Лекция 4-5

Тема:
«Многокритериальная
задача принятия решений (ЗПР) »
Задача принятия решений с m – критериями, где
m>1, называется многокритериальной задачей
принятия решений. В такой задаче появляется
эффект несравнимости исходов.
В отличии от стратегии неопределенности,
которая обусловлена влиянием внешней среды
на объекты управления в ЗПР появляется
ценностная неопределенность.
Доминирование по Парето
Математическую модель можно записать
следующим образом D, f1 , f 2 ,..., f m
, где
D – множество допустимых исходов
fj – числовая функция, заданная на множестве D по j критерию
fj – позитивное, если лицо, принимающее
решения стремится увеличить его значение
fj – негативное, если лицо, принимающее
решения стремится уменьшить его значения
!!! ЗАМЕЧАНИЕ: технически негативный
критерий можно превратить в позитивный,
если поменять знак на противоположный.
Пусть множество Yj – есть множество значений
fj ( j=1,2,…,m). Тогда множество
Y 
m
 Y - множество векторных оценок и
j
j 1
любой элемент y, принадлежащий
Y представляет собой вектор
y = (y1, y2,…,ym), где yj принадлежит Y
Определение: говорят, что векторная оценка y
= (y1, y2,…,ym) доминирует по Парето y’ = (y’1,
y’2,…,y’m), если для всех j=1,2,…,m выполняется
неравенство: y  y ' , причем хотя бы одно
неравенство должно быть строгое.
Определение: Пусть Q  Y векторное
множество векторных оценок, тогда
векторная оценка y*  Q называется
Парето-оптимальной на множестве Q,
если в этом множестве не существует
никакой другой оценки, которая
доминировала бы по Парето над y*.
Определение: Говорят, что исход a1
доминирует по Парето над исходом a2, если
векторная оценка исхода a1 доминирует по
Парето векторную оценку исхода a2.
Определение: Исход a1 называется
Парето – оптимальным, если он не
доминируется по Парето никаким другим
исходом из множества D.
  множество
f2
Парето –
оптимальных
исходов

D
f1
Простейшие способы сужения
Парето - оптимального множества
В многокритериальной ЗПР существует
проблема выбора единственного
оптимального решения, так как понятие
векторного оптимума неопределенно.
Существует два подхода к выбору
оптимального решения:
I подход
!!! Для задачи находят множество
оптимальных по Парето исходов и
представляют право выбора
оптимального исхода лицу принимающему
решение
II подход
!!! Производится сужение множества
оптимальных по Парето исходов за счет
дополнительной информации о критериях
II подход включает в себя три способа:
Способ А: указание нижних границ
критерия
О нижних границах берется дополнительная
информация и требуется выполнение
условия:
f j (a )   j , где j  1, m
*
Способ Б: субоптимизация
Происходит следующим образом:
выделяют один из критериев, а по другим
назначают нижние границы.
Таким образом приходят к задаче
оптимизации по одному критерию.
Способ В: лексиграфическая оптимизация
Производят упорядочивание критериев по
степени их важности. На первом этапе
выбирают исходы, которые показывают
максимальную оценку по важнейшему
критерию. Если таких исходов несколько,
переходят к анализу второго по важности
критерия.
Существует две проблемы этого способа:
1 проблема:
Заключается в установке важности каждого
критерия.
2 проблема:
Заключается в том, что берется во
внимание только первый, самый важный
критерий
Обобщенный критерий в
многокритериальной ЗПР
D, f1 , f 2 ,..., f m
 : Y1  Y2  ...  Ym  R
 aD
f (a)   ( f1 (a ), f 2 (a ),..., f m (a))
 ( y * )  1  y1*   2  y2*  ...   m  ym* , где
y *  ( y1* , y2* ,..., ym* ) , причем  j  0, j  1,2,..., m
 j  оценочные весовые коэффициен ты
Правило 1:
Пусть Q  Y - есть множество векторных
оценок. Если y *  ( y1* ,..., ym* ) доставляет
m
максимум функции  ( y)   j  y j , где  j  0 , то
j 1
оценка y* является Парето – оптимальной в
множестве Q.
Правило 2:
Пусть Q  Y - выпуклое множество.
*
Y  Q - Парето – оптимальная векторная
оценка на множестве Q. Тогда найдутся
такие неотрицательные числа  j  0, ( j  1,2,..., m)
m
Тогда  ( y)   j  y j достигает своего
j 1
максимума на множестве Q.
Есть несколько замечаний к правилу 2:
Замечание 1:
Если  не является гладкой в области
точки M*, тогда можно провести опорную
прямую в точке M* к кривой  .
Замечание 2:
Если критериев больше двух, то строится
опорная гиперплоскость.
Замечание 3:
Существуют такие j, при которых  j  0 .
Формальное определение
обобщенного критерия
Определение: Под обобщенным
критерием будем понимать отображение
при выполнении условия:
 : R R  R
(U1;V1 ) 
Par
(U 2 ;V2 )  (U1;V1 )  (U 2 ;V2 )
!!! Замечание: иногда строгое доминирование по Парето заменяют
нестрогим.
Кривые безразличия. Локальный
коэффициент замещения
Пусть есть обобщенный критерий  (u; v ) ,
Тогда уравнение  (u; v)  c при каждом
фиксированном значении c дают
некоторую кривую безразличия. Т.е. для
любой из двух точек M1(u1;v1) u M2(u2;v2),
принадлежащих этой кривой выполняется
равенство:  (M1 )   (M 2 )
Определение: Обобщенные критерии u1 и
u2 называются эквивалентными, если для
любых двух векторных оценок (u1,v1) и
(u2,v2) выполняется условие:
1 (u1; v1 )  1 (u2 ; v2 ) 
 2 (u1; v1 )   2 (u2 ; v2 )
Если  - обобщенный критерий, то функция
   o
тоже является обобщенным
критерием, где  - произвольная
монотонно-возрастающая функция.
Определение:
Положительное
число k  lim   v  -
v
u  0
M(u,v)
M’(u’,v’)
u  u 'u
v  v'v
 u 
называется
локальный
коэффициент
u замещения в точке
M(u,v)
Геометрический смысл ЛКЗ:
u
v
- tg угла наклона касательной в точке M к
оси абсцисс
Правило 3:
Переходя к пределам при u  0 получаем,
что ЛКЗ = tg угла наклона касательной в
точке M к оси абсцисс, взятому со знаком
«-».
Из определения кривой безразличия
следует, что через каждую точку M(u,v)
проходит одна и только одна кривая
безразличия. Множество кривых
безразличия составляют карту
безразличия
Правило 4:
Задание в области Q карты безразличия
равносильно заданию ЛКЗ для каждой точки
M(u,v), принадлежащей Q.
Пусть для каждой точки M задан ЛКЗ R(u,v)
Существует несколько условий, при которых
R-const.
Условие 1:
Если в области векторных оценок
ЛКЗ
k – постоянен, то семейство кривых,
определяющих карту безразличия
находится из решения дифференциального
уравнения:
Q  R2
v
 k , v  k  u  c
u
Условие 2:
Пусть в области Q задана карта
безразличий k, состоящая из семейства
параллельных прямых, имеющих
отрицательный угловой коэффициент, тогда
обобщенный критерий  (u, v)  k  u  v
совместим с уравнением
k u  v  c
Утверждение: следующие три условия
эквивалентны между собой:
1. Обобщенный критерий  представим в
виде суммы взвешенных частных
критериев
2. Карта безразличий обобщенного
критерия  состоит из семейства
параллельных прямых
3. ЛКЗ в области Q - постоянен
Определение: Пусть Q  R задана некая
карта безразличий. Пусть  (u , v ) обобщенный критерий, заданный на
множестве Q. Будем говорить, что  (u , v )
совместим с картой безразличия K на
множестве Q, если его карта безразличий
совпадает в области Q с картой K.
2
Наложим некоторые условия на
множество Q и карту безразличий K:
1. Множество Q – выпуклое
2. Карта безразличий должна представлять собой
семейство однопараметрических кривых
3. Функция  должна быть непрерывна и
дифференцируема в области Q
4. В области Q должно выполняться условие
существования неявных функций
5. Для функции
v
V (u , c), 
0
u
Утверждения:
1. Неявная функция c(u,v) является
обобщенным критерием, совместимым с
картой K
2. Для того, чтобы функция    (u, v) была
обобщенным критерием, совместимым с
картой K, необходимо и достаточно, чтобы
эта функция имела вид: c o 