. Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи.
.Цель задания. Транспортные задачи
Задания на самостоятельную работу
2 Транспортная задача
будет закрытой, если …
a=45, b=30
a=45, b=25
a=45, b=40
221
a=45, b=35
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[18], С.34-58
Самостоятельная работа студентов по теме№44. Целочисленное программирование.
Постановка задачи о коммивояжере.
.Цель задания . Целочисленное программирование.
Задания на самостоятельную работу
Даны функции спроса
гда равновесная цена равна…
7,5
и предложения
, где р – цена товара. То-
5,5
3,5
2
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[16], С.249-274
Самостоятельная работа студентов по теме№45. Нелинейное программирование.
Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование
Цель задания Нелинейное программирование
Задания на самостоятельную работу
Максимальное значение функции
при ограничениях
равно
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[16], С.150-182
Самостоятельная работа студентов по теме№46. Динамическое программирование.
Рекуррентные уравнения Беллмана.
.Цель задания Динамическое программирование
Задания на самостоятельную работу
222
Максимальное значение целевой функции
при ограничениях
равно…
24
18
26
12
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
16], С.340-379
Самостоятельная работа студентов по теме№47. Сетевое планирование. Сеть проекта
Цель задания. Сетевое планирование
Задания на самостоятельную работу
Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[19], С.23-50
Самостоятельная работа студентов по теме№48. Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта и неопределенности.
Цель задания. Теория игр
Задания на самостоятельную работу
223
Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
, равна
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники: обязательные:
[20], С.50-87
224
Раздел VII.Итоговый контроль
7.1 Примерный перечень вопросов для подготовки к экзамену
Линейная алгебра
1. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов.
Угол между векторами. Условие ортогональности векторов.
2. Матрицы, операции над ними (сложение, умножение на число). Единичная
матрица, нулевая матрица. Умножение матриц. Миноры и алгебраические дополнения
элементов матриц. Матричная запись системы линейных уравнений
Решение матричных и векторных уравнений Определители квадратных матриц и их свойства. Разложение определителя по строке или столбцу
Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных
уравнений методом Гаусса. Теорема Лапласа Теорема Кронекера –Капелли Системы линейных однородных уравнений
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое уравнение
прямой в пространстве. Уравнение прямой в пространстве.
4. Полуплоскости и попупространства.
Ранг (размерность) векторного пространства Уравнение плоскости.
Общее уравнение плоскости Параметрическое уравнение плоскости
Уравнение отрезка в пространстве
Окружность и эллипс.
Гипербола и парабола
Линейные операторы.
Квадратичные формы
Математический анализ
Функция. Способы задания функции. Простейшие элементарные функции и графики.
6. Определение последовательности. Примеры. Предел последовательности.
0 
7. Предел функции в точке. Примеры раскрытия неопределенностей   ,   .
0 
8. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
9. Производная функции. Определение. Таблица производных.
10. Производные высших порядков. Дифференциал функции.
0 
11. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей   ,   .
0 
12. Возрастающие и убывающие функции. Определение. Примеры. Необходимое
условие возрастания (убывания) функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
13. Экстремумы функции. Определение. Необходимое условие экстремума функции.
Достаточное условие экстремума функции (по знаку первой производной).
14. Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Общая схема
исследования функции. Построение графика функции.
15. Неопределенный интеграл. Определение. Свойства. Таблица интегралов.
16. Замена переменной в неопределенном интеграле.
17. Определенный интеграл. Определение. Свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. Приложения определенного интеграла. Вычисление площадей.
18. Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Определение, вычисление.
5.
225
19. Числовые ряды: определение суммы ряда и необходимый признак сходимости ряда.
20. Ряды с положительными членами. Предельный признак сравнения и признак Даламбера сходимости числовых рядов.
21. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
22. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.
23. Ряды Тейлора и Маклорена.
24. Разложение функций e x в степенной ряд.
25. Разложение в ряд Тейлора функций sin x , cos x .
26. Разложение в ряд Тейлора функции ln(1  x) .
27. Функции нескольких переменных: определение, предел, непрерывность. График
функции двух переменных.
28. Частные производные 1-го и 2-го порядков функции многих переменных.
29. Экстремум функции нескольких переменных: необходимые условия
30. Достаточные условия экстремума для функции двух переменных
31. Дифференциальные уравнения: определение, общее и частное решения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
32. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
33. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами.
Теория вероятностей и математическая статистика
34. Элементы комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки.
35. Случайное событие. Классическое определение вероятности случайного события.
36. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей.
37. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей.
38. Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.
39. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.
40. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение непрерывной случайной величины.
41. Математическое ожидание и дисперсия функции от случайной величины.
42. Теорема Чебышева. Закон больших чисел.
43. Биномиальное распределение и его числовые характеристики.
44. Нормальный закон распределения и его числовые характеристики.
45. Распределение Пуассона и его числовые характеристики.
46. Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения.
47. Статистические оценки параметров распределения.
48. Статистическая проверка статистических гипотез.
49. Цепи Маркова.
7.2 Примерный перечень вопросов для подготовки к зачёту
По дисциплине «Экономико-математические методы и модели»
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Виды задач линейного программирования. Выпуклые множества точек и их свойства.
Графический метод решения задач линейного программирования.
Транспортная задача
План, допустимый план
Решение канонической задачи линейного программирования на минимум.
Симплексный метод решения задач линейного программирования.
226
7. Первая и вторая теоремы двойственности.
8. Двойственные задачи линейного программирования
9. Задача о смесях
10. Динамическое программирование
11. Задача использования мощностей
12. Выпуклые множества точек
13. Задача о замене оборудования
14. Закрытые транспортные задачи и методы их решения
15. Метод потенциалов при проверке базисного распределения на оптимальность.
16. Транспортные задачи с альтернативным оптимумом.
17. Задача о раскрое материалов
18. Уравнение Беллмана
19. Задача потребителя
20. Локальный экстремум функции многих переменных
21. Целочисленное программирование
22. Понятие нелинейного программирования.
23. Решение задач нелинейного программирования методом множителей Лагранжа.
24. Классические методы определения экстремумов.
25. Функция полезности.
26. Линии безразличия.
27. Задача потребительского выбора.
28. Функции спроса и предложения.
29. Метод Лагранжа для определения экстремумов функций многих переменных
30. Основы теории управления Беллмана.
31. Схема протекания процесса принятия решения методом динамического программирования.
32. Постановка задачи управления запасами.
33. Основная модель управления запасами.
34. Основы финансового рынка.
35. Характеристика финансовых активов.
36. Оценка акций и облигаций.
37. Оценка опционов.
38. Случайные характеристики портфеля ценных бумаг.
39. Портфель из двух типов ценных бумаг.
40. Модели сетевого планирования
227
Раздел VIII Источники
8.1 Основная литература
1.Никольский С.М. Курс математического анализа. Том 1-2. М.: Наука, 2009г.
2.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2009г..
3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 1-2. М.: Высш.школа, 2009г..
4.Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика. Тома 1-4. М.: Эдиториал 2009г..
5.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Том 1-2. М Наука,2009.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука,
2008..
7.Н.Ш.Кремер Высшая математика М.Высшее образование 2008г..
8.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1-3. М.:
Наука, 2007г.
9.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Высш. шк., 2007.г.
10.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Высш. шк., 2006.
11.Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). М.:
Высш. шк., 2007.г..
8.2 Дополнительная литература
12.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2009г.
13.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Hаука, 2008г..
14.Эльсгольц Л.Э Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 2008г.
15.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Гостехиздат. М.: 2007г..
16.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Т. 1-2.
М.: Наука, 2008г.
228
Раздел IХ. Глоссарий
Линейная алгебра и геометрия
Линейное пространство L называется евклидовым пространством, если на нем
задана функция двух переменных (х, у) — скалярное произведение, для которого выполнены следующие свойства (х, у, z) — любые векторы из L, α — любое число):
1) (х, у) = (у, x);
2) (х,у + z) = (х, у) + (х, z);
3) (ах, у) = а (х, у);
4) (х, х) ≥ 0 и (х, х) = 0 ↔ x = 0 (нулевой вектор пространства L).
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
Если при умножении квадратных матриц А и В в любом порядке получается единичная
матрица (АВ = ВА = Е), то матрица В называется обратной матрицей для матрицы А
(очевидно, что матрица А — обратная матрица для матрицы В) и обозначается А-1 то есть
АА-1 = А-1 А = Е.
Система уравнений следующего вида:
 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,
 a x  a x  ...  a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2

...

am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm ,
где aij, bi — коэффициенты, xi — переменные, называется системой линейных уравнений
Функция вида р(х) = а nхn + а n-1хn-1 + ... + а1x + а0 где аn ≠0, называется многочленом
степени п.
Матрицей (точнее числовой матрицей) размера т Х п (произносится «эм на эн») называется таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов.
.Минором Мij квадратной матрицы А называется определитель матрицы, полученной из
матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Нулевая строка — это строка из одних нулей. Ненулевая строка содержит хотя бы один
ненулевой элемент. Главный элемент строки — это первый слева ненулевой элемент
Неравенство Коши-Буняковского: |(х, у)\ < \х\\у\.
Неравенство треугольника: \х + у\<\х\ + \у\.
Определитель — это число, которое считается для квадратной матрицы по некоторым
вполне определенным правилам.
Порядок определителя — это порядок квадратной матрицы.
Оператор — это отображение ƒ линейного пространства L в себя, то есть ƒ: L → L.
Ортогональные векторы — это векторы, угол между которыми равен 90°, то есть cos =
0.
Условие ортогональности векторов. Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только
тогда, когда их скалярное произведение равно 0 (утверждение является верным в обоих
направлениях).
Если известны точка М (x0,у0) на прямой т и направляющий вектор s  ( ,  ) , параллельный этой прямой, то можно написать каноническое уравнение прямой m:
x  x0 y  y0

.


229
Расстояние  (M 0 , m) от точки М0 (x0,, y0) до прямой т, заданной уравнением Аx+Ву+С= 0,
вычисляется по формуле:
Ax  By  C
 ( M 0 , m)  0 2 0 2 .
A B
Ступенчатый вид имеет матрица, у которой:
1) все ненулевые строки расположены выше нулевых строк;
2) в каждой строке, начиная со второй, главный элемент расположен правее, чем
главный элемент предыдущей строки.
Вектор AB — это направленный отрезок: А — начальная точка вектора, В — конечная точка вектора.
Модуль вектора a — это длина отрезка, изображающего вектор: AB =АВ.
Даны векторы a  (a1 , a2 ) и b  (b1, b2 ) Скалярное произведение a, b векторов a и b — это
число, которое вычисляется по следующему правилу: (a, b)  a1b1  a2b2 (соответствующие
координаты перемножаются и полученные произведения складываются
Схема Горнера позволяет быстро разделить с остатком любой многочлен р(х) на многочлен вида x – с (с=const).
Если при действии линейного оператора f на ненулевой вектор x получается тот же
вектор х, умноженный на какое-то число λ, то такой вектор х называется собственным
вектором линейного оператора f: f(х) = λx. Число x называется собственным значением.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1, у1) и М2(x2, у2) имеет
следующий вид:
x  x1
y  y1

.
x2  x1 y2  y1
Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии
Математический анализ
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если
х неотрицательно, и противоположное число ~х, если х отрицательно:
II ( х, если х>0,
1
' \-х, если х<0,
Функция а(х) называется бесконечно малой величиной при х -» х0, или при х -> со, если ее
предел равен нулю:
lim - а(х) =0.
х->х0(оо)
Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х -> х0, если для любого даже
сколь угодно большого положительного числа М > 0 найдется такое положительное число
5 > 0 (зависящее от М, 8 = Ъ(М)), что для всех х, не равных д:0
и удовлетворяющих условию I x — х0 | < 6, будет верно неравенство
\Лх)\> М.
230
Величина, обратная коэффициенту эластичности замещения, показывает приближенно, на
сколько процентов изменится отношение предельных продуктов МР(х)/МР(у) при изменении отношения затрат ресурсов (х/у) на 1 %.
Геометрический смысл производной: производная /'(х0)есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=/(х) в точке х0,т.е. k=f'(x0).
Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Ах часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной
dy =/'(х)Ах
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной
или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной
функции.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет
вид
y'+f(x)y = g(x),
где /(х) и g (x) — некоторые (непрерывные) функции переменной х. В случае, когда функция g
{x) тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным.
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно
может быть представлено в виде
y' = g(y/x),
где g — некоторая функция (одной переменной
Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой
функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.
dz= z'xAx + z'yAy
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
У + РУ' + ау=г(х),
Функция /(х) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем
условиям: 1) определена в точке х0 (т.е. существует /(%)); 2) имеет конечный предел функции при х -> х0; 3) этот предел равен значению функции в точке х0, т.е.
lim f(x) = f(x0).
Линией уровня функции двух переменных z =f(x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С.
Линии уровня функции полезности (они называются кривыми безразличия) (см. § 5.6) также позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать решение
задачи об оптимальном потреблении (потребительского выбора
Общим решением дифференциального уравнения его порядка называется такое его решение
>- = Ф(х,С,,...,С„),
которое является функцией переменной х и я произвольных независимых постоянных С,,
С2,..., Сп. (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между
ними.)
Производной функции у = /(х) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
.Функция F (х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в
каждой точке х этого промежутка F'(x) =f(x).
Совокупность всех первообразных для функции /(х) на промежутке X называется неопределенным
интегралом от функции /(х) и обозначается jf(x)dx, где J — знак интеграла,
231
f(x) — подынтегральная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение. Таким образом,
\f{x)dx = F(x) + С,
Число А называется пределом функции z =f(x, у) при х -» х0 и у -*у0 (или в точке (х0, у0)),
если для любого даже
сколь угодно малого положительного числа s > 0 найдется положительное число 5 > 0 (зависящее от е, 8 = 6(e)), такое, что для всех точек (х, у), отстоящих от точки (х0, у0) на расстояние р, меньшее, чем 81 (т.е. при 0 < р < 8), выполняется неравенство
\ f ( x , y ) - A \ < s . Обозначается предел так:
lim f(x,y) = A.
. Число А называется пределом числовой последовательности {ап}, если для любого даже
сколь угодно малого положительного числа е > 0 найдется такой номер N (зависящий от б,
N = N(z)), что для всех членов последовательности с номерами п > N верно неравенство
\а п ~А\<е
Портфель ценных бумаг (под портфелем мы здесь будем понимать совокупность определенных
ценных бумаг в определенных количествах) характеризуется двумя основными параметрами — ожидаемой доходностью г
и риском если
частые производные и'х, и'у— функции полезности. Они называются предельными полезностями
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его
частичных сумм
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
1. Если функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке
о
(см. рис. 6.10).
2. Если функция у = / (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то
она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М теорема
Вейерштрасса
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
3. Если функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она ограничена на этом отрезке
о
(см. рис. 6.10).
4. Если функция у = / (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то
она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М теорема Вейерштрасса
Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд щ+и2+... + ип+... сходится и имеет сумму S, то и ряд
Хщ + Хи2 +... + Хип +... (полученный умножением данного ряда на число X) также сходится
и имеет сумму XS.
2.
Если ряды щ + и2 + • • • + ип + •••и Vj + v2 +... + v„ +... сходятся
и их суммы соответственно равны Sy и S2, то и ряд
(И| + V,) + (и2 + v2) +... + (ип + vn) +... (представляющий сумму
данных рядов) также сходится, и его сумма равна 5, +S2.
Точка М( х0, у0) называется точкой максимума (минимума) функции z =f(x, у), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (х, у) из этой окрестности выполняется неравенство
f(x0,y0) >f(x,y)
Пусть точка (xQ, y0) — есть точка экстремума дифференцируемой функции z = fix,, у). Тогда частные производные fx(xQ , у0) и fy(xQ, уQ) в этой точке равны нулю.
232
Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х,, х2, ..., хп) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят,
что задана функция нескольких переменных z = f(x{, ..., х„).
Функция у =/ (х) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое
положительное число М > 0, что |/(х)| < М для любого х е X. В противном случае функция
называется неограниченной.
1. Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого
действия.
2. Производственная функция — зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) — зависимость объема
производства от наличия или потребления ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость издержек
производства от объема продукции.
5.
Функции спроса, потребления и предложения — зависимость
объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары
или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).
Если по некоторому закону каждому натуральному числу п поставлено в соответствие
вполне определенное число ап , то говорят, что задана числовая последовательность {ап}:
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных Сх, С2,..., Сп.
Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел щ,и2, ...,и п ,... соединенных знаком сложения:
щ + и 2 +... + и п +...
Числа щ, и2,..., ип,... называются членами ряда, а член ип —
общим или п-м членом ряда
Теория вероятностей и математическая статистика
Бесповторной называют выборку, при которой обращенный объект в генеральную совокупность не возвращается
Если выборка правильно отражает соотношения в генеральной совокупности, то ее называют
репрезентативной (представительной).
Понятие генеральной совокупности связано с понятием полного поля элементарных событий. Это поле событий может быть конечным или бесконечным. Полное ноле событий
может меняться в зависимости от организации опытов,
Дисперсией случайной величины А' называется математическое ожидание квадрата отклонения ее от математического ожидания самой величины:
Величина называется дискретной, если она может принимать опре
деленные, фиксированные значения
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала.
Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.
Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за
собой наступление этого события.
Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему
числу возможных исходов:
Ковариацией, или корреляционным моментом, случайных величин X и У называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий, т. е. смешанный центральный момент второго порядка
»xy=M((X-MxKY-My)).
233
Коэффициентом корреляции г^ случайных величин X к Y называют отношение ковариации к произведению средних Квадратичных отклонений этих величин
Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие вероятности:
М(Х) = Мх = XlPl + х^г + ... + *Л = xlfr
Несмещенной называется статистическая оценка в*, математическое" ожидание которой
равно оцениваемому параметру А/ (в*) = 0.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу HQ. Конкурирующей (альтернативной)
называют гипотезу #,, которая противоречит основной
Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь
угодно мало отличающиеся друг от друг
Если при наступлении события А вероятность события В не меняется то события А и В
называются независимыми
Плотностью распределения вероятностей /(х) непрерывной- случайной величины Л' называется производная от ее функции распределения вероятностей
f(x) = F'(x).
Для непрерывной двумерной случайной величины функция распределения записывается в
виде интеграла:
Р(*,У)= } lf(x,y)dxdy,
где /(%, у) — плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины
Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из
которых устанавливается факт асимптотического приближения .среднего значения большого числа опытных данных к математическому ожиданию случайной величины.
Повторной называют выборку, при которой объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность.
Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х., и,.). По оси абсцисс откладывают точки ж,, а по оси ординат -соответствующие значения nt (частоты)
Смещенной называется оценка 0*, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Так же как и для любой случайной величины, оценка 0* может иметь
большой или небольшой разброс (дисперсию) относительно математического ожидания.
Событие называется случайным, если в результате опыта оно может либо произойти,
либо не произойти.
Событие называется достоверным, если ©но обязательно появляется в результате данного
опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте.
события
называются
несовместными,
/если
они
вместе
не
могут
наблюдаться в одном и том же опыте.
Суммой событий 4,, А2, ..., Ап называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из
этих событий:
Состоятельной называется статистическая оценка, которая при увеличении объема выборки п стремится по вероятности к оцениваемому параметру
Величина называется случайной, если в результате опыта они может принимать любые
заранее неизвестные значения
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте,
.Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Рас-смотренные выше
оценки (хв, dt) точечные
.Критической областью называется область значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается. Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при
которых гипотеза принимается. Критическими точками (границами) k^ называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы
Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.
234
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В,
называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В),
Функция распределения F(x, у) представляет собой вероятность события (X < х, Y < у),
т. е.
F(x,y) = P(X<x, Y<y).
Центральная предельная теорема. Если случайная величина ^представляет собой сумму
очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному. •
Число наблюдений л(. называется частотой, а значение его отношения к объему выборки
- относительной частотой:
Эффективной называется статистическая оценка, которая при одних и тех же объемах выборки имеет наименьшую дисперсию
Экономико-математические методы и модели
Базисом опорного решения называется базис системы векторов условий задачи, в состав
которого «ходят векторы, соответствующие отличным от нуля координатам опорного решения
Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой
n-мерный вектор X =* (х,, хг, ..., хя), удовлетворяющий системе ограничений и условиям
неотрицательности.
Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений
(ОДР).
Задаче линейного программирования (исходной, или прямой) можно поставить в соответствие другую задачу, которая называется двойственной или сопряженной. Обе эти задачи
образуют пару двойственных (или сопряженных) задач линейного программирования.
Каждая из задач является двойственной к другой задаче рассматриваемой пары
Методами математического программирования решаются задачи о распределении ресурсов, планировании выпуска продукции, ценообразовании, транспортные задачи и тл
.Общая задача математического программирования формулируется следующим образом:
найти экстремум целевой функции
Z{X) = /{*,, Xj, ..., хя) ~» max (min)
,
и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют системе ограничений
Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое
допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.
В общем случае задача линейного программирования записывается так, что ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися. В Том случае, когда все ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию неотрицательности, задачу линейного профаммирования называют канонической
Опорным решением задачи линейного программирования называется такое допустимое решение Х= (х,0, х20,..., х^, 0,..., 0), для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам Av А2, .,., Ат, линейно независимы.
Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть больше ранга г системы векторов условий (т.е. числа линейно независимых уравнений системы ограничений
Если число отличных от нуля координат опорного решения равно от, то оно (решение)
называется невырожденным, в противном случае (меньше /я) — вырожденым.
Переменными задачи называются величины х{, х2, ••-, ха, которые полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора X— (*,, хг, ..., хя).~
Симплексный метод — это метод целенаправленного перебора опорных решений задачи
235
Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым удовяетворяюгпврвиениме-залачи и которые следуют из ограниченности ресурсов *ши других
экономических или физических условий, например положительности переменных и т.п.
В транспортных задачах под поставщиками и потребителями понимаются различные промышленные и сельскохозяйственные предприятия, заводы, фабрики, склады, магазины и
т.д. Однородными считаются грузы, которые могут, быть перевезены одним видом транспорта. Под стоимостью перевозок понимаются тарифы, расстояния, время, расход топлива и
т.п.
Циклом называется такая последовательность клеток таблицы транспортной задачи (/^у,),
</,,уг), (i2J2), • •-, (ik,J{), в которой две и только две соседние клетки расположены в одной
строке или столбце, причем первая и последняя клетки также находятся в одной строке
или столбце.
Числа А называются оценками свободных клеток таблицы или векторов-условий транспортной задачи, не входящих в базис опорного решения. В этом случае признак оптимальности можно сформулировать так же, как в симплексном методе {для задачи на минимум):
опорное решение является оптимальным, если для все Х векторов-условий (клеток таблицы)
оценки неположительные
Целевой функцией называют функцию переменных задачи* которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти
236