универсальных решений

Модификации «универсальных
решений» интервальной системы
линейных уравнений
Зоркальцев Валерий Иванович,
проф., д.т.н.,
Заведующий лабораторией «Методов математического
моделирования и оптимизации в энергетике»
Института систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН,
г. Иркутск
Составляющие
Интервального анализа
1. Аппарат для описания погрешностей данных
(исходных, при вычислениях).
2. Инструмент для описания моделей принятия
решений в условиях неопределенности (С.П.
Шарый, Д.В. Давыдов).
3. Инструмент для повышения эффективности
математических моделей и задач вычислительной математики.
2
Общая постановка
рассматриваемых задач
Принимаемые решения (эндогенные показатели) xt  X t
на временном этапе t  1, 2, . . . .
Реализация экзогенных (априори неопределенных)
условий yt  Yt на временном этапе t  1, 2, . . . .
X t  множество вариантов для выбора решения
Yt  область значений неопределенных показателей
3
Процесс сужения исходной
области выбора решения
Одноэтапный процесс
X 11  {x1  X 1 : y1  Y1 ( x1 , y1 )  D1}
D1  область допустимых сочетаний x1 и y1
Двухэтапный процесс
~
X 12  {x1  X 11 : y1  Y1 x2  X 2 ( x1 , y1 , x2 )  C1}
C1  область допустимых сочетаний x1, y1, x2
~
X 12  {x1  X 12 : y1  Y1 x2  X 2 , y2  Y2 ( x1 , y1 , x2 , y2 )  D2 }
D2  область допустимых сочетаний x1, y1, x2 , y2
4
Некоторые критерии принятия решения
в условиях неопределенности
F ( x1, y1 )  минимизируемая функция
1. Математическое ожидание (в т.ч. критерий Лапласса)
 P1 ( y1 ) F ( x1, y1 )  min1
x1X 1
y1Y1
2. Критерий Вальда
max F ( x1, y1 )  min1
y1Y1
3. Критерий Гурвица
x1X 1
α max F ( x1, y1 )  (1  α) min F ( x1, y1 )  min1
y1Y1
4. Байесовский критерий
y1Y1
x1X 1
 P1 ( y1 / x1 ) F ( x1 , y1 )  min1
y1Y1
x1X 1
5
Две области приложения интервального
анализа в моделях принятия решений в
условиях неопределенности
1. Инструментарий для описания области выбора
решений в многоэтапных процессах принятия
решений (Шарый С.П. Докторская диссертация
«Интервальные алгебраические задачи и их
численные решения», 2002 г.)
2. Способ описания критериев оптимизации решений
в условиях неопределенности (Ащепков Л.Т., Давыдов Д.В. «Универсальные решения интервальных
задач оптимизации и управления». – М.: Наука, 2006
г.; докторская диссертация Давыдова Д.В., 2009 г.)
6
«Универсальные» решения
Ащепкова-Давыдова
m
 max fi ( x, y )  f i  min
i 1 yY
xX
f i  желаемый уровень показателя, i  1, 2, . . . , m
fi ( x, y )  фактическое значение
Такая постановка тесно связана:
1) с проблематикой многокритериальности;
2) с регуляризацией некорректных задач;
3) с критерием Вальда
max   fi ( x, y )  f i   min
m
yY i 1
xX
7
Универсальные решения интервальной
системы линейных уравнений
Исходная система (недоопределенная задача)
Ax  b,
где A  m  n матрица, b  вектор из R m ,
(1)
A  A  A, b  b  b.
(2)
Доопределение: решением системы (1) предлагается
считать такой вектор х, при котором достигается
решение задачи
m
(3)
 ε j  min,
j 1
Ax  b  ε
(4)
при всех А, b, удовлетворяющих (2).
8
Предлагаемые модификации
I. В описании интервалов возможных отклонений
Вместо интервала [ε, ε ] предлагается ввести интервал
[ g , d ] при g  0, d  0.
Вектор х назовем d, g решением ИСЛАУ (1), если
(5)
 g  Ax  b  d
при любых А и b, удовлетворяющих (2).
Такое представление сужает интервал возможных
отклонений.
9
Предлагаемые модификации
II. В способах определения минимальных интервалов
Класс штрафных функций F, состоящий из непрерывных функций f от двух векторов из Rm таких, что при
~
0  g~  g , 0  d  d ,
(6)
m
m ~
m
m
~
(7)
 g j  d j   g j  d j
j 1
j 1
j 1
выполняется неравенство
j 1
~
~
f ( g , d )  f ( g , d ).
m
p

1
,
h
,
k

R
Примеры: при заданных

m
(8)
m
f ( g , d )   k j (d j )   h j ( g j ) p ,
j 1
p
m
j 1
~
f ( g , d )   k j (d j  h j ) p .
j 1
10
Модифицированное универсальное
решение, порождаемое функцией f из F
Так назовем тройку векторов x( f ), g ( f ), d ( f ), являющихся решением задачи
f ( g , d )  min
(9)
g  0, d  0,
(10)
 g  Ax  b  d ,
(11)
при ограничениях
для всех А и b, удовлетворяющих (2).
Теорема 1. Для любого f  F существует x( f ), g ( f ),
d ( f ). Если f строго выпуклая функция по обоим аргументам, то g ( f ), d ( f )  единственные.
11
Парето-оптимальные решения
Многокритериальная задача:
d j  min, g j  min, j  1, . . . , m,
(12)
при ограничениях (10), (11)
Теорема 2. Множество Парето-оптимальных
решений
многокритериальной
проблемы
(12)
совпадает с множеством модифицированных
универсальных решений, порождаемых функциями f
из F.
12
Замыкание множества модифицированных универсальных решений
Теорема 3. Замыкание множества модифицированных
универсальных решений x( f ), g ( f ), d ( f ) при
m
m
f ( g , d )   k j (d j )   h j ( g j ) 2
2
j 1
j 1
для разных k j  0, h j  0, j  1, . . . , m, совпадает с множеством Парето-оптимальных решений.
Вывод: Старый друг (метод наименьших квадратов)
– не хуже новых двух.
Любое модифицированное универсальное решение
можно получить на базе метода наименьших квадратов
за счет подбора весовых коэффициентов k j , h j .
13
Выводы
Приведенный и другие факты являются переложением на проблематику универсальных решений
ИСЛАУ результатов исследований свойств наименее
удаленных от начала координат точек линейных
многообразий и полиэдров (в т.ч. ортоэдрических,
евклидовых, гёльбертовых, чебышевских проекций).
Зоркальцев В.И. Метод наименьших квадратов:
геометрические свойства, альтернативные подходы,
приложения. – Новосибирск: Наука, 1995 г.
14
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
15