Математика - Московский Новый Юридический Институт

Негосударственное образовательное частное учреждение
высшего профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ НОВЫЙ ЮРИДИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС
МАТЕМАТИКА
Уровень основной образовательной программы
Направления подготовки
Формы обучения
080200.62 Менеджмент
Очная, очно-заочная, заочная
Срок освоения ООП
Кафедра
Бакалавриат
Нормативный
Общих гуманитарных, математических
и социально-экономических дисциплин
Москва, 2013год
При разработке учебно-методического комплекса в основу положены:
- ФГОС ВПО по направлению подготовки 080200 «Менеджмент» (квалификация
(степень) "бакалавр"), утвержденный Министерством образования и науки РФ от 21
декабря 2009 г. N 747
- Учебные планы по направлениям подготовки (бакалавриат) Менеджмент,
одобренные Ученым советом НОЧУ ВПО «МНЮИ» от «17» мая 2012 г. Протокол № 8
Учебно-методический комплекс одобрен и рекомендован к опубликованию Учебнометодическим советом Протокол №1 от 24 января 2013года
Разработчик: В.В.Горяинов, кандидат экономических наук, старший научный сотрудник
Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор, МГУ им. М.В. Ломоносова,
В.Н. Липецкий.
Настоящий учебно-методический комплекс является собственностью МНЮИ и не
может быть использован другими вузами и иными структурами без разрешения МНЮИ.
© МНЮИ
Оглавление:
Раздел 1. Общие положения .........................................................................................................4
1.1 Цель и задачи освоения учебной дисциплины ..................................................................4
1.2. Дидактические единицы содержания учебного курса ....................................................4
1.3. Место учебной дисциплины в структуре ООП ................................................................4
1.4. Требования к результатам освоения учебной дисциплины ............................................5
Раздел 2. Формирование компетенций .......................................................................................6
2.1. Состав образовательных технологий по дисциплине......................................................6
2.2. Формирования компонентов компетенций .....................................................................6
2.3. Состав, содержание и методика реализации активных и интерактивных
образовательных технологий, применяемых при изучении дисциплины ............................8
2.4.. Методика реализации активных и интерактивных образовательных технологий ..8
Раздел 3. Оценка уровня освоения компетенций. Текущий и промежуточный контроль
знаний по дисциплине. Фонды оценочных средств ...............................................................10
3.1. Оценочные средства и сроки их реализации ................................................................10
3.2. Описание образовательных и оценочных технологий и методические рекомендации
преподавателям по их реализации ..........................................................................................11
3.3 Перечень вопросов к экзамену (зачёту) ...........................................................................31
3.4. Порядок ликвидации задолженности ..............................................................................33
Раздел 4. Организация входного контроля знаний, умений и навыков студентов .............34
4.1 Технология входного контроля .......................................................................................34
4.2. Примерные фонды оценочных средств для входного контроля ..................................36
Раздел 5. Тематические планы курса .........................................................................................48
5.1.Тематический план курса для студентов очной формы обучения ................................48
5.2.Тематический план курса для студентов очно-заочной формы обучения ...................52
5.3.Тематический план курса для студентов заочной формы обучения .............................56
Раздел 6. Рабочая программа учебной дисциплины. ...............................................................61
Раздел 7. Планы семинарских и практических занятий ..........................................................70
7.1 Планы семинарских и практических занятий для студентов очной формы обучения70
7.2 Очно-заочная форма обучения ........................................................................................98
7.3 Заочная форма обучения ................................................................................................106
Раздел 8.Организация самостоятельной работы студентов (CРC) ......................................115
8.1. Таблица распределения времени, выделенного на самостоятельную работу
студентам очной формы обучения .......................................................................................115
8.2 Таблица распределения времени, выделенного на самостоятельную работу
студентам очно-заочной формы обучения ..........................................................................117
8.3. Таблица распределения времени, выделенного на самостоятельную работу
студентам заочной формы обучения ....................................................................................120
8.4.Задания на самостоятельную работу ..............................................................................122
8.5 Оценка СРС преподавателем ..........................................................................................139
Раздел 9. Практикум ..................................................................................................................140
Раздел 10. Источники ................................................................................................................239
Раздел 11. Глоссарий .................................................................................................................241
Раздел 1. Общие положения
1.1 Цель и задачи освоения учебной дисциплины
Целью изучения данной дисциплины является реализация требований к
освоению соответствующих компонентов профессиональных компетенций ПК-31
Менеджмент,. на основе формирования у студентов системных теоретических знаний,
умений и практических навыков по дисциплине «Математика»Требования к
результатам освоения учебной дисциплины изложены в разделе 1.3 настоящего
УМК.
Задачи освоения учебной дисциплины. Основными задачами курса являются:
изучение математических методов, необходимых для анализа и экономического
моделирования, процессов и явлений при поиске оптимальных решений и численной
реализации этих решений;
усвоение основных методов обработки и анализа результатов численных и натурных
экспериментов
1.2. Дидактические единицы содержания учебного курса
Исходя из цели изучения данной дисциплины подлежат освоению следующие
дидактические единицы:
Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии: операции над векторами и
матрицами; системы линейных алгебраических уравнений; определители и их свойства;
собственные значения матриц; комплексные числа; прямые и плоскости в аффинном
пространстве; выпуклые множества и их свойства. Математический анализ и
дифференциальные уравнения: предел последовательности и его свойства; предел и
непрерывность функции; экстремумы функций нескольких переменных; неопределенный
и определенный интегралы; числовые и степенные ряды; дифференциальные уравнения
первого порядка; линейные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами. Теория вероятностей и математическая статистика: случайные события;
частота и вероятность; основные формулы для вычисления вероятностей; случайные
величины; числовые характеристики дискретной и непрерывной случайных величин;
нормальный закон распределения; генеральная совокупность и выборка; оценки
параметров; корреляция и регрессия. Экономико-математические методы: линейное и
целочисленное программирование; графический метод и симплекс-метод решения задач
линейного программирования; динамическое программирование; рекуррентные
соотношения Беллмана; математическая теория оптимального управления; матричные
игры; кооперативные игры; игры с природой; плоские графы, функции полезности;
кривые безразличия; функции спроса; кривые “доход-потребление”; кривые “ценыпотребление”; коэффициенты эластичности; материальные балансы; функции выпуска
продукции; производственные функции затрат ресурсов; модели поведения фирмы в
условиях совершенной и несовершенной конкуренции; модели общего экономического
равновесия.
Указанные дидактические единицы положены в основу рабочей учебной программы
дисциплины.
1.3. Место учебной дисциплины в структуре ООП
Учебная дисциплина «Математика» относится к базовой (профильной) части
математического и естественного научного цикла в структуре основной
профессиональной образовательной программы. Настоящий УМК составлен для
подготовки студентов, обучающихся по направлению подготовки «Менеджмент»
(бакалавр)
1.3.1. Перечень последующих учебных дисциплин, для которых необходимы
знания, умения и навыки, формируемые учебной дисциплиной Менеджмент
1.3.3.Объем и виды учебной работы по дисциплине
ООП
Код
дисны
по
УП
Трудоемкос
ть
ЗЕТ часы
очная форма обучения
Менеджмент Б2 Б2
10
360
Аудиторные часы
всего
из них:
лекц. ПЗ*
*
кур
с.
раб.
зачет
Самост
.
работа
(часы)
Экзаме
н(часы)
144
72
72/44
126
45,45
очно-заочная форма обучения
Менеджмент Б2 Б2
10
360
72
36
36/24
252
36
заочная форма обучения
Менеджмент Б2 Б2
10
30
14
16/8
321
9
360
Примечание: «*» в числителе указывается общая трудоемкость занятий, в
знаменателе – в том числе трудоемкость интерактивных занятий.
1.4. Требования к результатам освоения учебной дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны освоить:
Требования к освоению компонентов компетенции ПК-31 Менеджмент
Знать:
1. Количественные и качественные методы анализа.
Уметь:
1. Анализировать обоснованность УР с использованием количественных и
качественных методов.
Владеть:
1. Приёмами выбора наилучшего УР.
Раздел 2. Формирование компетенций
2.1. Состав образовательных технологий по дисциплине
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО по направлению подготовки
«Менеджмент» реализация компетентностного подхода предусматривает использование в
учебном процессе традиционных, активных и интерактивных форм проведения занятий в
сочетании с внеаудиторной работой студентов.
По данной учебной дисциплине предусмотрены следующие образовательные
технологии:
1. Лекции;
2. Активные / интерактивные формы (на всех практических занятиях);
3. Практические занятия;
4. Самостоятельная работа;
5. Подготовка к зачёту.
Методические рекомендации для преподавателей и студентов по реализации
образовательных технологий изложены в раздела 3.2 и 9 настоящего УМК.
2.2. Формирования компонентов компетенций
Образовательные технологии по освоению компетенций и схема формирования знаний,
умений и навыков приведены в таблице №2.
Таблица № 2.
Образовательные технологии по освоению компетенций
Образовательные технологии по освоению соответствующих компонентов компетенций
Условные обозначения форм обучения:
О - очная форма обучения; ОЗ - очно-заочная форма обучения; З - заочная форма обучения
Компоненты
компетенций,
подлежащие
освоению при
изучении
дисциплины
Лекции
(Л)
Семинарские и
практические
занятия (ПЗ)
Задания на
самостоятельную
работу
Подготовка
курсовой
работы
(КР)
Интерактивная
лекция
Подготовка
к
экзамену
Компетенция ПК-31 Менеджмент
Знать
1.Количественные
и качественные
методы анализа
Лекции
по темам
№№1-48
для всех
форм
обучения
Уметь:
1. Анализировать
обоснованность
УР с
использованием
количественных и
качественных
методов
Лекции
по темам
№№1-48
для всех
форм
обучения
Владеть:
1. Приёмами
выбора
наилучшего УР
Лекции
по темам
№№1-48
для всех
форм
обучения
О-ПЗ
№1,11,19.,28;
ОЗ-ПЗ №1-2,1112,19-20,28-29
ЗПЗ№1,11,19.,28;
ОПЗ№№1,11,19.,28
ОЗ-ПЗ №1-2,1112,19-20,28-29
З-ПЗ№1,11,19.,28
О-ПЗ№№1,11,19.,28
З-ПЗ№1,11,19.,28
Задания на СРС
по темам №№148 для всех форм
обучения
Задания на СРС
по темам №№1-4
для всех форм
обучения
Задания на СРС
по темам №№148 для всех
форм обучения
Примечания к таблице 3:
1. Знаком «+» обозначен виды учебной работы по освоению соответствующего
компонента компетенции.
В ячейках текст обозначает форму обучения и номера лекций, практических занятий и
тем СРС.
2. Содержание подготовки курсовой работы, подготовки к экзамену (зачёту) приведены в
соответствующих разделах настоящего УМК и являются едиными для всех форм
обучения.
2.3. Состав, содержание и методика реализации активных и интерактивных
образовательных технологий, применяемых при изучении дисциплины
Состав, содержание и сроки реализации активных и интерактивных образовательных
технологий по формам обучения приведены в таблице №3
Таблица № 3
Содержание и схема реализации активных и интерактивных технологий обучения
Сроки реализации активных и интерактивных
технологий на аудиторных занятиях по формам
обучения и их трудоемкость (часов)
Наименование, цель и содержание
активных и интерактивных
образовательных технологий
Очная форма
обучения
Очно - заочная
форма
обучения
Заочная форма
обучения
На
практических
занятиях
№№ 2-42
Трудоемкость24 часа
На
практических
занятиях
№№2-42
Трудоемкость
8 часов
24
8
Тренинги по темам №№:
1) очная форма – 1.2) очно-заочная форма- 1-5
3) заочная форма – 3-5
Цель- овладение методикой и
практическими навыками в области
математики, интерактивного
обсуждения выполненных вариантов
решений
На практических
занятиях №№ 2-48
Содержание: письменное решение
многовариантных практических задач
по применению математических
методов и изложение выводов и
предложений по результатам анализа с
последующим обсуждением
результатов в интерактивном режиме.
Трудоемкость-44
часа
Итого трудоемкость (академических часов)
44
2.4.. Методика реализации активных и интерактивных
технологий
образовательных
Активное обучение студентов по данной дисциплине обеспечивается диалоговым
взаимодействием преподавателя и студентов с целью формирования практических
навыков по..» Математике»
Задачами активного и интерактивного обучения по дисциплине являются:
- закрепление теоретических знаний, полученных при изучении дисциплины;
- овладение методикой и практическими навыками в области математики для построения
экономико-математических методов и моделей
- обобщение всего комплекса знаний по дисциплине; в области математики
- приобретение навыков публичных выступлений.
Реализация активных технологий по дисциплине осуществляется на аудиторных
семинарских и практических занятиях для всех форм обучения. Тематические тренинги
построены на задачах, ситуациях, вопросах., обсуждениях проблем.
Методика проведения тренинга предусматривает наличие общей программы
тренинга, подготовленной преподавателем, рабочего сценария тренинга, набора заданий
и задач для отработки, набора раздаточных материалов. Вводная часть тренинга
составляет не более 10 минут от всего времени занятия и предназначена для определения
и разъяснения преподавателем конкретных условий модели тренинга.
Цель и содержание практических занятий в активной форме изложены в планах
проведения практических занятий (раздел №7 настоящего УМК).
План тренинга включает:
1. Подготовленные преподавателем варианты задания (не менее трех по каждой
теме практического занятия) с четко определенной предметной областью работы
и практической направленностью.
2. Отчетность студентов по выполнению задания.
3. Обзор проведенного тренинга.
4. Зачет по результатам тренинга. Цель зачета состоит в подтверждении усвоения
знаний и навыков, полученных в ходе тренинга.
Наименование и содержание активных и интерактивных технологий по формам
обучения, а также цель и сроки их проведения изложены в таблице №3 настоящего
раздела УМК
Все практические занятия предусматривают вводные установки преподавателя по
теме (или нескольким темам) занятия в течение до 10 минут с целью определения и
разъяснения основных задач практического занятия, однозначности интерпретации
содержания эконометрических уравнений и моделей применительно к теме
практического занятия.
Раздел 3. Оценка уровня освоения компетенций. Текущий и
промежуточный контроль знаний по дисциплине. Фонды оценочных
средств
3.1. Оценочные средства и сроки их реализации
Основной задачей оценочных средств является контроль и управление процессом
приобретения студентами необходимых знаний, умений и навыков, определенных
стандартом.
Оценочные средства для контроля знаний, умений и навыков, формируемых
дисциплиной «Математика», оцениваемые компоненты компетенций и сроки проведения
оценочных процедур отражены в таблице 4.
Текущий контроль по дисциплине включает в себя оценку знаний на практических и
семинарских занятиях и оценку самостоятельной работы студентов. Промежуточный
контроль проводится в форме экзамена (зачёта)
Таблица 4.
Технология оценки уровня освоения компетенций по формам обучения
Оцениваемые
компоненты
компетенций
Контрольная
работа
О- на ПЗ
4,16,18.
ОЗ-на ПЗ
№2,17
З- на ПЗ №2
(см.раздел
3.2.3 №.УМК)
Оценка самостоятельной
работы студентов
(На всех ПЗ для
всех форм
обучения)
(см. раздел №3.2.3
УМК)
Тест по
темам
№1О-на ПЗ
№7,17,2
7,37
ОЗ-на
ПЗ
№5,15,2
5,35
З-на ПЗ
№3
(см.разд
ел 3.2.4
УМК)
Защита
курсовой
работы
(согласно
расписанию)
(см.раздел 9
УМК)
Экзамен
(зачёт)по
дисцип- лине
для всех форм
обучения
(согласно
расписанию)
(см.раздел
3.2.5
УМК)
Компетенция ПК-31 Менеджмент
Знать:
1. Количественные и
качественные методы
анализа
Уметь:
Анализировать
обоснованность УР с
использованием
количественных и
качественных методов
Владеть:
Приёмами выбора
наилучшего УР
+
+
+
Примечания к табл. 4:
1. Знаком «+» обозначен соответствующий компонент компетенции, оцениваемый
указанным в таблице оценочным средством. Уровень освоения студентами компонентов
компетенций оценивается отметкой в журнале Учета занятий студентов «зачтено» или
«не зачтено».
2. Текущий контроль знаний, умений и навыков студентов по дисциплине,
предусмотренный планом семинарских и практических занятий, осуществляется на всех
аудиторных семинарских и практических занятиях, независимо от проведения оценочных
процедур.
3.2. Описание образовательных и оценочных технологий и методические
рекомендации преподавателям по их реализации
3.2.1.Оценка знаний, умений и навыков студентов на семинарских и практических
занятиях.
Текущий контроль представляет собой регулярно осуществляемую проверку усвоения
учебного материала. Данная оценка предполагает систематичность, непосредственно
коррелирующаяся с требованием постоянного и непрерывного мониторинга качества
обучения, а также необходимость балльной оценки успеваемости студента.
Семинарские и практические занятия , как правило, должны проводиться в
активном и интерактивном режиме. Оценка знаний, умений и навыков осуществляется на
всех семинарских и практических занятиях по всем формам обучения в соответствии с
целями и задачами занятия. Контроль может проводиться в начале, в ходе отработки
основной части и в заключительной части занятия.
Контроль, проводимый в начале занятия, имеет целью проверку качества
самостоятельной работы студентов по соответствующей теме практического занятия, а
также усвоения основных положений ранее пройденного учебного материала,
необходимых для усвоения вопросов данного занятия.
Контроль, проводимый в ходе основной части занятия, должен обеспечить
проверку не только хода и качества усвоения учебного материала, но и развитие у
студентов творческого мышления.
Контроль, проводимый в заключительной части занятия, осуществляется в случаях,
когда оценку качества усвоения материала можно дать после его полного изложения.
Планы семинарских и практических занятий предусматривают перечни вопросов к
обсуждению , подготовку докладов и сообщений студентов по темам занятий, решение
практических задач и тренинги.
Текущий контроль знаний, умений и навыков осуществляется преподавателем по
пятибалльной шкале с выставлением оценки в журнале учета занятий.
3.2.2. Оценка выполнения студентами письменных (контрольных) работ.
Контрольная работа проводится после изучения каждой части программы (три
контрольных работы по дисциплине для студентов очной и очно-заочной форм обучения,
и одна контрольная работа по всем частям дисциплины для студентов заочной формы
обучения). Контрольная работа является индивидуальной для каждого студента, состоит
из двух вопросов по приведенной ниже примерной тематике, которая может быть
дополнена преподавателем. Контрольная работа проводится на практическом занятии в
течение 20 минут с выставлением оценки в журнале «зачтено» или «не зачтено
Задачи для контрольной по разделу «Линейная алгебра и геометрия»
1-10 Для матриц А=
найти сумму А + В, произведения АВ и ВА,
определители, транспортные и обратные матрицы
вариант k l
m n p q r
s
1
9 7 3
2 5 3 7 6
2
3 7 5
4 2 4 8 5
3
8 4 2
6 8 9 5 3
4
9 1 2
5 2 9 3 7
5
1 2 8
7 9 7 9 1
6
6 5 7
4 7 1 3 2
7
3 6 1
8 5 4 7 1
8
8 5 2
6 9 7 6 2
9
6 3 5
7 3 2 5 7
10
7 3 9
6 4 5 7 3
k
11-20 Для матрицы А=
l
n
r
p
s
m n p q r
s
вычислить определитель и найти обратную
матрицу.
вариант k l
t
1
9 7 3
2 5 3 7 6 7
2
3 7 5
4 2 4 8 5 3
3
8 4 2
6 8 9 5 3 6
4
9 1 2
5 2 9 3 7 3
5
1 2 8
7 9 7 9 1 6
6
6 5 7
4 7 1 3 2 7
7
3 6 1
8 5 4 7 1 4
8
8 5 2
6 9 7 6 2 8
9
6 3 5
7 3 2 5 7 9
10
7 3 9
6 4 5 7 3 7
21-30 Решить систему уравнений
А) с помощью правил Крамера
Б) матричным методом
В) методом Гаусса
вариант k l
m n p q
1
9 7 3
2 5 3
2
3 7 5
4 2 4
3
8 4 2
6 8 9
4
9 1 2
5 2 9
5
1 2 8
7 9 7
6
6 5 7
4 7 1
7
3 6 1
8 5 4
8
8 5 2
6 9 7
9
6 3 5
7 3 2
10
7 3 9
6 4 5
31-40 Решить систему уравнений
А) с помощью правил Крамера
Б) матричным методом
В) методом Гаусса
вариан
k
l
m n
p
q
r
s
t
f
g
h
1
1
1
1
2
1
0
4
1
-1
-2
5
2
1
1
-1 -4 2
3
1
-1 1
-1
2
6
3
2
1
1
3
5
-2 3
0
1
0
2
5
4
1
1
-1 0
2
3
-2 2
3
-2
0
1
5
1
1
1
4
2
1
3
9
3
3
-1
9
6
2
1
1
-3 3
1
-2 7
3
1
0
1
7
3
-
-1 2
1
1
1
0
2
2
3
7
2
-7 1
0
1
-2
т
0
1
8
2
1
-1 3
3
2
9
1
1
1
6
2
-1 2
6
3
1
-1
2
10
1
1
2
3
2
-1 0
3
3
-1
0
1
41-50 Методом Гаусса решить систему уравнений
a11x1+a12x2+a13x3+a14x4+a15x5=b1
a21x1+a22x2+a23x3+a24x4+a25x5=b2
a31x1+a32x2+a33x3+a34x4+a35x5=b3
a41x1+a42x2+a43x3+a44x4+a45x5=b4
вариант a11 a12 a13 a14 a15 b1
a21 a22 a23 a24 a25 b2
1
2
1
1
2
4
7
3
3
2
5
8
15
2
5
3
3
6
11
20 3
3
2
5
8
15
3
4
3
2
5
9
16 2
3
1
4
6
11
4
2
3
0
3
5
8
0
3
-1
2
2
3
5
1
3
0
3
4
7
-1
3
-1
2
1
2
6
2
3
1
4
6
11 0
1
0
1
1
2
7
5
3
3
6
11
20 3
2
2
4
7
13
8
3
3
2
5
8
15 1
3
1
4
5
10
9
3
3
1
4
7
12 1
3
0
3
4
7
10
5
3
2
5
10
17 3
3
1
4
7
12
вариант a31 a32 a33 a34 a35 b3
a41 a42
a43
a44
a45
b4
1
1
1
2
3
4
9
3
2
2
4
7
13
2
5
4
3
7
12
22 4
3
4
7
11
22
3
2
2
1
3
5
9
1
1
1
2
3
6
4
1
2
0
2
3
5
2
2
1
3
5
9
5
1
4
0
4
5
9
1
2
1
3
4
8
6
2
4
1
5
7
13 1
1
1
2
3
6
7
5
4
2
6
11
19 2
1
2
3
5
10
8
3
4
2
6
9
17 3
2
3
5
8
16
9
3
4
1
5
8
14 3
2
2
4
7
13
10
5
4
2
6
11
19 4
3
3
6
10
19
51-60 Даны точки A(k,l), B(m,n) , C(p,q). Найти координаты вектора
произведение векторов
и
, длину вектора
m n p q
1
9 7 3
2 5 3 7 6
2
3 7 5
4 2 4 8 5
3
8 4 2
6 8 9 5 3
4
9 1 2
5 2 9 3 7
5
1 2 8
7 9 7 8 1
, скалярное
, косинус угла между векторами
, уравнение прямой АС, расстояние от точки В до прямой АС.
вариант k l
+
и
6
6 5 7
4 7 1 3 2
7
3 6 1
8 5 4 7 1
8
8 5 2
6 9 7 6 2
9
6 3 5
7 3 2 5 7
10
7 3 9
6 4 5 7 3
61–70. Что можно сказать о взаимном расположении прямых kx + ty + m = 0 и nx + py + q
= 0?
Вариант k
t
1
1
-3 -10 -5
2
21 8
18
42
16 -30
3
11 3
12
22
6
24
4
2
1
4
10
5
30
5
1
-2 -3
-3
6
9
6
2
-1 6
6
-3
-20
7
1
-1 -4
3
-3
-20
8
3
1
21
7
-35
9
1
-2 10
4
-8
40
10
5
2
-15 -6
m
-5
4
n
p
q
15 50
-20
71–80. Изобразить прямую kx + py + m = 0.
Вариант k
р
1
1
-3 -10
2
21 8
18
3
11 3
12
4
2
4
1
m
5
1
-2 -3
6
2
-1 6
7
1
-1 -4
8
3
1
9
1
-2 10
10
5
2
-5
4
81-90. Являются ли линейными следующие преобразования?
81.Ax = (6X1 + 6x2 - 5х3, 4X1 + 7x2 + X3, X1 - 2х2 - 5х3), Bx = (3X1 + X2, -X1 - X2, X1).
82.Ax = (2X1 + 4x2, X1 - X2, X2), Bx = (-9X1 + Зх2 - 4x3, X2, 7X1 + 6х2 + 9х3).
83.Ax = (3x1+ X3,-X1+X2-X3,X1-2 + X3), Bx = (x1+X2-X3, X2 + X3, X2).
84.Ax = (4x1 + 5x2-6x3,X2-2x3,X3), Bx = (x1 + 3x2,X1-X2, X1 + X2 - 5х3 + 8).
85. Ax = (X1, 2X1 + X2, X2 - Зх3 + 4), Bx = (5X1 + X2, X1, X2 + 7х3).
86. Ax = (6X1 + 2x2 - 3x3, X2 + 5, -X1 + 2x2 - 8x3), Bx = (x3, 2X1 + 6x3, -2X1 - 7x2 + X3).
87.Ax = (8X1 - 6x2 + 4, -X1 + 2x2 + X3, X3), Bx = (2X1 + 3x2 - 7x3, X1 + X2 + X3, X3).
88. Ax = (-5X1 - 2x2 + X3, 7X1 + 2x2, X1 + X2 - X3), Bx (X1 + X2, -2X1 + 3x2 + 5, X1 - X3).
89. Ax = (4X1 + 5x2 - 9x3, X1 + X2 + X3, X2), Bx = (7X1 - 2x2 + 4x3, -2X1 + 3 - 4x3, X1 + X3).
90.Ax = (-9X1 + X2 - 3x3, X1, 6x2 + 5x3), Bx = (X1 + 3x2 - 4x3, 2X1 + 3x2 - 7, X1 + 3x3).
91-100. Решить уравнение kx3 + px2 + mx + n = 0. »
вариант k p
m
n
1
2 11 19
10
2
6 7
-1
-2
3
6 -7
-1
2
4
5 -4
-12 -3
5
6 -4
-12 -2
6
7 -8
14
7
5 -4
-14 -5
-13
8
5 -4
-15 -6
9
5 -4
-16 -7
10
5 -4
-17 -8
101-110 Дана матрица линейного оператора А=
в базисе е1=(1,0), е2=(0,1). Найти
матрицу этого линейного оператора в базисе е`1=(p,q), e2=(r,s).
вариант k l
m n p q
1
9 7 3
2 5 3 7 6
2
3 7 5
4 2 4 8 5
3
8 4 2
6 8 9 5 3
4
9 1 2
5 2 9 3 7
5
1 2 8
7 9 7 8 1
6
6 5 7
4 7 1 3 2
7
3 6 1
8 5 4 7 1
8
8 5 2
6 9 7 6 2
9
6 3 5
7 3 2 5 7
10
7 3 9
6 4 5 7 3
111-120 Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора,
заданного матрицей
Вариант k
l
m n
1
3
3
2
2
1
7
-2 -8
3
5
1
3
4
1
7
-3 -9
5
4
2
1
4
3
5
6
-5 2
1
7
1
-3 9
8
-7 -1 3
9
8
10
-2 4
5
2
-4
-3
-3 3
-3 -9
121-130 Найти собственные значения линейного оператора, заданного матрицей
r
k n
l
p
s
m q
t
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
4
2
3
5
6
3
2
2
4
5
l
-1
-1
0
0
-1
2
1
1
1
-2
m
1
1
0
0
1
-2
-1
-1
-1
-2
n
-2
-1
-1
-1
-2
1
0
1
1
1
p
3
2
2
4
5
2
1
2
4
4
q
-2
-1
-1
-1
-2
1
0
1
1
1
r
-1
0
1
-1
-1
-1
-1
0
0
-1
s
-1
0
-1
-1
-1
-1
-1
0
0
-1
t
2
1
2
4
4
4
2
3
5
6
131-140 Применить процесс ортогонализации Грама-Шмидта к системе векторов f1=(k,l,m)
, f2=(n,p,q), f3=(r,s,t).
вариант k l m n p q r s t
1
-1 2 1 2 0 3 1 1 -1
2
1 1 4 0 -3 2 2 1 -1
3
1 -2 0 -1 1 3 1 0 4
4
1 0 5 -1 3 2 0 -1 1
5
1 1 0 0 1 -2 1 0 3
6
1 0 2 -1 0 1 2 5 -3
7
2 0 1 1 1 0 4 1 2
8
0 1 3 1 2 -1 2 0 -1
9
1 2 -1 3 0 2 -1 1 1
10
1 4 1 -3 2 0 1 -1 2
141-150 Решить методом методом наименьших квадратов и найти невязку решения
системы линейных уравнений:
вариант
1
2
3
k
1
1
2
l
1
1
1
m
1
-1
1
n
3
-4
3
p
2
2
5
q
1
3
-2
r
2
1
3
s
4
-1
2
t
1
1
1
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
2
1
1
1
1
1
-1
1
1
1
-1
1
1
-1
-1
1
2
4
4
-3
2
3
6
3
2
2
3
1
3
2
2
3
1
1
1
2
-1
-1
-2
3
-2
1
2
2
2
2
9
7
3
-7
6
3
3
3
3
2
1
3
3
151–160. Дана квадратичная форма a11x12 + a22x22 + + a33x32 + a12x1x2 + a13x1x3 + a23x2x3.
Написать матрицу этой квадратичной формы, исследовать квадратичную форму на
положительную определенность с помощью критерия Сильвестра, привести
квадратичную форму с помощью ортогонального преобразования к каноническому виду.
вариант а11 а22 а33 а12 а13 а23
1
-4 -4 2
-4 8
-8
2
2
2
2
8
8
-8
3
4
4
1
2
-4 4
4
-1 -1 -3 -2 -6 6
5
1
-7 1
-4 -2 -4
6
3
-7 3
8
-8 -8
7
1
1
-1 0
-4 4
8
-2 2
-2 4
-6 4
9
-4 1
-4 4
-4 4
10
5
13 5
4
0
8
Задачи для контрольной работы по разделу «Математический анализ»
1-10 Для множеств А и В найти объединение А В, пересечение А В , разность А\В
Вариант А
В
1
3,2,1,5,9 5,9,7
2
6,9,2,3,4 1,4,6
3
4,5,1,3,8 4,1,5,9
4
9,4,6,8,3 1,4,9
5
1,9,5,6,4 5,1,3,0
6
9,8,0,6,2 8,4,2,6
7
8,7,0,1,5 8,4,6
8
3,1,8,6,5 3,1,2,6
9
7,9,5,2,4 7,9,1,4,0
10
1,8,6,3
3,2,5,7
11-20 Зная значение функции в точках a, b, c найти при помощи линейной интерполяции
значение функции в точке х.
Вариант a
f(a) b
f(b) c
f (c ) x
1
1,43 2,05 1,45 2,25 1,57 2,41 1,54
2
1,28 2,02 1,41 2,36 1,86 2,44 1,51
3
1,12 2,23 1,23 2,36 1,98 2,62 1,64
4
1,52 2,01 1,71 2,58 1,82 2,74 1,69
5
1,71 2,06 1,85 2,66 1,89 2,93 1,79
6
1,84 2,10 1,92 2,13 1,99 2,74 1,91
7
1,08 2,06 1,28 2,15 1,99 2,82 1,77
8
1,15 2,28 1,60 2,34 1,69 2,47 1,38
9
3,06 4,28 3,34 4,89 3,71 4,93 3,39
10
3,44 4,01 3,66 4,05 3,86 4,57 3,72
21-30 Изобразить схематически график функции y= (kx+p)\(mx+n)
вариант k p m n
1
9 7 3 2
2
3 7 5 4
3
8 4 2 6
4
9 1 2 5
5
1 2 8 7
6
6 5 7 4
7
3 6 1 8
8
8 5 2 6
9
6 3 5 7
10
7 3 9 6
31-40 Выделить из выражения kx2+px+m полный квадрат.
Вариант k p m
1
9 7 3
2
3 7 5
3
8 4 2
4
9 1 2
5
1 2 8
6
6 5 7
7
3 6 1
8
8 5 2
9
6 3 5
10
7 3 9
41-50 Найти пределы:
А)
+n)
Б)
)
B)
Г)
(1+k/x)mx
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
9
3
8
9
1
6
3
8
6
7
m
7
7
4
1
2
5
6
5
3
3
n
3
5
2
2
8
7
1
2
5
9
p
2
4
6
5
7
4
8
6
7
6
q
5
2
8
2
9
7
5
9
3
4
r
3
4
9
9
7
1
4
7
2
5
s
7
8
5
3
8
3
7
6
5
7
a
1
1
1
1
1
1
1
3
2
5
51-60 Найти производную функции:
А)
; б) x3
А)
; б)( x2-1)ex
а)
; б)(x-8)5x
А)
; б) (x+10)3x
А)
; б) (x+4)ex
b
-4
-11
4
9
-24
-9
2
17
-21
-24
c
3
10
-5
14
128
14
-8
-6
-11
-5
d
3
10
-5
-7
8
2
-4
-6
11
5
а)
; б)(x+9)ln x
а)
; б) (x-7)cos x
а)
; б) (x-4)tg x
а)
; б) (x+2)ctg x
а)
; б) x2ln x
61-70 Для функции ax3+bx3+cx+d найти производные 1го и 2го порядков, дифференциал,
интервалы монотонности, локальные экстремумы, интервалы выпуклости вверх (вниз),
точки перегиба, наибольшее и наименьшее значение на отрезке [0,2].
Варианты a b
c
d
1
1 6
-15 8
2
1 -3 -24 -28
3
1 12 45 50
4
1 -6 9
-4
5
1 -3 -9 -5
6
4 24 36 16
7
1 3
-24 28
8
1 -12 45 50
9
-1 -3 9
-5
10
-2 0
24 0
71-80 для функции kx2+mxy+ny2+px+gy+r найти частные производные и дифференциалы
1го и 2го порядков, производную по направлению вектора (b,c), приближённое значение
в точке В (1,98; 3,04) ( с помощью дифференциала), экстремумы, наибольшее и
наименьшее значение в замкнутой области -1
.
Варианты k m n p q r b c
1
9 7 3 2 5 3 6 -5
2
3 7 5 4 2 4 -3 -2
3
8 4 2 6 8 9 -2 4
4
9 1 2 5 2 9 -6 9
5
1 2 8 7 9 7 -3 -9
6
6 5 7 4 7 1 2 3
7
3 6 1 8 5 4 3 -2
8
8 5 2 6 9 7 -1 4
9
6 3 5 7 3 2 -3 9
10
7 3 9 6 4 5 2 4
81-90
Найти интегралы:
а)
(9x+7sin x) ; б)
а)
(3x2-5cos x) ; б)
; в)
а)
; в)
)dx ; б)
(8x3+4
; в)
а)
; б)
а)
; б)
а)
а)
; в)
; б)
; б)
; в)
; в)
; в)
а)
; б);
а)
; б)
в)
; в)
91-100 Доказать, что ряд
расходится.
Вариан
т
1
2
3
4
5
6
7
8
k
m
p
q
-7
-9
-11
-13
-15
-17
-19
-21
6
8
-10
-12
-14
-16
-18
20
9
16
25
36
49
64
81
100
9
10
7
9
12
20
30
42
56
72
90
11
0
12
20
-6
-8
9
16
101-110 Решить дифференциальные уравнения:
а) y’’+ky’+m=0
б) y’’+n y’+p=0
в) y’’+q y’+r
г) y’’+s y’+t=f(x)
вариант k
m
n
p
q r
s t
1
-7 12 6
9
0 9
-5 6
2
-9 20 8
16 0 16 -2 5
3
-11 30 -10 25 0 25 -4 4
4
-13 42 -12 36 0 36 2 10
5
-15 56 -14 49 0 49 -4 3
6
-17 72 -16 64 0 64 0 4
7
-19 90 -18 81 0 81 1 0
8
-21 110 20 100 0 100 -6 9
9
7
12 -6 9
0 121 0 9
10
9
20 -8 16 0 144 2 -8
F(x)
2cos x
X2+1
-x2+3x
-sin2x
E5x
Sin2x
e-x
9x2-12x+2
36e3x
3sinx
111-120 Решить систему дифференциальных уравнений
вариант k
1
3
L
3
m n
2 4
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
5
1
4
-5
1
-7
8
-2
7
1
7
2
2
5
-1
2
4
-2
3
-3
1
1
-3
3
-3
-3
-8
3
-9
5
-4
9
-3
3
-9
Задачи для контрольной работы по разделу «Теория вероятностей и математическая
статистика»
1-10. В первой урне находятся a белых и b чёрных шара, во второй урне- с белых и d
чёрных шара. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, а затем из второй извлекли
один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
вариант
a
b
c
d
1
12 8
3
5
2
17 3
4
4
3
16 4
5
2
4
15 5
6
1
5
14 6
5
2
6
13 7
2
5
7
11 9
6
2
8
10 10 1
6
9
9
11 3
5
10
8
12 2
6
11-20 На заводах А и В изготовлено m% и n% всех деталей. Из прошлых данных известно,
что a% деталей завода А и b% деталей завода В оказываются бракованными. Случайно
выбранная деталь оказывается бракованной. Какова вероятность того, что она изготоалена
на заводе А?
Вариант
a
b
m
n
11
15 25 80 20
12
30 10 90 10
13
20 5
85 15
14
5
30 70 30
15
5
15 60 40
16
25 10 75 25
17
30 20 55 45
18
5
10 65 35
19
30 15 95 5
20
20 10 20 80
21-30 Вероятность повреждения мишени стрелком при одном выстреле равна р. Найти
вероятность того, что при n выстрелах мишень будет поражена к1 не менее к и не более к2
раз.
Вариант p
к1
к2
n
21
0,2 1
3
6
22
0,3 600 660 2100
23
0,4 250 600 600
24
0,5 5
7
8
25
0,5 43
57
100
26
27
28
29
30
0,7
0,3
0,6
0,8
0,9
1500
3
345
86
86
2700
6
375
100
94
2100
6
600
100
100
31-40 Среднее число самолётов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту равно m. Найти
вероятность того, что за время n минут прибудут а) s самолётов; б) не менее s самолётов.
Поток предполагается простейшим.
Вариант
m
n
s
31
4
2
2
32
5
3
3
33
6
6
4
34
7
7
2
35
8
8
3
36
4
8
4
37
5
7
2
38
6
6
3
39
7
3
4
40
8
2
2
41-50 Произведено n независимых испытаний. В каждом из них вероятность появления
события А равна p. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от
постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа ε.
вариант
n
p
ε
41
200 0,2 0,02
42
300 0,25 0,04
43
400 0,35 0,05
44
600 0,45 0,06
45
700 0,55 0,07
46
800 0,6 0,08
47
900 0,65 0,09
48
1100 0,7 0,05
49
1200 0,75 0,04
50
300 0,8 0,02
51-60. Дискретная случайная величина принимает значение xi с вероятностями pi. Найти
её математическое ожидание и дисперсию.
Вариант x1 x2 x3 p1 p2 p3
51
1
5
3
0,1 0,7 0,2
52
4
7
1
0,4 0,5 0,1
53
6
2
8
0,3 0,2 0,5
54
3
6
7
0,6 0,3 0,1
55
8
7
3
0,4 0,2 0,4
56
3
5
7
0,5 0,1 0,4
57
4
7
5
0,6 0,2 0,2
58
4
5
6
0,5 0,3 0,2
59
1
2
8
0,8 0,1 0,1
60
8
3
4
0,1 0,5 0,4
61-70 Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет
вид, показанный на графике. Найдите неизвестное число m, функцию распределения F(x),
математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Вариант а b c
61
2 3 4
62
1 2 3
63
1 3 4
64
1 3 5
65
2 4 5
66
2 4 6
67
4 6 10
68
4 5 6
69
4 5 8
70
3 4 5
71-80 Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной
величины X имеет вид f(x) = γe –ax2+bx+c. Найти неизвестное число γ, математическое
ожидание М(Х), дисперсию D(Х), вероятность выполнения неравенства <X< β и |ХМ(Х)| <δ).
Вариант
а
b
c
β
δ

71
2
8
-2
1
4
0,1
72
2
6
-1
2
5
0,2
73
2
4
-3
3
6
0,15
74
2
10
-4
4
7
0,25
75
2
12
-5
5
8
0,05
76
1
2
1
1
2
0,1
77
1
4
2
2
3
0,15
78
1
6
3
3
4
0,2
79
1
8
4
4
5
0,25
80
1
10
5
5
6
0,1
81-90 Из текущей продукции произведён выбор распределённой случайной величины Х
валиков. Найти реализацию оценки математического ожидания и стандартного
отклонения распределённой случайной величины Х – отклонения диаметра валика от
номинала.
вариант от -20
до -15
81
7
82
6
83
5
84
4
85
3
86
7
87
6
88
5
89
4
90
3
от -15
до -10
11
12
13
14
15
12
13
13
14
11
от -10
до-5
14
13
15
16
17
15
16
17
18
19
от-5
до 0
25
26
24
23
22
24
23
23
22
25
от 0
до 5
50
51
52
53
54
53
51
52
53
54
от 5
до 10
40
41
42
42
41
39
38
39
40
40
от 10
до 15
27
27
25
25
26
28
27
26
25
24
от 15
до 20
16
13
15
14
13
12
16
15
16
18
от 20
до 25
7
8
8
7
6
6
8
7
6
5
от 25
до 30
3
3
1
2
3
4
2
3
1
1
91-100 Автомат фасует сахар в пакеты. Проведена случайная выборка объёмом n пакетов.
Средний вес пакета сахара в выборке кг, выборочное стандартное отклонение s кг.
Найти доверительный интервал для среднего веса пакета сахара в генеральной
совокупности с доверительной вероятностью p в случае:
А) стандартное отклонение автомата σ кг;
Б) стандартное отклонение автомата неизвестно.
Определить необходимый объём выборки для достижения ширины доверительного
интервала. Проверить гипотезу о равенстве генеральной средней 1 кг.
Вариант
n σ
p
s
91
0,99 30 0,01 0,10 0,95 0,05
92
0,98 34 0,07 0,15 0,99 0,10
93
0,97 33 0,03 0,18 0,95 0,04
94
0,96 35 0,06 0,12 0,99 0,08
95
0,95 36 0,09 0,19 0,95 0,02
96
1,01 32 0,02 0,11 0,99 0,09
97
1,02 37 0,08 0,13 0,95 0,06
98
1,03 38 0,04 0,16 0,99 0,03
99
1,04 39 0,10 0,14 0,95 0,17
100
1,05 31 0,05 0,17 0,99 0,01
101-110 Проведена выборка объёма n1 деталей. r1 из них оказались бракованными. Найти
доверительный интервал доли бракованных изделий в генеральной совокупности для
доверительной вероятности p. Определить необходимый объём выборки для достижения
ширины доверительного интервала. В повторной выборке объёма n2 r2 деталей оказались
бракованными. Понизилась ли доля брака?
Вариант n1
r1
p
n2
r2
101
1000 200 0,01 0,95 1100 190
102
1100 190 0,02 0,99 1150 185
103
1200 180 0,09 0,95 1250 170
104
1300 170 0,08 0,99 1330 165
105
1400 160 0,07 0,95 1430 155
106
1500 150 0,03 0,99 1570 140
107
1600 140 0,04 0,95 1620 135
108
1700 130 0,06 0,99 1780 120
109
1800 120 0,12 0,95 1900 115
110
1900 110 0,05 0,99 2000 108
111-120 Для производства каждой из n1=53 деталей по первой технологии было затрачено
в среднем 1 с (выборочная дисперсия s12 c2). Для производства каждой из n2=43 деталей
по второй технологии было затрачено в среднем 2 с (выборочная дисперсия s22 c2)
Можно сделать вывод , что по первой технологии требуется в среднем больше времени
для производства одной детали? Доверительная вероятность р.
Вариант 1 s12 2 s22 p
111
38 4 31 2 0,95
112
39 5 32 3 0,99
113
33 7 31 8 0,95
114
37 8 34 7 0,99
115
35 4 32 5 0,95
116
37 5 36 4 0,99
117
37 7 35 7 0,95
118
38 8 33 8 0,99
119
42 3 40 5 0,95
120
40 2 34 4 0,99
121-130 Проводились испытания нового лекарства. В эксперименте участвовали n1
мужчин и n2 женщин. У m1 мужчин и m2 женщин наблюдались побочные эффекты. Можно
ли утверждать, что побочные эффекты от нового лекарства у женщин возникают реже,
чем у мужчин? Доверительная вероятность равна р.
Вариант n1
m1 n2
m2 p
121
1000 200 1100 190 0,95
122
1100 190 1150 185 0,99
123
1200 180 1250 170 0,95
124
1300 170 1330 165 0,99
125
1400 160 1430 155 0,95
126
1500 150 1570 140 0,99
127
1600 140 1620 135 0,95
128
1700 130 1780 120 0,99
129
1800 120 1900 115 0,95
130
1900 110 2000 108 0,99
131-140 В таблице указана цена товара с февраля по май. Найти соответствующие
индексы роста и прироста, а так же соотв. цепные и базисные индексы (февраль – базовый
месяц)
Вариант фев март апрель май
131
20 30
50
75
132
30 45
70
90
133
25 40
50
80
134
40 70
85
100
135
25 50
70
100
136
20 45
50
70
137
30 40
45
60
138
40 50
60
80
139
45 55
70
80
140
35 50
60
90
141-150 Известны данные по объёму продаж товаров А, Б, В, Г в 2006 году и рост объёма
продаж (в %) в 2007 году. Найти средний индекс роста.
Вариант Объём продаж
Рост объёма продаж
А Б В Г
А
Б
В
Г
141
20 30 50 75 10
15
5
20
142
30 45 70 90 30
10
20
25
143
25 40 50 80 20
5
40
10
144
40 70 85 100 40
30
10
5
145
25 50 70 100 10
20
15
5
146
20 45 50 70 5
20
15
10
147
30 40 45 60 30
15
20
5
148
40 50 60 80 5
40
50
30
149
45 55 70 80 40
10
25
20
150
35 50 60 90 25
20
30
15
151-160 По результатам наблюдений найти оценки коэффициентов уравнения линейной
регрессии y=a+bx, коэффициент корреляции Пирсона, коэффициент детерминации. Дать
прогноз для х=х0.
Вариант х
y
х0.
151
1 5 3 4 7 1 5 5 2 8 2
152
3 6 7 8 7 1 3 5 5 4 4
153
154
155
156
157
158
159
160
4
9
1
0
4
7
3
4
7
8
0
4
2
5
5
4
5
3
3
7
3
1
7
8
4
4
3
8
4
0
2
9
5
1
0
5
3
3
5
5
3
0
2
2
8
8
1
6
1
1
3
6
6
6
3
2
2
4
5
8
8
4
5
9
2
3
6
7
7
2
0
9
1
5
4
5
6
4
1
4
6
7
2
6
5
4
4
7
Примерная тематика письменных (контрольных) работ
по разделу линейной алгебры « Экономико-математические методы и модели»
Контрольная работа не предусмотрена учебным планом, поэтому она может быть
проведена по усмотрению преподавателя.
1. Пусть в течение месяца потребляется 60 единиц продукта х и 90 единиц продукта у.
Функция полезности потребителя задана соотношением
и = ху.
Определить величину, на которую потребитель должен увеличить потребление второго
продукта при уменьшении потребления первого на шесть единиц
2. Решить, симплексным методом задачу
Z(X) = 2х1 + 4х 2 -> max,
(-2х1+ Зх2 < 12, | х, + х г < 9,
[ Зх1 - 2х2 < 12,
х, > 0, х2 > б.
3. Составить математическую модель транспортной задачи, исходные данные которой
приведены в табл. .
Таб лица
4. Для увеличения содержания витаминов в питании детей для детского сада решено
закупить на рынке не менее 25 кг яблок, апельсинов и персиков. Суммарная потребность в
витамине А составляет не менее 90 мг, в витамине С - не менее 70 мг. Содержание- витаминов в 1 кг соответствующих продуктов приведена в табл. Там же указана цена 1 кг
соответствующего фрукта.
Сколько фруктов следует закупить, чтобы суммарная стоимость покупки была
минимальной?
Таблица
Яблоки
Апельсины
Персики
Витамин А, мг/кг 1
6
20
Витамин £, мг/fcr' "
Цена за 1 кг, руб. 8
3
3
9
л„
13
5.
Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна
6.Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
7.Максимальное значение целевой функции
, равна…
при ограничениях
равно…
8.Даны функции спроса
Тогда равновесная цена равна…
и предложения
9.Дана функция полезности
уравнением…
, где р – цена товара.
. Тогда кривая безразличия задается
10.Минимальное значение функции
при ограничениях
равно …
3.2.3. Оценка самостоятельной работы студентов (СРС)
Самостоятельная работа студентов предусмотрена программой для всех форм обучения и
организуется в соответствии с разделом 6 УМК. Контроль выполнения заданий на СРС
осуществляется преподавателем на каждом семинарском и практическом занятии (кроме
студентов заочной формы обучения, для которых контроль СРС организуется перед
зачетно- экзаменационной сессией . Итоговая оценка СРС по пятибалльной системе
выставляется в журнале учебных занятий и учитывается при аттестации студентов по
дисциплине в период зачетно - экзаменационной сессии.
3.2.4. Тестирование по результатам изучения тем №№1-48 дисциплины
Данное тестирование ставит целью оценить уровень освоения студентами
изученных тем ,а также знаний и умений , предусмотренных компетенциями, и
проводится раздельно (т.е два тестирования) по темам №№1- дисциплины Тестирование
проводится для студентов всех форм обучения в письменной форме на бумажных
носителях в течении 20 минут .
В качестве оценочных фондов для тестирования используются тесты, приведенные в
разделе «Практикум» настоящего УМК. Преподаватель вправе дополнить перечень
указанных тестов.
Каждый студент получает бланк с тестовыми материалами (10 тестовых заданий ) и
письменно готовит ответы на поставленные задания (путем подчеркивания выбранного
ответа). По истечении 20 минут преподаватель анализирует и оценивает выполненные
студентами задания. По результатам тестирования преподавателем в журнале учета
занятий каждому студенту выставляется оценка «зачтено» или «незачтено» .
3.2.5. Экзамен
Экзамен служит для оценки работы студента в течение всего срока обучения и призван
выявить уровень, прочность и систематичность полученных им теоретических и
практических знаний, приобретения навыков самостоятельной работы, развития
творческого мышления, умение синтезировать полученные знания и применять их в
решении практических задач. По итогам экзамена выставляется оценка по шкале:
«отлично», «хорошо», «удовлетворительно», «неудовлетворительно».
Экзаменационные билеты включают в себя два вопроса и практическую задачу или
тест. Перечень вопросов к экзамену изложен ниже, а варианты экзаменационных задач – в
разделе «Практикум» УМК.
Критерии оценки знаний
Оценка определяется следующими четырьмя составляющими:
результатами ответа на 1-й вопрос;
результатами ответа на 2-й вопрос;
решением задачи;
результатами ответов на дополнительные вопросы.
При этом учитывается текущая успеваемость, посещаемость занятий и выполнение
заданий на самостоятельную работу.
Результаты экзамена оцениваются:
«отлично» - при наличии у студента глубоких, исчерпывающих знаний, грамотном и
логически стройном построении ответа по следующим направлениям дисциплины:
освоение теоретических положений по финансовой математике;
глубокое знание методологических положений по финансовой математике ;
применение полученных знаний для решения практических задач,
«хорошо» - при наличии твердых и достаточно полных знаний, логически стройном
построении ответа при незначительных ошибках по направлениям, перечисленным при
оценке «отлично».
«удовлетворительно» - при наличии твердых знаний, изложении ответа с ошибками,
уверенно исправленными после наводящих вопросов по изложенным выше вопросам.
«неудовлетворительно» - при наличии грубых ошибок в ответе, непонимании сущности
излагаемого вопроса, неуверенности и неточности ответов после наводящих вопросов по
вопросам изучаемой дисциплины.
Оценка выставляется в экзаменационной ведомости
3.3 Перечень вопросов к экзамену (зачёту)
1.Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Угол
между векторами. Условие ортогональности векторов.
2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
3.Матрицы, операции над ними (сложение, умножение на число). Единичная матрица,
нулевая матрица. Умножение матриц.
4.Приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных
уравнений методом Гаусса.
5.Функция. Способы задания функции. Простейшие элементарные функции и графики.
6.Определение последовательности. Примеры. Предел последовательности.
0 
7.Предел функции в точке. Примеры раскрытия неопределенностей   ,   .
0 
8.Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
9.Производная функции. Определение. Таблица производных.
10.Производные высших порядков. Дифференциал функции.
0 
11.Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей   ,   .
0 
12.Возрастающие и убывающие функции. Определение. Примеры. Необходимое условие
возрастания (убывания) функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
13.Экстремумы функции. Определение. Необходимое условие экстремума функции.
Достаточное условие экстремума функции (по знаку первой производной).
14.Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба. Асимптоты кривой. Общая схема
исследования функции. Построение графика функции.
.15.Неопределенный интеграл. Определение. Свойства. Таблица интегралов. 16.Замена
переменной в неопределенном интеграле.
17.Определенный интеграл. Определение. Свойства. Геометрический смысл
определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница. Приложения определенного
интеграла. Вычисление площадей.
18.Несобственный интеграл с бесконечными пределами. Определение, вычисление.
19.Числовые ряды: определение суммы ряда и необходимый признак сходимости ряда.
20.Ряды с положительными членами. Предельный признак сравнения и признак
Даламбера сходимости числовых рядов.
21.Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов.
22.Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.
23.Ряды Тейлора и Маклорена.
24.Разложение функций e x в степенной ряд.
25.Разложение в ряд Тейлора функций sin x , cos x .
26.Разложение в ряд Тейлора функции ln(1  x) .
27.Функции нескольких переменных: определение, предел, непрерывность. График
функции двух переменных.
28.Частные производные 1-го и 2-го порядков функции многих переменных.
29.Экстремум функции нескольких переменных: необходимые условия
30.Достаточные условия экстремума для функции двух переменных
31.Дифференциальные уравнения: определение, общее и частное решения.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
32.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
33.Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с
постоянными коэффициентами.
34.Элементы комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки.
35.Случайное событие. Классическое определение вероятности случайного события.
36.Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей.
37.Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей.
38.Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.
39.Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины.
40.Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение непрерывной
случайной величины.
41.Математическое ожидание и дисперсия функции от случайной величины.
42.Теорема Чебышева. Закон больших чисел.
43.Биномиальное распределение и его числовые характеристики.
44.Нормальный закон распределения и его числовые характеристики.
45.Распределение Пуассона и его числовые характеристики.
46.Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения.
47.Статистические оценки параметров распределения.
48.Статистическая проверка статистических гипотез.
49.Цепи Маркова.
50.Предмет и основные методы математического программирования.
51.Классические методы одномерной оптимизации. Функция спроса и предложения.
52.Постановка задачи линейного программирования.
53.Понятие о симплекс-методе. Экономическая интерпретация.
54.Двойственный симплекс-метод. Двойственность в линейном программировании.
55.Транспортная задача линейного программирования. Экономическая и математическая
формулировки.
56.Целочисленное программирование. Постановка задачи о коммивояжере.
57.Обобщенная задача об ассигнованиях. Задачи комбинаторной оптимизации.
58.Метод динамического программирования. Соотношения Беллмана.
59.Нелинейное программирование. Градиентные методы оптимизации.
60.Предмет и задачи теории игр.
61.Антагонистические матричные игры.
62.Методы решения конечных игр.
3.4. Порядок ликвидации задолженности
3.4.1. Студенты, которые не могли сдать зачеты или экзамены в установленные
сроки, не представившие в установленный срок курсовые работы или не
защитившие их по неуважительной причине, считаются имеющими академическую
задолженность. Порядок ликвидации такой задолженности устанавливается институтом.
3.4.2. Студенты, которые не получили «зачет» при оценке контрольной работы,
самостоятельной работы и тестировании , считаются имеющими задолженность по этим
оценочным средствам . Порядок и сроки ликвидации такой задолженности
устанавливаются преподавателем
Раздел 4. Организация входного контроля знаний, умений и навыков
студентов
4.1 Технология входного контроля
Для успешного овладения новой дисциплиной перед началом ее изучения может
проводиться входной контроль знаний, умений и навыков, приобретённых на
предшествующем этапе обучения. Решение о проведении входного контроля принимает
зав. кафедрой. Методику, технологию и состав оценочных средств определяет
преподаватель по согласованию с зав. кафедрой.
Результаты оценки входного контроля используются для корректировки
методики преподавания дисциплины и для уточнения содержания аудиторной и
самостоятельной работы студентов по дисциплине и её форм контроля (в рамках
требований настоящего УМК).
Входной контроль проводит преподаватель со всеми студентами перед изучением
дисциплины на первом лекционном занятии (в течении одного академического часа по
всем формам обучения) в форме контрольной работы (на бумажных носителях) в течение
15 минут. Контрольная работа, подготовленная преподавателем для каждого студента,
состоит из двух частей: первая часть- два-три кратких учебных задания, вторая частьтри-четыре теста. Фонды оценочных средств для формирования контрольных работ
приведены в разделе 2.2 настоящего УМК.
Для проведения входного контроля используются Листы входного контроля, которые
содержат поля для ответов (пример формы Листа входного контроля приведен в
таблице №5 данного раздела).
Каждый студент получает индивидуальный Лист входного контроля и письменно
готовит ответы на поставленные задания . По истечении 15 минут заполненные
студентами листы передаются на проверку преподавателю, который в течении 10 минут
оценивает выполнение контрольной работы. После чего с участием студентов в
интерактивном режиме обсуждаются варианты решений и допущенные ошибки в течении
оставшегося лекционного времени.
По результатам входного контроля преподавателем в журнале учета занятий
делается соответствующая запись и выставляется каждому студенту оценка по
пятибалльной шкале.
Таблица №5
Лист входного контроля
Ф.И.О студента______________________________________________________________
Группа________________________________________________________________
По разделу «Линейная алгебра»
Дата проведения контроля
«
« _______________20____
г.
Контрольное задание
Краткое содержание ответа
Даны матрицы А =
1 2 3

 и В =
7 5 6
5 1 


9 3 . Найти произведения АВ, ВА.
8 7


Вычислить определитель
2
5
4
3
3
4
7
5
4 9 8 5
3 2 5 3
.
Решить с помощью правила Крамера систему
 x  5 y  2 z  1,

уравнений: 2 x  3 y  2 z  3,
 x  3 y  4 z  3.

Тестовые задания (необходимо подчеркнуть правильные ответы)
0 -1 1 0
2 0 0 0
1. Oпределитель
1 0 0 2
равен ...
0 -3 1 1
1) -8
2) 4
3) 3
4) 8
5) 0
3 0
 1 1 
2. Если A  
и B

 , то A+3B=...
1 4 
 3 0
0 3
1) 

4 4
4 0 
2) 

 1 10
0 3
3) 

10 4 
3 0 
4) 

10 4 
5)
0 3
10 2 


3. Если a  2i  j  k 
1) 5/2
2) 5/3
Студент
3)
2i  j  2 k
, то a  
3
33 / 3
4) 3
5) 4
(подпись)
4.2. Примерные фонды оценочных средств для входного контроля
По разделу «Линейная алгебра»
Тесты
1.Скалярное произведение векторов a = {-2;-1;1;2;0} и b={0;1;-1;1;2},
заданных в ортонормированном базисе, равно...
1) -2
2) 0
3) 3
4) 2
5) 1
2. Какие из векторов a  i  2 j  k , b  2i  4 j  k , c  2i  4 j  2k , d  i  2 j  k
коллинеарны?
1) a и с
2) c и d
3) a и b
5) a и d
4) b, c и d
3. На плоскости даны 2 вектора p={2; -3} и q={1; 2}. Разложение вектора a={9; 4} по
базису p , q имеет вид …
1) 2p  5q
2) p  q
3) 2p  5q
4) 5p  3q
5) p  q
4. Если i2=-1, то (1+i)3= ...
1) 2+2i
2) 2i-2
3) -2-2i
4) 2-2i
5) 2i
5. Образом множества (отрезка) [-2; 3] при отображении f(x)=x2-1 будет множество
(отрезок) ...
1) [3; 8]
2) [-1; 9]
3) [-3; 8]
4) 0
5) [-1; 8]
6. Выражение (A  B)  C  A  C  B  A при C=0 равно …
1) A
3) A  B
2) B
4) A  B
5) 0
7. В пространстве даны 8 точек, причем никакие 4 из них НЕ ЛЕЖАТ в одной плоскости.
Сколько различных плоскостей можно провести через эти точки?
1)
8!
4!
2)
8!
3!
3) 5!
4) 8!
5)
8!
3! 5!
Лист входного контроля
Ф.И.О студента______________________________________________________________
Группа________________________________________________________________
По разделу линейной алгебры – «Экономико-математические методы и модели»
Дата проведения контроля
«
« _______________20____
г.
Контрольное задание
Краткое содержание ответа
1.Транспортная задача
будет закрытой, если …
a=45, b=?
2.Для мультипликативной
производственной функции
коэффициент
эластичности по труду равен …
3.Верхняя цена матричной игры,
заданной платежной матрицей
равна
,
Тестовые задания (необходимо подчеркнуть правильные ответы)
Тест 1.
Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна
а.11 б. 10 в.13 г.12
Тест 2.
Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
а.1
б.4 в.5
, равна
г.3
Тест 3.
Для мультипликативной производственной функции
эластичности по капиталу равен …
коэффициент
а.0,41 б.0,59 в.1,1 г.0,08
Студент
(подпись)
Примерные фонды оценочных средств для входного контроля
По разделу линейной алгебры – «Экономико-математические методы и модели»
Тесты
1. Дана функция полезности
а.
. Тогда кривая безразличия задается уравнением
б. u=x+√y c +√y d -√y
2. Даны функции спроса
Тогда равновесная цена равна
а. 2 б.1 в.1,5 г.6
и предложения
3. Производственная функция задается как
Тогда предельный продукт труда
а. 0,475 б.0,625 в. 0,5 г,1,6
при
, где р – цена товара.
, где K – капитал, L – труд.
,
равен…
4 . Мультипликативная производственная функция имеет вид
, где K –
капитал, L – труд. Тогда увеличение объема капитала на 1% приведет к увеличению
валового выпуска на
а.0,6 б.0,7 в.0,1 г,1,3
5.Максимальное значение целевой функции
при ограничениях
равно…
а.4 б.2 в.6 г.12
6.Максимальное значение функции
при ограничениях
равно
а.0 б.1 в.2 г.0,5
7.Минимальное значение функции
при ограничениях
равно
а.1 б.3 в.6 г.4
8.Максимальное значение функции
при ограничениях
равно
а.1 б.0,5 в.2 г.1,5
9.Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
, равна
а.1 б.3 в.2 г.4
10. Нижняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
а.2 б.6 в.5 г.4
11. Транспортная задача
будет закрытой, если a=45, b=?
а.10 б.20 в.35 г.45
, равна
12. Транспортная задача
будет закрытой, если …
a=25, b=?
а.10 б.15 в.20 г.25
Лист входного контроля
Ф.И.О студента______________________________________________________________
Группа________________________________________________________________
По разделу – «Математический анализ»
Дата проведения контроля
«
« _______________20____
г.
Контрольное задание
Краткое содержание ответа
Найдите пределы
a)
в)
3  x2
,
lim
2
x  6  x  3x
x x
x
lim x 
x 0
Для функции
9 x 2  xy  2 y 2  5x  2 y  9
Найти частные производные 1-го и 2-го порядков:

Доказать, что ряд
 13n  42
  12n  36 расходится
n 1
Тестовые задания (необходимо подчеркнуть правильные ответы)
Указания. Все задания имеют 5 вариантов ответов, из которых правильный только один.
1.Выберите функцию, наиболее точно соответствующую графику.
1) y=2cos(x+/6)
2) y=2sin(x-/6)
3) y=2sin(x-/3)
4) y=2cos(x-/6)
5) y=2sin(x+/6)
2.Известно, что уравнение Ф(x)=0 имеет единственный корень x=6. Тогда корень уравнения Ф(15-3x)=0
равен…
1)–3
2) 6
3) –5
4) 0
5) 3
3. lim ( x  tg3 x )ctg2 x = …
x 0
1) –4
2) –1
3) 0

4) –3/2

d
ln 2 ( x 3  x ) .
dx
2(3x 2  1) ln( x 3  x )
1)
x3  x
4.Вычислить
3) 2ln(x3+x)
2)
2 ln( x 3  x )
x3  x
4) 2(3x2+1)ln(x3+x)
ln ( x  x )
3
3
5)
5) 3/2
3
Студент
(подпись)
4.4 Примерные фонды оценочных средств для входного контроля
По разделу – «Математический анализ»
Тесты
1. Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [a,b] одновременно
выполняются три условия: y>0, y   0 , y   0 .
1) только I
2) только II
3) только I и IV
4) только III
5) только II и IV
2. U=sin(x+2y2-z), то значение U z в точке М(/2;0;0) равно …
1)
3 /2
3) –1/2
2) 0
4)
2 /2
5) 1
3. Если z=2x2-3xy+y2-5, то градиент z в точке А(1;2) равен …
1) i  2 j
2)  2i  j
4) –1
5)
4.. 
3) 2i  j
5
x4 x
dx = …
x 1
x4 x3

 x2 C
4
3
4
x
x3 x2


C
3)
4
3
2
x4 x3 x2


C
5)
4
3
2
1)
5.Интеграл
dx
 5x  x
2
x4 x3 x2


C
4
3
2
x4 x3

 x2 C
4)
4
3
2)
можно представить в виде суммы интегралов …
dx
dx

x
5x
dx
dx

3)  
5x
x 5
dx
dx

5) 
x
5x
1)

dx
dx
2)
 5x   5(5  x )
4)
 5x   x
dx
dx
2
6. Какой из следующих интегралов представляет площадь заштрихованной части фигуры,
изображенной на чертеже?
2
 [(x
1)
 5 )  (1  x )]dx
2
3
0
 [(1  x )  ( x
2)
2
 5 )]dx
2
 5 )]dx
3
4
 [(1  x )  ( x
3)
5
3
4) 2  [( x  2 )  ( 4  x 2 )]dx
0
3
 [(4  x
5)
2
)  (  x  2 )]dx
2
7. Частное решение дифференциального уравнения x y  
1) ln x
4) lnx
2) 3lnx-2
5) ln2x
y
при y(e)=1 имеет вид…
ln x
3) ln(lnx)+1
8. Если одним из частных решений дифференциального уравнения y   6 y   24 является
функция y*=4x, то общее решение данного уравнения имеет вид…
1) С1+С2e6x+x
4) C1-C2ex+4x
2) C1+C2e6x-4x
5) C1+C2e6x-24x
3) C1+C2e6x+4x
9. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
 f ( x , y )dxdy
D
изображенной на чертеже.
1)
2)
3)
6
6 y
0
y
 dy
 f ( x , y )dx
6
3
0
0
3
6
0
0
 dy  f ( x , y )dx
 dx  f ( x , y )dy
по области D,
4)
5)
3
x
0
0
3
6 x
0
x
 dx  f ( x , y )dy
 dx  f ( x , y )dy
10. Укажите, какие из рядов сходятся:


3
ln n
I) 
II) 
n 1 n n
n 1 3  2 n
1) только III
4) только I
2) только I и III
5) только I и II

III)
n
3)
3
 1,5
n
только
II
и
III
11. Коэффициент а5 разложения функции f(x)=x3+3x2+x-1 в ряд Тейлора в окрестности
точки x=2 равен…
1) 2
2) 1
3) –1
4) 0
5) 3
Лист входного контроля
Ф.И.О студента______________________________________________________________
Группа________________________________________________________________
По разделу – «Теория вероятностей и математическая статистика»
- ;
Дата проведения контроля
г.
Контрольное задание
1. В турнире участвуют 16 шахматистов.
Сколько партий состоится, если любые
два должны сыгрануть одну партию?
«
« _______________20____
Краткое содержание ответа
2 . Буквы Т, Е, И, Я, Р, и О
раскладываются в произвольном
порядке. Каковы вероятности получения
слов ТЕОРИЯ, ТОР? Какова
вероятность получения слова АНАНАС
из 3-х А, 2-н, и одного С.
3. Найти математическое ожидание
случайной величины Z=8X-5Y+7, если
М(Х)=3, М(У)=2.
Тестовые задания (необходимо подчеркнуть правильные ответы)
Указания: Все задания имеют 5 вариантов ответа, из которых правильный только один.
1. В ящике 5 новых и 6 старых инструментов. Рабочему сразу выдали 2 инструмента.
Вероятность того, что оба выданных инструмента старые, равна…
1) 6/11
2) 3/11
3) 5/11
4) 1
5) 2/11
2. Различные элементы электрической цепи работают независимо друг от друга
Вероятности безотказной работы элементов за время Т следующая: P(A1)=0.6,
P(A2)=0.8, P(A3)=0.7. Тогда вероятность безотказной работы системы за время Т
равна…
1) 0.742
2) 0.821
3) 0.426
4) 0.844
5) 0.324

1
3. Если случайная величина X задана плотностью распределения f ( x ) 
e
3 2
M(2X+1) равно…
( x 2 )2
18
1) 1 2) 2
3) 5
4) 0
5) 3
4. Даны 2 случайные величины X и Y
X
0
1
2
1
i
i
P
.2
0
0
.3
0
.1
0
.4
Y
0
1
2
P
.3
0
0
0
i
i
.3
.4
Тогда M(2X+Y)=…
1) 1.8
2) 2.9
3) 3.6
4) 2.5
5) 3.8
5. Случайная величина  по показательному закону с параметром . По результатам
наблюдаемых значений: 15, 5, 25, 5, 35 этой случайной величины оценить параметр
распределения .
1) 5/16
2) 3/25
3) 1/5
4) 2/15
5) 1/17
, то
Студент
(подпись)
4.5 Примерные фонды оценочных средств для входного контроля
По разделу – «Теория вероятностей и математическая статистика»
Указания. Все задания имеют 5 вариантов ответов, из которых правильный только один.
1.В ящике 5 новых и 6 старых инструментов. Рабочему сразу выдали 3 инструмента.
Вероятность того, что рабочему выдали только новые инструменты, равна…
1) 8/11
2) 3/11
3) 5/11
4) 4/33
5) 2/33
2.Различные элементы электрической цепи работают независимо друг от друга.
Вероятности безотказной работы элементов за время Т следующие: P(A1)=0.6, P(A2)=0.8,
P(A3)=0.7. Тогда вероятность безотказной работы системы за время Т равна… 1) 0,5
2)
0,893 3) 0,588
4) 0,644
5) 0,485
3.Если график функции распределения случайной величины X имеет вид
то М(2X+3)=…
1) 3/2
2) 1/3
3) 6
4) 0
5) 3
4.Даны 2 случайные величины X и Y
X
-
i
0
P
i
0
1
.2
1
0
.4
0
.4
Y
0
i
1
0
P
0
,3
i
2
3
0
.2
.1
0
.4
Тогда M(Y-X) равно
1) –1,8
2) 1,8
3) 1,4
4) 3
5) –1,4
5.По данным измерений двух переменных
X
9
1
0
i
Y
6
1
5
7
3
2
4
i
Найти выборочный коэффициент корреляции.
1) 0,795
2) 0,936
3) 0,806
4) 0,593
5) 0,681
Раздел 5. Тематические планы курса
5.1.Тематический план курса для студентов очной формы обучения
Раздел - Линейная алгебра, Математический анализ
№
Раздел, темы
Всего
Тема №1. Векторы и действия
над ними. Скалярное
произведение векторов.
Тема №2. Уравнение прямой на
плоскости. Уравнение
плоскости в пространстве.
Уравнение прямой в
пространстве
Тема №3. Комплексные числа и
многочлены. Уравнения
кривых второго порядка
Тема №4. Матрицы. Операции
над матрицами. Элементарные
преобразования. Приведение к
ступенчатому виду. Ранг
матрицы. Решение систем
линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса.
Тема №5. Определители и их
свойства. Определитель
матрицы. Обратная матрица
Тема №6. Собственные
векторы, собственные значения
матрицы. N-мерные линейные
векторные пространства. Базис
Тема №7. Прямые и плоскости
в R N . Выпуклые множества в
R N и их свойства. Понятие
квадратичной формы.
Поверхности второго порядка
Тема №8. Множества.
9
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Количество часов
Аудиторных часов
Всего
Лекции Практ. . в
актив.и
интер форм
5
4
1
Сам. работа
4
9
5
4
1
4
8
3
2
1
5
10
3
2
1
7
10
4
2
2*
6
11
4
2
2*
7
10
4
2
2*
6
4
4
2
2
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Операции над множествами.
Функции. Способы задания
функции. График.
Элементарные функции.
Предел последовательности.
Предел функции. Непрерывные
функции и их свойства. Точки
разрыва и их классификация.
Тема №9. Производная
функции. Правила
дифференцирования. Основные
свойства дифференцируемых
функций. Производные
основных элементарных
функций. Производная
сложной функции.
Тема №10. Производные
высших порядков.
Дифференциал функции.
Раскрытие неопределенностей.
Тема №11. Асимптоты графика.
Исследование функции на
монотонность и экстремумы.
Исследование графика функции
на выпуклость, вогнутость,
наличие точек перегиба.
Тема №12. Исследование
экономических моделей.
Тема №13. Первообразная.
Неопределенный интеграл и
его свойства. Таблица
основных интегралов.
Тема №14. Методы
интегрирования: табличный,
подведение под знак
дифференциала, замена
переменной, по частям
Тема №15. Определенный
интеграл. Свойства,
геометрический смысл.
Формула Ньютона-Лейбница.
Интегрирование с помощью
замены переменной, по частям.
Несобственные интегралы.
Вычисление площадей.
Тема №16. Понятие числового
ряда. Необходимый признак
сходимости. Свойства
сходящихся рядов. Ряды с
положительными членами:
предельный признак сравнения,
признак Даламбера.
Тема №17. Знакочередующиеся
ряды: признак Лейбница.
Знакопеременные ряды:
абсолютная и условная
сходимость. Степенные ряды:
область сходимости, свойства
сходящихся рядов.
3
2
2*
4
4
3
1
4
4
4
1
1
3
4
1
1*
3
5
4
2
2*
1
5
4
2
2*
1
4
1
1*
3
2
2*
1
2
1
2
2
18.
19.
20.
21.
22.
23.
Тема №18. Ряды Тейлора и
Маклорена. Основные
разложения. Алгоритм
разложения функции в ряд
Тейлора. Применение
степенных рядов.
Тема №19. Определение
функции нескольких
переменных. Предел функции.
Непрерывность. График
функции двух переменных.
Тема №20. Частные
производные. Производная
сложной функции.
Дифференциал. Производные
высших порядков
Тема №21. Экстремум функции
нескольких переменных.
Необходимое условие
экстремума. Достаточное
условие экстремума функции
двух переменных. Наибольшее
и наименьшее значение
функции в замкнутой области.
Тема №22. Понятие решения,
общего решения, начальной
задачи, краевой задачи.
Уравнения с разделяющимися
переменными, линейные
дифференциальные уравнения
первого порядка.
Тема №23. Линейные
дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами: метод
неопределенных
коэффициентов для
специальной правой части.
Экзамен
Итого
5
4
4
1
5
4
4
1
5
4
5
4
45
180
2
2*
1
1*
3
2
1
1*
3
2
2*
1
2
2
1
2
72
36
36/22
63
*-занятия проводятся в активной и интерактивной форме
Раздел-Теория вероятностей и математическая статистика, элементы экономикоматематических моделей
№
п/п
1.
2.
Раздел, темы
Тема №1 Предмет теории вероятностей.
Полная группа равновозможных
событий. Классическое определение
вероятности. Основные формулы
комбинаторики.
Тема №2. Геометрическая вероятность.
Теорема сложения вероятностей
Всего
4
5
Количество часов
Аудиторных часов
Сам. работа
Всег Лекц Практ. . в
о
ии
актив.и
интер
форм
2
2
2
2
2
3
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
событий. Зависимые и независимые
события.
Тема №3. Условная вероятность.
Теорема умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формула
Байеса.
Тема №4. Повторные
4
испытания.
Формула Бернулли. Локальная и
интегральная теоремы Лапласа.
Тема №5. Виды случайных величин.
Дискретная случайная величина.
Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона.
Тема №6 Числовые характеристики
дискретной случайной величины.
Математическое ожидание, дисперсия,
среднее квадратичное отклонение.
Тема №7 Закон больших чисел.
Неравенство Чебышева. Центральная
предельная теорема.
Тема №8. Функция распределения
вероятностей и плотность распределения
вероятностей непрерывной случайной
величины. Числовые характеристики
непрерывной случайной величины.
Тема №9. Нормальное распределение
вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые
характеристики нормального
распределения.
Тема №10. Типичные законы
распределения вероятностей.
Показательное распределение.
Равномерное распределение. Их
числовые характеристики.
Тема №11. Система двух непрерывных
случайных величин, ее числовые
характеристики.
Тема №12. Выборочный метод. Полигон
и гистограмма. Эмпирическая функция
распределения.
Тема №13. Статистические оценки
параметров распределения.
Доверительная вероятность и
доверительный интервал.
Тема №14. Методы расчета сводных
характеристик выборки. Построение
нормальной кривой по опытным данным.
Элементы теории корреляции и
регрессионного анализа.
Тема №15. Статистическая проверка
статистических гипотез. Область
принятия гипотезы. Цепи Маркова и их
применение.
Тема №16. Предмет математического
программирования. Основные методы
математического программирования.
Тема №17. Классические методы
одномерной оптимизации. Функции
спроса и предложения. Функция
4
3
4
2
5
3
4
1
5
3
4
2
5
4
4
1
5
4
4
2
7
6
5
3
1
2
2
1
2
1
3
1
2
2
2
2*
1
1*
3
2*
1
2*
2
2
4
1
3
1
2*
2
5
2
1
1
3
6
3
2
1
3
6
4
2
2*
2
2
2
2
2
полезности. Кривые безразличия.
Тема №18. Симплекс-метод решения
задач линейного программирования.
Экономическая интерпретация
элементов симплексной таблицы
19.
Тема №19. Двойственность в линейном
программировании. Экономическая
интерпретация пары двойственных
задач.
20.
Тема №20. Транспортные задачи.
Экономическая и математическая
формулировки транспортной задачи.
21.
Тема №21. Целочисленное
программирование. Постановка задачи о
коммивояжере.
22.
Тема №22. Нелинейное
программирование. Градиентные методы
безусловной оптимизации. Выпуклое
программирование.
23.
Тема №23. Динамическое
программирование. Рекуррентные
уравнения Беллмана.
24.
Тема №24. Сетевое планирование. Сеть
проекта.
25.
Тема №25. Теория игр – теория
математических моделей принятия
оптимальных решений в условиях
конфликта и неопределенности.
Экзамен
Итого
18.
6
4
2
2*
2
6
3
2
1
3
6
3
2
1*
3
6
3
2
1*
3
7
3
2
1*
4
7
3
1
2*
4
8
3
1
2*
5
7
3
1
2*
4
45
180
72
36
36/22
63
*-занятия проводятся в активной и интерактивной форме
5.2.Тематический план курса для студентов очно-заочной формы обучения
Линейная алгебра, Математический анализ, Теория вероятностей и
математическая статистика, Элементы экономико-математических моделей
№
Раздел, темы
Всего
п/п
1.
2.
3.
4.
Тема №1. Векторы и действия над ними.
Скалярное произведение векторов.
Тема №2. Уравнение прямой на
плоскости. Уравнение плоскости в
пространстве. Уравнение прямой в
пространстве
Тема №3. Комплексные числа и
многочлены. Уравнения кривых второго
порядка
Тема №4. Матрицы. Операции над
матрицами. Элементарные
преобразования. Приведение к
ступенчатому виду. Ранг матрицы.
11
Количество часов
Аудиторных часов
Всег Лекции Практ. . в
о
актив.и
интер форм
1
1
11
3
1
11
1
1
11
3
1
2*
Сам. работа
10
8
10
2*
8
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Решение систем линейных
алгебраических уравнений методом
Гаусса.
Тема №5. Определители и их свойства.
Определитель матрицы. Обратная
матрица
Тема №6. Собственные векторы,
собственные значения матрицы. Nмерные линейные векторные
пространства. Базис
Тема №7. Прямые и плоскости в R N .
Выпуклые множества в R N и их
свойства. Понятие квадратичной формы.
Поверхности второго порядка
Тема №8. Множества. Операции над
множествами. Функции. Способы
задания функции. График. Элементарные
функции. Предел последовательности.
Предел функции. Непрерывные функции
и их свойства. Точки разрыва и их
классификация.
Тема №9. Производная функции.
Правила дифференцирования. Основные
свойства дифференцируемых функций.
Производные основных элементарных
функций. Производная сложной
функции.
Тема №10. Производные высших
порядков. Дифференциал функции.
Раскрытие неопределенностей.
Тема №11. Асимптоты графика.
Исследование функции на монотонность
и экстремумы. Исследование графика
функции на выпуклость, вогнутость,
наличие точек перегиба.
Тема №12. Исследование экономических
моделей.
Тема №13. Первообразная.
Неопределенный интеграл и его
свойства. Таблица основных интегралов.
Тема №14. Методы интегрирования:
табличный, подведение под знак
дифференциала, замена переменной, по
частям
Тема №15. Определенный интеграл.
Свойства, геометрический смысл.
Формула Ньютона-Лейбница.
Интегрирование с помощью замены
переменной, по частям. Несобственные
интегралы. Вычисление площадей.
Тема №16. Понятие числового ряда.
Необходимый признак сходимости.
Свойства сходящихся рядов. Ряды с
положительными членами: предельный
признак сравнения, признак Даламбера.
Тема №17. Знакочередующиеся ряды:
признак Лейбница. Знакопеременные
ряды: абсолютная и условная
11
3
1
13
2
2
11
11
2
2
9
5
3
1
4
2
6
3
4
2
6
1
1
1
4
6
4
8
2*
2
2*
2
2*
3
2
4
5
4
2
2
4
6
2*
4
4
2
2
4
4
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
сходимость. Степенные ряды: область
сходимости, свойства сходящихся рядов.
Тема №18. Ряды Тейлора и Маклорена.
Основные разложения. Алгоритм
разложения функции в ряд Тейлора.
Применение степенных рядов.
Тема №19. Определение функции
нескольких переменных. Предел
функции. Непрерывность. График
функции двух переменных.
Тема №20. Частные производные.
Производная сложной функции.
Дифференциал. Производные высших
порядков
Тема №21. Экстремум функции
нескольких переменных. Необходимое
условие экстремума. Достаточное
условие экстремума функции двух
переменных. Наибольшее и наименьшее
значение функции в замкнутой области.
Тема №22. Понятие решения, общего
решения, начальной задачи, краевой
задачи. Уравнения с разделяющимися
переменными, линейные
дифференциальные уравнения первого
порядка.
Тема №23. Линейные
дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными
коэффициентами: метод неопределенных
коэффициентов для специальной правой
части.
Тема №24. Предмет теории
вероятностей. Полная группа
равновозможных событий. Классическое
определение вероятности. Основные
формулы комбинаторики.
Тема №25. Геометрическая вероятность.
Теорема сложения вероятностей
событий. Зависимые и независимые
события.
Тема №26. Условная вероятность.
Теорема умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формула
Байеса.
Тема №27. Повторные испытания.
Формула Бернулли. Локальная и
интегральная теоремы Лапласа.
Тема №28. Виды случайных величин.
Дискретная случайная величина.
Биномиальное распределение.
Распределение Пуассона.
Тема №29. Числовые характеристики
дискретной случайной величины.
Математическое ожидание, дисперсия,
среднее квадратичное отклонение.
Тема №30. Закон больших чисел.
Неравенство Чебышева. Центральная
предельная теорема.
6
1
1
5
4
6
4
1
1
4
4
4
6
1
1
5
6
1
1
5
6
1
1
5
4
4
6
1
8
4
6
1
1
4
1
4
6
5
4
5
4
1
1
5
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
Тема №31. Функция распределения
вероятностей и плотность распределения
вероятностей непрерывной случайной
величины. Числовые характеристики
непрерывной случайной величины.
Тема №32. Нормальное распределение
вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые
характеристики нормального
распределения.
Тема №33. Типичные законы
распределения вероятностей.
Показательное распределение.
Равномерное распределение. Их
числовые характеристики.
Тема №34. Система двух непрерывных
случайных величин, ее числовые
характеристики.
Тема №35. Выборочный метод. Полигон
и гистограмма. Эмпирическая функция
распределения.
Тема №36. Статистические оценки
параметров распределения.
Доверительная вероятность и
доверительный интервал.
Тема №37. Методы расчета сводных
характеристик выборки. Построение
нормальной кривой по опытным данным.
Элементы теории корреляции и
регрессионного анализа.
Тема №38. Статистическая проверка
статистических гипотез. Область
принятия гипотезы. Цепи Маркова и их
применение.
Тема №39. Предмет математического
программирования. Основные методы
математического программирования.
Тема №40. Классические методы
одномерной оптимизации. Функции
спроса и предложения. Функция
полезности. Кривые безразличия.
Тема №41. Симплекс-метод решения
задач линейного программирования.
Экономическая интерпретация
элементов симплексной таблицы
Тема №42. Двойственность в линейном
программировании. Экономическая
интерпретация пары двойственных
задач.
Тема №43. Транспортные задачи.
Экономическая и математическая
формулировки транспортной задачи.
Тема №44. Целочисленное
программирование. Постановка задачи о
коммивояжере.
Тема №45. Нелинейное
программирование. Градиентные методы
безусловной оптимизации. Выпуклое
программирование.
Тема №46. Динамическое
6
6
6
1
1
5
4
6
4
1
1
5
2
2
7
1
7
6
7
1
1
6
6*
1
1
5
6
4
4*
2
6
4
4
2
8
2
2*
6
8
3
1
2
5
8
1
1
7
8
2
2
6
8
1
1
7
9
1
1
8
47.
48.
программирование. Рекуррентные
уравнения Беллмана.
Тема №47. Сетевое планирование. Сеть
проекта.
Тема №48. Теория игр – теория
математических моделей принятия
оптимальных решений в условиях
конфликта и неопределенности.
Экзамен
Итого
9
1
1
8
9
1
1
8
72
36
36
360
36/24
252
*-занятия проводятся в активной и интерактивной форме
5.3.Тематический план курса для студентов заочной формы обучения
Линейная алгебра, Математический анализ, Теория вероятностей и математическая
статистика, Элементы экономико-математических моделей
№
Раздел, темы
Всего
Тема №1. Векторы и действия
над ними. Скалярное
произведение векторов.
Тема №2. Уравнение прямой на
плоскости. Уравнение
плоскости в пространстве.
Уравнение прямой в
пространстве
Тема №3. Комплексные числа и
многочлены. Уравнения кривых
второго порядка
Тема №4. Матрицы. Операции
над матрицами. Элементарные
преобразования. Приведение к
ступенчатому виду. Ранг
матрицы. Решение систем
линейных алгебраических
уравнений методом Гаусса.
Тема №5. Определители и их
свойства. Определитель
матрицы. Обратная матрица
Тема №6. Собственные векторы,
собственные значения матрицы.
N-мерные линейные векторные
пространства. Базис
Тема №7. Прямые и плоскости в
R N . Выпуклые множества в R N
и их свойства. Понятие
квадратичной формы.
Поверхности второго порядка
12
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Количество часов
Аудиторных часов
Всего
Лекции
Практ. . в
актив.и
интер
форм
2
1
1*
12
1
11
2
1
Сам. работа
10
1*
11
1
9
12
12
13
13
14
13
3
1
2*
11
13
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Тема №8. Множества.
Операции над множествами.
Функции. Способы задания
функции. График.
Элементарные функции. Предел
последовательности. Предел
функции. Непрерывные
функции и их свойства. Точки
разрыва и их классификация.
Тема №9. Производная
функции. Правила
дифференцирования. Основные
свойства дифференцируемых
функций. Производные
основных элементарных
функций. Производная сложной
функции.
Тема №10. Производные
высших порядков.
Дифференциал функции.
Раскрытие неопределенностей.
Тема №11. Асимптоты графика.
Исследование функции на
монотонность и экстремумы.
Исследование графика функции
на выпуклость, вогнутость,
наличие точек перегиба.
Тема №12. Исследование
экономических моделей.
Тема №13. Первообразная.
Неопределенный интеграл и его
свойства. Таблица основных
интегралов.
Тема №14. Методы
интегрирования: табличный,
подведение под знак
дифференциала, замена
переменной, по частям
Тема №15. Определенный
интеграл. Свойства,
геометрический смысл.
Формула Ньютона-Лейбница.
Интегрирование с помощью
замены переменной, по частям.
Несобственные интегралы.
Вычисление площадей.
Тема №16. Понятие числового
ряда. Необходимый признак
сходимости. Свойства
сходящихся рядов. Ряды с
положительными членами:
предельный признак сравнения,
признак Даламбера.
Тема №17. Знакочередующиеся
ряды: признак Лейбница.
Знакопеременные ряды:
абсолютная и условная
сходимость. Степенные ряды:
область сходимости, свойства
6
1
1
5
5
1
1
4
6
6
5
5
5
1
1
4
6
1
1*
5
6
1
1
5
6
1
1
5
5
6
5
1
1
5
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
сходящихся рядов.
Тема №18. Ряды Тейлора и
Маклорена. Основные
разложения. Алгоритм
разложения функции в ряд
Тейлора. Применение
степенных рядов.
Тема №19. Определение
функции нескольких
переменных. Предел функции.
Непрерывность. График
функции двух переменных.
Тема №20. Частные
производные. Производная
сложной функции.
Дифференциал. Производные
высших порядков
Тема №21. Экстремум функции
нескольких переменных.
Необходимое условие
экстремума. Достаточное
условие экстремума функции
двух переменных. Наибольшее
и наименьшее значение
функции в замкнутой области.
Тема №22. Понятие решения,
общего решения, начальной
задачи, краевой задачи.
Уравнения с разделяющимися
переменными, линейные
дифференциальные уравнения
первого порядка.
Тема №23. Линейные
дифференциальные уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами: метод
неопределенных коэффициентов
для специальной правой части.
Тема №24. Предмет теории
вероятностей. Полная группа
равновозможных событий.
Классическое определение
вероятности. Основные
формулы комбинаторики.
Тема №25. Геометрическая
вероятность. Теорема сложения
вероятностей событий.
Зависимые и независимые
события.
Тема №26. Условная
вероятность. Теорема
умножения вероятностей.
Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Тема №27. Повторные
испытания. Формула Бернулли.
Локальная и интегральная
теоремы Лапласа.
Тема №28. Виды случайных
6
6
5
5
5
5
5
5
6
6
5
5
6
1
1
5
5
1
1
4
6
6
5
5
6
1
1*
5
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
величин. Дискретная случайная
величина. Биномиальное
распределение. Распределение
Пуассона.
Тема №29. Числовые
характеристики дискретной
случайной величины.
Математическое ожидание,
дисперсия, среднее
квадратичное отклонение.
Тема №30. Закон больших
чисел. Неравенство Чебышева.
Центральная предельная
теорема.
Тема №31. Функция
распределения вероятностей и
плотность распределения
вероятностей непрерывной
случайной величины. Числовые
характеристики непрерывной
случайной величины.
Тема №32. Нормальное
распределение вероятностей.
Кривые Гаусса. Числовые
характеристики нормального
распределения.
Тема №33. Типичные законы
распределения вероятностей.
Показательное распределение.
Равномерное распределение. Их
числовые характеристики.
Тема №34. Система двух
непрерывных случайных
величин, ее числовые
характеристики.
Тема №35. Выборочный метод.
Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция
распределения.
Тема №36. Статистические
оценки параметров
распределения. Доверительная
вероятность и доверительный
интервал.
Тема №37. Методы расчета
сводных характеристик
выборки. Построение
нормальной кривой по
опытным данным. Элементы
теории корреляции и
регрессионного анализа.
Тема №38. Статистическая
проверка статистических
гипотез. Область принятия
гипотезы. Цепи Маркова и их
применение.
Тема №39. Предмет
математического
программирования. Основные
9
5
5
5
5
6
6
5
5
7
1
1
6
6
1
1
5
6
1
1
5
6
6
8
8
6
6
1
1
8
методы математического
программирования.
40. Тема №40. Классические
методы одномерной
оптимизации. Функции спроса и
предложения. Функция
полезности. Кривые
безразличия.
41. Тема №41. Симплекс-метод
решения задач линейного
программирования.
Экономическая интерпретация
элементов симплексной
таблицы
42. Тема №42. Двойственность в
линейном программировании.
Экономическая интерпретация
пары двойственных задач.
43. Тема №43. Транспортные
задачи. Экономическая и
математическая формулировки
транспортной задачи.
44. Тема №44. Целочисленное
программирование. Постановка
задачи о коммивояжере.
45. Тема №45. Нелинейное
программирование.
Градиентные методы
безусловной оптимизации.
Выпуклое программирование.
46. Тема №46 Динамическое
программирование.
Рекуррентные уравнения
Беллмана.
47. Тема №47. Сетевое
планирование. Сеть проекта.
48. Тема №48. Теория игр – теория
математических моделей
принятия оптимальных решений
в условиях конфликта и
неопределенности.
Экзамен
Итого
9
9
8
8
9
9
9
2
1
1*
7
9
2
1
1
7
8
2
2
6
9
2
1*
7
1
8
8
10
10
9
360
30
14
*-занятия проводятся в активной и интерактивной форме
16/8
321
Раздел 6. Рабочая программа учебной дисциплины.
По разделу «Линейная алгебра»
Тема №1. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.
Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Понятия
связанного и свободного вектора. Линейные операции над векторами: сложение векторов,
умножение вектора на число. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в
координатах. Проекция вектора на ось, основные свойства проекций. Скалярное
произведение векторов, свойства скалярного произведения, скалярное произведение
векторов, заданных координатами. Косинус угла между векторами, направляющие
косинусы.
Литература: [1], Т.1, С.5-10; [1], Т.1, С.14-24;
Тема №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве
Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение
прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие
параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное
уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух
плоскостей. Условие параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве.
Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Общие уравнения прямой. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с
плоскостью.
Литература: [1], Т.1, С.31-45;
Тема №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения кривых второго порядка
Комплексные числа и действия над ними: сложение, умножение, деление.
Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа. Преобразование
координат на плоскости: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение. Кривые
второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка.
Канонические уравнения кривых второго порядка.
Литература: [1], Т.1, С.184-189; [1], Т.1, С.46-63;
Тема №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные преобразования.
Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных
алгебраических уравнений методом Гаусса
Матрицы: терминология и обозначения. Операции над матрицами: сложение, умножение
матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Элементарные
преобразования матрицы. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому
виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом
Гаусса.
Литература: [1], Т.1, С.75-90;
Тема №5. Определители и их свойства. Определитель матрицы. Обратная матрица.
Определители и их свойства: линейность, антисимметричность, транспонирование
определителя, определитель произведения квадратных матриц. Вычисление определителя.
Обратная матрица. Метод Жордана. Способ построения обратной матрицы. Вычисление
ранга матрицы через определитель.
Литература: [1], Т.1, С.90-110;
Тема №6. Собственные векторы, собственные значения матрицы. N-мерные линейные
векторные пространства. Базис
N-мерные линейные векторные пространства: определение линейного пространства,
простейшие свойства, примеры. Линейные подпространства. Свойства линейного
подпространства, сумма и пересечение линейных подпространств, свойства пересечения и
суммы линейных подпространств, линейная оболочка. Линейная зависимость. Базис,
размерность. Замена базиса. Евклидовы пространства. Собственные векторы, собственные
значения матрицы.
Литература: [1], Т.1, С.121-133, [1], Т.1, С.150-158;
Тема №7. Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества в R N и их свойства. Понятие
квадратичной формы. Поверхности
Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества в R N и их свойства. Понятие
квадратичной формы. Критерий знакоположительности квадратной формы. Поверхности
второго порядка. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности. Конические
поверхности. Эллипсоид. Гиперболоиды. Эллиптический параболоид. Гиперболический
параболоид. Цилиндры и конус второго порядка.
Литература: [1], Т.1, С.162-167;
По разделу «Математический анализ»
Тема №1. Множества. Операции над множествами. Функции. Способы задания функции.
График. Элементарные функции. Предел последовательности. Предел функции.
Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация.
Множества. Числовая ось. Простейшие множества чисел. Операции над множествами.
Числовая последовательность и ее предел. Арифметические операции над сходящимися
последовательностями. Монотонные последовательности. Число e. Функция. Способы
задания функции. График. Элементарные функции. Предел функции в точке. Теоремы о
пределах. Предел функции в бесконечности. Замечательные пределы. Непрерывные
функции и их свойства. Операции над непрерывными функциями. Точки разрыва и их
классификация.
Литература: [4], Т.1, С.168-183; [4], Т.1, С.192-200; [3], Т.1, С.28-40; [4], Т.1, С.211-218;
[12], Т.1, С.149-164
Тема №2. Производная функции. Правила дифференцирования. Основные свойства
дифференцируемых функций. Производные основных элементарных функций.
Производная сложной функции.
Производная функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и
нормали к кривой. Производная с точки зрения механики. Дифференцируемость функции.
Основные свойства дифференцируемых функций. Дифференциал функции.
Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные основных
элементарных функций. Производная сложной функции. Понятие обратной функции.
Производная обратной функции.
Литература: [4], Т.1, С.232-249; [3], Т.1, С.121-140; [12], Т.1, С.165-175
Тема №3. Производные высших порядков. Дифференциал функции. Раскрытие
неопределенностей.
Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Производные
высших порядков суммы и произведения функций. Дифференциалы первого и высших
порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Раскрытие
неопределенностей.
Литература: [4], Т.1, С.253-258; [4], Т.1, С.269-273; [3], Т.1, С.148-155; [12], Т.1, С.176-181
Тема №4. Асимптоты графика. Исследование функции на монотонность и экстремумы.
Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба.
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия максимума и минимума. Исследование функции на
максимум и минимум при помощи второй производной. Наибольшее и наименьшее
значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба
кривой. Асимптоты графика функции. Схема построения графика функции. Исследование
функция на экстремум с помощью производных высшего порядка.
Литература: [4], Т.1, С.284-306; [3], Т.1, С.184-208; [12], Т.1, С.181-197
Тема №5. Исследование экономических моделей.
Основные экономические модели, основанные на понятии производной. Конкретные
примеры экономической одномерной оптимизации.
Литература: [22], С.104-125; [23], С.14-30
Тема №6. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных
интегралов.
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных
интегралов.
Литература: [4], Т.2, С.3-8; [3], Т.1, С.318-322; [12], Т.1, С.225-230
Тема №7. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала,
замена переменной, по частям
Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена
переменной, по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование
простейших дробей.
Литература: [4], Т.2, С.9-25; [3], Т.1, С.323-326; [3], Т.1, С.350-354; [12], Т.1, С.231-246
Тема №8. Определенный интеграл. Свойства, геометрический смысл. Формула НьютонаЛейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по частям. Несобственные
интегралы. Вычисление площадей.
Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Свойства, геометрический смысл определенного интеграла. Условия интегрируемости
функции. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной,
по частям. Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах. Несобственные
интегралы: интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от
неограниченных функций.
Литература: [4], Т.2, С.43-53; [4], Т.2, С.57-66; [4], Т.2, С.85-103; [3], Т.1, С.379-390; [12],
Т.1, С.260-264
Тема №9. Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства
сходящихся рядов. Ряды с положительными членами: предельный признак сравнения,
признак Даламбера.
Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов.
Ряды с положительными членами. Гармонический ряд, ряд Дирихле. Признак сравнения,
предельный признак сравнения. Признак Даламбера.
Литература: [3], Т.1, С.477-495; [12], Т.2, С.56-66
Тема №10. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Знакопеременные ряды:
абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область сходимости, свойства
сходящихся рядов.
Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Свойства
абсолютно и условно сходящихся рядов. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница.
Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Свойства
степенных рядов.
Литература: [3], Т.1, С.496-540; [12], Т.2, С.60-67
Тема №11. Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения. Алгоритм разложения
функции в ряд Тейлора. Применение степенных рядов.
Формула Тейлора. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости ряда Тейлора к
исходной функции. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.
Применение степенных рядов.
Литература: [4], Т.1, С.273-283; [3], Т.1, С.173-180; [3], Т.1, С.547-560; [12], Т.2, С.67-79
Тема №12. Определение функции нескольких переменных. Предел функции.
Непрерывность. График функции двух переменных.
Определение функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность функции нескольких переменных. График функции двух переменных.
Литература: [4], Т.2, С.106-113; [3], Т.1, С.247-265; [12], Т.1, С.208-209
Тема №13. Частные производные. Производная сложной функции. Дифференциал.
Производные высших порядков
Частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух
переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Производная
сложной функции. Полный дифференциал. Частные дифференциалы. Производные
высших порядков.
Литература: [4], Т.2, С.114-124; [3], Т.1, С.283-293; [4], Т.2, С.133-136; [12], Т.1, С.209-218
Тема №14. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие
экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и
наименьшее значение функции в замкнутой области.
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее
значение функции в замкнутой области.
Литература: [4], Т.2, С.139-145; [4], Т.2, С.149-152; [3], Т.2, С.16-25; [12], Т.1, С.221-225
Тема №15. Понятие решения, общего решения, начальной задачи, краевой задачи.
Уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения
первого порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие решения, общего решения,
начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка.
Литература: [4], Т.3, С.10-30; [12], Т.2, С.105-125
Тема №16. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной правой части
Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение
порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной
правой части.
Литература: [4], Т.3, С.35-55; [12], Т.2, С.126-145
По разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Тема №1. Предмет теории вероятностей. Полная группа равновозможных событий.
Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики.
Предмет теории вероятностей и ее значение для экономической науки. Испытания и
события. Виды случайных событий. Классическое и геометрическое определения
вероятности. Комбинаторика. Частота события, ее свойства, статистическая устойчивость
частоты. Аксиомы теории вероятностей. Простейшие следствия из аксиом.
Тема №2. Геометрическая вероятность. Теорема сложения вероятностей событий.
Зависимые и независимые события.
Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
Полная группа событий. Противоположные события. Принцип практической
невозможности маловероятных событий.
Тема №3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной
вероятности. Формула Байеса.
Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий. Вероятность
появления хотя бы одного события. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез,
формула Бейеса.
Тема №4. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы
Лапласа.
Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная
теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной
вероятности в независимых испытаниях.
Тема №5. Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное
распределение. Распределение Пуассона.
Виды случайных величин. Дискретная и непрерывные случайные величины. Закон
распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное
распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое
распределение. Гипергеометрическое распределение.
Тема №6. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое
ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Вероятностный смысл математического
ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых
испытаниях. Начальные и центральные теоретические моменты.
Тема №7. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная
теорема.
Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева. Значение теоремы
Чебышева для практики. Теорема Бернулли.
Тема №8. Функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей
непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной
величины.
Функция распределения вероятностей случайной величины: определение, свойства,
график. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
определение, свойства.
Тема №9. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые
характеристики нормального распределения.
Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики
нормального распределения. Правило трех сигм. Распределения «хи квадрат» и
Стьюдента.
Тема №10. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение.
Равномерное распределение. Их числовые характеристики.
Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение.
Равномерное распределение. Их числовые характеристики. Функция надежности.
Показательный закон надежности.
Тема №11. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики.
Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики. Свойства
функции распределения. Вероятность попадания случайной точки в произвольную
область. Коэффициент корреляции. Линейная регрессия.
Тема №12. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция
распределения.
Выборочный метод. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная
совокупности. Повторная и репрезентативная выборки. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения.
Тема №13. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная вероятность
и доверительный интервал.
Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и
состоятельные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Метод
наибольшего правдоподобия.
Тема №14. Методы расчета сводных характеристик выборки. Построение нормальной
кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа.
Методы расчета сводных характеристик выборки. Эмпирические моменты. Метод
произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии. Построение нормальной
кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Выборочные уравнения
регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Понятие о множественной корреляции.
Тема №15. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия гипотезы.
Цепи Маркова и их применение.
Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и
сложная гипотезы. Область принятия гипотезы. Понятие о критерии согласия. Критерий
согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова. Цепи Маркова и их применение.
Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода. Равенство
Маркова.
Литература: [1],; [2],
По разделу «Элементы экономико-математических моделей»
Тема №1. Предмет математического программирования. Основные методы
математического программирования.
Математическое программирование. Основные определения. Обзор основных методов.
Литература: [1,2],
Тема 2. Классические методы одномерной оптимизации. Функции спроса и предложения.
Функция полезности. Кривые безразличия.
Одномерная оптимизация. Методы, использующие производные. Методы, не
использующие производные. Метод Ньютона. Метод «золотого сечения». Метод
Фибоначчи. Функция спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия.
Литература [1,2],
Тема №3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Экономическая
интерпретация элементов симплексной таблицы
Симплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы.
Улучшение опорного решения. Определение ведущих столбца и строки. Выбор
начального допустимого базисного решения. Введение искусственных переменных.
Вырожденные задачи линейного программирования. Зацикливание и его предотвращение.
Литература: [1,2],сс
Тема №4. Двойственность в линейном программировании. Экономическая интерпретация
пары двойственных задач
Понятие двойственности. Двойственная задача к линейной задаче в стандартной форме.
Определение двойственности в общем случае. Теорема двойственности. Двойственные
переменные и теневые цены. Двойственные и исходно-двойственные алгоритмы.
Литература: [1,2],
Тема №5. Транспортные задачи. Экономическая и математическая формулировки
транспортной задачи.
Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи. Метод
потенциалов. Основные способы построения начального опорного решения.
Транспортные задачи с нарушенным балансом производства и потребления.
Транспортные задачи с дополнительными условиями.
Литература: [1,2],
Тема №6. Целочисленное программирование. Постановка задачи о коммивояжере.
Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры целочисленных
моделей. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори.
Метод ветвей и границ. Постановка задачи о коммивояжере. Понятие о приближенных
методах.
Литература: [1,2],
Тема №7. Нелинейное программирование. Градиентные методы безусловной
оптимизации. Выпуклое программирование.
Методы нелинейной многомерной оптимизации. Унимодальные функции. Методы
поиска. Общая задача нелинейного программирования. Градиентные методы безусловной
оптимизации. Выпуклое программирование. Метод штрафов. Теорема Куна-Таккера, ее
связь с теорией двойственности в линейном программировании.
Литература: [1,2],
Тема №8. Динамическое программирование. Рекуррентные уравнения Беллмана.
Динамическое программирование. Постановка задачи. Основные определения. Принцип
оптимальности. Рекуррентные уравнения Беллмана. Примеры решения задач
математического программирования методом Беллмана.
Литература: [1,2],
Тема №9. Сетевое планирование. Сеть проекта.
Сетевое планирование. Сеть проекта. Критический путь, время завершения проекта.
Резервы событий, резервы операций.
Литература: [1,2],
Тема №10. Теория игр – теория математических моделей принятия оптимальных решений
в условиях конфликта и неопределенности.
Игра как математическая модель конфликта. Основные понятия теории игр.
Классификация игр. Примеры бескоалиционных игр. Антагонистические игры.
Матричные игры. Смешанные стратегии. Графоаналитический метод решения игр.
Матричные игры и линейное программирование.
Литература: [1,2],
Раздел 7. Планы семинарских и практических занятий
7.1 Планы семинарских и практических занятий для студентов очной формы
обучения
Практическое занятие по теме №1 . Векторы и действия над ними. Скалярное
произведение векторов. 1 час
Цель занятия. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения: Прямоугольные декартовы координаты на
плоскости и в пространстве. Понятия связанного и свободного вектора. Линейные
операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число. Координаты и
компоненты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Проекция
вектора на ось, основные свойства проекций. Скалярное произведение векторов, свойства
скалярного произведения, скалярное произведение векторов, заданных координатами.
Косинус угла между векторами, направляющие косинусы.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу векторов и действий над ними и скалярного произведения
векторов.
С обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти скалярное произведение векторов a  (3,8) и и  (1,4) .
2. Найти угол между векторами a = (-1, 3) и b = (2, 7).
3. Выяснить ортогональность векторов a = (-2, 3) и b = (4, 1).
Практикум тесты 1.1-1.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.6-15
Практическое занятие по теме №2. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости
в пространстве. Уравнение прямой в пространстве 1 час
Цель занятия. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения
Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой
в пространстве
Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение
прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие
параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное
уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух
плоскостей. Условие параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве.
Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Общие уравнения прямой. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с
плоскостью.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу уравнения прямой на плоскости и уравнения плоскости в
пространстве с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных
задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,
Задания для самостоятельной работы.
1. Известны точка М(2, 5) на прямой m и направляющий вектор s  (1,3) этой прямой.
Найти каноническое уравнение прямой m.
2. Что можно сказать о взаимном расположении прямых x + 2y – 3 = 0 и 5x + 10y – 2 = 0?
3. Что можно сказать о взаимном расположении прямых 2x + 3y – 6 = 0 и 8x +12y +3 = 0?
Практикум тесты 1.6-1.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.6-15
Практическое занятие по теме №3. Комлексные числа и многочлены. Уравнения кривых
второго порядка. 1 час
Цель занятия. Уравнения кривых второго порядка
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Комплексные числа и действия над ними: сложение, умножение, деление.
Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа. Преобразование
координат на плоскости: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение. Кривые
второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка.
Канонические уравнения кривых второго порядка.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу многочленов и уравнениий кривых второго порядка
я с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3
Задания для самостоятельной работы.
Найти координаты центра и радиус окружности
1. х2 + у2+ \6y-9 =0
2. Определить вид и расположение кривой
х2+2;и2-4х + 16>; = 0
3. Составить уравнение параболы, проходящей через точки: а) (0; 0) и (—1; —3) симметрично
относительно оси Ох; б) (0; 0) и.(2; —4) симметрично относительно оси Оу.
Практикум тесты 2.1-2.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.26-33
Практическое занятие по теме №4. Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные
преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем
линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
1 час
Цель занятия. Операции над матрицами. Элементарные преобразования.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Матрицы: терминология и обозначения. Операции над матрицами: сложение, умножение
матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Элементарные
преобразования матрицы. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому
виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом
Гаусса.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу операции над матрицами: с обсуждением результатов со
студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК
№№ 1,2,3,4
Задания для самостоятельной работы.
2 5 7 
1. Для матрицы А = 

3 4 1 
найти матрицу 5А.
11 12 13 14


2.Транспонировать матрицу А = 15 4 6 19
3 7 8 9


1 2 3
3.Даны матрицы А = 
 иВ=
7 5 6
5 1 


9 3 . Найти произведения АВ, ВА.
8 7


Практикум тесты 2.6-2.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.81-90
Практическое занятие по теме №5 * Определители и их свойства. Определитель матрицы.
Обратная матрица. 2 часа
Цель занятия. Определители и их свойства Обратная матрица
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Определители и их свойства: линейность, антисимметричность, транспонирование
определителя, определитель произведения квадратных матриц. Вычисление определителя.
Обратная матрица. Метод Жордана. Способ построения обратной матрицы. Вычисление
ранга матрицы через определитель.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу операции над определителями с обсуждением
результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические
материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5
Задания для самостоятельной работы.
3 1 2
1. Вычислить определитель 4 6 7 .
5 8 9
 3 1 2
2. А = 4 6 7 . Найти миноры M11, M32 и M13.
5 8 9
3. Вычислить определитель
2
5
4
3
3
4
7
5
4 9 8 5
3 2 5 3
.
Найти обратную матрицу для матрицы
5 3
4.A = 

2 1
Практикум тесты 3.1-3.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
1], Т.1, С.76-80; [12], Т.1, С.101-110
Практическое занятие по теме №6.* Собственные векторы, собственные значения
матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис. 2 часа
Цель занятия. Собственные векторы, собственные значения матрицы
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
N-мерные линейные векторные пространства: определение линейного пространства,
простейшие свойства, примеры. Линейные подпространства. Свойства линейного
подпространства, сумма и пересечение линейных подпространств, свойства пересечения и
суммы линейных подпространств, линейная оболочка. Линейная зависимость. Базис,
размерность. Замена базиса. Евклидовы пространства. Собственные векторы, собственные
значения матрицы
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу операции над собственными векторами и собственными
значениями матриц. С обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти
собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
3 4


матрицей 5 2 .
2.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
2 1 
1 2.

матрицей 
3.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
 0 1 0
 4 4 0


 2 1 2
матрицей
Практикум тесты 3.6-3.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.115-125
Практическое занятие по теме №7.* Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества в
R N и их свойства. Понятие квадратичной формы. Поверхности. 2 часа
Цель занятия. Прямые и плоскости в R N .
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Прямые и плоскости в R N . Выпуклые множества в R N и их свойства. Понятие
квадратичной формы. Критерий знакоположительности квадратной формы
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу прямых и плоскости в R N . с обсуждением результатов
со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы
УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(1,3) и М2(4, 5).
2. Найти расстояние  (M 0 , m) от точки М0(2, 5) до прямой т, заданной уравнением
Зx + 7у - 2 = 0.
3. Известны точка М(2, 5) на прямой m и направляющий вектор s  (1,3) этой прямой.
Найти каноническое уравнение прямой m.
4. Найти длину вектора х = (5, 1, 2, 3).
Практикум тесты 4.1-4.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
Т.1, С.68-75
Практическое занятие по теме №8. Множества. Операции над множествами. Функции.
Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности.
Предел функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их
классификация. 2 часа
Цель занятия. Элементарные функции. Предел последовательности. Предел функции.
Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Множества. Числовая ось. Простейшие множества чисел. Операции над множествами.
Числовая последовательность и ее предел. Арифметические операции над сходящимися
последовательностями. Монотонные последовательности. Число e. Функция. Способы
задания функции. График. Элементарные функции. Предел функции в точке. Теоремы о
пределах. Предел функции в бесконечности. Замечательные пределы. Непрерывные
функции и их свойства. Операции над непрерывными функциями. Точки разрыва и их
классификация
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу: элементарных функций, предела последовательности, предела функции.
Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация; с обсуждением
результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические
материалы: разделы УМК №№ 1
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти интервалы монотонности функции у. = х3.
2. Исследовать на экстремум функцию у =х(х — I)3.
3. Доказать непрерывность функции у = cos x.
4. Выберите функцию, наиболее точно соответствующую графику.
1)
y  2 2 cos( x   / 4 )
2)
y  2 2 cos( x   / 4 )
3)
y  2 2 sin( x   / 4 )
4)
y  2 2 sin( x   / 4 )
y  2 2 sin( x  3 / 4 )
5. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих
точках: а) у = х2; б) у = л:3 +1;
6. Найти пределы:
2
а) lim x  2 ;
x9
б)


5x  9
lim 9 x  3 ;
x
в)
lim
x  7
x 2  9 x  14
;
x  17
x
 9
г) lim 1   .
x
x  
Практикум тесты 4.6-4.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.149-164
Практическое занятие по теме №.9* Производная функции. Правила дифференцирования.
Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных элементарных
функций. Производная сложной функции. 2 час
Цель занятия. Производная функции.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Производная функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и
нормали к кривой. Производная с точки зрения механики. Дифференцируемость функции.
Основные свойства дифференцируемых функций. Дифференциал функции.
Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные основных
элементарных функций. Производная сложной функции. Понятие обратной функции.
Производная обратной функции.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу производных функций, с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти производную функции у = х3.
2.Найти производную функци. у = sin(x2 + 2Х).
3.Найти производную функции у=х2- л/х3 .
4.Найти производную функций: а) у - хх;
Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [a,b] одновременно
выполняются 3 условия: y<0; y'>0; y"<0?
1) только IV
4) только I и IV
2) только I
5) только III
3) только I и II
Практикум тесты 5.1-5.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.165-175
Практическое занятие по теме №.10. Производные высших порядков. Дифференциал
функции. Раскрытие неопределенностей. 2 час
Цель занятия. Производные высших порядков
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Производные
высших порядков суммы и произведения функций. Дифференциалы первого и высших
порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Раскрытие
неопределенностей.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу производных высших порядков, с обсуждением результатов со студентами
при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти производную функции у, заданной уравнением х2 -ху + \пу= 2, и вычислить ее
значение в точке (2; 1).
2.Найти производные до л-го порядка включительно от функции у = In х.
3. Вычислить


d
tg 2 ( x 4  2 ) .
dx
1)
2tg( x 4  2)
cos2( x 4  2)
2)
8x 3tg( x 4  2)
cos2( x 4  2)
3)
4x 3
cos2( x 4  2)
4)
tg3( x 4  2)
3
5) 2tg(x4-2)
4.Найти производную функции. у = cos2 x + In tgПрактикум тесты 5.6-5.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.176-181
Практическое занятие по теме №.11. Асимптоты графика. Исследование функции на
монотонность и экстремумы. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость,
наличие точек перегиба. 1 час
Цель занятия. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек
перегиба
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия максимума и минимума. Исследование функции на
максимум и минимум при помощи второй производной. Наибольшее и наименьшее
значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба
кривой. Асимптоты графика функции. Схема построения графика функции. Исследование
функция на экстремум с помощью производных высшего порядка.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу, графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба.
с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти приращение и дифференциал функ
ции у = 2х2 -Зх при х = 10 и Ах = 0,1.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций: . у = Зх2 -6х на отрезке [0; 3].
3. Исследовать функции и построить их графики:
y=x*-Ux2+36x.
*3
у =(2 + х)е~х.
4.Если z=3x2+6xy+5x+2y2, тогда градиент z в точке А(-1;1) равен...
1) 5i  2 j
2) 2i  5 j
3)
5) 2i  5 j
Практикум тесты 6.1-6.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.181-197
29
4) 3
Практическое занятие по теме №.12. Исследование экономических моделей. 2 час
Цель занятия. Исследование экономических моделей.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Основные экономические модели, основанные на понятии производной. Конкретные
примеры экономической одномерной оптимизации.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу экономических моделей,; с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции у = х(х-1)3.
2. Капитал в 1 млрд. рублей может быть размещен
в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность
вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью.
Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство
является более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке?
Практикум тесты 6.6-6.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
: [22], С.104-125
Практическое занятие по теме №.13. Первообразная. Неопределенный интеграл и его
свойства. Таблица основных интегралов.1 час
Цель занятия. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица
основных интегралов.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных
интегралов.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу неопределенного интеграла и его свойств.,; с обсуждением результатов со
студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК
№№ 1,2,3,4,5
Задания для самостоятельной работы.
Найти интегралы:
1. ⌠Inxdx; б) ⌠(*3 +1)Inxdx.
2. Найти ⌠cos(3x + 2)dx.
3. Интеграл
1)
4.
5)
2
dx
dx

x
4( x  4)

3)
dx
 4x  x
dx
dx
 4x   x
dx
dx
2
 4 x   4( x  4 )
можно представить в виде суммы интегралов …
dx
dx
2)
 4x   x  4
4)
 4 x   4( x  4 )
dx
dx
6. Дана функция f(x) = 6 + 1. Найдите для нее первообразную, график cos23x
которой проходит через точку М (π/4; π/4).
7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1, x = 2, x = -1, y = 0.
8. Дана функция f(x) = 3 - 4
. Найдите для нее первообразную, график sin2 2x
которой проходит через точку М (π/4; 3π/4).
9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1, x = 1, x = 2, y = 0.
10. Дана функция f(x) = 2
- 3. Найдите для нее первообразную, график cos23x
которой проходит через точку М (π/4; π/4).
11. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x2 + 1, x = 2,
x = 3, y = 0.
12. Дана функция f(x) = 1 + 3
. Найдите для нее первообразную, график sin2 2x
которой проходит через точку М (π/4; 3π/4).
13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x2 - 1, x = 1, x = 3, y = 0.
Практикум тесты 7.1-7.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.225-230
Практическое занятие по теме №.14.* Методы интегрирования: табличный, подведение
под знак дифференциала, замена переменной, по частям. 1 час
Цель занятия. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак
дифференциала, замена переменной, по частям
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена
переменной, по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование
простейших дробей.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу методов интегрирования неопределенного интеграла .,; с обсуждением
результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические
материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6
Задания для самостоятельной работы.
Найти интегралы:
а)  3 / x 2  2 cos x dx;
б)  sin  x  9 dx;
3
в)  x dx.
2
Практикум тесты 7.6-7.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.231-246
Практическое занятие по теме №.15.* Определенный интеграл. Свойства, геометрический
смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по
частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей. 2 часа
Цель занятия. Определенный интеграл.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Свойства, геометрический смысл определенного интеграла. Условия интегрируемости
функции. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной,
по частям. Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах. Несобственные
интегралы: интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от
неограниченных функций.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу определенного интеграла .,; с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№
1,2,3,4,5,6,7
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти интеграл
3

x dx.
2
2. Какой из следующих интегралов представляет площадь заштрихованной части фигуры,
изображенной на чертеже?
3
1)
 ( x  (2 x  x
2
))dx
0
1
2)
 ( x  (2 x  x
2
)) dx
3
3
3)
 ( x  (2 x  x
2
)) dx
0
3
4)
 ((2 x  x
2
)  ( x))dx
0
1
5)
 ((2 x  x
2
)  x)dx
3
3.Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
 f ( x , y)dx dy
по области D,
D
изображенной на чертеже:
4
1)
 dx  f ( x , y)dy
0
4
2)
Практикум тесты 8.1-8.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.260-264
x 1
3
4)
1
4
3
0
1
x 1
2
 dx  f ( x , y)dy
5)
4
 dy  f ( x , y)dx
1
3
 dx  f ( x , y)dy
0
3)
3
0
3
4
1
y
 dy  f ( x , y)dx
Практическое занятие по теме №.16.* Понятие числового ряда. Необходимый признак
сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с положительными членами: предельный
признак сравнения, признак Даламбера. 2 часа
Цель занятия. Понятие числового ряда.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Понятие числового ряда. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов.
Ряды с положительными членами. Гармонический ряд, ряд Дирихле. Признак сравнения,
предельный признак сравнения. Признак Даламбера
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу свойств сходящихся рядов.,; с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК
№№
1,2,3,4,5,6,7,8
Задания для самостоятельной работы.
Укажите, какие из рядов сходятся:



3
ln n
3
I) 
II) 
III) 
n
n 1 n n
n 1 3  2 n
n  1,5
1) только III
4) только I
2) только I и III
5) только I и II
3)
только
II
и
III
Вычислить
1. lim
x 0
3 x  sin x
.
tg 2 x
1)-1/2
2) 3/2
3) 1/2
4) 1 5) 0
2. lim ( x  tg3 x )ctg2 x = …
x 0
1) –4
2) –1
3) 0
Практикум тесты 8.6-8.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
: [1], Т.2, С.56-66
Практическое занятие по теме №.17.* Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница.
Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные ряды: область
сходимости, свойства сходящихся рядов. 1 час
Цель занятия. Знакочередующиеся ряды
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Свойства
абсолютно и условно сходящихся рядов. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница.
Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости. Свойства
степенных рядов
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу свойств знакочередующиеся рядов; с обсуждением результатов со студентами
при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№
1,2,3,4,5,6,7,8,9
Задания для самостоятельной работы.
Укажите, какие из рядов сходятся:



4
5
2
I. 
II.  2
III.  n
n  2 II
n
n1)
1 7
n2)
1 2только
1 5 3) только I и III
только
II иnIII
4) только I и II 5) только III
Практикум тесты 9.1-9.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.2, С.60-67
Практическое занятие по теме №.18.* Ряды Тейлора и Маклорена. Основные разложения.
Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора. Применение степенных рядов. 2 часа
Цель занятия. Ряды Тейлора и Маклорена
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Формула Тейлора. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия сходимости ряда Тейлора к
исходной функции. Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора.
Применение степенных рядов
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу рядов Тейлора и Маклорена ; с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Задания для самостоятельной работы.
1.Если
по степеням
1
, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд Тейлора
равен…
2
0,25
0
2.Если
по степеням
2
10
12
0
, то коэффициент а5 разложения данной функции в ряд Тейлора
равен…
Если
, то коэффициент а6 разложения данной функции в ряд
Практикум тесты 9.6-9.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
: [1], Т.2, С.67-79
Практическое занятие по теме №.19.* Определение функции нескольких переменных.
Предел функции. Непрерывность. График функции двух переменных. 1 час
Цель занятия. Определение функции нескольких переменных.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Определение функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность функции нескольких переменных. График функции двух переменных.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу функций нескольких переменных ; с обсуждением результатов со студентами
при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
Задания для самостоятельной работы.
1.Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
нечетна, если функция
2.Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
нечетна, если функция
Практикум тесты 10.1-10.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.208-209
Практическое занятие по теме №.20.* Частные производные. Производная сложной
функции. Дифференциал. Производные высших порядков. 2 часа
Цель занятия... Частные производные
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Частные производные. Геометрический смысл частных производных функции двух
переменных. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Производная
сложной функции. Полный дифференциал. Частные дифференциалы. Производные
высших порядков.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу частных производных; с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти частные и полное приращения функции z = ху.
2. Найти точки максимума и минимума функции z = х2 + 2у2 при условии ЗА +2у =11.
Практикум тесты 10.6-10.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
: [1], Т.1, С.209-218
Практическое занятие по теме №.21* Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума функции двух
переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. 1 час
Цель занятия Экстремум функции нескольких переменных.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие экстремума функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее
значение функции в замкнутой области.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу экстремумов функций нескольких переменных ; с обсуждением результатов
со студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы
УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
Задания для самостоятельной работы.
Найти точки
экстремума функции z = х2 + ly2 при условии Зх + 2у = 11,
используя метод множителей Лагранжа.
Практикум тесты 11.1-11.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
: [1], Т.1, С.221-225
Практическое занятие по теме №.22.* Понятие решения, общего решения, начальной
задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные
дифференциальные уравнения первого порядка. 2 час
Цель занятия. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие решения, общего решения,
начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными.
Однородные дифференциальные уравнения. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по решению линейных дифференциальных уравнений первого порядка. ; с обсуждением
результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические
материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
Задания для самостоятельной работы.
1. Решить уравнение у" = х.
2. Найти уравнения кривых, в каждой точке
которых отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам
точкой касания
3.Частное решение дифференциального уравнения ( x 2  1) y   2 x ( 4  y ) при y(0)=1
имеет вид...
4 x 2 1
3
1
1) 4  2
2)
3) 4  2
2
x 1
x 1
x 1
4) 4 
4x2
5
5)
x 2 1
x 2 1
Практикум тесты 11.6-11.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.2, С.105-125
Практическое занятие по теме №.23. Линейные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для
специальной правой части. 2 час
Цель занятия. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Дифференциальные уравнения второго порядка. Уравнения, допускающие понижение
порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами: метод неопределенных коэффициентов для специальной
правой части.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по решению линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами; с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
Задания для самостоятельной работы.
1. Решить уравнение ху" + у' = 0.
2. Решить уравнение 2уу" = (у')2+ 1.
3.Найти частное решение следующих уравнений при указанных начальных условиях:
а) у"- Зу' + 2у = 0, у (0) = 3, у'(0) .= 4;
б) у" -2у' + у = 0,у (0) = 1, >>'(0) = 0;
в) у" - 2У + 2у=0,у (0) = 1, Г(0) = 1.
4.Если одним из частных решений дифференциального уравнения y"-16y=-32x-48
является функция y*=2x+3, то общее решение данного уравнения имеет вид ...
1) С1e4x+C2e-4x+2x+3
3) С1e4x+C2e-4x+2x
2) C1e4x-C2e-4x+2x-3
4) С1e4x+C2e-4x+3
5) С1e4x+C2e-4x-32x-48
Практикум тесты 12.1-12.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.2, С.126-145
По разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Практическое занятие по теме №1. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная
и интегральная теоремы Лапласа. 2 час
Цель занятия. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная
теоремы Лапласа
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная
теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной
вероятности в независимых испытаниях.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная
и интегральная теоремы Лапласа»
с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1.. В четырех попытках разыгрываются некоторые предмета. Вероятность выигрыша в
каждой попытке равна 0,5. Какова вероятность выигрыша трех предметов?
2.. Предприятие изготовило и отправило заказчику 100 000 бутылок пива. Вероятность того, что
бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятности того, что в отправленной
партии будет три и пять битых бутылок
Практикум тесты 14.1-14.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №.2. Виды случайных величин. Дискретная случайная
величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. 1 час
Цель занятия Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное
распределение. Распределение Пуассона.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Виды случайных величин. Дискретная и непрерывные случайные величины. Закон
распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное
распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое
распределение. Гипергеометрическое распределение.
1. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (2, 8). Найти ее
математическое ожидание и дисперсию.
2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое
ожидание равно 10, а среднее квадратичное отклонение равно 2, Найти вероятность того,
что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 12).
3.Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое
ожидание равно 18, а вероятность ее попадания в интервал (16, 20) равна 0,98. Найти
среднее квадратичное отклонение случайной величины
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Виды случайных величин. Дискретная случайная
величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.»
сам с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Практикум тесты 14.6-14.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №.3. Числовые характеристики дискретной случайной
величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
1 час
Цель занятия Числовые характеристики дискретной случайной величины.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Вероятностный смысл математического
ожидания. Математическое ожидание числа появлений события в независимых
испытаниях. Начальные и центральные теоретические моменты.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Числовые характеристики дискретной случайной
величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение» с
обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. Дано следующее распределение дискретной случайной величины:
X
1
2
р
0,2
0,1
4
5
0,4 0,3
Найти ее дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
2. В пяти торговых точках проверяется годовой баланс. Вероятность правильного
оформления баланса в каждой точке равна 0,7. Найти математическое ожидание и
дисперсию правильно оформленных балансов.
Практикум тесты 15.1-15.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №4. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Центральная предельная теорема 1 час
Цель занятия Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная
теорема
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Закон больших чисел. Теорема Чебышева. Неравенство Чебышева. Значение теоремы
Чебышева для практики. Теорема Бернулли.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Центральная предельная теорема» с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. Анализ Теоремы Чебышева, которая устанавливает связь между теорией вероятностей,
которая рассматривает средние характеристики всего множества значений случайной
величины, и математической статистикой, оперирующей ограниченны лниже<9ром
значений этой величины. Она показывает, что при достаточно большом числе измерений
некоторой случайной величины среднее арифметическое значений этих измерений приближается к математическому ожиданию.
2 Анализ Центральной предельной Теоремы. Если случайная величина ^представляет собой
сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.
Практикум тесты 15.6-15.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №5. Функция распределения вероятностей и плотность
распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые
характеристики непрерывной случайной величины. 2 час
Цель занятия. Функция распределения вероятностей и плотность распределения
вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной
случайной величины.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Функция распределения вероятностей случайной величины: определение, свойства,
график. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины:
определение, свойства.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Функция распределения вероятностей и плотность
распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые
характеристики непрерывной случайной величины» с обсуждением результатов со
студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Случайная величина X задана плотностью вероятности 2х в интервале (О, 1), «не этого
интервала/(х) = 0. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Практикум тесты 16.1-16.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №6.* Нормальное распределение вероятностей. Кривые
Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. 2 час
Цель занятия. Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые
характеристики нормального распределения.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Нормальное распределение вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики
нормального распределения. Правило трех сигм. Распределения «хи квадрат» и
Стьюдента
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Нормальное распределение вероятностей. Кривые
Гаусса. Числовые характеристики нормального распределения. Правило трех сигм.
Распределения «хи квадрат» и Стьюдента « с обсуждением результатов со студентами
при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое
ожидание равно 12, а среднее квадратичное отклонение равно 3, Найти вероятность того,
что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 11).
2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое
ожидание равно 15, а вероятность ее попадания в интервал (16, 21) равна 0,98. Найти
среднее квадратичное отклонение случайной величины
Практикум тесты 16.6-16.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №7.* Типичные законы распределения вероятностей.
Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.
1 час
Цель занятия. Типичные законы распределения вероятностей. Показательное
распределение. Равномерное распределение. Их числовые характеристики.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Типичные законы распределения вероятностей. Показательное распределение.
Равномерное распределение. Их числовые характеристики. Функция надежности.
Показательный закон надежности.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Типичные законы распределения вероятностей.
Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые
характеристики.» с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Случайная величина X распределена равномерно в интервале (1, 7). Найти ее математическое
ожидание и дисперсию.
Практикум тесты 17.1-17.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №8.* Система двух непрерывных случайных величин, ее
числовые характеристики. 2 час
Цель занятия. Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые
характеристики.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые характеристики. Свойства
функции распределения. Вероятность попадания случайной точки в произвольную
область. Коэффициент корреляции. Линейная регрессия
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Система двух непрерывных случайных величин, ее
числовые характеристики» с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы. Найти линейную среднюю квадратическую регрессию
Хна Y" при следующих исходных данных: математические ожидания тxх = 3, my — 6,
ковариация V_ = -10, средние квадратичные отклонения а = 5,
У
Практикум тесты 17.6-17.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №9.* Выборочный метод. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения. 2 час
Цель занятия. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция
распределения.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Выборочный метод. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная
совокупности. Повторная и репрезентативная выборки. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Выборочный метод. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения.» с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Построить эмпирическую функцию распределения по данной выборке:
*/
2
6
8
10
»/
6
16 18 20
Практикум тесты 18.1-18.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №10. Статистические оценка
и параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
4 час
Цель занятия. Статистические оценки параметров распределения. Доверительная
вероятность и доверительный интервал.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и
состоятельные оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Метод
наибольшего правдоподобия.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Статистические оценки параметров распределения.
Доверительная вероятность и доверительный интервал « с обсуждением результатов со
студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти общую среднюю на основе выборки:
Группа
Значение варианты
1
1
2
6
1
5
Частота
Объем
10
15
25
20
30
50
2. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку па раметра X в распределении
Пуассона
Практикум тесты 18.6-18.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №11.* Методы расчета сводных характеристик выборки.
Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и
регрессионного анализа. 2 часа
Цель занятия
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Методы расчета сводных характеристик выборки. Эмпирические моменты. Метод
произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии. Построение нормальной
кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Выборочные уравнения
регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Понятие о множественной корреляции.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Методы расчета сводных характеристик выборки.
Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и
регрессионного анализа» с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. Пусть величина А' имеет нормальное распределение. Проведена выборка, объем
которой я = 25, и найдено «исправленное» выборочное среднее квадратичное отклонение s
= 0,8- Найти доверительный интервал, покрывающий о^ с надежностью y "" 0,95.
2. В магазине постельных принадлежностей в течение пяти дней подсчитывали число
покупок простыней X и подушек Y:
х,
10 I
20
25
28
30 у,
4
8
7
ч
12
14 значения А расставлены в возрастающем порядке.) Найти выборочное
(Выданной
таблице
уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент корреляции.
Практикум тесты 19.1-19.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №12. Статистическая проверка статистических гипотез.
Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их применение. 1 час
Цель занятия. Статистическая проверка статистических гипотез. Область принятия
гипотезы
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Статистическая проверка статистических гипотез. Нулевая и конкурирующая, простая и
сложная гипотезы. Область принятия гипотезы. Понятие о критерии согласия. Критерий
согласия Пирсона. Критерий согласия Колмогорова. Цепи Маркова и их применение.
Однородная цепь Маркова. Переходные вероятности. Матрица перехода. Равенство
Маркова
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Статистическая проверка статистических гипотез.
Область принятия гипотезы « с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Проведены измерения для каждого из трех уровней некоторого фактора Ф. В качестве
уровня значимости принимается величина а = 0,05. Проверить дудевую гидоте^ о
незначительном влиянии фактора Ф,
Исходные данные помещены в табл.
Номер
измерения
Ф3
1
21 2
22 3
31 4
34 xtj
27
Ф,
38
Таблица
Уровни фактора
Ф2
20
36
35
31
35
24
26
3D
25
Практикум тесты 20.1-20.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №13. Предмет математического программирования.
Основные методы математического программирования. 1 час
Цель занятия. Предмет математического программирования. Основные методы
математического программирования.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Математическое программирование. Основные определения. Обзор основных методов
Задания для самостоятельной работы.
Задачи о смесях возникают при оптимизации смешивания различных компонентов с
целью получения смесей с заданным составом
Составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость. Если х — количество
компонента первого вида, входящего в дневной рацион, а у — количество компонента
второго вида, то задачу линейного программирования можно записать в виде:
F(x,y) = x+2y-+ min
при условиях
8х+4у>20, (1)
4х + 6.у>18, (2) 6 у > 9 , (3)
х > 0, у > 0.
Практикум тесты 1.1-1.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №14* Классические методы одномерной оптимизации.
Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия. 2 час
Цель занятия. Классические методы одномерной оптимизации.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Одномерная оптимизация. Методы, использующие производные. Методы, не
использующие производные. Метод Ньютона. Метод «золотого сечения». Метод
Фибоначчи. Функция спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Функция спроса и предложения. Функция полезности.
Кривые безразличия «с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,
Задания для самостоятельной работы.
Пусть в течение месяца потребляется 60 единиц продукта х и 90 единиц продукта у.
Функция полезности потребителя задана соотношением
и = ху.
Определить величину, на которую потребитель должен увеличить потребление второго
продукта при уменьшении потребления первого на шесть единиц
Практикум тесты 1.6-1.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №15* Симплекс-метод решения задач линейного
программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы. 2 час
Цель занятия. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Симплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы.
Улучшение опорного решения. Определение ведущих столбца и строки. Выбор
начального допустимого базисного решения. Введение искусственных переменных.
Вырожденные задачи линейного программирования. Зацикливание и его предотвращение
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам
« Симплекс-метод решения задач линейного
программирования « с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3
Задания для самостоятельной работы.
Решить, симплексным методом задачу
Z(X) = 2х, + 4х 2 -> max,
(-2х( + Зх2 < 12, | х, + х г < 9,
[ Зое, - 2х2 < 12,
х, > 0, х2 > б.
Практикум тесты 2.1-2.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №16. Двойственность в линейном программировании.
Экономическая интерпретация пары двойственных задач. 1 час
Цель занятия. Двойственность в линейном программировании.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Понятие двойственности. Двойственная задача к линейной задаче в стандартной форме.
Определение двойственности в общем случае. Теорема двойственности. Двойственные
переменные и теневые цены. Двойственные и исходно-двойственные алгоритмы
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Двойственность в линейном программировании « с
обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4
Задания для самостоятельной работы.
Составить задачу, двойственную к данной
Z{X) = х,- + 4х, + Зх 3 -> min
10
6
12
Практикум тесты 3.1-3.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №17.* Транспортные задачи. Экономическая и
математическая формулировки транспортной задачи. 1 час
Цель занятия Транспортные задачи.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи. Метод
потенциалов. Основные способы построения начального опорного решения.
Транспортные задачи с нарушенным балансом производства и потребления.
Транспортные задачи с дополнительными условиями.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Транспортные задачи» с обсуждением результатов
со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5
Задания для самостоятельной работы.
Составить математическую модель транспортной задачи, исходные данные которой
приведены в табл.
Таб лица
Практикум тесты 4.1-4.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №18.* Целочисленное программирование. Постановка
задачи о коммивояжере. 1 час
Цель занятия. Целочисленное программирование.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры целочисленных
моделей. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори.
Метод ветвей и границ. Постановка задачи о коммивояжере. Понятие о приближенных
методах.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Целочисленное программирование « с обсуждением
результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6
Задания для самостоятельной работы.
Получить целочисленный оптимальный план задачи
Z(X) ••*= xl — 4хг — 2х3 + Зх4 —> max
При условиях
3x, - х2'+ 8 х + x4 = 35,
x ' + х,+.х 4 < б,
х>0, Xj — целые числа, j = 1 , 2 , 3,4.
Практикум тесты 5.1-5.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №19.* Нелинейное программирование. Градиентные
методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование. 1 час
Цель занятия. Нелинейное программирование.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Методы нелинейной многомерной оптимизации. Унимодальные функции. Методы
поиска. Общая задача нелинейного программирования. Градиентные методы безусловной
оптимизации. Выпуклое программирование. Метод штрафов. Теорема Куна-Таккера, ее
связь с теорией двойственности в линейном программировании.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Нелинейное программирование « с обсуждением
результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7
Задания для самостоятельной работы.
1. Для увеличения содержания витаминов в питании детей для детского сада решено
закупить на рынке не менее 25 кг яблок, апельсинов и персиков. Суммарная потребность в
витамине А составляет не менее 90 мг, в витамине С - не менее 70 мг. Содержание- витаминов в 1 кг соответствующих фруктов приведена в табл. Там же указана цена 1 кг
соответствующего фрукта.
Сколько фруктов следует закупить, чтобы суммарная стоимость покупки была
минимальной?
Таблица
Витамин А, мг/кг
Витамин £, мг/fcr' "
Цена за 1 кг, руб.
Яблоки
1
Апельсины
6
Персики
20
3
8
3
9
л„
13
Практикум тесты 6.1-6.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №20.* Динамическое программирование. Рекуррентные
уравнения Беллмана. 2 часа
Цель занятия. Динамическое программирование
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Динамическое программирование. Постановка задачи. Основные определения. Принцип
оптимальности. Рекуррентные уравнения Беллмана. Примеры решения задач
математического программирования методом Беллмана.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Динамическое программирование. Рекуррентные
уравнения Беллмана с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8
Задания для самостоятельной работы.
(задача эффективного использования производственных площадей). При модернизации
оборудования в цехе выделено 64 м2 для установки оборудования первого и второго типов.
На установку одного комплекта оборудования первого типа требуется 2 м2, на установку
одного комплекта оборудования второго типа — 3,2 м2. Причем оборудование первого
типа приносит ежемесячный доход 2 млн руб., а оборудование второго типа — 4 млн руб.
Определить количество комплектов оборудования первого и второго типов,
обеспечивающее максимальную прибыль, при условии, что предприятие может
приобрести не более 20 комплектов оборудования первого типа и не более 11 комплектов
оборудования второго типа
Практикум тесты 7.1-7.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1,2]
Практическое занятие по теме №21.* Сетевое планирование. Сеть проекта. 2 час
Цель занятия. Сетевое планирование
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Сетевое планирование. Сеть проекта. Критический путь, время завершения проекта.
Резервы событий, резервы операций.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Сетевое планирование» с обсуждением результатов со
студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8,9
Задания для самостоятельной работы.
Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
Практикум тесты 8.1-8.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1,2]
Практическое занятие по теме №22*. Теория игр – теория математических моделей
принятия оптимальных решений в условиях конфликта и неопределенности. 2 час
Цель занятия... Теория игр
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Игра как математическая модель конфликта. Основные понятия теории игр.
Классификация игр. Примеры бескоалиционных игр. Антагонистические игры.
Матричные игры. Смешанные стратегии. Графоаналитический метод решения игр.
Матричные игры и линейное программирование
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Теория игр» с обсуждением результатов со студентами
при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Задания для самостоятельной работы.
Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
6
4
5
1
Практикум тесты 1.6-1.12
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1,2]
, равна…
7.2 Очно-заочная форма обучения
Практическое занятие по теме №1.* Уравнение прямой на плоскости. Уравнение
плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. 2 часа
Цель занятия. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения
Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой
в пространстве
Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение
прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие
параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное
уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух
плоскостей. Условие параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве.
Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Общие уравнения прямой. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с
плоскостью.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу уравнения прямой на плоскости и уравнения плоскости в
пространстве с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных
задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,
Задания для самостоятельной работы.
1. Известны точка М(2, 5) на прямой m и направляющий вектор s  (1,3) этой прямой.
Найти каноническое уравнение прямой m.
2. Что можно сказать о взаимном расположении прямых x + 2y – 3 = 0 и 5x + 10y – 2 = 0?
3. Что можно сказать о взаимном расположении прямых 2x + 3y – 6 = 0 и 8x +12y +3 = 0?
Практикум тесты 1.6-1.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.6-15
Практическое занятие по теме №2.* Матрицы. Операции над матрицами. Элементарные
преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы. Решение систем
линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. 2 часа
Цель занятия. Операции над матрицами. Элементарные преобразования.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Матрицы: терминология и обозначения. Операции над матрицами: сложение, умножение
матрицы на число. Умножение матриц. Транспонирование матрицы. Элементарные
преобразования матрицы. Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому
виду. Ранг матрицы. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом
Гаусса.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу операции над матрицами: с обсуждением результатов со
студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК
№№ 1,2,3,4
Задания для самостоятельной работы.
2 5 7 
1. Для матрицы А = 

3 4 1 
найти матрицу 5А.
11 12 13 14


2. Транспонировать матрицу А = 15 4 6 19
3 7 8 9


1 2 3
3. Даны матрицы А = 
 иВ=
7 5 6
5 1 


9 3 . Найти произведения АВ, ВА.
8 7


Практикум тесты 2.6-2.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.81-90
Практическое занятие по теме №3* Определители и их свойства. Определитель матрицы.
Обратная матрица. 2 часа
Цель занятия. Определители и их свойства Обратная матрица
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Определители и их свойства: линейность, антисимметричность, транспонирование
определителя, определитель произведения квадратных матриц. Вычисление определителя.
Обратная матрица. Метод Жордана. Способ построения обратной матрицы. Вычисление
ранга матрицы через определитель.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу операции над определителями с обсуждением
результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические
материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5
Задания для самостоятельной работы.
3 1 2
1. Вычислить определитель 4 6 7 .
5 8 9
 3 1 2
2. А = 4 6 7 . Найти миноры M11, M32 и M13.
5 8 9
2 5 4 3
3 4 7 5
3. Вычислить определитель
4 9 8 5
3 2 5 3
Найти обратную матрицу для матрицы
5 3
4.A = 

2 1
Практикум тесты 3.1-3.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
1], Т.1, С.76-80; [12], Т.1, С.101-110
Практическое занятие по теме №4.* Множества. Операции над множествами. Функции.
Способы задания функции. График. Элементарные функции. Предел последовательности.
Предел функции. Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их
классификация. 2 часа
Цель занятия. Элементарные функции. Предел последовательности. Предел функции.
Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Множества. Числовая ось. Простейшие множества чисел. Операции над множествами.
Числовая последовательность и ее предел. Арифметические операции над сходящимися
последовательностями. Монотонные последовательности. Число e. Функция. Способы
задания функции. График. Элементарные функции. Предел функции в точке. Теоремы о
пределах. Предел функции в бесконечности. Замечательные пределы. Непрерывные
функции и их свойства. Операции над непрерывными функциями. Точки разрыва и их
классификация
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу: элементарных функций, предела последовательности, предела функции.
Непрерывные функции и их свойства. Точки разрыва и их классификация; с обсуждением
результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические
материалы: разделы УМК №№ 1
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти интервалы монотонности функции у. = х3.
2. Исследовать на экстремум функцию у =х(х — I)3.
3. Доказать непрерывность функции у = cos x.
4. Выберите функцию, наиболее точно соответствующую графику.
5)
y  2 2 cos( x   / 4 )
6)
y  2 2 cos( x   / 4 )
7)
y  2 2 sin( x   / 4 )
8)
y  2 2 sin( x   / 4 )
y  2 2 sin( x  3 / 4 )
5. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих
точках: а) у = х2; б) у = л:3 +1;
6. Найти пределы:
2
а) lim x  2 ;
x9
б)


5x  9
lim 9 x  3 ;
x
в)
lim
x  7
x 2  9 x  14
;
x  17
x
 9
г) lim 1   .
x
x  
Практикум тесты 4.6-4.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.149-164
Практическое занятие по теме №.5* Производная функции. Правила дифференцирования.
Основные свойства дифференцируемых функций. Производные основных элементарных
функций. Производная сложной функции. 2 час
Цель занятия. Производная функции.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Производная функции. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и
нормали к кривой. Производная с точки зрения механики. Дифференцируемость функции.
Основные свойства дифференцируемых функций. Дифференциал функции.
Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные основных
элементарных функций. Производная сложной функции. Понятие обратной функции.
Производная обратной функции.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу производных функций; с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти производную функции у = х3.
2.Найти производную функции у = sin(x2 + 2Х).
3.Найти производную функции у=х2- л/х3 .
4.Найти производную функций: а) у - хх;
Укажите вид графика функции, для которой на всем отрезке [a,b] одновременно
выполняются 3 условия: y<0; y'>0; y"<0?
1) только IV
4) только I и IV
2) только I
5) только III
Практикум тесты 5.1-5.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.165-175
3) только I и II
Практическое занятие по теме №.6.* Производные высших порядков. Дифференциал
функции. Раскрытие неопределенностей. 2 часа
Цель занятия. Производные высших порядков
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Производные
высших порядков суммы и произведения функций. Дифференциалы первого и высших
порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Раскрытие
неопределенностей.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу производных высших порядков, с обсуждением результатов со студентами
при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти производную функции у, заданной уравнением х2 -ху + \пу= 2, и вычислить ее
значение в точке (2; 1).
2.Найти производные до л-го порядка включительно от функции у = In х.
d
3. Вычислить
tg 2 ( x 4  2 ) .
dx


1)
2tg( x 4  2)
cos2( x 4  2)
2)
8x 3tg( x 4  2)
cos2( x 4  2)
3)
4x 3
cos2( x 4  2)
4)
tg3( x 4  2)
3
5) 2tg(x4-2)
4.Найти производную функции. у = cos2 x + In tgПрактикум тесты 5.6-5.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.176-181
Практическое занятие по теме №.7. Асимптоты графика. Исследование функции на
монотонность и экстремумы. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость,
наличие точек перегиба. 2 часа
Цель занятия. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек
перегиба
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимое условие
экстремума. Достаточные условия максимума и минимума. Исследование функции на
максимум и минимум при помощи второй производной. Наибольшее и наименьшее
значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба
кривой. Асимптоты графика функции. Схема построения графика функции. Исследование
функция на экстремум с помощью производных высшего порядка.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу, графика функции на выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба.
с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти приращение и дифференциал функ
ции у = 2х2 -Зх при х = 10 и Ах = 0,1.
2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций: . у = Зх2 -6х на отрезке [0; 3].
3. Исследовать функции и построить их графики:
y=x*-Ux2+36x.
*3
х
у =(2 + х)е~ .
4.Если z=3x2+6xy+5x+2y2, тогда градиент z в точке А(-1;1) равен...
1) 5i  2 j
2) 2i  5 j
3) 29
4) 3
5) 2i  5 j
Практикум тесты 6.1-6.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.181-197
Практическое занятие по теме №8. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная
и интегральная теоремы Лапласа. 4 часа
Цель занятия. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная
теоремы Лапласа
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Повторение испытаний. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная
теорема Лапласа. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной
вероятности в независимых испытаниях.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная
и интегральная теоремы Лапласа»
с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. В четырех попытках разыгрываются некоторые предмета. Вероятность выигрыша в
каждой попытке равна 0,5. Какова вероятность выигрыша трех предметов?
2. Предприятие изготовило и отправило заказчику 100 000 бутылок пива. Вероятность того, что
бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятности того, что в отправленной
партии будет три и пять битых бутылок
Практикум тесты 14.1-14.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №9.* Методы расчета сводных характеристик выборки.
Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и
регрессионного анализа. 6 час
Цель занятия
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Методы расчета сводных характеристик выборки. Эмпирические моменты. Метод
произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии. Построение нормальной
кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Выборочные уравнения
регрессии. Выборочный коэффициент корреляции. Понятие о множественной корреляции.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Методы расчета сводных характеристик выборки.
Построение нормальной кривой по опытным данным. Элементы теории корреляции и
регрессионного анализа. с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
1. Пусть величина А'имеет нормальное распределение. Проведена выборка, объем которой
я = 25, и найдено «исправленное» выборочное среднее квадратичное отклонение s = 0,8Найти доверительный интервал, покрывающий о^ с надежностью y "" 0,95.
2. В магазине постельных принадлежностей в течение пяти дней подсчитывали число
покупок простыней X и подушек Y:
х,
10 I
20
25
28
30 у,
4
8
7
ч
12
14
(Выданной таблице значения А'расставлены в возрастающем порядке.) Найти выборочное
уравнение линейной регрессии и выборочный коэффициент корреляции.
Практикум тесты 19.1-19.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №10.* Предмет математического программирования.
Основные методы математического программирования. 4 час
Цель занятия. Предмет математического программирования. Основные методы
математического программирования.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Математическое программирование. Основные определения. Обзор основных методов
Задания для самостоятельной работы.
Задачи о смесях возникают при оптимизации смешивания различных компонентов с
целью получения смесей с заданным составом
Составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость. Если х — количество
компонента первого вида, входящего в дневной рацион, а у — количество компонента
второго вида, то задачу линейного программирования можно записать в виде:
F(x,y) = x+2y-+ min
при условиях
8х+4у>20, (1)
4х + 6.у>18, (2) 6 у > 9 , (3)
х > 0, у > 0.
Практикум тесты 1.1-1.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №11.* Классические методы одномерной оптимизации.
Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия. 4 час
Цель занятия. Классические методы одномерной оптимизации.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Одномерная оптимизация. Методы, использующие производные. Методы, не
использующие производные. Метод Ньютона. Метод «золотого сечения». Метод
Фибоначчи. Функция спроса и предложения. Функция полезности. Кривые безразличия
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам Функция спроса и предложения. Функция полезности.
Кривые безразличия. с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,
Задания для самостоятельной работы.
Пусть в течение месяца потребляется 60 единиц продукта х и 90 единиц продукта у.
Функция полезности потребителя задана соотношением и = ху.
Определить величину, на которую потребитель должен увеличить потребление второго
продукта при уменьшении потребления первого на шесть единиц
Практикум тесты 1.6-1.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №12.* Симплекс-метод решения задач линейного
программирования. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы. 2
часа
Цель занятия. Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Симплексные таблицы. Экономическая интерпретация элементов симплексной таблицы.
Улучшение опорного решения. Определение ведущих столбца и строки. Выбор
начального допустимого базисного решения. Введение искусственных переменных.
Вырожденные задачи линейного программирования. Зацикливание и его предотвращение
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам
« Симплекс-метод решения задач линейного
программирования « с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3
Задания для самостоятельной работы.
Решить, симплексным методом задачу
Z(X) = 2х, + 4х 2 -> max,
(-2х( + Зх2 < 12, | х, + х г < 9,
[ Зое, - 2х2 < 12,
х, > 0, х2 > б.
Практикум тесты 2.1-2.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №13. Двойственность в линейном программировании.
Экономическая интерпретация пары двойственных задач. 2 час
Цель занятия. Двойственность в линейном программировании.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Понятие двойственности. Двойственная задача к линейной задаче в стандартной форме.
Определение двойственности в общем случае. Теорема двойственности. Двойственные
переменные и теневые цены. Двойственные и исходно-двойственные алгоритмы
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Двойственность в линейном программировании « с
обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4
Задания для самостоятельной работы.
Составить задачу, двойственную к данной
Z{X) = х,- + 4х, + Зх 3 -> min
10
6
12
Практикум тесты 3.1-3.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
7.3 Заочная форма обучения
По разделу «Линейная алгебра»
Практическое занятие по теме №1 .* Векторы и действия над ними. Скалярное
произведение векторов. 1 час
Цель занятия. Векторы и действия над ними. Скалярное произведение векторов.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения: Прямоугольные декартовы координаты на
плоскости и в пространстве. Понятия связанного и свободного вектора. Линейные
операции над векторами: сложение векторов, умножение вектора на число. Координаты и
компоненты вектора. Линейные операции над векторами в координатах. Проекция
вектора на ось, основные свойства проекций. Скалярное произведение векторов, свойства
скалярного произведения, скалярное произведение векторов, заданных координатами.
Косинус угла между векторами, направляющие косинусы.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу векторов и действий над ними и скалярного произведения
векторов.
с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти скалярное произведение векторов a  (3,8) и и  (1,4) .
2. Найти угол между векторами a = (-1, 3) и b = (2, 7).
3. Выяснить ортогональность векторов a = (-2, 3) и b = (4, 1).
Практикум тесты 1.1-1.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.6-15
Практическое занятие по теме №2. * Уравнение прямой на плоскости. Уравнение
плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. 1 час
Цель занятия. Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве.
Уравнение прямой в пространстве
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения
Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой
в пространстве
Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение
прямой. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости. Условие
параллельности двух прямых на плоскости. Плоскость в пространстве. Нормальное
уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Условие перпендикулярности двух
плоскостей. Условие параллельности двух плоскостей. Прямая линия в пространстве.
Уравнения прямой линии. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Общие уравнения прямой. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с
плоскостью.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу уравнения прямой на плоскости и уравнения плоскости в
пространстве с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных
задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,
Задания для самостоятельной работы.
1. Известны точка М(2, 5) на прямой m и направляющий вектор s  (1,3) этой прямой.
Найти каноническое уравнение прямой m.
2. Что можно сказать о взаимном расположении прямых x + 2y – 3 = 0 и 5x + 10y – 2 = 0?
3. Что можно сказать о взаимном расположении прямых 2x + 3y – 6 = 0 и 8x +12y +3 = 0?
Практикум тесты 1.6-1.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.6-15
Практическое занятие по теме №3. Комплексные числа и многочлены. Уравнения кривых
второго порядка. 1 час
Цель занятия. Уравнения кривых второго порядка
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Комплексные числа и действия над ними: сложение, умножение, деление.
Тригонометрическая и показательные формы записи комплексного числа. Преобразование
координат на плоскости: параллельный перенос, поворот, зеркальное отражение. Кривые
второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Классификация кривых второго порядка.
Канонические уравнения кривых второго порядка.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу многочленов и уравнений кривых второго порядка
я с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3
Задания для самостоятельной работы.
Найти координаты центра и радиус окружности
1. х2 + у2+ \6y-9 =0.
2. Определить вид и расположение кривой
х2+2;и2-4х + 16>; = 0.
3. Составить уравнение параболы, проходящей через точки: а) (0; 0) и (—1; —3) симметрично
относительно оси Ох; б) (0; 0) и.(2; —4) симметрично относительно оси Оу.
Практикум тесты 2.1-2.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.26-33
Практическое занятие по теме №4.* Собственные векторы, собственные значения
матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис. 2 часа
Цель занятия. Собственные векторы, собственные значения матрицы
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
N-мерные линейные векторные пространства: определение линейного пространства,
простейшие свойства, примеры. Линейные подпространства. Свойства линейного
подпространства, сумма и пересечение линейных подпространств, свойства пересечения и
суммы линейных подпространств, линейная оболочка. Линейная зависимость. Базис,
размерность. Замена базиса. Евклидовы пространства. Собственные векторы, собственные
значения матрицы
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по анализу операции над собственными векторами и собственными
значениями матриц. с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
3 4


матрицей 5 2 .
2.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
2 1 
1 2.

матрицей 
3.Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного
 0 1 0
 4 4 0


 2 1 2
матрицей
Практикум тесты 3.6-3.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.115-125
Практическое занятие по теме №.5. Исследование экономических моделей. 1 час
Цель занятия. Исследование экономических моделей.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Основные экономические модели, основанные на понятии производной. Конкретные
примеры экономической одномерной оптимизации.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу экономических моделей, с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4
Задания для самостоятельной работы.
1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции у = х (х-1)3.
2. Капитал в 1 млрд. рублей может быть размещен
в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность
вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью.
Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство
является более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке?
Практикум тесты 6.6-6.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
: [22], С.104-125
Практическое занятие по теме №.6.* Первообразная. Неопределенный интеграл и его
свойства. Таблица основных интегралов. 1 час
Цель занятия. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица
основных интегралов.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Понятие первообразной. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных
интегралов.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу неопределенного интеграла и его свойств.,; с обсуждением результатов со
студентами при решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК
№№ 1,2,3,4,5
Задания для самостоятельной работы.
Найти интегралы:
1. ⌠Inxdx; б) ⌠(*3 +1)Inxdx.
2. Найти ⌠cos(3x + 2)dx.
3. Интеграл
1)
4.
5)

dx
 4x  x
dx
dx

x
4( x  4)
3)
dx
dx
 4x   x
dx
dx
2
2
можно представить в виде суммы интегралов …
2)
dx
dx
 4x   x  4
4)
dx
dx
 4 x   4( x  4 )
 4 x   4( x  4 )
6. Дана функция f(x) = 6
+ 1. Найдите для нее первообразную, график cos23x
которой проходит через точку М (π/4; π/4).
7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1, x = 2, x = -1, y = 0.
8. Дана функция f(x) = 3 - 4
. Найдите для нее первообразную, график sin2 2x
которой проходит через точку М (π/4; 3π/4).
9. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x2 + 1, x = 1, x = 2, y = 0.
10. Дана функция f(x) = 2
- 3. Найдите для нее первообразную, график cos23x
которой проходит через точку М (π/4; π/4).
11. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x2 + 1, x = 2,
x = 3, y = 0.
12. Дана функция f(x) = 1 + 3
. Найдите для нее первообразную, график sin2 2x
которой проходит через точку М (π/4; 3π/4).
13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x2 - 1, x = 1, x = 3, y = 0.
Практикум тесты 7.1-7.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.225-230
Практическое занятие по теме №7. Методы интегрирования: табличный, подведение под
знак дифференциала, замена переменной, по частям. 1 час
Цель занятия. Методы интегрирования: табличный, подведение под знак
дифференциала, замена переменной, по частям
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Методы интегрирования: табличный, подведение под знак дифференциала, замена
переменной, по частям. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование
простейших дробей.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу методов интегрирования неопределенного интеграла .,; с обсуждением
результатов со студентами при решении индивидуальных задач. Методические
материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6
Задания для самостоятельной работы.
Найти интегралы:
а)  3 / x 2  2 cos x dx;
б)  sin  x  9 dx;
3
в)  x dx.
2
Практикум тесты 7.6-7.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.231-246
Практическое занятие по теме №..8. Определенный интеграл. Свойства, геометрический
смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной, по
частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей. 1 час
Цель занятия. Определенный интеграл.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
Свойства, геометрический смысл определенного интеграла. Условия интегрируемости
функции. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью замены переменной,
по частям. Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах. Несобственные
интегралы: интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от
неограниченных функций.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов практических задач
по анализу определенного интеграла; с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач. Методические материалы: разделы УМК №№
1,2,3,4,5,6,7
Задания для самостоятельной работы.
1.Найти интеграл
3

x dx.
2
2. Какой из следующих интегралов представляет площадь заштрихованной части фигуры,
изображенной на чертеже?
3
 ( x  (2 x  x
6)
2
))dx
0
1
 ( x  (2 x  x
7)
2
)) dx
3
3
 ( x  (2 x  x
8)
2
)) dx
0
3
 ((2 x  x
9)
2
)  ( x))dx
0
1
 ((2 x  x
10)
2
)  x)dx
3
3.Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле
 f ( x , y)dx dy
по области D,
D
изображенной на чертеже:
4
1)  dx
0
4
2)
3
 f ( x , y)dy
x 1
3
 dx  f ( x , y)dy
0
4
3)  dx
0
4)
1
3
5)
3
4
1
0
 dy  f ( x , y)dx
3
4
1
y
 dy  f ( x , y)dx
 f ( x , y)dy
1
x 1
2
Практикум тесты 8.1-8.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1], Т.1, С.260-264
Практическое занятие по теме №.9.* Виды случайных величин. Дискретная случайная
величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. 1 час
Цель занятия Виды случайных величин. Дискретная случайная величина. Биномиальное
распределение. Распределение Пуассона.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Виды случайных величин. Дискретная и непрерывные случайные величины. Закон
распределения вероятностей дискретной случайной величины. Биномиальное
распределение. Распределение Пуассона. Простейший поток событий. Геометрическое
распределение. Гипергеометрическое распределение.
1. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (2, 8). Найти ее
математическое ожидание и дисперсию.
2. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое
ожидание равно 10, а среднее квадратичное отклонение равно 2, Найти вероятность того,
что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (9, 12).
3. Случайная величина X является нормально распределенной. Ее математическое
ожидание равно 18, а вероятность ее попадания в интервал (16, 20) равна 0,98. Найти
среднее квадратичное отклонение случайной величины
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Виды случайных величин. Дискретная случайная
величина. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.»
сам с обсуждением результатов со студентами при решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Практикум тесты 14.6-14.10
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №10. Выборочный метод. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения. 1 час
Цель занятия. Выборочный метод. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция
распределения.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Выборочный метод. Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная
совокупности. Повторная и репрезентативная выборки. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Выборочный метод. Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения.» с обсуждением результатов со студентами при
решении индивидуальных задач
Задания для самостоятельной работы.
Построить эмпирическую функцию распределения по данной выборке:
*/
2
6
8
10
»/
6
16 18 20
Практикум тесты 18.1-18.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №11.* Транспортные задачи. Экономическая и
математическая формулировки транспортной задачи. 1 час
Цель занятия Транспортные задачи.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи. Метод
потенциалов. Основные способы построения начального опорного решения.
Транспортные задачи с нарушенным балансом производства и потребления.
Транспортные задачи с дополнительными условиями.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Транспортные задачи» с обсуждением результатов со
студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5
Задания для самостоятельной работы.
Составить математическую модель транспортной задачи, исходные данные которой
приведены в табл.
Таб лица
Практикум тесты 4.1-4.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №12. Целочисленное программирование. Постановка
задачи о коммивояжере. 1 час
Цель занятия. Целочисленное программирование.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Постановка задачи целочисленного программирования. Примеры целочисленных
моделей. Методы решения задач целочисленного программирования. Метод Гомори.
Метод ветвей и границ. Постановка задачи о коммивояжере. Понятие о приближенных
методах
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам «Целочисленное программирование» с обсуждением
результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6
Задания для самостоятельной работы.
Получить целочисленный оптимальный план задачи
Z(X) ••*= xl — 4хг — 2х3 + Зх4 —> max
При условиях
3x, - х2'+ 8 х + x4 = 35,
x ' + х,+.х 4 < б,
,
х>0, Xj — целые числа, j = 1 , 2 , 3,4.
Практикум тесты 5.1-5.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1]
Практическое занятие по теме №13. Нелинейное программирование. Градиентные методы
безусловной оптимизации. Выпуклое программирование. 2 часа
Цель занятия. Нелинейное программирование.
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:.
Методы нелинейной многомерной оптимизации. Унимодальные функции. Методы
поиска. Общая задача нелинейного программирования. Градиентные методы безусловной
оптимизации. Выпуклое программирование. Метод штрафов. Теорема Куна-Таккера, ее
связь с теорией двойственности в линейном программировании.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Нелинейное программирование « с обсуждением
результатов со студентами при решении индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7
Задания для самостоятельной работы.
1. Для увеличения содержания витаминов в питании детей для детского сада решено
закупить на рынке не менее 25 кг яблок, апельсинов и персиков. Суммарная потребность в
витамине А составляет не менее 90 мг, в витамине С - не менее 70 мг. Содержание витаминов в 1 кг соответствующих фруктов приведена в табл. Там же указана цена 1 кг
соответствующего фрукта.
Сколько фруктов следует закупить, чтобы суммарная стоимость покупки была
минимальной?
Таблица
Яблоки
Апельсины
Персики
Витамин А, мг/кг
1
6
20
Витамин £, мг/fcr' "
Цена за 1 кг, руб.
3
8
3
9
л„
13
Практикум тесты 6.1-6.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
1
Практическое занятие по теме №14.* Динамическое программирование. Рекуррентные
уравнения Беллмана. 1 час
Цель занятия. Динамическое программирование
Форма проведения занятия: Групповое занятие в аудитории.
Содержание занятия вопросы для обсуждения:
Динамическое программирование. Постановка задачи. Основные определения. Принцип
оптимальности. Рекуррентные уравнения Беллмана. Примеры решения задач
математического программирования методом Беллмана.
Тренинг (содержание): письменное решение нескольких вариантов
практических задач по вопросам « Динамическое программирование. Рекуррентные
уравнения Беллмана с обсуждением результатов со студентами при решении
индивидуальных задач.
Методические материалы: разделы УМК №№ 1,2,3,4,5,6,7,8
Задания для самостоятельной работы.
(задача эффективного использования производственных площадей). При модернизации
оборудования в цехе выделено 64 м2 для установки оборудования первого и второго
типов. На установку одного комплекта оборудования первого типа требуется 2 м2, на
установку одного комплекта оборудования второго типа — 3,2 м2. Причем оборудование
первого типа приносит ежемесячный доход 2 млн руб., а оборудование второго типа — 4
млн руб. Определить количество комплектов оборудования первого и второго типов,
обеспечивающее максимальную прибыль, при условии, что предприятие может
приобрести не более 20 комплектов оборудования первого типа и не более 11 комплектов
оборудования второго типа
Практикум тесты 7.1-7.5
Рекомендуемая литература:
Основная литература
[1,2]
Раздел 8.Организация самостоятельной работы студентов (CРC)
8.1. Таблица распределения времени, выделенного на самостоятельную работу
студентам очной формы обучения
По разделу «Линейная алгебра»
в том числе:
Номера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
6
7
Всего
5
5
5
5
4
4
4
32
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
По разделу
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
1
1
1
1
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
1
1
1
1
1
1
1
1
«Математический анализ»
в том числе:
Номера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
6
7
2
2
2
2
2
2
2
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Всего
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
По разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»
в том числе:
Номера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Всего
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
32
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
По разделу «Элементы экономико-математических моделей»
в том числе:
Номера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Всего
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
30
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8.2 Таблица распределения времени, выделенного на самостоятельную работу
студентам очно-заочной формы обучения
По разделу «Линейная алгебра»
в том числе:
Номера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
6
9
9
9
9
9
9
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
2
2
2
2
2
2
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
7
Всего
9
63
2
2
2
2
По разделу «Математический анализ»
в том числе:
Номера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Всего
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
63
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
По разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»
в том числе:
Номера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Всего
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
3
63
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
По разделу «Элементы экономико-математических моделей»
в том числе:
мера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
6
7
6
6
6
6
6
6
6
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
8
9
10
Всего
7
7
7
63
2
2
2
2
2
2
3
3
3
8.3. Таблица распределения времени, выделенного на самостоятельную работу
студентам заочной формы обучения
По разделу «Линейная алгебра»
в том числе:
Номера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
6
7
Всего
11
11
11
11
12
12
12
80
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
2
2
2
2
3
3
3
По разделу «Математический анализ
в том числе:
Номера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
5
5
5
5
5
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
1
1
1
1
1
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Всего
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
80
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
По разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»
в том числе:
Номера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Всего
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
80
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
По разделу «Элементы экономико-математических моделей»
в том числе:
Номера
тем (по
темати
ческом
у
плану)
Врем
я на
СРС
(по
тема
тичес
кому
план
у)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Всего
8
8
8
8
8
8
8
8
8
9
81
Конс
пект
иров
ание
учеб
ной
и
друг
ой
лите
рату
ры
Реше
ние
прак
тиче
ских
зада
ч
Выпо
лнен
ие
тесто
вых
задан
ий
Вып
олне
ние
пись
менн
ой
рабо
ты
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Анал
из
пози
ций
по
проб
лема
м
учеб
ного
мате
риал
а
Изуч
ение
реко
менд
уемо
й
лите
рату
ры
Подго
товка
докла
дов,
сообщ
ений
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
8.4.Задания на самостоятельную работу
По разделу «Линейная алгебра»
Самостоятельная работа студентов по теме№1. Векторы и действия над ними.
Скалярное произведение векторов
Цель задания- Векторы и действия над ними
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 26.1-26.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные: [1], Т.1, С.5-10; [1], Т.1, С.14-24;
Самостоятельная работа студентов по теме№2. Уравнение прямой на плоскости.
Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве
Цель задания Уравнение прямой
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 27.1-27.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
Обязательные [1], Т.1, С.6-15
Самостоятельная работа студентов по теме№3. Комплексные числа и многочлены.
Уравнения кривых второго порядка.
Цель задания Уравнения кривых второго порядка.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 28.1-28.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
[1], Т.1, С.26-33
Самостоятельная работа студентов по теме№4. Матрицы. Операции над матрицами.
Элементарные преобразования. Приведение к ступенчатому виду. Ранг матрицы.
Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса
Цель задания Матрицы
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 29.1-29.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные[1], Т.1, С.81-90
Самостоятельная работа студентов по теме№5. Определители и их свойства.
Определитель матрицы. Обратная матрица.
Цель задания Определители и их свойства
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 30.1-30.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
[1], Т.1, С.90-110;
Самостоятельная работа студентов по теме№6. Собственные векторы, собственные
значения матрицы. N-мерные линейные векторные пространства. Базис
Цель задания Собственные векторы, собственные значения матрицы.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 31.1-31.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
[1], Т.1, С.121-133, [1], Т.1, С.150-158;
Самостоятельная работа студентов по теме№7. Прямые и плоскости в R N .
Выпуклые множества в R N и их свойства. Понятие квадратичной формы.
Поверхности второго порядка
Цель задания. Прямые и плоскости в R N .
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 32.1-32.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
[1], Т.1, С.162-167;
По разделу «Математический анализ»
Самостоятельная работа студентов по теме№1 Множества. Операции над
множествами. Функции. Способы задания функции. График. Элементарные
функции. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывные функции и их
свойства. Точки разрыва и их классификация.
Цель задания. Функции.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 1.1-1.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
: [4], Т.1, С.168-183; [4], Т.1, С.192-200; [3], Т.1, С.28-40; [4], Т.1, С.211-218; [12], Т.1,
С.149-164
Самостоятельная работа студентов по теме№2 Производная функции. Правила
дифференцирования. Основные свойства дифференцируемых функций.
Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции.
Цель задания. Производная функции
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 2.1-2.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
: [4], Т.1, С.232-249; [3], Т.1, С.121-140; [12], Т.1, С.165-175
Самостоятельная работа студентов по теме№3 . Производные высших порядков.
Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей.
Цель задания. Производные высших порядков
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты3.1-3.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
: [4], Т.1, С.253-258; [4], Т.1, С.269-273; [3], Т.1, С.148-155; [12], Т.1, С.176-181
Самостоятельная работа студентов по теме№4. Асимптоты графика. Исследование
функции на монотонность и экстремумы. Исследование графика функции на
выпуклость, вогнутость, наличие точек перегиба.
Цель задания Исследование функции
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 4.1-4.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
: [4], Т.1, С.284-306; [3], Т.1, С.184-208; [12], Т.1, С.181-197
Самостоятельная работа студентов по теме№5. Исследование экономических
моделей.
Цель задания Исследование экономических моделей.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 5.1-5.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
[22], С.104-125; [23], С.14-30
Самостоятельная работа студентов по теме№6. Первообразная. Неопределенный
интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов.
Цель задания Первообразная Таблица основных интегралов
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 6.1-6.5
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
[4], Т.2, С.3-8; [3], Т.1, С.318-322; [12], Т.1, С.225-230
Самостоятельная работа студентов по теме№7 Методы интегрирования: табличный,
подведение под знак дифференциала, замена переменной, по частям.
Цель задания Методы интегрирования
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Тесты 7.1-7.5
Найти интегралы:
а) ⌠ (9x+7sin x) ;
б)⌠
;
в)
а) ⌠ (3x2-5cos x) ;
б) ⌠
;
в)
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные
[4], Т.2, С.9-25; [3], Т.1, С.323-326; [3], Т.1, С.350-354; [12], Т.1, С.231-246
Самостоятельная работа студентов по теме№8 Определенный интеграл. Свойства,
геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование с помощью
замены переменной, по частям. Несобственные интегралы. Вычисление площадей.
Цель задания Определенный интеграл
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Тесты 8.1-8.5
Задания на самостоятельную работу
Найти интегралы:
а) ⌠ (8x3+4 )dx ;
б) ⌠
; в)
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные: [4], Т.2, С.43-53; [4], Т.2, С.57-66; [4], Т.2, С.85-103; [3], Т.1, С.379-390;
[12], Т.1, С.260-264
Самостоятельная работа студентов по теме№.9. Понятие числового ряда.
Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды с
положительными членами: предельный признак сравнения, признак Даламбера
Цель задания. Свойства сходящихся рядов
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Тесты 9.1-9.5
Задания на самостоятельную работу
Найти интегралы 1.:⌠
⌠
; б)∫
2.а)∫
3.а)∫
4.а) ∫
5.а) ∫
; б)∫
; в)
; в)
; б); ∫
; б)∫
в)
;
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[3], Т.1, С.477-495; [12], Т.2, С.56-66
Самостоятельная работа студентов по теме№10. Знакочередующиеся ряды: признак
Лейбница. Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Степенные
ряды: область сходимости, свойства сходящихся рядов.
Цель задания. Знакочередующиеся ряды
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Тесты 10.1-10.5
Задания на самостоятельную работу
Найти интеграл
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[3], Т.1, С.496-540; [12], Т.2, С.60-67
Самостоятельная работа студентов по теме№.11. Ряды Тейлора и Маклорена.
Основные разложения. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора. Применение
степенных рядов.
Цель задания. Ряды Тейлора и Маклорена
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Тесты 11.1-11.5
Задания на самостоятельную работу
Найти интеграл
⌠
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[4], Т.1, С.273-283; [3], Т.1, С.173-180; [3], Т.1, С.547-560; [12], Т.2, С.67-79
Самостоятельная работа студентов по теме№.12. Определение функции нескольких
переменных. Предел функции. Непрерывность. График функции двух переменных.
Цель задания. Определение функции нескольких переменных.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Тесты 12.1-12..5
Задания на самостоятельную работу
Найти интеграл
⌠
;
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[4], Т.2, С.106-113; [3], Т.1, С.247-265; [12], Т.1, С.208-209
Самостоятельная работа студентов по теме№.13 Частные производные. Производная
сложной функции. Дифференциал. Производные высших порядков
Цель задания. Частные производные
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Тесты 13.1-13.5
Задания на самостоятельную работу
Найти интеграл
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
: [4], Т.2, С.114-124; [3], Т.1, С.283-293; [4], Т.2, С.133-136; [12], Т.1, С.209-218
Самостоятельная работа студентов по теме№.14. Экстремум функции нескольких
переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума
функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в
замкнутой области.
Цель задания. Экстремум функции нескольких переменных
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Тесты 14.1-14.5
Задания на самостоятельную работу
Найти интеграл
⌠
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[4], Т.2, С.139-145; [4], Т.2, С.149-152; [3], Т.2, С.16-25; [12], Т.1, С.221-225
Самостоятельная работа студентов по теме№15. Понятие решения, общего решения,
начальной задачи, краевой задачи. Уравнения с разделяющимися переменными,
линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Цель задания. Уравнения с разделяющимися переменными, линейные
дифференциальные уравнения первого порядка.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Тесты 14.6-14.10
Задания на самостоятельную работу
Для функции ax3+bx3+cx+d найти производные 1го и 2го порядков, дифференциал,
интервалы монотонности, локальные экстремумы, интервалы выпуклости вверх (вниз),
точки перегиба, наибольшее и наименьшее значение на отрезке [0,2].
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[4], Т.3, С.10-30; [12], Т.2, С.105-125
Самостоятельная работа студентов по теме№.16. Линейные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: метод неопределенных
коэффициентов для специальной правой части.
Цель задания. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными
коэффициентами
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Тесты 12.6-12.10
Задания на самостоятельную работу
для функции kx2+mxy+ny2+px+gy+r найти частные производные и дифференциалы 1го и
2го порядков, производную по направлению вектора (b,c), приближённое значение в
точке В (1,98; 3,04) ( с помощью дифференциала), экстремумы, наибольшее и
наименьшее значение в замкнутой области -1
.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[4], Т.3, С.35-55; [12], Т.2, С.126-145
По разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Самостоятельная работа студентов по теме№.1. Предмет теории вероятностей.
Полная группа равновозможных событий. Классическое определение вероятности.
Основные формулы комбинаторики.
Цель задания Классическое определение вероятности. Основные формулы
комбинаторики.
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
В первой урне находятся a белых и b чёрных шара, во второй урне- с белых и d
чёрных шара. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, а затем из второй
извлекли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1]
Самостоятельная работа студентов по теме№.2. Геометрическая вероятность.
Теорема сложения вероятностей событий. Зависимые и независимые события.
Цель задания Зависимые и независимые события
Срок выполнения: к следующему практическому занятию.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
На заводах А и В изготовлено m% и n% всех деталей. Из прошлых данных известно, что
a% деталей завода А и b% деталей завода В оказываются бракованными. Случайно
выбранная деталь оказывается бракованной. Какова вероятность того, что она изготоалена
на заводе А?
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме№3. Условная вероятность. Теорема
умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Цель задания. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Вероятность повреждения мишени стрелком при одном выстреле равна р. Найти
вероятность того, что при n выстрелах мишень будет поражена к1 не менее к и не более к2
раз.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
[
Самостоятельная работа студентов по теме№4. Повторные испытания. Формула
Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Цель задания. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная
теоремы Лапласа
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Среднее число самолётов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту равно m. Найти
вероятность того, что за время n минут прибудут а) s самолётов; б) не менее s самолётов.
Поток предполагается простейшим
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме№5. Виды случайных величин.
Дискретная случайная величина. Биномиальное распределение. Распределение
Пуассона.
Цель задания. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Произведено n независимых испытаний. В каждом из них вероятность появления события
А равна p. Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной
вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа ε.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме № 6. Числовые характеристики
дискретной случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия, среднее
квадратичное отклонение.
Цель задания. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Дискретная случайная величина принимает значение xi с вероятностями pi. Найти
её математическое ожидание и дисперсию.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме №7. Закон больших чисел. Неравенство
Чебышева. Центральная предельная теорема.
Цель задания. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Центральная предельная
теорема.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины
X имеет вид f(x) = γe –ax2+bx+c. Найти неизвестное число γ, математическое ожидание
М(Х), дисперсию D(Х), вероятность выполнения неравенства <X< β и |Х-М(Х)|
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме № 8. Функция распределения
вероятностей и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной
величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Цель задания. Функция распределения вероятностей и плотность распределения
вероятностей непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной
случайной величины
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Из текущей продукции произведён выбор распределённой случайной величины Х
валиков. Найти реализацию оценки математического ожидания и стандартного
отклонения распределённой случайной величины Х – отклонения диаметра валика от
номинала.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме№.9 Нормальное распределение
вероятностей. Кривые Гаусса. Числовые характеристики нормального
распределения.
Цель задания. Нормальное распределение вероятностей.
Ориентировочный объем конспекта -не менее пяти страниц.
Задания на самостоятельную работу
Проведена выборка объёма n1 деталей. r1 из них оказались бракованными. Найти
доверительный интервал доли бракованных изделий в генеральной совокупности для
доверительной вероятности p. Определить необходимый объём выборки для достижения
ширины доверительного интервала
. В повторной выборке объёма n2 r2 деталей
оказались бракованными. Понизилась ли доля брака?
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме№.10. Типичные законы распределения
вероятностей. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их
числовые характеристики.
Цель задания. Показательное распределение. Равномерное распределение. Их числовые
характеристики
Задания на самостоятельную работу
Для производства каждой из n1=53 деталей по первой технологии было затрачено в
среднем 1 с (выборочная дисперсия s12 c2). Для производства каждой из n2=43 деталей по
второй технологии было затрачено в среднем 2 с (выборочная дисперсия s22 c2) Можно
сделать вывод , что по первой технологии требуется в среднем больше времени для
производства одной детали? Доверительная вероятность р.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме№.11. Система двух непрерывных
случайных величин, ее числовые характеристики.
Цель задания Система двух непрерывных случайных величин, ее числовые
характеристики
Задания на самостоятельную работу
Автомат фасует сахар в пакеты. Проведена случайная выборка объёмом n пакетов.
Средний вес пакета сахара в выборке кг, выборочное стандартное отклонение s кг. Найти
доверительный интервал для среднего веса пакета сахара в генеральной совокупности с
доверительной вероятностью p в случае:
А) стандартное отклонение автомата σ кг;
Б) стандартное отклонение автомата неизвестно.
Определить необходимый объём выборки для достижения ширины доверительного
интервала. Проверить гипотезу о равенстве генеральной средней 1 кг.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме№.12 Выборочный метод. Полигон и
гистограмма. Эмпирическая функция распределения.
Цель задания Выборочный метод
Задания на самостоятельную работу
Известны данные по объёму продаж товаров А, Б, В, Г в 2006 году и рост объёма продаж
(в %) в 2007 году. Найти средний индекс роста.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме№.13 Статистические оценки параметров
распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал.
Цель задания Статистические оценки параметров распределения.
Задания на самостоятельную работу
Указана цена товара с февраля по май. Найти соответствующие индексы роста и прироста,
а так же соотв. цепные и базисные индексы (февраль – базовый месяц)
По результатам наблюдений найти оценки коэффициентов уравнения линейной
регрессии y=a+bx, коэффициент корреляции Пирсона, коэффициент детерминации. Дать
прогноз для х=х0.
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме № 14 Методы расчета сводных
характеристик выборки. Построение нормальной кривой по опытным данным.
Элементы теории корреляции и регрессионного анализа.
Цель задания. Элементы теории корреляции и регрессионного анализа
Задания на самостоятельную работу
Указана цена товара с февраля по май. Найти соответствующие индексы роста и прироста,
а так же соотв. цепные и базисные индексы (февраль – базовый месяц)
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
Самостоятельная работа студентов по теме №15. Статистическая проверка
статистических гипотез. Область принятия гипотезы. Цепи Маркова и их
применение.
Цель задания. Статистическая проверка статистических гипотез
Задания на самостоятельную работу
Если основная гипотеза имеет вид
…
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1],; [2]
, то конкурирующей может быть гипотеза
По разделу «Элементы экономико-математических моделей»
Самостоятельная работа студентов по теме№1. Предмет математического
программирования. Основные методы математического программирования.
Цель задания. Основные методы математического программирования
Задания на самостоятельную работу
Минимальное значение функции
при ограничениях
равно
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1], С.71-91; [2], С.13-17
Самостоятельная работа студентов по теме№2 Классические методы одномерной
оптимизации. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые
безразличия.
Цель задания. Функции спроса и предложения. Функция полезности. Кривые
безразличия.
Задания на самостоятельную работу
Дана функция полезности
уравнением…
. Тогда кривая безразличия задается
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1], С.71-91; [2], С.13-17
Самостоятельная работа студентов по теме№3. Симплекс-метод решения задач
линейного программирования. Экономическая интерпретация элементов
симплексной таблицы.
Цель задания Симплекс-метод решения задач линейного программирования
Задания на самостоятельную работу
Минимальное значение функции
при ограничениях
равно
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1], С.40-59
Самостоятельная работа студентов по теме№4. Двойственность в линейном
программировании. Экономическая интерпретация пары двойственных задач.
Цель задания. Двойственность в линейном программировании
Задания на самостоятельную работу
Максимальное значение функции
при ограничениях
равно
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1], С.60-70
Самостоятельная работа студентов по теме№5. Транспортные задачи.
Экономическая и математическая формулировки транспортной задачи.
Цель задания. Транспортные задачи
Задания на самостоятельную работу
2 Транспортная задача
будет закрытой, если …
a=45, b=30
a=45, b=25
a=45, b=40
a=45, b=35
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1], С.34-58
Самостоятельная работа студентов по теме№6. Целочисленное программирование.
Постановка задачи о коммивояжере.
Цель задания. Целочисленное программирование.
Задания на самостоятельную работу
Даны функции спроса
Тогда равновесная цена равна…
7,5
и предложения
, где р – цена товара.
5,5
3,5
2
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1], С.249-274
Самостоятельная работа студентов по теме№7. Нелинейное программирование.
Градиентные методы безусловной оптимизации. Выпуклое программирование.
Цель задания. Нелинейное программирование
Задания на самостоятельную работу
Максимальное значение функции
при ограничениях
равно
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1], С.150-182
Самостоятельная работа студентов по теме№8. Динамическое программирование.
Рекуррентные уравнения Беллмана.
Цель задания. Динамическое программирование
Задания на самостоятельную работу
Максимальное значение целевой функции
равно…
24
18
при ограничениях
26
12
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1], С.340-379
Самостоятельная работа студентов по теме№9. Сетевое планирование. Сеть проекта.
Цель задания. Сетевое планирование
Задания на самостоятельную работу
Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[1], С.23-50
Самостоятельная работа студентов по теме№10 Теория игр – теория математических
моделей принятия оптимальных решений в условиях конфликта и
неопределенности.
Цель задания. Теория игр
Задания на самостоятельную работу
Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
Отчетность: решение примеров
Метод оценки: пятибалльная.
Источники:
обязательные:
[2], С.50-87
, равна
8.5 Оценка СРС преподавателем
Итоговая оценка СРС выставляется в журнал учебных занятий и учитывается при
аттестации студентов в период зачетно - экзаменационной сессии (сокращение числа
экзаменационных вопросов при оценке СРС не ниже «хорошо», предоставление права
студенту выбора экзаменационных вопросов из предложенных преподавателем,
выставление оценки «зачет» по результатам СРС).
Раздел 9. Практикум
Тесты
По разделу «Линейная алгебра»
1.
Вычисление определителей
1.1Формула вычисления определителя третьего порядка
следующие произведения: …
содержит
1.2 Формула вычисления определителя третьего порядка
следующие произведения: …
содержит
1.3 Формула вычисления определителя третьего порядка
следующие произведения: …
содержит
1.4 Формула вычисления определителя третьего порядка
следующие произведения: …
содержит
1.5 Формула вычисления определителя третьего порядка
следующие произведения: …
содержит
1.6 Установите соответствие между матрицей и ее определителем.
1.
2.
3.
49
0
- 21
- 42
40
1.7 Установите соответствие между матрицей и ее определителем.
1.
2.
3.
-4
- 600
28
- 28
0
1.8 Установите соответствие между матрицей и ее определителем.
1.
2.
3.
0
400
- 400
200
- 200
1.9 Установите соответствие между
1.
2.
3.
4.
и значениями определителей
.
1.11 Установите соответствие между
1.
2.
3.
4.
и значениями определителей
.
2. Линейные операции над матрицами
2.1 Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы
, если
,
-6
2.2 Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы
,
, если
-7
2.3 Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы
, если
,
4
2.4 Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы
, если
,
-16
2.5 Вычислите сумму элементов первого столбца матрицы
, если
,
-34
2.6 Если
и
, то матрица
имеет вид…
2.7 Если
и
, то матрица
имеет вид…
2.8 Если
и
, то матрица
имеет вид…
2.9 Даны матрицы
уравнения
и
является матрица …
. Тогда решением матричного
2.10 Даны матрицы
являющаяся решением уравнения
и
. Тогда матрица
,
, равна …
3. Умножение матриц
3.1 Даны матрицы
и
расположенных на ее главной диагонали, равна …
15
3.2 Даны матрицы
равна …
0
и
. Сумма элементов матрицы
. Сумма элементов матрицы
,
3.3 Даны матрицы
и
. Сумма элементов матрицы
, расположенных на ее главной диагонали, равна …
10
3.4 Даны матрицы
и
. Сумма элементов матрицы
, расположенных на ее главной диагонали, равна …
16
3.5 Даны матрицы
и
. Сумма элементов матрицы
, расположенных на ее главной диагонали, равна …
-4
3.6 Даны две матрицы:
столбца произведения
и
. Элемент первой строки второго
равен
7
8
3.7 Даны матрицы
и
. Тогда произведение
равно …
3.8 Для матриц А и В найдено произведение
В может быть матрица …
3.9 Заданы матрицы
,
, причем
. Тогда элемент
равен …
− 10
2
19
7
3.10 Дана матрица
. Тогда матрица
имеет вид …
. Тогда матрицей
матрицы
4. Системы линейных уравнений: методы решения
4.1 При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов
можно применять формулы Крамера, если
один из столбцов матрицы
является линейной комбинацией остальных
столбцы матрицы
линейно независимы
определитель матрицы
строки матрицы
не равен нулю
линейно зависимы
4.2 При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов
можно применять формулы Крамера, если
строки матрицы
линейно независимы
определитель матрицы
столбцы матрицы
не равен нулю
линейно зависимы
одна из строк матрицы
является линейной комбинацией остальных
4.3 При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов
нельзя применять формулы Крамера, если
определитель матрицы
равен нулю
строки матрицы
линейно независимы
ни один из столбцов матрицы
не является линейной комбинацией остальных
столбцы матрицы
линейно зависимы
4.4 При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов
нельзя применять формулы Крамера, если
ни одна из строк матрицы
не является линейной комбинацией остальных
столбцы матрицы
строки матрицы
линейно независимы
линейно зависимы
определитель матрицы
равен нулю
4 5 При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов
нельзя применять формулы Крамера, если
определитель матрицы
равен нулю
столбцы матрицы
строки матрицы
ранг матрицы
линейно независимы
линейно независимы
не равен числу ее уравнений
4.6 Система линейных уравнений
решается по правилу Крамера.
Установите соответствие между определителями системы и их значениями.
1.
2.
3.
2
-2
6
14
4 7.Система линейных уравнений
решается по правилу Крамера.
Установите соответствие между определителями системы и их значениями.
1.
2.
3.
-5
11
23
5
4.8 Система линейных уравнений
решается по правилу Крамера.
Установите соответствие между определителями системы и их значениями.
1.
2.
3.
17
18
22
- 17
4.9 Система линейных уравнений
решается по правилу Крамера.
Установите соответствие между определителями системы и их значениями.
1.
2.
3.
3
27
13
-3
4 10.Система линейных уравнений
решается по правилу Крамера.
Установите соответствие между определителями системы и их значениями.
1.
2.
3.
19
-4
29
- 19
5. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости
5.1 Расположите по возрастанию длины сторон треугольника
и
,
, где
,
, где
,
.
5 .2 Расположите по возрастанию длины сторон треугольника
и
.
5.3 Расположите по возрастанию длины сторон треугольника
и
.
5.4 Расположите по возрастанию длины сторон треугольника
и
, где
.
, где
,
5.5 Расположите по возрастанию длины сторон треугольника
и
5.6 Даны точки
отрезком и его длиной.
, где
,
.
,
и
. Установите соответствие между
1.
2.
3.
11
10
13
5
12
5.7 Установите соответствие между элементами двух множеств (
между точками А и В)
1.
2.
3.
6
- расстояние
21
40
5.8 Установите соответствие между элементами двух множеств (
между точками А и В)
- расстояние
1.
2.
3.
5
10
8
5.9 Установите соответствие между элементами двух множеств (
между точками А и В)
- расстояние
1.
2.
3.
17
6
9
5.10 Установите соответствие между элементами двух множеств (
между точками А и В)
1.
- расстояние
2.
3.
5
40
21
6. Прямая на плоскости
6.1 Даны графики прямых
:
Тогда сумма их угловых коэффициентов равна…
2
6.2 Даны графики прямых
:
Тогда сумма их угловых коэффициентов равна…
1
6.3 Даны графики прямых
:
Тогда сумма их угловых коэффициентов равна…
0
6.4 Даны графики прямых
:
Тогда сумма их угловых коэффициентов равна…
3
6.5 Даны графики прямых
:
Тогда сумма их угловых коэффициентов равна…
1
6.6 Даны вершины треугольника
имеет вид …
. Тогда уравнение высоты
6.7 Выберите уравнение прямой, соответствующее данному рисунку.
6.8Выберите уравнение прямой, соответствующее данному рисунку.
6.9 Прямая проходит через точки
равен…
и
. Тогда ее угловой коэффициент
6.10 Уравнением прямой, параллельной
, является …
7. Кривые второго порядка
7.1 Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.
2.
3.
4.
гипербола
парабола
окружность
эллипс
7.2 Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.
2.
3.
4.
эллипс
парабола
окружность
гипербола
7.3 Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.
2.
3.
4.
эллипс
гипербола
окружность
парабола
7.4 Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.
2.
3.
4.
окружность
парабола
эллипс
гипербола
7.5 Укажите соответствие между кривыми второго порядка и их уравнениями:
1.
2.
3.
4.
эллипс
парабола
гипербола
окружность
7.6 Расстояние между фокусами эллипса
6
7.7 Расстояние между фокусами гиперболы
20
равно …
равно …
7.8 Вещественная полуось гиперболы, заданной уравнением
равна…
5
7.9 Малая полуось эллипса, заданного уравнением
4
7.10 Большая полуось эллипса, заданного уравнением
3
,
, равна…
, равна…
8. Прямая и плоскость в пространстве
8.1 Нормальный вектор плоскости
(1; 1; – 15)
имеет координаты…
(1; 2; – 15)
(1; 2; 1)
(2; 1; – 15)
8.2 Нормальный вектор плоскости
(1; – 9; – 17)
имеет координаты…
(1; 5; – 9)
(5; – 9; – 17)
(– 1; – 5; 9)
8.3 Прямая
том случае, когда
пересекает плоскость
только в
не равно …
5
2
4
8.4 Уравнение плоскости, проходящей через точку
плоскости
, имеет вид …
8.5 Уравнение плоскости, проходящей через точку
плоскости
и параллельной
, имеет вид …
и параллельной
8.6 Установите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в
пространстве
1.
2.
3.
4.
проходит через ось y
параллельна оси
проходит через начало координат
параллельна оси
параллельна оси
8.7 Установите соответствие между уравнением плоскости и ее положением в
пространстве
1.
2.
3.
4.
проходит через начало координат
параллельна оси
параллельна оси
параллельна оси
проходит через ось
8.8 Установите соответствие между уравнением плоскости и точками, которые лежат в
этих плоскостях
1.
2.
3.
4.
8.9 Установите соответствие между уравнением плоскости и точками, которые лежат в
этих плоскостях
1.
2.
3.
4.
8.10 Установите соответствие между уравнением плоскости и точками, которые лежат в
этих плоскостях
1.
2.
3.
4.
По разделу «Математический анализ
9. Функции: основные понятия и определения
9.1 Наименьшее значение
20
из области значений функции
равно…
4
- 44
- 12
9.2 Дана функция
является множество …
. Тогда ее областью определения
9.3 Дана функция
является множество …
9.4 Дана функция двух переменных
определения этой функции изображена на рисунке …
. Тогда ее областью определения
. Тогда область
9.5 Дана функция двух переменных
функции изображена на рисунке …
. Тогда область определения этой
9.6 Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
нечетна, если функция
9.7 Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
нечетна, если функция
9.8 Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
четна, если функция
9.9 Пусть
. Тогда сложная функция
задается формулами…
9.10 Функция
задана на отрезке
нечетна, если функция
графиком:
Правильными утверждениями являются…
на промежутке
функция
среди значений функции
возрастает
на отрезке
при любом значении
выполняется неравенство
уравнение
имеет три корня
есть наибольшее и наименьшее
10. Предел функции
10.1Конечный предел при
имеют следующие функции …
10.2 Конечный предел при
имеют следующие функции …
10.3 Конечный предел при
имеют следующие функции …
10.4 Конечный предел при
имеют следующие функции …
10.5 Конечный предел при
имеют следующие функции …
10.6 Выберите верную последовательность значений пределов
1
-9
10.7 Установите соответствие между пределом и его значением
1.
2.
3.
4.
0
∞
1
3
10.8 Установите соответствие между пределом и его значением
1.
2.
3.
4.
5
0
∞
10.9 Установите соответствие между пределами и их значениями
1.
2.
3.
1
3
0
10.10 Установите соответствие между пределами и их значениями
1.
2.
3.
0
2
11. Геометрический и физический смысл производной
11.1 График функции
изображен на рисунке.
11.2 Тогда значение производной этой функции в точке
11.3 На рисунке изображен график функции
равно ….
, заданной на интервале
Тогда число интервалов, на которых касательная к графику функции
положительный угловой коэффициент, равно …
3
2
1
0
.
имеет
11.4 Интервалом, на котором касательная к графику функции
положительный угловой коэффициент, является …
11.5 Касательная к графику функции
не пересекает прямую
. Тогда абсцисса точки касания равна …
-3
-1
2
11.6 Касательная к графику функции
. Тогда абсцисса точки касания равна …
-2
-5
0
не пересекает прямую
имеет
11.7 Функция задана графически. Определите количество точек, принадлежащих
интервалу
, в которых не существует производная этой функции.
2
11.8 Функция задана графически. Определите количество точек, принадлежащих
интервалу
, в которых не существует производная этой функции.
1
11.9 Функция задана графически. Определите количество точек, принадлежащих
интервалу
4
, в которых не существует производная этой функции.
11.10 Функция задана графически. Определите количество точек, принадлежащих
интервалу
, в которых не существует производная этой функции.
2
11.11 Функция задана графически. Определите количество точек, принадлежащих
интервалу
, в которых не существует производная этой функции.
4
12. Производные первого порядка
12.1 Установите соответствие между функциями и их производными
1.
2.
3.
12.2 Пусть
- некоторая дифференцируемая функция по
между функциями и их производными по
. Установите соответствие
1.
2.
3.
12.3 Пусть
- некоторая дифференцируемая функция по
между функциями и их производными по
1.
2.
3.
. Установите соответствие
12.4 Установите соответствие между функцией и ее производной:
1.
2.
3.
12.5 Установите соответствие между функцией и ее производной:
1.
2.
3.
12.6 Производная произведения
равна …
12.7 Производная произведения
равна …
12.8 Производная функции
равна…
1
12.9 Производная функции
равна…
12.10 Производная функции
равна…
13. Основные методы интегрирования
13.1 Установите соответствие между неопределенными интегралами и разложениями
подынтегральных функций на элементарные дроби.
1)
2)
3)
4)
13.2 Установите соответствие между неопределенными интегралами и разложениями
подынтегральных функций на элементарные дроби.
1)
2)
3)
4)
13.3 Установите соответствие между неопределенными интегралами и разложениями
подынтегральных функций на элементарные дроби.
1)
2)
3)
4)
13.4 Установите соответствие между интегралами и их значениями
1.
2.
3.
13.5 Установите соответствие между интегралами и их значениями
1.
2.
3.
13.6 Множество первообразных функции
13.7 Множество первообразных функции
имеет вид …
имеет вид …
13.8 Множество первообразных функции
имеет вид…
13.9 Дан интеграл
виду …
. Тогда замена переменной
13.10 Дан интеграл
виду …
. Тогда замена переменной
приводит его к
приводит его к
14. Вычисление определенного интеграла
14.1 Сходящимися являются несобственные интегралы …
14.2 Сходящимися являются несобственные интегралы …
14.3 Сходящимися являются несобственные интегралы …
14.4 Сходящимися являются несобственные интегралы …
14.5 Сходящимися являются несобственные интегралы …
14.6 Несобственный интеграл
равен …
1
14.7 Несобственный интеграл
равен …
1
14.8 Несобственный интеграл
0
-ln13
равен…
расходится
-lnln13
14.9 Определенный интеграл
- 180
равен…
84
-4
180
14.10 Определенный интеграл
0,2
равен…
- 0,2
0,4
- 0,4
15. Числовые последовательности
15.1Общий член последовательности
7.2
имеет вид…
-й член числовой последовательности
равен…
15.3 Последовательность задана рекуррентным соотношением
;
. Тогда четвертый член этой последовательности
равен…
7
5
9
11
15.4 Последовательность задана рекуррентным соотношением
;
. Тогда четвертый член этой последовательности
равен…
17
14
13
8
15.5 Известны первые три члена числовой последовательности:
общего члена этой последовательности имеет вид …
,
,
. Тогда формула
15.6 Установить соответствие между числовой последовательностью
при
.
и ее пределом
1.
2.
3.
4.
0
3
15.7 Установить соответствие между числовой последовательностью
при
.
1.
2.
и ее пределом
3.
4.
0
15.8 Установить соответствие между числовой последовательностью
при
.
1.
2.
3.
4.
и ее пределом
0
15.9 Установите соответствие между числовой последовательностью и формулой ее
общего члена
1.
2.
3.
15.10 Установите соответствие между числовой последовательностью и формулой ее
общего члена
1.
2.
3.
16. Сходимость числовых рядов
16.1Сумма сходящегося числового ряда
равна …
7
10
16
.2 Укажите правильное утверждение относительно сходимости числовых рядов
А)
и B)
А – расходится, В – сходится
А и В сходятся
А – сходится, В – расходится
А и В расходятся
16.3 Сумма числового ряда
16.4 Числовой ряд
0
равна…
- сходится. Тогда
равен …
3
1
16.5 Если для числового ряда
то верно утверждение …
предел общего члена
и ряд расходится
и ряд сходится
и ряд сходится
и ряд расходится
16.6 Необходимый признак сходимости не выполнен для рядов …
,
16.7 Необходимый признак сходимости не выполнен для рядов …
16.8 Сходящимися среди приведенных ниже числовых рядов являются …
16.9 Сходящимися среди приведенных ниже числовых рядов являются …
16.10 Укажите сходящиеся числовые ряды
17. Область сходимости степенного ряда
17.1Интервал
является интервалом сходимости степенного ряда …
17.2 Интервал
17.3 Интервал
17.4 Интервал
является интервалом сходимости степенного ряда …
является интервалом сходимости степенного ряда …
является интервалом сходимости степенного ряда …
17.5 Интервал
является интервалом сходимости степенного ряда …
17.6 Интервал сходимости степенного ряда
равно …
-2
имеет вид
. Тогда
17.7 Количество целых чисел, принадлежащих интервалу сходимости степенного
ряда
7
равно …
17.8 Количество целых чисел, принадлежащих интервалу сходимости степенного
ряда
3
равно …
17.9 Количество целых чисел, принадлежащих интервалу сходимости степенного
ряда
1
равно …
17.10 Количество целых чисел, принадлежащих интервалу сходимости степенного
ряда
5
равно …
18. Ряды Тейлора (Маклорена)
18.1 Если
Тейлора по степеням
1
, то коэффициент а4 разложения данной функции в ряд
равен…
2
0,25
0
18.2 Если
Тейлора по степеням
2
10
12
0
, то коэффициент а5 разложения данной функции в ряд
равен…
18.3 Если
, то коэффициент а6 разложения данной функции в ряд
Тейлора по степеням
9
равен…
0
18
10
18.4 Коэффициент
степеням
0
в разложении функции
в ряд Тейлора по
равен…
4
1
18.5 Функция
Тогда коэффициент при
0
разложена в ряд Тейлора по степеням
.
равен …
-1
24
12
18.6 Первый отличный от нуля коэффициент разложения функции
Тейлора по степеням равен …
2
18.7 Первый отличный от нуля коэффициент разложения функции
Тейлора по степеням равен …
1
18.8 Первый отличный от нуля коэффициент разложения функции
Тейлора по степеням равен …
1
в ряд
в ряд
в ряд
18.9 Первый отличный от нуля коэффициент разложения функции
Тейлора по степеням равен …
3
18.10 Первый отличный от нуля коэффициент разложения функции
Тейлора по степеням равен …
1
в ряд
в ряд
19. Типы дифференциальных уравнений
19.1 Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка
являются:
19.2 Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка
являются:
19.3 Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями первого порядка
являются:
19.4 Среди перечисленных дифференциальных уравнений уравнениями второго порядка
являются:
19.5 Из данных дифференциальных уравнений уравнениями Бернулли являются…
19.6 Уравнение
является …
дифференциальным уравнением Бернулли
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами
дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
19.7 Уравнение
является …
дифференциальным уравнением Бернулли
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами
дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными
19.8 Уравнение
является …
дифференциальным уравнением Бернулли
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами
дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными
19.9 Уравнение
является …
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами
дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
19.10 дифференциальным уравнением Бернулли
Уравнение
является …
линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами
линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами
дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными
дифференциальным уравнением Бернулли
20. Дифференциальные уравнения первого порядка
20.1 Дано дифференциальное уравнение
функция…
20.2 Общий интеграл дифференциального уравнения
. Тогда его решением является
имеет вид…
20 .3 Дано дифференциальное уравнение
при
. Тогда
интегральная кривая, которая определяет решение этого уравнения, имеет вид…
B
C
D
A
20.4 Интегральная кривая дифференциального уравнения первого порядка
, удовлетворяющая условию
20.5 Решением уравнения первого порядка
, имеет вид …
является функция …
20.6 Если
— решение уравнения
, тогда
, удовлетворяющее условию
равно …
1
20.7 Если
, тогда
2
— решение уравнения
, удовлетворяющее условию
равно …
20.8 Если
— решение уравнения
, тогда
, удовлетворяющее условию
равно …
1
20.9 Если
тогда
2
20.10 Если
— решение уравнения
, удовлетворяющее условию
равно …
— решение уравнения
, тогда
, удовлетворяющее условию
равно …
1
21. Дифференциальные уравнения высших порядков
21.1 Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид …
,
21.2 Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид …
21.3 Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид …
21.4 Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид …
21.5 Общее решение дифференциального уравнения
имеет вид …
22. Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка
22.1 Однородному дифференциальному уравнению второго порядка
соответствует характеристическое уравнение …
22.2 Семейству интегральных кривых
, где
- произвольные
постоянные, соответствует линейное однородное дифференциальное уравнение второго
порядка …
22.3 Дано дифференциальное уравнение
решения данного уравнения является …
. Общим видом частного
22.4 Дано дифференциальное уравнение
решения данного уравнения является …
22.5 Дано дифференциальное уравнение
решения данного уравнения является …
22.6 Если функция
. Общим видом частного
. Общим видом частного
имеет вид:
1.
2.
3.
то частное решение
неоднородного дифференциального уравнения
следует искать в виде …
22.7 Если функция
имеет вид:
1.
2.
3.
то частное решение
неоднородного дифференциального уравнения
следует искать в виде …
22.8 Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его
частного решения
1.
2.
3.
22.9 Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его
частного решения
1.
2.
3.
22.10 Установите соответствие между дифференциальным уравнением и общим видом его
частного решения …
1.
2.
3.
По разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»
23. Основные понятия теории вероятностей
23.1 Бросают 2 монеты. События А – «герб на первой монете» и В – «герб на второй
монете» являются:
совместными
зависимыми
несовместными
независимыми
23.2 Бросают 2 кубика. События А – «на первом кубике выпала тройка» и В – «на втором
кубике выпала шестерка» являются:
независимыми
несовместными
совместными
зависимыми
23.3 Бросают 2 кубика. События А – «на первом кубике выпала шестерка» и В – «на
втором кубике выпала шестерка» являются:
совместными
зависимыми
несовместными
независимыми
23.4 Из каждой из двух колод вынимают по одной карте. События А – «карта из первой
колоды – красной масти» и В – «карта из второй колоды – бубновой масти» являются:
независимыми
несовместными
зависимыми
совместными
23.5 Бросают 2 монеты. События А – «цифра на первой монете» и В – «цифра на второй
монете» являются:
зависимыми
несовместными
независимыми
совместными
23.6 Случайные события А и В, удовлетворяющие условиям
,
, являются …
совместными и зависимыми
несовместными и зависимыми
несовместными и независимыми
совместными и независимыми
23.7 В урне находится 5 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимаются четыре шара.
Вероятность того, что все шары будут белыми, равна …
,
23.8 В урне находится 5 белых и 5 черных шаров. Из урны вынимаются четыре шара.
Вероятность того, что один шар будет белым, а 3 черными, равна …
23.9 Вероятность достоверного события равна…
0
0,999
–1
1
23.10 В квадрат со стороной 5 брошена точка.
Тогда вероятность того, что она попадет в выделенную область, равна …
2
24. Теоремы сложения и умножения вероятностей
24.1 По мишени производится четыре выстрела. Значение вероятности промаха при
первом выстреле 0,5; при втором – 0,3; при третьем – 0,2; при четвертом – 0,1.
Тогда вероятность того, что мишень будет поражена все четыре раза, равна…
0,215
0,003
0,515
0,252
24.2 По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих
разнотипную продукцию, равны 0,4 и 0,15. Тогда вероятность банкротства обоих
предприятий равна…
0,60
0,06
0,55
0,51
24.3 По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих
разнотипную продукцию, равны 0,5 и 0,15. Тогда вероятность банкротства обоих
предприятий равна…
0,75
0,075
0,65
0,425
24.4 По оценкам экспертов вероятности банкротства для двух предприятий, производящих
разнотипную продукцию, равны 0,5 и 0,25. Тогда вероятность банкротства обоих
предприятий равна…
0,125
0,75
0,105
0,375
24.5 Пусть
- события, заключающиеся в том, что в электрической цепи
сопротивления
не вышли из строя за время
время
представимо через
. Тогда
24.6 Несовместные события
равны …
,
,
,
,
,
,
,
- цепь из строя не вышла за
следующим образом …
,
и
не образуют полную группу, если их вероятности
,
и
не образуют полную группу, если их вероятности
,
24.7 Несовместные события
равны …
,
, событие
,
,
,
,
,
,
,
24.8 Несовместные события
равны …
,
,
,
,
,
,
,
,
24.9 Несовместные события
равны …
,
,
и
не образуют полную группу, если их вероятности
,
и
не образуют полную группу, если их вероятности
,
,
,
,
,
,
,
24.10 Несовместные события
вероятности равны …
,
и
не образуют полную группу, если их
,
,
,
,
,
,
,
,
25. Дискретная случайная величина
25.1 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Если математическое ожидание
0
, то значение
равно …
-2
-1
2
25.2 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:
Тогда математическое ожидание случайной величины
3,7
равно…
3,8
3,4
4
25.3 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:
Тогда математическое ожидание случайной величины
равно…
3,3
3
3,9
4,1
25.4 Страхуется 1200 автомобилей; считается, что каждый из них может попасть в аварию
с вероятностью 0.1. Для вычисления вероятности того, что количество аварий среди всех
застрахованных автомобилей не превзойдет 115, следует использовать…
формулу Байеса
формулу Пуассона
интегральную формулу Муавра-Лапласа
формулу полной вероятности
25.5 Дискретная случайная величина Х задана законом распределения вероятностей
Тогда значение интегральной функции распределения вероятностей
0,5
равно …
0,3
0,9
0,6
26. Непрерывная случайная величина
26.1 Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
.Тогда математическое ожидание этой нормально
распределённой случайной величины равно …
9
81
162
10
26.2 Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения
вероятностей
Тогда значение С равно …
1,2
4
3
2,25
26.3 Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения
вероятностей
Тогда значение С равно …
0,5
1
0
1,1
26.4 Непрерывная случайная величина Х задана дифференциальной функцией
распределения вероятностей
Тогда значение С равно …
2
26.5 График плотности распределения вероятностей
на рисунке.
Тогда значение
1
случайной величины приведен
равно …
0,8
0,75
27. Статистическое распределение выборки
27.1 Статистическое распределение выборки имеет вид
Тогда относительная частота варианты
0,5
, равна …
10
0,1
0,2
27.2 Статистическое распределение выборки имеет вид
Тогда относительная частота варианты
0,5
0,3
0,55
6
, равна …
27.3 Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=50:
Тогда n4 равен…
24
23
50
7
27.4 По выборке объема n=100 построена гистограмма частот:
Тогда значение а равно…
55
6
5
4
27.5 По выборке объема n=100 построена гистограмма частот:
Тогда значение а равно…
5
6
56
7
28. Характеристики вариационного ряда
28.1 Мода вариационного ряда 2 , 5 , 5 , 6 , 7 , 9 , 10 равна …
2
10
6
5
28.2 Мода вариационного ряда 5 , 8 , 8 , 9 , 10 , 11 , 13 равна …
5
8
13
9
28.3 Мода вариационного ряда 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 7 равна …
1
5
7
4
28.4 Мода вариационного ряда 1 , 2 , 5 , 6 , 7 , 7 , 10 равна …
1
10
6
7
28.5 Мода вариационного ряда 2 , 3 , 4 , 7 , 8 , 8 , 9 равна …
7
2
9
8
29. Интервальные оценки параметров распределения
29.1 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 12.
Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
(10,8; 12)
(12; 13,7)
(11,2; 11,8)
(10,6; 13,4)
29.2 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 13.
Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
(11,8; 14,2)
(13; 14,6)
(11,8; 12,8)
(11,6; 13)
29.3 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 14.
Тогда его интервальная оценка может иметь вид …
(12,6; 15,4)
(14; 15,1)
(12,1; 14)
(12,7; 13,7)
29.4 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 11.
Тогда его интервальная оценка может иметь вид...
(10,1; 11,9)
(10,1; 11)
(11; 11,9)
(10,1; 10,8)
29.5 Точечная оценка математического ожидания нормального распределения равна 13.
Тогда его интервальная оценка может иметь вид...
(13; 13,7)
(12,3; 12,8)
(12,3; 13,7)
(12,3; 13)
30. Проверка статистических гипотез
30.1 Если основная гипотеза имеет вид
гипотеза …
, то конкурирующей может быть
30.2 Если основная гипотеза имеет вид
гипотеза …
, то конкурирующей может быть
30.3 Если основная гипотеза имеет вид
гипотеза …
, то конкурирующей может быть
30.4 Если основная гипотеза имеет вид
гипотеза …
, то конкурирующей может быть
30.5 Если основная гипотеза имеет вид
гипотеза …
, то конкурирующей может быть
По разделу «Элементы экономико-математических моделей»
31. Линейное программирование
31.1 Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:
31.2 Тогда максимальное значение функции
16
22
24
равно…
20
31.3 Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:
31.4 Тогда максимальное значение функции
23
равно…
20
21
18
31.5 Область допустимых решений задачи линейного программирования имеет вид:
31.6 Тогда максимальное значение функции
30
26
24
32
равно…
31.7 Максимальное значение целевой функции
при ограничениях
равно…
10
8
6
11
31.8 Максимальное значение целевой функции
при ограничениях
равно…
24
18
26
12
31.9 Максимальное значение функции
при ограничениях
равно …
1
31.10 Минимальное значение функции
при ограничениях
равно …
-3
31.11Максимальное значение функции
равно …
1
при ограничениях
31.12 Минимальное значение функции
при ограничениях
равно …
-6
31.13 Минимальное значение функции
при ограничениях
равно …
-4
32. Транспортная задача
32.1 Транспортная задача
будет закрытой, если …
a=25, b=5
a=25, b=15
a=25, b=10
a=25, b=20
32.2 Транспортная задача
будет закрытой, если …
a=45, b=30
a=45, b=25
a=45, b=40
a=45, b=35
32.3 Транспортная задача
будет закрытой, если …
a=45, b=60
a=45, b=55
a=45, b=65
a=45, b=70
32.4 Среди данных транспортных задач
1.
2.
3.
закрытыми являются …
1
2и3
3
1и2
32.5 Среди данных транспортных задач
1.
2.
3.
закрытыми являются …
1
2
3
2и3
33. Теория игр: матричные игры
33.1 Нижняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
4
2
, равна…
5
6
33.2 Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
1
, равна…
2
3
4
33.3 Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
3
, равна…
5
4
1
33.4 Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
6
, равна…
4
5
1
33.5 Верхняя цена матричной игры, заданной платежной матрицей
3
4
5
2
, равна…
34. Сетевое планирование и управление
34.1 Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
11
13
34
10
34.2 Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
12
37
11
14
34.3 Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
46
14
15
17
34.4 Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
37
14
12
11
35.5 Для сетевого графика, изображенного на рисунке
длина критического пути равна…
16
14
13
43
35. Кривые безразличия
35.1 Дана функция полезности
уравнением…
. Тогда кривая безразличия задается
35.2 Дана функция полезности
уравнением…
. Тогда кривая безразличия задается
35.3 Дана функция полезности
уравнением…
. Тогда кривая безразличия задается
35.4 Дана функция полезности
уравнением…
. Тогда кривая безразличия задается
35.5 Дана функция полезности
уравнением…
. Тогда кривая безразличия задается
36. Функции спроса и предложения
36.1 Даны функции спроса
Тогда равновесная цена равна…
1
и предложения
, где р – цена товара.
3,5
4,5
2,25
36.2 Даны функции спроса
Тогда равновесная цена равна…
1
5
2,5
4
и предложения
, где р – цена товара.
36.3 Даны функции спроса
и предложения
товара. Тогда равновесная цена равна…
3,25
, где р – цена
6,5
5,5
1
36.4 Даны функции спроса
Тогда равновесная цена равна…
5
и предложения
, где р – цена товара.
7
3
2
36.5 Даны функции спроса
Тогда равновесная цена равна…
7,5
и предложения
, где р – цена товара.
5,5
3,5
2
37. Производственные функции
37.1 Производственная функция задается как
Тогда предельный продукт труда
0,4
0,2
1,25
2,5
при
, где K – капитал, L – труд.
,
равен…
37.2 Производственная функция задается как
Тогда предельный продукт труда
0,625
при
, где K – капитал, L – труд.
равен…
,
20
0,4
0,8
37.3 Производственная функция задается как
Тогда предельный продукт капитала
0,4
при
, где K – капитал, L – труд.
,
равен…
1,25
20
0,625
37.4 Неоклассическая мультипликативная производственная функция переменных K и L
может иметь вид …
37.5 Неоклассическая мультипликативная производственная функция переменных K и L
может иметь вид …
38. Коэффициенты эластичности
38.1 Для мультипликативной производственной функции
эластичности по капиталу равен …
0,6
коэффициент
3,11
0,51
1,11
38.2 Для мультипликативной производственной функции
эластичности по капиталу равен …
3,1
коэффициент
0,59
0,51
1,1
38.3 Для мультипликативной производственной функции
эластичности по капиталу равен …
0,59
коэффициент
3,16
0,57
1,16
38.4 Для мультипликативной производственной функции
эластичности по труду равен …
1,17
коэффициент
0,62
0,55
3,17
38.5 Мультипликативная производственная функция имеет вид
, где K –
капитал, L – труд. Тогда увеличение объема капитала на 1% приведет к увеличению
валового выпуска на …
1%
0,7%
0,6%
1,3%
Раздел 10. Источники
По разделу «Линейная алгебра»
Основная литература
1. Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика. Тома 1-4. М.: Эдиториал 2009г.
2. Н.Ш.Кремер Высшая математика М.Высшее образование 2008г.
Дополнительная
3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Высш. шк., 2007.г.
4. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Высш. шк., 2006.
По разделу
«Математический анализ»
Основная литература
1. Никольский С.М. Курс математического анализа. Том 1-2. М.: Наука, 2009г.
2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука, 2009г.
3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 1-2. М.: Высш.школа, 2009г.
4. Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика. Тома 1-4. М.: Эдиториал 2009г.
5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Том 1-2. М Наука,2009.
6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука,
2008.
7. Н.Ш.Кремер Высшая математика М.Высшее образование 2008г..
8. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 1-3. М.:
Наука, 2007г.
9. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Высш. шк., 2007.г.
10. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М.: Высш. шк., 2006.
11. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). М.:
Высш. шк., 2007.г.
Дополнительная
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы.
Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 2009г.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Hаука, 2008г.
3. Эльсгольц Л.Э Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Высшая
школа, 2008г.
4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Гостехиздат. М.: 2007г.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Т. 1-2.
М.: Наука, 2008г.
По разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Основная литература
1. Н.Ш.Кремер Теория вероятностей и математическая статистика ЮНИТИ М.2009г.
Дополнительная
2. Краснов М.Л. и др. Вся высшая математика. Тома 1-4. М.: Эдиториал
2009г.
По разделу «Элементы экономико-математических моделей»
Основная литература
1. Н.Ш.Кремер Высшая математика М.Высшее образование 2008г
Дополнительная
2. Общий курс высшей математики для экономистов Р,Э.А.им.Плеханова М.2008г.
Раздел 11. Глоссарий
По разделу «Линейная алгебра»
Матрицей (точнее числовой матрицей) размера т Х п (произносится «эм на эн»)
называется таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов.
Определитель — это число, которое считается для квадратной матрицы по некоторым
вполне определенным правилам.
Порядок определителя — это порядок квадратной матрицы.
Минором Мij квадратной матрицы А называется определитель матрицы, полученной из
матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
Если при умножении квадратных матриц А и В в любом порядке получается единичная
матрица (АВ = ВА = Е), то матрица В называется обратной матрицей для матрицы А
(очевидно, что матрица А — обратная матрица для матрицы В) и обозначается А-1 то есть
АА-1 = А-1 А = Е.
Система уравнений следующего вида:
 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1 ,
 a x  a x  ...  a x  b ,
 21 1 22 2
2n n
2

...

am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm ,
где aij, bi — коэффициенты, xi — переменные, называется системой линейных
уравнений
Нулевая строка — это строка из одних нулей. Ненулевая строка содержит хотя бы один
ненулевой элемент. Главный элемент строки — это первый слева ненулевой элемент
Ступенчатый вид имеет матрица, у которой:
1) все ненулевые строки расположены выше нулевых строк;
2) в каждой строке, начиная со второй, главный элемент расположен правее, чем
главный элемент предыдущей строки.
Вектор AB — это направленный отрезок: А — начальная точка вектора, В —
конечная точка вектора.
Модуль вектора a — это длина отрезка, изображающего вектор: AB =АВ.
Даны векторы a  (a1 , a2 ) и b  (b1, b2 ) Скалярное произведение a, b векторов a и b — это
число, которое вычисляется по следующему правилу: (a, b)  a1b1  a2b2 (соответствующие
координаты перемножаются и полученные произведения складываются).
Ортогональные векторы. — это векторы, угол между которыми равен 90°, то есть cos
= 0.
Условие ортогональности векторов. Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только
тогда, когда их скалярное произведение равно 0 (утверждение является верным в обоих
направлениях).
Если известны точка М (x0,у0) на прямой т и направляющий вектор s  ( ,  ) ,
параллельный этой прямой, то можно написать каноническое уравнение прямой m:
x  x0 y  y0

.


Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(x1, у1) и М2(x2, у2) имеет
следующий вид:
x  x1
y  y1

.
x2  x1 y2  y1
Расстояние  (M 0 , m) от точки М0 (x0,, y0) до прямой т, заданной уравнением Аx+Ву+С= 0,
вычисляется по формуле:
 ( M 0 , m) 
Ax0  By 0  C
.
A2  B 2
Оператор — это отображение ƒ линейного пространства L в себя, то есть ƒ: L → L.
Функция вида р(х) = а nхn + а n-1хn-1 + ... + а1x + а0 где аn ≠0, называется многочленом
степени п.
Схема Горнера позволяет быстро разделить с остатком любой многочлен р(х) на
многочлен вида x – с (с=const).
Если при действии линейного оператора f на ненулевой вектор x получается тот же вектор
х, умноженный на какое-то число λ, то такой вектор х называется собственным вектором
линейного оператора f: f(х) = λx. Число x называется собственным значением.
Линейное пространство L называется евклидовым пространством, если на нем задана
функция двух переменных (х, у) — скалярное произведение, для которого выполнены
следующие свойства (х, у, z) — любые векторы из L, α — любое число):
1) (х, у) = (у, x);
2) (х,у + z) = (х, у) + (х, z);
3) (ах, у) = а (х, у);
4) (х, х) ≥ 0 и (х, х) = 0 ↔ x = 0 (нулевой вектор пространства L).
Неравенство Коши-Буняковского: |(х, у)\ < \х\\у\.
Неравенство треугольника: \х + у\<\х\ + \у\.
Уравнением линии (кривой) на плоскости Оху называется уравнение, которому удовлетворяют
координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не
лежащей на этой линии
По разделу «Математический анализ»
Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа х называется само число х, если
х неотрицательно, и противоположное число ~х, если х отрицательно:
II ( х, если х>0,
1
' \-х, если х<0,
Функция у =/ (х) называется ограниченной на промежутке X, если существует такое
положительное число М > 0, что |/(х)| < М для любого х е X. В противном случае функция
называется неограниченной.
1. Функция полезности (функция предпочтений) — в широком смысле зависимость
полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности)
этого действия.
2. Производственная функция — зависимость результата производственной
деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) — зависимость
объема производства от наличия или потребления ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной функции) — зависимость
издержек производства от объема продукции.
5. Функции спроса, потребления и предложения — зависимость
объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары
или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).
Если по некоторому закону каждому натуральному числу п поставлено в соответствие
вполне определенное число ап , то говорят, что задана числовая последовательность
{ап}:
Число А называется пределом числовой последовательности {ап}, если для любого даже
сколь угодно малого положительного числа е > 0 найдется такой номер N (зависящий от б,
N = N(z)), что для всех членов последовательности с номерами п > N верно неравенство
\а п ~А\<е.
Число А называется пределом функции у — f(x) j при х, стремящемся к бесконечности,
если для любого даже сколь | угодно малого положительного числа е > 0 найдется такое
положительное число S > 0 (зависящее от s; S = S(s)), что для всех х, таких, что \х\> S,
верно неравенство:
\Ах)-А\<ъ.
Функция а(х) называется бесконечно малой величиной при х -» х0, или при х -> со, если
ее предел равен нулю:
lim - а(х) =0.
х->х0(оо)
Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х -> х0, если для любого даже
сколь угодно большого положительного числа М > 0 найдется такое положительное число 5
> 0 (зависящее от М, 8 = Ъ(М)), что для всех х, не равных д:0
и удовлетворяющих условию I x — х0 | < 6, будет верно неравенство
\Лх)\> М.
Функция /(х) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим
трем условиям: 1) определена в точке х0 (т.е. существует /(%)); 2) имеет конечный предел
функции при х -> х0; 3) этот предел равен значению функции в точке х0, т.е.
lim f(x) = f(x0).
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
1. Если функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то
она ограничена на этом отрезке (см. о рис. 6.10).
2. Если функция у = / (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то
она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М теорема
Вейерштрасса
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
3. Если функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то
она ограничена на этом отрезке (см. о рис. 6.10).
4. Если функция у = / (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то
она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наибольшего значения М теорема
Вейерштрасса
Производной функции у = /(х) называется предел отношения приращения функции к
приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел
существует):
геометрический смысл производной: производная /'(х0)есть угловой коэффициент
(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у=/(х) в точке х0,т.е. k=f'(x0).
Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Ах часть
приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой
переменной
dy =/'(х)Ах.
Функция F (х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в
каждой точке х этого промежутка F'(x) =f(x).
Совокупность всех первообразных для функции /(х) на промежутке X называется
неопределенным интегралом от
функции /(х) и обозначается jf(x)dx, где J — знак интеграла,
f(x) — подынтегршьная функция, f(x)dx — подынтегральное выражение. Таким
образом, \f{x)dx = F(x) + С,
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию
одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков
данной функции.
Общим решением дифференциального уравнения я-го порядка называется такое его
решение
>- = Ф(х,С,,...,С„),
которое является функцией переменной х и я произвольных независимых постоянных С,,
С2,..., Сп. (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между
ними.)
частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из
общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных Сх, С2,..., Сп.
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами имеет вид
У + РУ' + ау=г(х),
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно
может быть представлено в виде
y' = g(y/x),
где g — некоторая функция (одной переменной).
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет
вид
y'+f(x)y = g(x),
где /(х) и g (x) — некоторые (непрерывные) функции переменной х. В случае, когда функция g
{x) тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае —
неоднородным.
Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел щ,и2, ...,и п ,...
соединенных знаком сложения:
щ + и 2 +... + и п +...
Числа щ, и2,..., ип,... называются членами ряда, а член ип —
общим или п-м членом ряда.
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его
частичных сумм
Свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд щ+и2+... + ип+... сходится и имеет сумму S, то и ряд Хщ + Хи2 +... + Хип +... (полученный умножением данного ряда на число X) также сходится и имеет сумму XS.
2. Если ряды щ + и2 + • • • + ип + •••и Vj + v2 +... + v„ +... сходятся
и их суммы соответственно равны Sy и S2, то и ряд
(И| + V,) + (и2 + v2) +... + (ип + vn) +... (представляющий сумму
данных рядов) также сходится, и его сумма равна 5, +S2.
Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (х,, х2, ..., хп) из некоторого
множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда
говорят, что задана функция нескольких переменных z = f(x{, ..., х„).
Линией уровня функции двух переменных z =f(x, у) называется множество точек на
тоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С.
Число А называется пределом функции z =f(x, у) при х -» х0 и у -*у0 (или в точке (х0, у0)),
если для любого даже
сколь угодно малого положительного числа s > 0 найдется положительное число 5 > 0
(зависящее от е, 8 = 6(e)), такое, что для всех точек (х, у), отстоящих от точки (х0, у0) на
расстояние р, меньшее, чем 81 (т.е. при 0 < р < 8), выполняется неравенство
\ f ( x , y ) - A \ < s . Обозначается предел так:
lim f(x,y) = A.
Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой
функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.
dz= z'xAx + z'yAy.
Точка М( х0, у0) называется точкой максимума (минимума) функции z =f(x, у), если
существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (х, у) из этой окрестности
выполняется неравенство
f(x0,y0) >f(x,y)
Пусть точка (xQ, y0) — есть точка экстремума дифференцируемой функции z = fix,, у).
Тогда частные производные fx(xQ , у0) и fy(xQ, уQ) в этой точке равны нулю.
Линии уровня функции полезности (они называются кривыми безразличия) (см. § 5.6) также
позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать
решение задачи об оптимальном потреблении (потребительского выбора
Портфель ценных бумаг (под портфелем мы здесь будем понимать совокупность
определенных ценных бумаг в определенных количествах) характеризуется двумя основными параметрами — ожидаемой доходностью
г и риском если
частные производные и'х, и'у— функции полезности. Они называются
предельными полезностями
Величина, обратная коэффициенту эластичности замещения, показывает приближенно, на
сколько процентов изменится отношение предельных продуктов МР(х)/МР(у) при изменении
отношения затрат ресурсов (х/у) на 1 %.
По разделу «Теория вероятностей и математическая статистика»
Событие называется случайным, если в результате опыта оно может либо произойти,
либо не произойти.
Событие называется достоверным, если ©но обйзательно появляется в результате данного
опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте.
события называются несовместными, /если они вместе не могут
наблюдаться в одном и том же опыте.
Суммой событий 4,, А2, ..., Ап называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного
из этих событий:
Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Исход
называется благовриятетвующим данному событию, если его появление влечет за собой
наступление этого события.
Вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу
возможных исходов:
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В,
называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В),
Если при наступлении события А вероятность события В не меняет-сяд то события А и В
называются независимыми
Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает
появления другого в одном и том же опыте,
Величина называется случайной, если в результате опыта они может принимать любые заранее
неизвестные значения.
Величина называется дискретной, если она может принимать опре
деленные, фиксированные значения.
Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать значения, сколь угодно
мало отличающиеся друг от друга.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех
ее значений на соответствующие вероятности:
М(Х) = Мх = XlPl + х^г + ... + *Л = xlfr
Дисперсией случайной величины А' называется математическое ожидание квадрата отклонения ее от
математического ожидания самой величины:
Плотностью распределения вероятностей /(х) непрерывной- случайной величины Л'
называется производная от ее функции распределения вероятностей
f(x) = F'(x).
Для непрерывной двумерной случайной величины функция распределения записывается в
виде интеграла:
Р(*,У)= } lf(x,y)dxdy,
где /(%, у) — плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины.
Функция распределения F(x, у) представляет собой вероятность события (X < х, Y < у),
т. е.
F(x,y) = P(X<x, Y<y).
Ковариацией, или корреляционным моментом, случайных величин X и У называют
математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических
ожиданий, т. е. смешанный центральный момент второго порядка
»xy=M((X-MxKY-My)).
Коэффициентом корреляции г^ случайных величин X к Y называют отношение ковариации к
произведению средних Квадратичных отклонений этих величин
Под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд теорем, в каждой из которых
устанавливается факт асимптотического приближения .среднего значения большого числа опытных
данных к математическому ожиданию случайной величины.
Центральная предельная теорема. Если случайная величина ^представляет собой сумму
очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из
которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к
нормальному. •
Понятие генеральной совокупности связано с понятием полного поля элементарных
событий. Это поле событий может быть конечным или бесконечным. Полное ноле
событий может меняться в зависимости от организации опытов,
Повторной называют выборку, при которой объект перед отбором следующего
возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой ощбранный объект в генеральную совокупность не возвращается
Если выборка правильно отражает соотношения в генеральной совокупности, то ее
называют репрезентативной (представительной).
Число наблюдений л(. называется частотой, а значение его отношения к объему
выборки - относительной частотой:
Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х., и,.). По оси
абсцисс откладывают точки ж,, а по оси ординат -соответствующие значения nt (частоты)
Гистограммой называется ступенчатая фигура), состоящая из прямоугольников,
основаниями которых служат отрезки длиной А,
п,
п.
а высоты равны —. Величина — называется плотностью частоты,
Несмещенной называется статистическая оценка в*, математическое" ожидание которой
равно оцениваемому параметру А/ (в*) = 0.
Смещенной называется оценка 0*, математическое ожидание которой не равно
оцениваемому параметру. Так же как и для любой случайной величины, оценка 0* может
иметь большой или небольшой разброс (дисперсию) относительно математического
ожидания.
Эффективной называется статистическая оценка, которая при одних и тех же объемах
выборки имеет наименьшую дисперсию.
Состоятельной называется статистическая оценка, которая при увеличении объема
выборки п стремится по вероятности к оцениваемому параметру,
Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Рас-смотренные выше
оценки (х в , d t ) точечные. '
Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами
интервала.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу HQ. Конкурирующей (альтернативной)
называют гипотезу #,, которая противоречит основной
Критической областью называется область значений критерия, при которых нулевая гипотеза
отвергается. Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при
которых гипотеза принимается. Критическими точками (границами) k^ называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы
Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе
неизвестного распределения.
По разделу «Элементы экономико-математических моделей»
Математическое программирование — это раздел высшей математики, посвященный
решению задач, связанных с нахождением экстремумов функций нескольких переменных
при наличии ограничений на переменные.
Методами математического программирования решаются задачи о распределении ресурсов,
планировании выпуска продукции, ценообразовании, транспортные задачи и тл
Переменными задачи называются величины х{, х2, ••-, ха, которые полностью
характеризуют экономический процесс. Их обычно записывают в виде вектора X— (*,, хг,
..., хя).~
Система ограничений включает в себя систему уравнений и неравенств, которым
удовяетворяюгпврвиениме-залачи и которые следуют из ограниченности ресурсов *ши
д§угих экономических или физических условий, например положительности переменных
и т.п.
Целевой функцией называют функцию переменных задачи* которая характеризует
качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.
Общая задача математического программирования формулируется следующим
образом: найти экстремум целевой функции
Z{X) = /{*,, Xj, ..., хя) ~» max (min),
и соответствующие ему переменные при условии, что эти переменные удовлетворяют
системе ограничений
Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется
любой n-мерный вектор X =* (х,, хг, ..., хя), удовлетворяющий системе ограничений и
условиям неотрицательности.
Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых
решений (ОДР).
Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется
такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает
экстремума.
В общем случае задача линейного программирования записывается так, что
ограничениями являются как уравнения, так и неравенства, а переменные могут быть
как неотрицательными, так и произвольно изменяющимися. В Том случае, когда все
ограничения являются уравнениями и все переменные удовлетворяют условию
неотрицательности, задачу линейного программирования называют канонической
Опорным решением задачи линейного программирования называется такое допустимое
решение Х= (х,0, х20,..., х^, 0,..., 0), для которого векторы условий, соответствующие
положительным координатам Av А2, .,., Ат, линейно независимы.
Число отличных от нуля координат опорного решения не может быть больше ранга г
системы векторов условий (т.е. числа линейно независимых уравнений системы
ограничений
Если число отличных от нуля координат опорного решения равно от, то оно (решение)
называется невырожденным, в противном случае (меньше /я) — вырожденйым.
Базисом опорного решения называется базис системы векторов условий задачи, в состав
которого «ходят векторы, соответствующие отличным от нуля координатам опорного
решения
Симплексный метод — это метод целенаправленного перебора опорных решений
задачи
Задаче линейного программирования (исходной, или прямой) можно поставить в
соответствие другую задачу, которая называется двойственной или сопряженной. Обе эти
задачи образуют пару двойственных (или сопряженных) задач линейного
программирования. Каждая из задач является двойственной к другой задаче
рассматриваемой пары.
В транспортных задачах под поставщиками и потребителями понимаются различные
промышленные и сельскохозяйственные предприятия, заводы, фабрики, склады, магазины
и т.д. Однородными считаются грузы, которые могут, быть перевезены одним видом
транспорта. Под стоимостью перевозок понимаются тарифы, расстояния, время, расход
топлива и т.п.
Циклом называется такая последовательность клеток таблицы транспортной задачи (/^у,),
</,,уг), (i2J2), • •-, (ik,J{), в которой две и только две соседние клетки расположены в одной
строке или столбце, причем первая и последняя клетки также находятся в одной строке
или столбце.
Числа А называются оценками свободных клеток таблицы или векторов-условий
транспортной задачи, не входящих в базис опорного решения. В этом случае признак
оптимальности можно сформулировать так же, как в симплексном методе (для задачи на
минимум): опорное решение является оптимальным, если для все Х векторов-условий (клеток
таблицы) оценки неположительные
Приложение Лист переутверждения учебно-методического комплекса учебной
дисциплины
Учебно-методический комплекс:
одобрен на 2011/2012 учебный год. Протокол № 11 заседания кафедры
от “18” 08. 2011 г.
Зав. кафедрой В. В. Горяинов
одобрен на 2012/2013 учебный год. Протокол № 11 заседания кафедры
от “21” 08. 2012 г.
Зав. кафедрой Ю. М. Дедяев
одобрен на 2013/2014 учебный год. Протокол № 5 заседания кафедры
от “18” 01. 2013 г.
Зав. кафедрой Ю. М. Дедяев