Универсальная подстановка

Универсальная подстановка
Перепишем теперь формулу синуса двойного угла в следующем виде:
sin 2𝛼 =
2 sin 𝛼 cos 𝛼
1
=
2 sin 𝛼 cos 𝛼
sin2 𝛼+cos2 𝛼
=
2 sin 𝛼 cos 𝛼
cos2 𝛼
sin2 𝛼+cos2 𝛼
cos2 𝛼
=
2 tg 𝛼
𝜋
1+tg2 𝛼
, 𝛼 ≠ + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
2
Аналогично можно поступить с косинусом двойного угла. Получается
cos 2𝛼 =
1−tg2 𝛼
1+tg2 𝛼
𝜋
, 𝛼 ≠ + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
2
Разделив последнюю формулу на предпоследнюю, имеем: ctg 2𝛼 =
𝛼≠
𝜋𝑛
2
1−tg2 𝛼
2 tg 𝛼
,
, 𝑛 ∈ 𝑍.
Последние три формулы и формулу тангенса двойного угла часто
записывают в следующем виде:
sin 𝛼 =
ctg 𝛼 =
𝛼
2
𝛼
1+tg2
2
𝛼
2
1−tg
2
𝛼
2 tg
2
2 tg
𝜋
, 𝛼 ≠ + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍. cos 𝛼 =
2
, 𝛼 ≠ 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍. tg 𝛼 =
𝛼
2
𝛼
1+tg2
2
𝛼
2 tg
2
𝛼
2
1−tg
2
1−tg2
𝜋
, 𝛼 ≠ + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
2
, 𝛼 ≠ 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
Эти формулы показывают, что все основные тригонометрические
𝛼
функции могут быть рационально выражены через 𝑡 = tg , а именно:
sin 𝑡 =
2𝑡
1+𝑡 2
, cos 𝑡 =
1−𝑡 2
1+𝑡 2
, tg 𝑡 =
2𝑡
1−𝑡 2
𝛼
, ctg 𝑡 =
1−𝑡 2
2𝑡
2
.
Говорят, что замена 𝑡 = tg , является универсальной подстановкой для
2
основных тригонометрических функций.
Формулы понижения степени
Из формулы косинуса двойного угла cos 2𝛼 = 1 − 2sin2 𝛼=2cos 2 𝛼 − 1
следуют формулы понижения степени: cos 2 𝛼 =
1+cos 2𝛼
2
, sin2 𝛼 =
1−cos 2𝛼
2
.
Примеры решения задач
𝛼
Пример 1. Найти значение выражения 25 sin 2𝛼 − cos 2𝛼, если tg = 2.
2
Решение. 25 sin 2𝛼 − cos 2𝛼 = 25 ∙
𝛼
Выразим tgα через tg : tg 𝛼 =
2
получим 25 sin 2𝛼 − cos 2𝛼= −23
18
2 tg 𝛼
1+tg2 𝛼
𝛼
2
𝛼
1−tg2
2
2 tg
−
1−tg2 𝛼
1+tg2 𝛼
=
50 tg 𝛼−1+tg2 𝛼
1+tg2 𝛼
4
4
3
3
.
= − . Подставив − в выражение,
25
Ответ: −23
18
25
Упражнения
1. Найдите sinα, cosα, ctgα, если:
𝛼
𝛼
1) tg = 3
𝛼
2) tg = 4
2
3) tg = 2
2
𝛼
2
𝛼
6) tg = −2
𝛼
7) tg = −5
2
8) tg = −1
2
2
𝛼
𝛼
4) tg = −3
5) tg = 1
2
2
𝛼
𝛼
9) tg = 5
10) tg = −4
2
2
2. Найдите значение выражения:
1)
3)
5)
7)
cos 2𝛼+3
2)
, если ctgα=3
2 sin 2𝛼−1
5−4 cos 𝛼
𝛼
𝛼 2
(sin −2 cos )
2
2
5−2 sin 𝛼
𝛼
𝛼 2
(sin +4 cos )
2
2
sin 2𝛼−43
𝛼
1
2
2
𝛼
1
2
2
, если tg = −
, если tg = −
4)
6)
8)
, если ctgα=3
3 cos 2𝛼+1
9)
10)
3. Упростите выражение:
1)
6)
3−4 sin 𝛼
2)
5−8 cos 𝛼
7−2 ctg 𝛼
7)
8−5 ctg 𝛼
5−2 ctg 𝛼
3)
3−2 tg 𝛼
5−7 cos 𝛼
8)
4−7 sin 𝛼
1−4 sin2 𝛼
1−4 cos2 𝛼
3−4 tg 𝛼
5−8 ctg 𝛼
4)
9)
1+tg 4𝛼
5)
1+ctg 4𝛼
3−4 sin2 𝛼
4+3 tg 𝛼
5+3 tg 𝛼
10)
3−4 cos2 𝛼
ctg 4𝛼+1
tg 4𝛼+1
4. Докажите тождество:
1) ctg𝛼 =
1−tg2
𝛼
2tg
2
𝛼
2
2) 1 + cos 𝛼 = 2 cos 2
𝜋
𝛼
4
2
4) 1 + sin 𝛼 = 2 cos 2 ( − )
5)
7)
8)
𝜋
𝛼
4
2
𝛼
2
3)
6) ctg2𝛼 =
tg2 (−α)−1
2tg(−𝛼)
9) 1 − cos 𝛼 = 2 sin2
10) 1 − sin 𝛼 = 2 sin2 ( − )
5. Найдите значение выражения:
𝛼
1
2
2
𝛼
4
2
3
1) sin4 𝛼 − cos 4 𝛼 , если tg =
3) 4sin 𝛼 − 3cos 𝛼 , если tg =
2) sin 𝛼 + cos 𝛼, если tg
𝛼
2
=3
𝛼
2
2
3
4) 2sin 𝛼 − 3cos 𝛼 , если tg =
𝛼
2
5) sin 𝛼 − cos 𝛼, если tg
𝛼
2
=3
𝛼
2
2
3
7) 2sin 2𝛼 + 3cos 2𝛼 , если tg =
𝛼
1
2
2
9) sin4 𝛼 − cos 4 𝛼 , если tg = −
1)
3)
5)
7)
9)
𝜋
3
cos 𝛼
𝜋
3
7 cos( −𝛼)
cos 𝛼
𝜋
3
3 cos( −𝛼)
cos 𝛼
𝜋
3
4 cos( −𝛼)
cos 𝛼
𝜋
3
5 cos( −𝛼)
cos 𝛼
, если 𝑡𝑔 𝛼 = 2√3
, если 𝑡𝑔 𝛼 = −5√3
, если 𝑡𝑔 𝛼 = −9√3
, если 𝑡𝑔 𝛼 = −6√3
, если 𝑡𝑔 𝛼 = −7√3
1
2
3
8)
𝛼
1
2
2
10) sin6 𝛼 − cos 4 𝛼 , если tg = −
6. Найдите значение выражения:
6 cos( −𝛼)
𝛼
6) sin 2𝛼 + 3cos 2𝛼 , если tg =
2)
4)
6)
8)
𝜋
3
3 cos( −𝛼)
cos 𝛼
𝜋
3
9 cos( −𝛼)
cos 𝛼
𝜋
3
2 cos( −𝛼)
cos 𝛼
𝜋
3
4 cos( −𝛼)
10)
cos 𝛼
𝜋
3
, если 𝑡𝑔 𝛼 = 5√3
, если 𝑡𝑔 𝛼 = −3√3
, если 𝑡𝑔 𝛼 = 8√3
, если 𝑡𝑔 𝛼 = 4√3
8 cos( −𝛼)
cos 𝛼
, если 𝑡𝑔 𝛼 = 3√3