«Многокритериальная оптимизация проектных решений

«Многокритериальная оптимизация
проектных решений методом
адаптивных взвешенных сумм»
Выполнил: Савелов А.С.
Руководитель: Карпенко А.П.
Задачи дипломного проекта
1) Выявить недостатки AWS-метода и предложить его модификации
2) Разработать программную систему для приближенного построения
множества Парето AWS-методом
3) Произвести исследование эффективности предложенных модификаций
AWS-метода
4) Решить практически значимые задачи построения множества Парето:
обратные задачи химической кинетики ДИБАГ и ДИБАХ
2
Постановка задачи МКО
min F ( X )  F ( X * )  F *
X DX
(1)
D X  { X }  R | X | - область допустимых значений
F ( X )   f1 ( X ), f 2 ( X )  - двухкритериальная вектор-функция
DF - множество достижимости
Необходимо построить аппроксимации множества и фронта Парето
X , F
Лицо, принимающее решение, из множеств
X , F должно выбрать
решение задачи (1)
Вектор F1  DF
неравенств
доминирует вектор F2  DF , если среди равенств и
f k ( X 1 )  f k ( X 2 ), k  [1:| F |], имеется, хотя бы одно строгое
DF*  DF - точки, для которых нет более предпочтительных точек
DF* - фронт Парето
DX*  DX , соответствующее DF*  DF , - множество Парето
3
Метод взвешенных сумм (WS-метод)
 ( X )  1 f1  2 f 2 - взвешенная сумма критериев
min  ( X )   ( X * )   *
X DX
(2)
начало
Покрытие множества D
сеткой  
Выбор  j   
Решение задачи глобальной
оптимизации (2). Получение
X *j  D *X и Fj*  DF*
конец
Решение задачи min  ( X )  C можно интерпретировать как поиск значения С,
X DX
при котором прямая  ( X )  C будет касательной к множеству DF* задачи (1)
Теорема: выбор определенной точки из множества Парето эквивалентен
указанию весов для каждой из частных целевых функций
D  { | 0  k  1, k  [1: 2]} - множество допустимых значений вектора весов
4
Схема AWS-метода
Свободные параметры метода:
 - начальный радиус
области доверия (ОД)
 - коэффициент сужения ОД
 min - минимальная величина
радиуса ОД
начало
Определение центральной точки


j *  arg max d j | X j  X T ,
j
Построение доверительной области DC
Формирование метамоделей критериев
m1 ( X ), m2 ( X )
Формирование взвешенных сумм
mp ( X )  1p m1 ( X )  2p m2 ( X )
mq ( X )  1q m1 ( X )  q2 m2 ( X )
Решение оптимизационных задач
min m1 ( X )  m1 ( Xˆ 1 ), min m2 ( X )  m2 ( Xˆ 2 ),
X
T

 c ( f ( X
X DC
X DC
X DC
min mp ( X )  mp ( Xˆ p ), min mq ( X )  mq ( Xˆ q )
- множество точек, которые не могут
быть приняты за центральные
DC  { X | X D X , X  X C   }
X DC

)  f ( X  )) 
p  c p ( f 2 ( X C )  f 2 ( X j* 1 )), ( f1 ( X C )  f1 ( X j* 1 ))
q
q
2

)
j  1
f 2 ( X C )), ( f1 ( X j* 1
1
C
нет
X  XT
да
конец
5
Построение метамоделей на основе квадратичной аппроксимации
целевых функций
  0 
x  
1 j k
i i
1 j  j k
ij xi x j   ii xi2
x2
начало
1i k
x3
Формирование матрицы плана
X C
x1
0
x1
Схемы ЦКП: X  2 и X  3
Испытание критериальных
функций в точках
проектирования центрального
композиционного плана (ЦКП)
Нахождение коэффициентов
модели методом наименьших
квадратов
Ядро ЦКП
Полный
факторный
эксперимент
x2
Дробная
реплика
конец
6
Модификация 1 – на основе повышения разнообразия множества
архивных точек
Задача ZDT3 (двумерная,
двухкритериальная):
DX =  X |0  xi  1,i [1: X ], X  10 ,
f1  X   f ( x1 ) = x1 ,

f1 ( X ) f1 ( X ) 
1




g( X ) g( X )  ,
f2  X  = g ( X )  
sin  10 π f ( X ) 

1




 X
xi 


g ( X )  g x2 ,..., x X = 1 + 9   

 i = 2 X 1
X 1 и X 2 - крайние точки текущей
Парето-аппроксимации
0,25
.
Задача ZDT3: оригинальный AWS-метод
Задачи оптимизации:
min m1 ( X ),
min m1 ( X ),
min m2 ( X );
min m2 ( X );
X D1
X D1
X D2
X D2
D1  { X | X  D X , X  X 1  1},
D2  { X | X  D X , X  X 2   2 }.
Задача ZDT3: точный фронт Парето
7
Модификация 2 – на основе смещения области доверия
x2
DX
0
Задача ZDT3: множество Парето
DC
x1
Схема смещения области доверия
Смещаем центр области доверия «вглубь» области определения, не
изменяя при этом ее радиуса.
8
Модификация 3 – построение метамоделей на основе
нейросетевой аппроксимации целевых функций
x2
x3
начало
X C
x1
0
x1
x2
Схемы ЦКП: X  2 и X  3
Размещение центров
нейронов в точках
проектирования квадратичной
метамодели
Формирование обучающей
выборки
Обучение нейронной сети
(нахождение весов и ширин
нейронов)
Радиальный нейрон
yi  wi exp(
X j  Ci

2
i
конец
2
); j  1,2,..., N , i  1,2,..., L
9
Разработка программной системы
10
Тестовые задачи МКО
Задача Аудета:
D X = X | 0  xi  1, i  1, 2
Задача ZDT3:
f1  X  = f1 (x 1 )  4  x1
f1  X   f ( x1 ) = x1 ,
f 2  X  = g ( X )  h X 

f1 ( X ) f1 ( X ) 
1




g
(
X
)
g
(
X
)
f2  X  = g ( X )  
,
sin  10 π f ( X ) 

1


α


 f1 ( X ) 
 , f1 ( X )  g ( X ),
 1  
h X  = 
g
(
X
)





0, иначе,


  x  0,2  2 
.
g  X   g ( x2 ) = 4  3  exp   2

  0,02  


DX =  X |0  xi  1,i [1: X ], X  2 ,

g ( X )  g x2 ,..., x X

 X
xi 


= 1+ 9   

 i = 2 X 1
.
Задача ZDT7:
Задача ZDT6:
DX =  X | 0  xi  1, i [1: X ], X  2
DX =  X | 0  xi  1, i [1: X ], X  2
f1  X   f ( x1 ) = 1  exp  4 x1   sin 6 6 π x1 
f1  X   f ( x1 ) = x1
  f ( X ) 2 
f 2  X  = g ( X )  1   1
 
g
(
X
)
 
 
0,25
 X

xi
 .
g ( X )  g x2 ,..., x X = 1 + 9   

 i = 2 X 1


0,25


X
g ( X )  g x2, ..., x X = 1 + 9  
i= 2
h X  = 1 
f1 ( X )
.
g ( x2 ,..., x X )
xi
,
X 1
11
Индикаторы оценки производительности метода
Индикаторы качества Парето-аппроксимации
1) IONVG ()    max
- мощность множества решений
 - архив решений

2) GD 
3) SP 

i 1
2
i
I ONVG ()
, i [1:  ]
1
I ONVG  2
- близость найденных решений к точному
множеству Парето рассматриваемой МКОзадачи
 1
2
(
s

s
)

i
i 1
- равномерность распределения
решений в полученной Паретоаппроксимации
Индикаторы эффективности
1) nE ( fi ) , i 1,2
- число испытаний целевых функций
12
Исследование эффективности - модификация 1
nE ( f1 )
450
nE ( f1 )
450
nE ( f 2 )
450
nE ( f 2 )
450
IONVG ()
33
IONVG ()
84
GD
0,087
GD
0,012
SP
0,122
SP
0,04
Задача Аудета: оригинальный AWS-метод
Задача ZDT3: оригинальный AWS-метод
nE ( f1 )
637
nE ( f1 )
494
nE ( f 2 )
637
nE ( f 2 )
494
IONVG ()
70
IONVG ()
90
GD
0,202
GD
0,011
SP
0,065
SP
0,04
Задача Аудета: AWS-метод (модификация 1)
Задача ZDT3: AWS-метод (модификация 1)
Исследование эффективности - модификация 2
Задача ZDT3: оригинальный AWS-метод
Задача ZDT3: AWS-метод (модификации 1 и 2), t  30
Задача ZDT3: AWS-метод (модификация 2)
Задача ZDT3: AWS-метод (модификации 1 и 2), t  100
Исследование эффективности - модификация 3
Задача ZDT3: квадратичная аппроксимация
nE ( f1 )
nE ( f 2 )
10314 10314
Задача ZDT7: квадратичная аппроксимация
IONVG ()
GD
SP
nE ( f1 )
nE ( f 2 )
IONVG ()
GD
SP
438
0,0007
0,017
9654
9654
133
0,001
0,015
Задача ZDT3: нейросетевая аппроксимация
nE ( f1 )
nE ( f 2 )
IONVG ()
GD
SP
35536
35536
91
0,005
0,046
Задача ZDT7: нейросетевая аппроксимация
nE ( f1 )
nE ( f 2 )
36384 36384
IONVG ()
GD
SP
388
0,0005
0,009
Однокритериальная обратная задача химической
кинетики (ДИБАГ)
Модель химической реакции:
dx1 dt  k x  k x  k x x ,

( j)
( j) 2
( j)
( j)
dx2 dt  2k1 x1  2k2 x2  k3 x1 x3  k4 x2 x3 ,

( j)
( j)
dx3 dt  k3 x1 x3  k4 x2 x3 ,

( j)
( j)
dx
dt

k
x
x

k
x2 x3 ,
4
3
1
3
4

 X (0)  X 0 .

( j)
1
1
( j) 2
2
2
xi - концентрации веществ; i [1: 4]
ki - константы скоростей стадий реакций
MXSE ( K )  max( xin  xin )2  min,
i ,n
начало
( j)
3
1 3
 
i [1: 4], n  1: X 


Решение СДУ,
получение вектора констант K
Вычисление функционала
MXSE
MXSE  
да
нет
Корректировка K
xin , xin - расчетные и
экспериментальные значения
концентраций
конец
16
Двухкритериальная обратная задача химической
кинетики (ДИБАГ)
начало
Закон Аррениуса:
Решение СДУ
 E 
k  k0 exp   a  ,
 RT 
E 1
ln k  ln k0  a 
R T
Вычисление функционала
MXSE
E a - энергия активации; T - температура;
R - газовая постоянная
Построение МНК-оценок констант
уравнения Аррениуса
Вычисление функционала
MLSE
MXSE ( K )  max( yin  yin )  min,
2
i ,n
 
i [1: 4], n  1: X 


MLSE ( K )  max 
i, j

( j) 2
i
 min,
i [1: 4], j [1: 3]
нет
Выполнен
критерий останова
метода МКО
да
конец
17
Двухкритериальная обратная задача химической
кинетики (ДИБАГ)
Задача ДИБАГ: фронт Парето
18
Двухкритериальная обратная задача химической
кинетики (ДИБАХ)
Модель химической реакции:
dx1 dt  w4  w6  w10 ,
dx dt  w  2w  w  w  w  w  w ,
15
11
7
6
5
4
3
 2
dx3 dt   w5  w8 ,

dx4 dt  w5  w8  w9 ,
dx dt  w  w  w  2w  w  w  w  w ,
15
14
11
9
8
7
6
5
 5
dx6 dt  w9  w13 ,
dx dt  w  w  w ,
12
11
9
 7
dx8 dt  w6  w7  w8  w10 ,

dx9 dt   w1  w2  w3  w10  w12  w13  w15 ,
dx10 dt  w2  w3  w10  w12  w14  w15 ,

dx11 dt  w1  w3  w13 ,
dx dt  w  w ,
3
2
 12
dx13 dt   w1  w14 ,

dx14 dt  w1  w2 ,
dx15 dt  w13 ,

0
 X (0)  X ;
w1=k13x13x9-k18x14x11,
w2= k14x14x9,
w3= k8x10x9,
w4= k4x22- k1x1,
w5= k9x2x3,
w6= k2x1x5,
w7= k3x2x5,
w8= k12x8x3,
w9= k10x4x5,
w10= k6x1x9,
w11= k11x7x5,
w12= k15x7x9,
w13= k16x6x11-k19x15x9,
w14= k17x13x5-k20x10,
w15= k5x10x5-k7x2x9.
19
Двухкритериальная обратная задача химической
кинетики (ДИБАХ)
начало
Решение СДУ
Вычисление функционала
SSE
Определение индукционного
периода
Вычисление функционала
ITSE
max y(t )  y(tind )
t
tind
- индукционный период
нет
 
SSE ( K )   ( yn  yn ) 2 , n  1: X 


n
ITSE ( K )  (tind  tind )2
Выполнен
критерий останова
метода МКО
да
конец
20
Двухкритериальная обратная задача химической
кинетики (ДИБАХ)
Задача ДИБАХ: фронт Парето
21
Организационно-экономическая часть
Диаграмма Ганта
№
п/п
Статьи затрат на НИОКР
Затраты,
руб.
Затраты, %
1
Фонд заработной платы
299904
72,9
2
Отчисления в фонды
89971
21,9
3
Амортизационные
отчисления
1041
0,3
4
Материальные затраты
20000
4,7
5
Прочие расходы
550
0,2
411466
100
Итого
Таблица затрат
Статьи затрат на НИОКР
22
Заключение
1) Выявлены недостатки AWS-метода и предложены его модификации
2) Разработана программная система для приближенного построения
множества Парето AWS-методом
3) Произведено исследование эффективности предложенных
модификаций AWS-метода
4) Решены практически значимые задачи построения множества Парето:
обратные задачи химической кинетики ДИБАГ и ДИБАХ.
5) Перспективы развития работы в проведении исследования
эффективности AWS-метода для числа параметров больше двух и
модификации метода для работы с числом критериев больше двух.
23
Спасибо
за внимание!